‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺳﯿ ﻨﺎل ﻫﺎ و ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﭼﻬﺎرم‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ ‪ :‬ﺷﻨﺒﻪ ‪ ١٨‬اردﯾﺒﻬﺸﺖ ‪ ١٣٩۵‬ﺳﺎﻋﺖ ‪١۵‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻧﮑﺘﻪ‪:‬‬
‫•‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺗﺌﻮری را ﺑﺮ روی ﮐﺎﻏﺬ در ﻣﻬﻠﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺪﻫﯿﺪ ‪ .‬ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ از ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ در ﮐﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺮﯾﻨ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ داﻧﺸﺠﻮ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ‬
‫در ﮐﻞ ﺗﺮم ﺳﻪ ﺑﺎر ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺌﻮری ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺪون ﮐﺴﺮ ﻧﻤﺮه ﺗﺤﻮﯾﻞ دﻫﺪ‬
‫و ﺑﯿﺶ از اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد‪ ،‬ﺗﺎﺧﯿﺮ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫•‬
‫ﻫﻤﻔﮑﺮی راه ﺧﻮﺑﯽ ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﺷﻬﻮد ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻧﻬﺎﯾﺘﺎ ﺧﻮدﺗﺎن راه ﺣﻞ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬از‬
‫ﺗﻘﻠﺐ ﮐﺮدن ﺑﭙﺮﻫﯿﺰﯾﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺳﯿﺎﺳﺖ ﮐﻠ ﮐﻼس درﻣﻮرد ﺗﻘﻠﺐ اﮔﺮ ﺗﻘﻠﺐ در ﯾ ﺗﻤﺮﯾﻦ از ﻓﺮدی ﮔﺮﻓﺘﻪ‬
‫ﺷﻮد ﻧﻤﺮه ﻧﻬﺎﯾﯽ درس او ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﻟﻄﻔﺎ اﯾﻦ ﺣﺮف را ﺟﺪی ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١.١‬‬
‫ﺑﺨﺶ ﺗﺌﻮری‬
‫ﺳﻮال اول‬
‫ورودی و ﺧﺮوﺟ ﯾ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎ راﺑﻄﻪی زﯾﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪e(t−τ ) x(τ − 2)dτ‬‬
‫∫‬
‫= )‪y(t‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ .١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺎﻻ ‪ LTI‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .٣‬ﺑﻪ ازای ورودی زﯾﺮ‪ ،‬ﺧﺮوﺟ ﺳﯿﺴﺘﻢ را ﯾ ﺑﺎر ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮐﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ و ﯾ ﺑﺎر ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬
‫در راﺑﻄﻪی داده ﺷﺪه ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫)‪x(t) = u(t + 1) − u(t − 2‬‬
‫‪١‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪٢.١‬‬
‫ﺳﻮال دوم‬
‫ورودی )‪ x(t‬و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ )‪ h(t‬ﯾ‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ‪ LTI‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﺑﻪ ازای ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ t‬ﻣﻘﺪار ﺧﺮوﺟ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﻣﯿﺸﻮد؟‬
‫‪ .٢‬ﻣﻘﺪار ﺧﺮوﺟ را در ‪ t = 1‬ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪ :١‬ورودی و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ‬
‫‪٣.١‬‬
‫ﺳﻮال ﺳﻮم‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ x(t‬ﯾ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ دﻟﺨﻮاه در ﺣﻮزه زﻣﺎن و )‪ X(ω‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی آن ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬اﮔﺮ )‪ x(t‬ﮐﺎﻣﻼ ﻣﻮﻫﻮﻣ ﺑﺎﺷﺪ)ﻗﺴﻤﺖ ﺣﻘﯿﻘ آن ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬
‫)‪X ∗ (ω) = −X(−ω‬‬
‫‪ Y (ω) = X (5 − 4ω) .٢‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ﭼﻪ ﺳﯿ ﻨﺎﻟ اﺳﺖ ؟‬
‫‪ ۴.١‬ﺳﻮال ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﮔﺎوﺳ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫‪e− 2σ2‬‬
‫‪2πσ‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی آن )‪ F (ω‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ )‪ g(ω) = A × F (ω‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ در آن ‪ A‬ﯾ‬
‫ﺑﻬﻨﺠﺎرش اﺳﺖ ﺗﺎ )‪ g(ω‬ﯾ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎل روی ‪ ω‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺿﺮﯾﺐ‬
‫راﺑﻄﻪ ی ﺑﯿﯿﻦ اﻧﺤﺮاف ﻣﻌﯿﺎر ﻫﺎی اﯾﻦ دو ﺗﻮزﯾﻊ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت ﺟﺎﻟﺐ ‪:‬‬
‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻣﯿﺪاﻧﯿﺪ در ﻣ ﺎﻧﯿ ﮐﻮاﻧﺘﻮﻣ ﻣﺒﻨﺎی ﻫﻤﻪ ﭼﯿﺰ اﺣﺘﻤﺎﻻت اﺳﺖ و در آن ﺑﺮای ﻣ ﺎن و ﺗﮑﺎﻧﻪ‬
‫ی ذرات ﯾ ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎل در ﻧﻈﺮ ﻣﯿ ﯿﺮﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رواﺑﻂ ﻣ ﺎﻧﯿ ﮐﻮاﻧﺘﻮﻣ ﻣ ﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﮐﺮد ﮐﻪ‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣ ﺎن و ﺗﮑﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی ﯾ ﺪﯾ ﺮ اﻧﺪ‪ .‬ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﺮدﯾﺪ ﻣﯿﺘﻮان‬
‫‪٢‬‬
‫ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻣﯿﺰان ﻋﺪم ﻗﻄﻌﯿﺖ در ﻣ ﺎن ) ‪ (σx‬و ﻣﯿﺰان ﻋﺪم ﻗﻄﻌﯿﺖ در ﺗﮑﺎﻧﻪ ) ‪ (σp‬ﺑﺮای ﺗﻮزﯾﻊ‬
‫ﮔﺎوﺳ ﯾ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﯿﺘﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ اﯾﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﺮای ﻫﻤﻪ ی ﺗﻮزﯾﻊ ﻫﺎی دﯾ ﺮ ﻫﻢ از‬
‫ﻣﻘﺪار ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﮔﺎوﺳ ﮐﻤﺘﺮ ﻧﻤ ﺷﻮد‪ ،‬ﮐﻪ اﯾﻦ ﺑﯿﺎﻧ از اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﯿﺖ ﻫﺎﯾﺰﻧﺒﺮگ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪σx × σp ≥ ~/2‬‬
‫‪۵.١‬‬
‫ﺳﻮال ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ﺳﯿ ﻨﺎﻟﻬﺎی زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪:‬‬
‫‪.١‬‬
‫)‪x(t) = e−4|t| cos(5πt‬‬
‫‪.٢‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x(t) = 2‬‬
‫‪t +1‬‬
‫‪.٣‬‬
‫‪t ≤ − 12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪− 12 < t‬‬
‫‪<t‬‬
‫‪.۴‬‬
‫‪.۵‬‬
‫‪۶.١‬‬
‫‪.٢‬‬
‫‪.٣‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0<t<1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 + t2‬‬
‫‪o.w.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪x(t‬‬
‫)‪sin2 (t‬‬
‫‪x(t) = t‬‬
‫‪πt2‬‬
‫ﺳﻮال ﺷﺸﻢ‬
‫ﺳﯿ ﻨﺎل ﻫﺎی ﺣﻮزه زﻣﺎﻧ ﻫﺮ ﯾ‬
‫‪.١‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫= )‪x(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ )ﻋﮑﺲ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ(‬
‫‪e6jω‬‬
‫= )‪X(jω‬‬
‫‪(3 + jω)2‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪X(jω‬‬
‫‪2 + 3jω − ω 2‬‬
‫)‪sin2 (3ω) · cos(ω‬‬
‫= )‪X(jω‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪٧.١‬‬
‫ﺳﻮال ﻫﻔﺘﻢ )اﻣﺘﯿﺎزی(‬
‫در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻣﯿﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﭘﺪﯾﺪه ی ﭘﺮاش ‪ ١‬در اﭘﺘﯿ و راﺑﻄﻪ ی آن ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ﺑﭙﺮدازﯾﻢ‪.‬‬
‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﮐﻪ در ﺳﺮ ﮐﻼس ﻫﻢ اﺳﺘﺎد اﺷﺎره ﮐﺮدﻧﺪ ﻣﯿﺘﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺷ ﻞ ﺣﺎﺻﻞ از ﭘﺮاش از ﯾ‬
‫ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی آن ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﻣﯿﺨﻮاﻫﯿﻢ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺳﺎده ﺷﺪه و در ﯾ‬
‫ﺗﺼﻮﯾﺮ‪،‬‬
‫ﺑﻌﺪ ﺑﭙﺮدازﯾﻢ‪.‬‬
‫ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ از ﺷ ﺎف را ﯾ ﻣﻨﺒﻊ ﻣﻮج ﮐﺮوی ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ی زﯾﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﺑﻪ ﮐﻤ ﺗﻘﺮﯾﺐ ‪ D >> a‬و اﻧﺘﮕﺮال ﮔﯿﺮی‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺷ ﻞ ﺣﺎﺻﻞ از ﺷ ﺎف )ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻟﺲ( ﺑﻪ ﻓﺮم ﺗﺎﺑﻊ ‪) sinc‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻟﺲ( ﺧﻮاﻫﺪ‬
‫ﺑﻮد‪.‬‬
‫)‪ei(kr−ωt+ϕ‬‬
‫‪r‬‬
‫· ‪Ψ(r, t) = A‬‬
‫ﭼﻪ اﯾﺪه ای ﺑﺮای ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪ ی ﺗﻮاﺑﻊ دﯾ ﺮ دارﯾﺪ ؟‬
‫ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻤﻮم ﻣﺮﺗﺒﻪ ی ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗ در اﯾﻨﺠﺎ ﻓﮑﺮ ﮐﻨﯿﺪ !!‬
‫ﺷ ﻞ ‪ :٢‬ﻃﺮح ﺗﺪاﺧﻠ ﭘﺮاش‬
‫‪١ http://www.https://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction‬‬
‫‪۴‬‬