‫ﺑﺎﺳﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟﯽ‬
‫آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل اول ‪٩۴-٩۵‬‬
‫دﮐﺘﺮ ﻣﻄﻬﺮی‬
‫داﻧﺸﮑﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ و ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺨﺶ ﻣﺴﺎﯾﻞ‪ - ٩۴/٩/٢٢ :‬زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺨﺶ ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزی‪٩۴/٩/٢٧ :‬‬
‫ﻣﺴﺎﯾﻞ‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اول‬
‫ﯾﮏ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬دارای ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ درﺑﺎزه ی ]‪ [+٢, −٢‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ Y‬و ‪ Z‬ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎﻟﯽ ‪W = ZY‬‬
‫را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪Y = ١ − X٢‬‬
‫)‪Z = ln(X‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ دوم‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ) ‪ Z = min(X, Y‬و ) ‪:W = max(X, Y‬‬
‫اﻟﻒ‪ -‬اﮔﺮ ‪ X‬دارای ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﻤﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ α‬و ﺗﻮزﯾﻊ ‪ Y‬ﻧﯿﺰ ﻧﻤﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ (α ̸= β) β‬و ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ﻣﺸﺘﺮک‬
‫‪ Z‬و ‪ W‬و ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ﺣﺎﺷﯿﻪ ای ‪ Z‬و ‪ W‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ب‪ -‬اﮔﺮ ‪ X‬دارای ﺗﻮزﯾﻊ ﭘﻮاﺳﻮن ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ α‬و ﺗﻮزﯾﻊ ‪ Y‬ﻧﯿﺰ ﻧﻤﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ β‬و ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺸﺘﺮک ‪ Z‬و ‪ W‬را ﺑﻪ‬
‫دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺳﻮم‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ‪ X‬ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮزﯾﻊ )‪ f (X‬دارد‪ .‬ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار }|‪ E {|X − y‬ﺑﺮای ﭼﻪ ﻣﻘﺪاری از ‪ y‬ﮐﻤﯿﻨﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭼﻬﺎرم‬
‫{‬
‫}‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬ﮐﻤﺘﺮ از ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ‪ E eλX = ١‬و ‪ ،λ ̸= ٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ‪ λ‬ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ از ﺻﻔﺮ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻨﺠﻢ‬
‫‪ .١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ ﮐﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ θ‬دارای ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ در ﺑﺎزه ]‪ [٠, ٢π‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ )‪ X = sin(θ‬و‬
‫)‪ Y = cos(θ‬ﻧﺎﻫﻤﺒﺴﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬اﮔﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﮐﻪ ‪ ،COV (X, Y ) = ٠‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬
‫) ‪V ar(X) − V ar(Y‬‬
‫) ‪V ar(X) + V ar(Y‬‬
‫= ) ‪ρ(X + Y, X − Y‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺷﺸﻢ‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﻮزﯾﻊ ﺗﻮاﻣﺎن اﯾﻦ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ روی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ی )‪ (٠, ٠) ،(١, ٠) ،(٠, ١‬و )‪ (١, ١‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ اﺳﺖ‪ .‬وارﯾﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ Z = X + Y‬را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻫﻔﺘﻢ‬
‫ﮐﻼﺳﯽ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ اﻋﻀﺎي ﮐﻼس را ﺑﻪ ‪ ٣‬ﮔﺮوه ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﺮدﻫﺎﯾﻢ‪ .‬ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﻤﺮات اﻣﺘﺤﺎﻧﺎت داﻧﺸﺂﻣﻮزان اﯾﻦ ﮔﺮوه ﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ۴٠‬و‬
‫‪ ۵٠‬و ‪ ۶٠‬اﺳﺖ‪ .‬داﻧﺶ آﻣﻮزی را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺼﺎدﻓﯽ از اﯾﻦ ﮐﻼس اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻧﻤﺮه ی اﻣﺘﺤﺎن داﻧﺶ آﻣﻮز اﻧﺘﺨﺎب‬
‫ﺷﺪه و ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ Y‬را ﺷﻤﺎره ی ﮔﺮوﻫﯽ ﮐﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز در آن اﺳﺖ در ﻧﻈﺮ ﻣﯽ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪V ar(X|Y = y) = ۵y‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١‬اﻣﯿﺪرﯾﺎﺿﯽ و وارﯾﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ) ‪ Z = E(X|Y‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬اﻣﯿﺪرﯾﺎﺿﯽ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ) ‪ W = V ar(X|Y‬را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫ﺷﺒﯿﻪ ﺳﺎزی‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اول‬
‫ﺗﺎﺑﻊ دو ﻣﺘﻐﯿﺮه ﻧﺮﻣﺎل را در ﺣﺎﻻت زﯾﺮ رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ از ﻫﺮ ﮐﺪام از ﺗﻮزﯾﻊ ﻫﺎ ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﯿﺪ و در ﯾﮏ ﺻﻔﺤﻪی دو ﺑﻌﺪی‬
‫ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫‪µX = µY = ٠ , σX = σY = ١ , ρXY = ٠ .١‬‬
‫‪µX = µY = ٠ , σX = σY = ١ , ρXY = ٠٫٩ .٢‬‬
‫‪µX = µY = ٠ , σX = ١ , σY = ٢ , ρXY = ٠ .٣‬‬
‫‪µX = µY = ٠ , σX = ١ , σY = ٢ , ρXY = ٠٫٩ .۴‬‬
‫ﻧﮑﺘﻪ‪ :‬در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﮐﺎﻣﻼ آزاد ﻫﺴﺘﯿﺪ از ﻫﺮ ﭘﮑﯿﺞ دﻟﺨﻮاه اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٢‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ دوم‬
‫درون ﯾﮏ ﺑﯿﻀﯽ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪی ‪ x٢ + ۴y ٢ ≤ ١‬ﻧﻘﺎط ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﯿﺪ‪) .‬ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ از ﻧﻈﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ( ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺗﻌﺪاد زﯾﺎدی ﻧﻘﻄﻪ‬
‫ﻫﯿﺴﺘﻮﮔﺮام و ﻧﯿﺰ ﺗﺼﻮﯾﺮ دو ﺑﻌﺪی آن را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺳﻮم‬
‫روﺷﯽ ﺑﺮای ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻧﻘﺎط از ﺗﻮزﯾﻊ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪای اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ و آن را ﭘﯿﺎدهﺳﺎزی ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﻣﺠﺎز ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﯿﭻ ﭘﮑﯿﺞ و ﯾﺎ ﺗﺎﺑﻊ آﻣﺎدهای‬
‫ﮐﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪای ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﺪ ﻧﻤﯽﺑﺎﺷﯿﺪ و ﺗﻨﻬﺎ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﺪ از ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬روش ﺧﻮدر را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺧﯿﻠﯽ‬
‫ﺧﻼﺻﻪ در ﮔﺰارش ذﮐﺮ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺗﻮزﯾﻊ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی زﯾﺮ را )ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﻘﺮﯾﺒﯽ( رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ u, v, x, y‬ﻫﻤﮕﯽ ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ در ﺑﺎزهی ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ ١‬دارﻧﺪ‪.‬‬
‫‪u + v .١‬‬
‫‪u + v + x .٢‬‬
‫‪u + v + x + y .٣‬‬
‫‪u − v .۴‬‬
‫‪u − v + x .۵‬‬
‫‪u − v + x − y .۶‬‬
‫‪u − v + x + y .٧‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﮐﺪام از ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﻫﺎی زﯾﺮ ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ آﯾﺎ ﯾﮏ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﮐﻮارﯾﺎﻧﺲ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺮای ﺗﻮزﯾﻊ ﭼﻨﺪﻣﺘﻐﯿﺮه ﻧﺮﻣﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ ﯾﺎ ﺧﯿﺮ‪ .‬ﺟﻮاب ﺧﻮد را‬
‫در ﺧﻄﻮط ﻓﺎﯾﻞ ”‪ ”P4‬ﺑﺎ ‪ ١‬و ‪ ٠‬ﺑﻪ ﺟﺎی »ﺑﻠﻪ« و »ﺧﯿﺮ« ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ در ﮔﺰارش ﺧﻮد ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﺎﻣﻼ ﺧﻼﺻﻪ روش ﭘﺎﺳﺦ دادن ﺧﻮد‬
‫را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﺎﻣﻼ ﺧﻼﺻﻪ ذﮐﺮ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٣‬‬
‫اﻣﺘﯿﺎزی‬
‫ﺗﻮزﯾﻊ ﻧﺮﻣﺎل ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮه را اﮔﺮ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮ آن ﺷﺮﻃﯽ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺎز ﻫﻢ ﻧﺮﻣﺎل ﻣﯽﺷﻮد‪ .‬در اﯾﻦ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣﯽﺧﻮاﻫﯿﻢ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع را ﻋﻤﻼ‬
‫ﺑﺒﯿﻨﯿﻢ‪ .‬ﯾﮑﯽ از ﻣﺎﺗﺮﯾﺲﻫﺎی ﻣﻌﺘﺒﺮ ﮐﻮارﯾﺎﻧﺲ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮهی ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮ را ﺻﻔﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺷﺮﻃﯽ‬
‫ﮐﺮدن ﺑﺮ روی دو ﺗﺎ از ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ و رﺳﻢ ﻫﯿﺴﺘﻮﮔﺮام ﺳﻌﯽ ﮐﻨﯿﺪ ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻮدن آن را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺳﻌﯽ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺎ ﺷﺮﻃﯽ ﮐﺮدن ﺑﺮ روی ﯾﮑﯽ از‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ ﻧﺮﻣﺎل ﺑﻮدن ﺗﻮزﯾﻊ ﺗﻮأم روی دو ﻣﺘﻐﯿﺮ دﯾﮕﺮ را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪۴‬‬