‫مسئلهی ‪ .۱‬پستچی بجستان‬
‫ادارهی پست بجستان (‪ )Bejestan‬به سبکی انحصاری نامهها را جابجا میکند‪ :‬هر کس خواست نامهای ارسال کند‪ ،‬با‬
‫آنجا تماس میگیرد و آدرس خود و مقصد را میدهد‪ .‬پستچی به مبدا میرود‪ ،‬نامه را میگیرد و به مقصد میرساند‪.‬‬
‫آقای شفاهی‪ ،‬رییس این اداره‪ ،‬میل خاصی به دانستن تعداد راههای رفتن از مبدا به مقصد نامه که کوتاهترین مسیر‬
‫ممکن اند دارد‪ .‬او با توجه به این تعداد‪ ،‬کارهای مرموزی انجام میدهد که هنوز در دست بررسی است‪ .‬آقای شفاهی از‬
‫شما میخواهد الگوریتمی برای یافتن این تعداد ارایه کنید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۲‬مجموعهی بازخورد‬
‫مجموعهی بازخورد یک گراف‪ ،‬به مجموعهای از یالهای گراف گفته میشود که هر دور در این گراف شامل حداقل یک‬
‫یال از این مجموعه باشد‪ .‬الگوریتمی کارا برای پیدا کردن مجموعهی بازخورد با وزن کمینه در یک گراف ارایه دهید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۳‬یادگار قلعهی مری‬
‫آقا مری (‪ )Mory‬یکی از مشهورترین اربابان شهرستان بجستان در زمانهایی دور بود‪ .‬او صاحب قلعهای فوالدی بود‬
‫که در میان دشتی از گلهای رازقی قد علم کرده بود‪ .‬این قلعه شامل چند سالن بود که با در به یکدیگر متصل بودند و‬
‫باالی درها (در هر دو سمت در) یک عدد المپ مهتابی نورافشانی میکرد‪ .‬آقا مری که همیشه دوست داشت یادگاری‬
‫از خود باقی بگذارد‪ ،‬ایدهای اسمی به ذهنش خطور کرد‪ .‬او تصمیم گرفت المپ مهتابیهای باالی درها را به دو رنگ‬
‫گلبهای و سبز لجنی درآورد‪ ،‬به طوری که دو طرف هر در رنگهای متفاوتی داشته باشد و تعداد المپ مهتابیهای‬
‫گلبهای هر سالن حداکثر یک واحد با تعداد المپمهتابیهای به رنگ سبز لجنی آن سالن اختالف داشته باشند‪ .‬برای‬
‫یافتن الگوریتم این کار نزد دوست خوبش بنجی (‪ )Benji‬رفت‪ .‬بنجی که نصف عمر خود در شرکت گوگاز‬
‫(‪ )GooGaaz‬مدیریت پروژه میکرد و البته نصف دیگرش را در کالس گیتار به سر کرده بود‪ ،‬الگوریتمی از مرتبهی‬
‫‪ nk‬برای این رنگآمیزی پیدا کرد (‪ n‬تعداد سالنها و ‪ k‬تعداد درهاست)‪ .‬افجی (‪ )FJ‬مدتی است وقت خود را صرف‬
‫پیدا کردن این الگوریتم کرده است‪ .‬آیا میتوانید به افجی کمک کنید؟‬
‫مسئلهی ‪ .۴‬پایتخت کالغاری‬
‫کالغاری شامل ‪ n‬شهر و ‪ n-1‬جادهی یکطرفه است‪ ،‬که بدون درنظر گرفتن جهت جادهها دقیقن یک مسیر بین هر دو‬
‫شهر موجود است‪ .‬کامیار بینهایت (‪ ،)Kamyar Infinity‬پادشاه کالغاری‪ ،‬تصمیم گرفت پایتختی برای این کشور‬
‫انتخاب کند‪ ،‬که از آن مسیری جهتدار به همهی شهرهای دیگر موجود باشد‪ .‬برای این کار الزم است برخی جادهها‬
‫خراب شوند و در جهت عکس ساخته شوند‪ ،‬که این کار موجب نارضایتی ملت فهیم کالغاری میگردد‪ .‬او تصمیم گرفت‬
‫از دوست خود‪ ،‬مهندس اعزامی‪ ،‬که اخیرن به آبوند‪ ،‬کشوری در نزدیکی کالغاری‪ ،‬اعزام شده کمک گیرد‪ .‬مهندس‬
‫اعزامی الگوریتمی برای یافتن پایتخت پیدا کرد که کمترین تعداد تغییر جاده را دارد‪ .‬شما نیز الگوریتمی کارا ارایه کنید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۵‬افراز راسی‬
‫فرض کنید )‪ G = (V, E‬یک گراف جهتدار بیدور و ‪ k‬بیشترین تعداد یالهای موجود در هر مسیر از ‪ G‬است‪.‬‬
‫الگوریتمی طراحی کنید که راسها را در حداکثر ‪ k+1‬گروه طوری افراز کند که برای هر دو راس ‪ v‬و ‪ w‬در هر گروه‬
‫هیچ مسیری از ‪ v‬به ‪ w‬یا از ‪ w‬به ‪ v‬موجود نباشد‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۶‬بجستان‪ ،‬پایتخت کالغاری‬
‫کامیار‪ ،‬پادشاه کالغاری‪ ،‬بیتوجه به الگوریتم مهندس اعزامی‪ ،‬شهر مورد عالقهی خود‪ ،‬بجستان‪ ،‬را به عنوان پایتخت‬
‫برگزید و تمام جادههای موجود در کالغاری را دوطرفه کرد‪ .‬این اقدام خودسرانهی وی مردم را به آشوبهای موضعی‬
‫واداشت و درنتیجه چند جادهی دوطرفه توسط ملت خراب شد‪ .‬بعد از خوابیدن آشوبها‪ ،‬کامیار تصمیم گرفت چند‬
‫جادهی دوطرفه احداث کند تا همهی شهرها به یکدیگر مسیر داشته باشند‪ .‬کامیار مدتی بود بنا به “دالیلی” وقتی نداشت‬
‫که صرف حل این مسئله کند‪ .‬بنابراین مدیریت این پروژه را به آقای پاکی‪ ،‬مدیر عامل چند شرکت حال حاضر‪ ،‬داد‪.‬‬
‫پاکی از شما میخواهد الگوریتمی برای اضافه کردن کمترین جادهی دوطرفه به کالغاری پیدا کنید به طوری که از هر‬
‫شهری بتوان به شهر دیگر رفت‪( .‬دقت کنید برخی جادههای دوطرفه هنوز پابرجا هستند‪).‬‬
‫مسئلهی ‪ .۷‬عجق و درختش‬
‫عجق (‪ )Ejgh‬گراف درختی دارد که برخی راسهای آن صورتیاند‪ .‬او میخواهد درخت خود را به چند مولفه تقسیم‬
‫کند به طوری که هر مولفه دقیقا یک راس صورتی داشته باشد‪ .‬الگوریتمی برای یافتن تعداد حاالت این تقسیم ارایه‬
‫دهید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۸‬پادشاه ستمگر‬
‫پادشاه کالغاری‪ ،‬کامیار‪ ،‬که در اقدامات اخیر خود بودجهی بسیاری را هدر داده است‪ ،‬دنبال راهی میگشت که بخشی از‬
‫این هزینه را از ملت بگیرد‪ .‬او تصمیم گرفت برای هر سفر عوارض مقرر کند‪ .‬او به هر جاده وزنی داد (وزن رفت و‬
‫برگشت یکی است) که عددی مثبت است‪ .‬عوارض را اینگونه تعیین کرد‪ :‬در انتهای سفر هر فرد به اندازهی ضرب وزن‬
‫جادههایی که طی کرده است‪ ،‬باید عوارض پرداخت کند‪ .‬سیرش (‪ )SiRash‬وبسایتی طراحی کرد که با دادن اسم دو‬
‫شهر ‪ u‬و ‪ v‬مسیری که کمترین عوارض را دارد به دست میدهد‪ .‬به نظر شما این کار همیشه ممکن است؟ الگوریتمی که‬
‫سیرش ارایه داده است از مرتبه )‪ O(n^2‬است‪ .‬الگوریتمی با این مرتبه ارایه دهید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۹‬مسیر به طول فرد‬
‫الگوریتمی برای یافتن طول کوتاهترین مسیر به طول فرد برای راسهای ‪ u‬و ‪ v‬از گراف سادهی ‪ G‬ارایه کنید‪.‬‬
‫مسئلهی ‪ .۱۱‬درخت گلوگاهی‬
‫قدرت یک درخت برابر وزن سنگینترین یال آن است‪ .‬در یک گراف بدون جهت و وزن دار ‪ ، G‬درخت گلوگاهی‬
‫درخت فراگیری از ‪ G‬است که کمترین قدرت را دارد‪.‬‬
‫الف) ثابت کنید هر درخت فراگیر کمینه (‪ )MST‬از ‪ G‬یک درخت گلوگاهی نیز هست‪( .‬عکس این مطلب لزوما‬
‫برقرار نیست)‬
‫ب) الگوریتمی خطی برای یافتن درخت گلوگاهی ارایه دهید‪.‬‬