‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺳﯿ ﻨﺎل ﻫﺎ و ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی اول‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺨﺶ ﺗﺌﻮری‪ ٨ :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪ ١٣٩۴‬ﺳﺎﻋﺖ ‪١۵‬‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺨﺶ ﻋﻤﻠ ‪ ١٣ :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪ ١٣٩۴‬ﺳﺎﻋﺖ ‪٢٣:۵٩‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻧﮑﺘﻪ‪:‬‬
‫•‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺗﺌﻮری را ﺑﺮ روی ﮐﺎﻏﺬ در ﻣﻬﻠﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺪﻫﯿﺪ ‪ .‬ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ از ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ در ﮐﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺮﯾﻨ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ داﻧﺸﺠﻮ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ‬
‫در ﮐﻞ ﺗﺮم ﺳﻪ ﺑﺎر ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺌﻮری ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺪون ﮐﺴﺮ ﻧﻤﺮه ﺗﺤﻮﯾﻞ دﻫﺪ‬
‫و ﺑﯿﺶ از اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد‪ ،‬ﺗﺎﺧﯿﺮ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫•‬
‫ﺑﺮای ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﻋﻤﻠ ﺷﻤﺎ ﺑﺎﯾﺪ ﻓﺎﯾﻞ ﻫﺎی ﻣﺘﻠﺐ را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﮔﺰارﺷ ﮐﻪ ﺑﺮای اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﺪ در‬
‫ﻗﺎﻟﺐ ﯾ ﻓﺎﯾﻞ ‪ zip‬ﺑﺎ ﻧﺎم و ﻣﻮﺿﻮع اﯾﻤﯿﻞ ‪ HW1 SID‬ﮐﻪ ‪ SID‬در آن ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن اﺳﺖ ﺑﻪ آدرس‬
‫‪ [email protected]‬ارﺳﺎل ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﻣ ﺎن ارﺳﺎل ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ درﻣﻮرد ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻫﺎی ﻣﺘﻠﺐ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬
‫•‬
‫ﻫﻤﻔﮑﺮی راه ﺧﻮﺑﯽ ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﺷﻬﻮد ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻧﻬﺎﯾﺘﺎ ﺧﻮدﺗﺎن راه ﺣﻞ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬از‬
‫ﺗﻘﻠﺐ ﮐﺮدن ﺑﭙﺮﻫﯿﺰﯾﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺳﯿﺎﺳﺖ ﮐﻠ ﮐﻼس درﻣﻮرد ﺗﻘﻠﺐ اﮔﺮ ﺗﻘﻠﺐ در ﯾ ﺗﻤﺮﯾﻦ از ﻓﺮدی ﮔﺮﻓﺘﻪ‬
‫ﺷﻮد ﻧﻤﺮه ﻧﻬﺎﯾﯽ درس او ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﻟﻄﻔﺎ اﯾﻦ ﺣﺮف را ﺟﺪی ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪.‬‬
‫ﺑﺨﺶ ﺗﺌﻮری‬
‫‪١‬‬
‫‪١.١‬‬
‫ﯾ‬
‫ﺳﻮال اول‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬
‫]‪y[n] = αx[n] + βx[n − 1] + y[n − 1‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺳﯿﺴﺘﻢ درﺣﺎﻟﺖ ﺳ ﻮن اوﻟﯿﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ]‪ x[n‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪1 0≤n‬‬
‫‪0 otherwise‬‬
‫{‬
‫= ]‪x[n] = u[n‬‬
‫]‪ y[234‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬اﯾﻦ ﺑﺎر ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ α = 3‬و‬
‫ﺿﺮاﯾﺐ ‪ A‬و ‪ B‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪=4‬‬
‫‪٢.١‬‬
‫‪ β‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ]‪ x[n] = δ[n‬و ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ y[n] = Aj n + B(−j)n‬ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﺳﻮال دوم‬
‫ﺗﺎﺑﻌ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ را درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪.x(t) :١‬‬
‫‪ .١‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫)‪y(t) = x(t − 2‬‬
‫)‪w(t) = x(−2t + 1‬‬
‫)ج(‬
‫})‪y(t) = Ev{x(t)u(t‬‬
‫)د(‬
‫‪٣.١‬‬
‫})‪y(t) = Od{x(t + 3‬‬
‫ﺳﻮال ﺳﻮم‬
‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﺪاﻣﯿ از ﺳﯿ ﻨﺎل ﻫﺎی ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ زﯾﺮ در زﻣﺎن ﻣﺘﻨﺎوب ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﻣﻮرد ﺳﯿ ﻨﺎل ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎوب دوره‬
‫ﺗﻨﺎوب اﺻﻠ را ﺑﺮای ﺳﯿ ﻨﺎل ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪.١‬‬
‫)‪x(t) = ej(πt−3‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪.٢‬‬
‫})‪y(t) = Ev{sin(3πt)u(t‬‬
‫‪.٣‬‬
‫)‪−(2t−i‬‬
‫‪e‬‬
‫∞‬
‫∑‬
‫= )‪z(t‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪۴.١‬‬
‫ﺳﻮال ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎی زﯾﺮ ﮐﺪام ﯾ از ﺧﻮاص ﻋﻤﻮﻣ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ ) ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ ‪ -‬ﺗﻐﯿﯿﺮﻧﺎﭘﺬﯾﺮﺑﺎ زﻣﺎن ‪-‬‬
‫ﺧﻄ ‪ -‬ﺳﺒﺒﯽ ‪ -‬ﭘﺎﯾﺪار( را دارد‪ .‬دﻻﯾﻞ ادﻋﺎی ﺧﻮد را ذﮐﺮ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪.١‬‬
‫‪∫ 2τ‬‬
‫= )‪y(t‬‬
‫‪x(τ )dτ‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪.٢‬‬
‫‪۵.١‬‬
‫‪‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫‪1≥n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= ]‪y[n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x[n − 1] n ≤ −1‬‬
‫ﺳﻮال ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ﻣﺪار زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ درس ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﺪار ﯾ‬
‫ﻓﯿﻠﺘﺮ ﭘﺎﯾﯿﻦ ﮔﺬر ﻏﯿﺮاﯾﺪه آل اﺳﺖ ‪.‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪.LP F :٢‬‬
‫در اﯾﻦ ﻣﺪار ‪ Vin‬ﺳﯿ ﻨﺎل ورودی ﺑﻪ ﻣﺪار اﺳﺖ و ‪ Vout‬ﺧﺮوﺟ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﯿﺸﻮد‪.‬‬
‫‪ .١‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﺣﺎﮐﻢ ﺑﺮ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ ﻣﯿﺪاﻧﯿﺪ ﭘﺎﺳﺦ اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎی ﺧﻄ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺑﻪ ورودی ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ x(t) = Aest‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬
‫اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪y(t) = H(s)est‬‬
‫در اداﻣﻪ درس ﺧﻮاﻫﯿﻢ دﯾﺪ ﮐﻪ )‪ H(s‬ارﺗﺒﺎط ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻻﭘﻼس و ﻓﻮرﯾﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ دارد‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺑﻪ ازا ﺳﯿ ﻨﺎل ورودی ‪ x(t) = Aest‬ﻣﻘﺪار )‪ H(s‬در ﺳﯿ ﻨﺎل ﺧﺮوﺟ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪۶.١‬‬
‫ﺳﻮال ﺷﺸﻢ‬
‫ﻣﯿﺪاﻧﯿﻢ ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ L‬ﮐﻪ در ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﺧﻄ اﺳﺖ‪ .‬ﺳﻪ ﺳﯿ ﻨﺎل ﺧﺮوﺟ ]‪ y1 [n], y2 [n], y3 [n‬ﺑﻪ‬
‫ﺗﺮﺗﯿﺐ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺳﯿ ﻨﺎل ورودی ]‪ x1 [n], x2 [n], x3 [n‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬آﯾﺎ ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ L‬ﻣﯿﺘﻮاﻧﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از زﻣﺎن ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ .٢‬ﺧﺮوﺟ ]‪ y[n‬ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ازا ورودی ]‪ x[n] = δ[n‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪:٣‬‬
‫‪٧.١‬‬
‫ﺳﻮال ﻫﻔﺘﻢ )اﻣﺘﯿﺎزی( ‪:‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺳﯿ ﻨﺎل )‪ x(t‬ﯾ ﺗﻮزﯾﻊ ﮔﻮﺳ ﺑﺎ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ‪ e−t‬و وارﯾﺎﻧﺲ ‪ e−t‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ( N (e−t , e−t ) ) .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﺮض‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار اﯾﻦ ﺳﯿ ﻨﺎل در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺳﺎﯾﺮ ﻟﺤﻈﺎت اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺳﯿ ﻨﺎل را ﺑﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ زﯾﺮ ﮐﻪ ﭘﺎﺳﺦ‬
‫ﺿﺮﺑﻪ آن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮاﺳﺖ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ورودی ﻣﯿﺪﻫﯿﻢ‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‪h(t) = 2 u(t) − u(t − ln2‬‬
‫ﺧﺮوﺟ ﺳﯿﺴﺘﻢ را )‪ y(t‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬‬
‫‪ E[y(t)] .١‬را در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪.٢‬‬
‫)‬
‫)‪y(t‬‬
‫(‬
‫‪ var‬را ﺑﺮای ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪ .٣‬اﺣﺘﻤﺎل زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫[‬
‫]‬
‫‪P 0 ≤ y(t = 1) ≤ 2‬‬
‫‪ ٢‬ﺑﺨﺶ ﻋﻤﻠ‬
‫اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺮای آﺷﻨﺎﯾﯽ اوﻟﯿﻪ ﺑﺎ ﻧﺮم اﻓﺰار ‪ MATLAB‬ﻃﺮح ﺷﺪه اﺳﺖ و ﻫﺪف آن آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺷﻤﺎ ﺑﺎ ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎده و‬
‫ﮐﺎرﺑﺮدی ﻣﺘﻠﺐ و اﺳﺘﻔﺎده از آﻧﻬﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﭘﺮدازش ﺳﯿ ﻨﺎل ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺘﻠﺐ ﺑﺎﯾﺪ آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺧﻮﺑﯽ ﺑﺎ اﺑﺰارﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ‬
‫اﯾﻦ ﻧﺮم اﻓﺰار در اﺧﺘﯿﺎر ﺷﻤﺎ ﻣﯿ ﺬارد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ‪ .‬ﯾ از اﯾﻦ اﺑﺰارﻫﺎ‪ ،‬اﺑﺰار رﺳﻢ ﻣﺘﻠﺐ ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ اﺑﺰار و دﯾ ﺮ‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ ‪ built-in‬ﻣﺘﻠﺐ اﻏﻠﺐ ﺑﺮ ﭘﺎﯾﻪ ی ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ و ﻣﺎ در ﭘﺮدازش ﺳﯿ ﻨﺎل ﺑﺎ ﺗﻌﺪادی‬
‫ﺑﺮدار ﮐﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﯾﯽ از ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎی ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺳﺮوﮐﺎر دارﯾﻢ‪ .‬در اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻗﺼﺪ دارﯾﻢ ﺗﺎ ﺷﻤﺎ را ﺑﺎ ﻧﺤﻮه ی‬
‫ﮐﺎر ﺑﺎ اﯾﻦ ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎ و ارﺗﺒﺎط آﻧﻬﺎ ﺑﺎ ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎی ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ آﺷﻨﺎ ﺑ ﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫‪١.٢‬‬
‫آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﺎ و دﺳﺘﻮرات ﺗﺮﺳﯿﻢ‬
‫ﻫﻤﻪ اﻋﺪاد و ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ در ﻣﺘﻠﺐ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﯿﺸﻮﻧﺪ‪).‬اﻋﺪاد ﻣﻌﻤﻮﻟ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ 1∗1‬ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ‬
‫ﻣﯿﺸﻮﻧﺪ‪ (.‬در ﻣﺘﻠﺐ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻮﺷﺘﺎر رﯾﺎﺿ ﻣﺮﺳﻮم ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﺎ را ﺑﺎ ﺑﺮاﮐﺖ ﯾﺎ ﮐﺮوﺷﻪ ] [ ﻧﺸﺎن ﻣﯿﺪﻫﻨﺪ‪ .‬در ﯾ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺳﺘﻮن ﻫﺎ را ﺑﺎ ﮐﺎﻣﺎ )‪ (،‬و ﯾﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ( از ﻫﻢ ﺟﺪا ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪ .‬ﺳﻄﺮﻫﺎ ﺑﻪ ﮐﻤ ﺳﻤﯿ ﻮﻟﻮن )؛( و ﯾﺎ زدن‬
‫‪ enter‬از ﻫﻢ ﺟﺪا ﻣﯿﺸﻮﻧﺪ‪ .‬دﺳﺘﺮﺳ ﺑﻪ دراﯾﻪ )‪ (i, j‬از ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ دﻟﺨﻮاه ‪ A‬ﺑﻪ ﺻﻮرت )‪ A(i, j‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﮐﻤ ﮐﻮﻟﻮن‬
‫)‪ (:‬ﻣﯿﺘﻮان ﯾ ﺑﺎزه دﻟﺨﻮاه از اﻋﺪاد را ﺑﻪ زﯾﺮ ﺑﺎزه ﻫﺎی ﻣﺴﺎوی ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﺮد‪ A = 1 : 1 : 9 .‬ﺑﺎزه ﯾ ﺗﺎ ﻧﻪ را ﺑﻪ ﻧﻪ‬
‫زﯾﺮﺑﺎزه ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯿ ﻨﺪ و ﻣﻘﺪار ﻫﺮﯾ را درون ﯾ دراﯾﻪ ‪ A‬ﻗﺮار ﻣﯿﺪﻫﺪ‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .١‬ﺑﺮدار ‪ t‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺴﺎزﯾﺪ ﮐﻪ اﻋﺪاد از ﺑﺎزه ]‪ [−3, 3‬را ﺑﻪ ‪ 240‬زﯾﺮ ﺑﺎزه ﻣﺴﺎوی ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯿﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺗﺎﺑﻊ )‪ sin(x‬را در ﺑﺎزه ]‪ [−3, 3‬رﺳﻢ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻨﮑﺎر از ﺗﺎﺑﻊ )‪ plot(x, y‬ﻣﯿﺘﻮاﻧﯿﻢ‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺮدار ‪ y‬را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﺮدار ‪ x‬رﺳﻢ ﻣﯿ ﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﮐﺸﯿﺪن ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎی‬
‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﯾﺪ از ﺳﯿ ﻨﺎل ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری ﮐﺮده و ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ را در ﯾ ﺑﺮدار ﻧﮕﻪ داری ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻗﻀﺎﯾﺎی‬
‫‪ sampling‬ﺟﺰو اﯾﻦ ﺳﺮی از ﺗﻤﺮﯾﻨﻬﺎی ﻣﺎ ﻧﯿﺴﺖ اﻣﺎ ﺑﺮای اداﻣﻪ ی ﮐﺎر ﺑﺎﯾﺪ ﮐﻤ ﺑﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری آﺷﻨﺎﯾﯽ‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری ﻣﻌﻤﻮﻻ از ‪ linspace‬ﯾﺎ ﺷﯿﻮﻫ ﻧﻤﺎﯾﺶ ‪ t2 : F1 : t1‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯿﺸﻮد‪Fs .‬‬
‫ﻫﻤﺎن ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ و ﻧﺸﺎن ﻣﯿﺪﻫﺪ ﮐﻪ در ﻫﺮ ﺛﺎﻧﯿﻪ ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﺳﯿ ﻨﺎل ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮﭼﻪ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻨﺤﻨ رﺳﻢ ﺷﺪه ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨ واﻗﻌ ﻧﺰدﯾ ﺘﺮ و ﺷﯿﺒﻪ ﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .٢‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫دﺳﺘﻮر ‪ plot‬ﺗﺎﺑﻊ )‪ sin(x‬را در ﺑﺎزه ذﮐﺮ ﺷﺪه رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬ﻃﻮل ﺑﺎزه ﻫﺎرا ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 0.05‬ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪(.‬‬
‫‪ .٣‬ﺑﻪ ﮐﻤ دﺳﺘﻮر ‪ plot‬ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را در ﺑﺎزه ﻫﺎی ذﮐﺮ ﺷﺪه رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬ﺳﭙﺲ ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ راﻫﻨﻤﺎﯾﯽ ﺑﺮای ﺷ ﻞ‬
‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻧﺎم ای ﺑﺮای ﻧﻤﻮدار اﻧﺘﺨﺎب و ﻣﺤﻮر ﻫﺎی ﺷ ﻞ را ﻧﺎم ﮔﺬاری ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫‪0 ≤ t ≤ 10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪۵‬‬
‫‪t2‬‬
‫) (‪cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− t2‬‬
‫‪x(t) = e‬‬
‫)ب(‬
‫‪−5 ≤ t ≤ 5‬‬
‫‪cos(t) t < 0‬‬
‫‪sin(t) 0 ≤ t‬‬
‫‪,‬‬
‫)ج(‬
‫‪0≤t≤4‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﯿﺨﻮاﻫﯿﻢ ﯾ‬
‫ﻣﺘﻠﺐ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫= )‪y(t‬‬
‫√‬
‫‪z(t) = x(t)2 + y(t)2‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ از ﺗﺎﺑﻊ ‪ stem‬در‬
‫دﺳﺘﻮر ‪ stem‬ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫‪π‬‬
‫) ‪x[n] = 5n2 − 3 sin(n‬‬
‫‪4‬‬
‫)ب(‬
‫‪٢.٢‬‬
‫{‬
‫‪ejn − e−jn‬‬
‫= ]‪z[n‬‬
‫‪2j‬‬
‫آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎر ‪ if‬و‬
‫‪f or‬‬
‫ﺳﺎﺧﺘﺎر اﯾﻦ دﺳﺘﻮرات ﺑﺴﯿﺎر ﺷﺒﯿﻪ زﺑﺎن ﻫﺎی ﻣﺮﺳﻮم ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﯾﺴ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫ﺣﻠﻘﻪ ‪ for‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪i=j‬‬
‫‪i ̸= j‬‬
‫}‪i, j ∈ {1, 2, ...., 5‬‬
‫‪ .٢‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺑﺎ ﮐﻤ‬
‫‪i2 + j‬‬
‫‪2i + j!i‬‬
‫ﺣﻠﻘﻪ ‪ for‬ﺑﺴﺎزﯾﺪ و آﻧﺮا در ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ M‬ﺿﺮب ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬از ∗‪ .‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪(.‬‬
‫‪‬‬
‫‪7 11‬‬
‫‪11 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪٣.٢‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫)‪sin(πt‬‬
‫‪πt‬‬
‫= )‪x(t) = sinc(t‬‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ ‪.‬‬
‫‪.٢‬‬
‫)‪y(t) = x(t − 3‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪w(t) = x(− + 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪۶‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪ 3 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪N =‬‬
‫‪ 5 7‬‬
‫‪ 7 11‬‬
‫‪11 2‬‬
‫‪ .٣‬دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪.١‬‬
‫{‬
‫= )‪M (i, j‬‬
‫‪۴.٢‬‬
‫ﺗﺎﺑﻌ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ را درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪.x(t) :۴‬‬
‫‪ .١‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫)‪y(t) = x(t − 2‬‬
‫)‪z(t) = x(−2t‬‬
‫)ج(‬
‫)‪w(t) = x(−t + 1‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪۵.٢‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﻔﺎﺿﻠ ﺑﺎ ﺿﺮﯾﺐ ﺛﺎﺑﺖ ﺧﻄ‬
‫ﯾ از ﻓﺮمﻫﺎی ﻧﻤﺎﯾﺶ ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎی ‪ LTI‬ﻓﺮم ‪ LCCDE‬ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ ﮐﻪ راﺑﻄﻪی ورودی و ﺧﺮوﺟ را ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫زﯾﺮ ﺑﯿﺎن ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫‪a0 = 1‬‬
‫]‪Bk x[n − k‬‬
‫‪N‬‬
‫∑‬
‫= ]‪ak y[n − k‬‬
‫‪i=0‬‬
‫‪M‬‬
‫∑‬
‫‪k=0‬‬
‫ﻣﺪل ﺑﺎﻻ در ﻣﺘﻠﺐ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ی )‪ y = f ilter(a, b, x‬داده ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ در آن ] ‪ a = [1 a1 a2 ...aM‬و‬
‫] ‪ b = [b0 b1 ...bN‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ دﺳﺘﻮر ‪ impz‬و ‪ stepz‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﭘﺎﺳﺢ ﺿﺮﺑﻪ و ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻪ ی ﺳﯿﺴﺘﻢ‬
‫را ﺑﻪ ﺷﻤﺎ ﻣ دﻫﺪ‪.‬‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻤ ﺑﺎ ﺑﻠﻮک دﯾﺎﮔﺮام زﯾﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺳﯿﺴﺘﻤﻬﺎی ‪ h1‬ﺗﺎ ‪ h4‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻮﺻﯿﻒ ﺷﺪه اﻧﺪ‪:‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪:۵‬‬
‫راﺑﻄﻪ ﺑﯿﻦ ﺧﺮوﺟ و ورودی ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ h1‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫]‪x1 [n] = −x1 [n − 1] + x[n] + 2x[n − 1‬‬
‫راﺑﻄﻪ ﺑﯿﻦ ﺧﺮوﺟ و‬
‫ورودی ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ h2‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫]‪x2 [n] = −3x2 [n − 1] − 2x2 [n − 2] + x1 [n] + 2x1 [n − 1‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ h3‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ]‪ h3 [n] = 2δ[n − 1‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ h4‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ]‪ h4 [n] = ( 31 )n u[n] − u[n − 10‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺎﻣ ﺧﺮوﺟﯿﻬﺎ را در ﺑﺎزه ی ‪ 0 ≤ n ≤ 20‬ﻣﻨﺎﺳﺐ رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳ ﻮن اوﻟﯿﻪ و اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺎﺑﻊ ‪ filter‬ﭘﺎﺳﺦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ h1‬را ﺑﻪ ورودی ]‪ x[n‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ و آن را ]‪ x1 [n‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‬
‫و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دﺳﺘﻮر ‪ stem‬رﺳﻢ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬دو ﺳﯿ ﻨﺎل ]‪ x3 [n‬و ]‪ x4 [n‬را ﺑﺎ ﻫﻢ ﺟﻤﻊ ﮐﻨﯿﺪ و ﻧﺘﯿﺠﻪ را ]‪ x5 [n‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ و آن را رﺳﻢ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٣‬ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﮐﻠ را ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳ ﻮن اوﻟﯿﻪ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دﺳﺘﻮر ‪ impz‬ﺑﻪدﺳﺖ آورده و رﺳﻢ ﻧﻤﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٨‬‬
‫‪ ۶.٢‬اﻣﺘﯿﺎزی‪:‬‬
‫ﺗﺎﺑﻌ ﺑﻪ ﺻﻮرت )‪ f ilter(width‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺑﺎرﮔﺰاری ﻓﺎﯾﻞ ‪ noisyData.mat‬ﻣﻨﺤﻨ ﮔﺬرﻧﺪه از اﯾﻦ ﻧﻘﺎط را‬
‫ﺑﺎ ﺗﻼش در ﺣﺬف ﻧﻮﯾﺰ رﺳﻢ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﻣﻘﺪار‪ width‬ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯿ ﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎزه ﺗﺨﻤﯿﻦ ﻣﺎ ﭼﻘﺪر‬
‫ﺗﺨﻤﯿﻦ از ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﮔﯿﺮی اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل اﮔﺮ ‪ width = 5‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ ﻓﺮاﺧﻮاﻧ داﺧﻞ ﺣﻠﻘﻪ‬
‫)ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای‬
‫(‬
‫)‪ mean x(i − 2 : i + 2‬ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‪ ۵‬ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺘﻮاﻟ را ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺤﻨ ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﺮای اﯾﻦ ﻧﻘﺎط را ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ‬
‫ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﻗﺮار ﻣﯿﺪﻫﯿﻢ‪ (.‬ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ای ازﯾﻦ ﻋﻤﻠ ﺮد اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪:‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪:۶‬‬
‫‪٩‬‬