‫«به نام خدا»‬
‫تمرین سری چهارم‬
‫درس شبکههای اجتماعی و اقتصادی‬
‫موعد تحویل‪ ۱۹ :‬اردیبهشت ‪۱۳۹5‬‬
‫‪۲‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.۱‬‬
‫نشان دهید که تابع‬
‫‪۳‬‬
‫𝑛 = )𝑛(𝑡 برای ویژگی «وجود یک زیرگراف کامل ‪ ۴‬راسی» برای پارامتر ‪ p‬در مدل ‪ Poisson‬یک تابع‬
‫‪ Threshold‬است‪.‬‬
‫‪ .۲‬تمرین ‪ ۴.۱۰‬از کتاب ‪Jackson‬‬
‫‪.۳‬‬
‫با استفاده از شبیهسازی مدل ‪ Poisson‬برای ایجاد شبکهای با ‪ ۱۰۰۰‬راس اقدام کنید و سپس‪:‬‬
‫‪ .a‬نموداری که متوسط اندازه ‪ Giant Component‬را برای ‪p‬های مختلف نشان دهد را نشان دهید‪ .‬برای ‪ p‬تمامی‬
‫مقادیر بین ‪ ۰‬و ‪ ۱‬و مضرب ‪ ۰.۰۱‬را در نظر بگیرید (جمعا ‪ ۱۰۰‬مقدار)‪ .‬برای متوسط گیری نیز برای هر مقدار ‪۱۰ ،p‬‬
‫گراف ایجاد کنید و متوسط اندازه ‪ Giant Component‬این ‪ ۱۰‬گراف را گزارش کنید‪.‬‬
‫‪ .b‬با استفاده از روشی که در بخش ‪ ۴.۲.5‬کتاب ‪ Jackson‬آموختیم‪ ،‬نموداری تهیه کنید که اندازه ‪Giant‬‬
‫‪ Component‬را در این مدل به ازای تمامی مقادیر ‪ p‬که در بخش ‪ a‬گفتیم محاسبه کند‪.‬‬
‫‪.c‬‬
‫میزان خطای روش ارائهشده در بخش ‪ ۴.۲.5‬با شبیهسازی واقعی چقدر است؟‬
‫توجه کنید که هر دو نمودار بخش ‪ a‬و ‪ b‬را میتوانید در یک نمودار نشان دهید‪.‬‬
‫‪ .۴‬در مدل تشکیل شبکه ‪ Meeting-Based‬که در صفحه ‪ ۱۴5‬کتاب ‪ ،Jackson‬معادله دیفرانسیل تغییر درجه ورودی راسها به‬
‫شکل زیر بیان شده است‪:‬‬
‫)𝑡( 𝑛𝑖𝑖𝑑 𝑛𝑚 𝑟𝑚 )𝑡( 𝑛𝑖𝑖𝑑𝑑‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡‬
‫𝑡𝑚‬
‫با محاسبه نشان دهید که تابع توزیع تجمعی درجه ورودی راسها در این مدل با فرمول زیر قابل محاسبه است‪:‬‬
‫)𝑟‪−(1+‬‬
‫)𝑚𝑟 ‪𝐹(𝑑𝑖𝑛 ) = 1 − (𝑟𝑚)1+𝑟 (𝑑𝑖𝑛 +‬‬
‫‪ .5‬تمرین ‪ 5.۳‬از کتاب ‪Jackson‬‬
‫‪.6‬‬
‫برنامهای بنویسید که مدل ‪ Hybrid Preferential Attachment‬را شبیهسازی کند (برای ‪ 𝑚 = ۱۰‬و ‪ 𝑡 = ۱۰۰۰‬و از‬
‫شبکه کامل ‪ ۱۱‬راسی نیز آغاز کنید)‪ .‬سپس‪:‬‬
‫‪۱ ۱ ۲‬‬
‫‪ .a‬نمودار توزیع تراکمی شبکه حاصل را برای و و = 𝛼 را در زمانهای ‪ ۱۰۰۰‬و ‪ 5۰۰‬و ‪ 𝑡 = ۱۰۰‬نمایش دهید (جمعا‬
‫‪۳ ۲ ۳‬‬
‫‪ ۹‬نمودار)‬
‫‪ .b‬با استفاده از فرمول توزیع تراکمی در بخش ‪ 5.۳.۲‬کتاب ‪ Jackson‬نمودار توزیع تراکمی این گراف را برای مقادیر 𝛼 و‬
‫𝑡 بیانشده در قسمت ‪ a‬نمایش دهید (جمعا ‪ ۹‬نمودار)‬
‫‪.c‬‬
‫نمودارهای بخش ‪ a‬و ‪ b‬را با یکدیگر مقایسه کنید (میتوانید دو نمودار مربوط به مقادیر 𝛼 و ‪ t‬یکسان را در یک نمودار‬
‫نشان دهید)‬
‫نکات‪:‬‬
‫‪‬‬
‫تمرینات را به صورت کاغذی (فیزیکی‪ )Hard Copy-‬نوشته و سر کالس درس تحویل دهید‪.‬‬
‫‪‬‬
‫در صورت تحویل تمرینات بعد از موعد تحویل (بعد از پایان کالس) به ازای هر روز تاخیر ‪ ۲۰‬درصد پنالتی در نظر گرفته خواهد‬
‫شد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫در صورت عدم دسترسی به استاد درس برای تحویل تمرین‪ ،‬نسخه الکترونیکی تمرینات را به‬
‫‪ [email protected]‬ایمیل کرده و تمرینات را در اولین فرصت سر کالس به صورت کاغذی تحویل‬
‫دهید‪.‬‬
‫موفق باشید ‪‬‬