‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی اول‬
‫ﺷﻤﺎرش و اﺣﺘﻤﺎل‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ۴ :‬اﺳﻔﻨﺪ ﻣﺎه‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬اﺗﺤﺎد ﺷ ﻔﺖاﻧ ﯿﺰ!‬
‫اﻟﻒ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دوﮔﻮﻧﻪﺷﻤﺎری ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺑﻪ ازای اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ‪:٠ ⩽ i ⩽ j ⩽ n‬‬
‫( ) () (‬
‫) ()‬
‫‪n j‬‬
‫‪n−i n‬‬
‫=‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j−i‬‬
‫‪i‬‬
‫راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ از ﺑﯿﻦ ‪ n‬اﺳﺘﺎد ﻫﯿﺌﺖ ﻋﻠﻤ داﻧﺸ ﺪه ﻗﺮار اﺳﺖ ‪ j‬ﻧﻔﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﮐﻤﯿﺘﻪی‬
‫آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮﻧﺪ و از ﺑﯿﻦ اﯾﻦ ‪ j‬ﻧﻔﺮ ‪ i‬ﻧﻔﺮ ﺑﻪ ﮐﻤﯿﺘﻪی ﻣﺮﮐﺰی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺎه ﻣﻌﺮﻓ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪاد راهﻫﺎی اﻧﺠﺎم اﯾﻦ ﻋﻤﻞ را ﺑﻪ دو روش ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ و ﺑﺮاﺑﺮی ﻓﻮق را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ ﺑﺮای ‪ i < n‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫) (‬
‫‪n n−i‬‬
‫‪٢‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫) () ( ‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j=i‬‬
‫ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺴﻤﺖ اول ﺑﺮای ‪ i < n‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫) () ( ‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n j‬‬
‫‪(−١)n−j = ٠‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫)(‬
‫) (‬
‫اﻟﻒ( ﺑﻪ ‪ nj‬روش ﻣ ﺗﻮان ﮐﻤﯿﺘﻪی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد و از اﯾﻦ ﮐﻤﯿﺘﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ‪ ji‬روش ﻣ ﺗﻮان اﻋﻀﺎی‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد‪ .‬ﭘﺲ ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﺿﺮب ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﺣﺎﻻت اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻤﯿﺘﻪی ﻣﺮﮐﺰی و ﮐﻤﯿﺘﻪی‬
‫ﮐﻤﯿﺘﻪی ﻣﺮﮐﺰی را) ‪(n)(j‬‬
‫آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه ‪ j i‬اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﯿﻦ ﺗﻌﺪاد را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻃﺮﯾﻘ دﯾ ﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻤﯿﺘﻪی‬
‫) (‬
‫ﻣﺮﮐﺰی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺎه ‪ ni‬روش دارﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب دﯾ ﺮ اﻋﻀﺎی ﮐﻤﯿﺘﻪی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه ﺑﺎﯾﺪ ‪ j − i‬ﻧﻔﺮ‬
‫) (‬
‫‪ n−i‬روش ﺑﺮای‬
‫را از ﺑﯿﻦ اﻋﻀﺎی ﻫﯿﺌﺖ ﻋﻠﻤ ﮐﻪ ﻋﻀﻮ ﮐﻤﯿﺘﻪی ﻣﺮﮐﺰی ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﭘﺲ در ﮐﻞ‬
‫‪j−i‬‬
‫اﻧﺘﺨﺎب دﯾ ﺮ اﻋﻀﺎی ﮐﻤﯿﺘﻪی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه دارﯾﻢ‪ .‬از اﯾﻦ دو روش ﺷﻤﺮدن ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻤﯿﺘﻪی‬
‫ﺗﺴﺎوی‬
‫ﺷﻮد‪( )( :‬‬
‫زﯾﺮ ﻧﺘﯿﺠﻪ(ﻣ )‬
‫()‬
‫ﻣﺮﮐﺰی و ﮐﻤﯿﺘﻪی آﻣﻮزش داﻧﺸ ﺪه‪) ،‬‬
‫‪n j‬‬
‫‪n−i n‬‬
‫=‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j−i‬‬
‫‪i‬‬
‫ب( ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﺗﺴﺎوی ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪه در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ‪ ،‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫∑) (‬
‫∑) ( )‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫( ‪n‬‬
‫( ‪n−i‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪n j‬‬
‫‪n−i n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−i‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i k=٠‬‬
‫‪k‬‬
‫‪j=i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫)‪∑ (n−i‬‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫‪ n−i‬در واﻗﻊ ﺗﻌﺪاد زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ n − i‬ﻋﻀﻮی را ﻣ ﺷﻤﺎرد ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬
‫‪k=٠‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ٢n−i‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n j‬‬
‫‪n n−i‬‬
‫=‬
‫‪٢‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫) ( ∑‬
‫ج( اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ‪ . ni=٠ ni (−١)i = ٠‬ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪای ‪ (١ − ١)n‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫) ( ‪n‬‬
‫) ( ‪n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪n n−i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫= )‪٠ = (١ − ١‬‬
‫= )‪١ (−١‬‬
‫‪(−١)i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=٠‬‬
‫‪i=٠‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻧﺘﯿﺠﻪی ﻗﺴﻤﺖ اول در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺣ ﻢ ﺳﻮال‪ ،‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫)‬
‫) () ( ‪n‬‬
‫() ( ‪n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪n j‬‬
‫‪n n−i‬‬
‫‪n−j‬‬
‫)‪(−١‬‬
‫=‬
‫‪(−١)n−j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪−‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫‪j=i‬‬
‫∑) (‬
‫)‬
‫( ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−i‬‬
‫=‬
‫‪(−١)n−j‬‬
‫‪i j=i j − i‬‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‪×٠=٠‬‬
‫‪i‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﻫﻔﺖ دﻻور‬
‫ﻫﻔﺖ ﺷﻮاﻟﯿﻪی ﺷﺠﺎع دور ﻣﯿﺰ ﮔﺮدی ﻧﺸﺴﺘﻪاﻧﺪ‪ .‬ﺳﻪ ﻧﻔﺮ از آنﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﺼﺎدف اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه و ﺑﺮای ﻧﺎﺑﻮد ﮐﺮدن ﯾ‬
‫اژدﻫﺎی دردﺳﺮﺳﺎز ﻓﺮﺳﺘﺎده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ را ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻧﻔﺮ از اﯾﻦ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﮐﻨﺎر ﯾ دﯾ ﺮ ﻧﺸﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)(‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب ﺳﻪ ﻧﻔﺮ از ﻫﻔﺖ ﻧﻔﺮ‪ ،‬در ﺣﺎﻟﺖ ﮐﻠ ‪ ٧٣‬ﺣﺎﻟﺖ دارﯾﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎﯾﺪ از اﯾﻦ ﻣﯿﺎن ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻟﺖﻫﺎﯾ را‬
‫ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ دﺳﺖﮐﻢ دو ﻧﻔﺮ از ﺳﻪ ﻧﻔﺮ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﮐﻨﺎر ﻫﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺘﻤﻢ اﯾﻦ رویداد را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﯾﻌﻨ اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ رویداد را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ دو ﻧﻔﺮی از اﯾﻦ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﮐﻨﺎر ﯾ دﯾ ﺮ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻫﻔﺖ دﻻور ﺷﻤﺎرهﻫﺎی ﯾ ﺗﺎ ﻫﻔﺖ دارﻧﺪ و ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ دور ﻣﯿﺰ ﮐﻨﺎر ﻫﻢ ﻧﺸﺴﺘﻪاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺷﻤﺎرش‪ ،‬اﺑﺘﺪا‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻧﻔﺮ ﺷﻤﺎرهی ﯾ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻧﻔﺮ ﺷﻤﺎرهی دو و ﻫﻔﺖ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺟﺰو اﻓﺮاد اﻧﺘﺨﺎﺑ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎ ﮐﻤ دﻗﺖ ﻣ ﺗﻮان دﯾﺪ دو ﻧﻔﺮ دﯾ ﺮ اﻓﺮاد ﺳﻮم و ﭘﻨﺠﻢ ﯾﺎ ﺳﻮم و ﺷﺸﻢ ﯾﺎ ﭼﻬﺎرم و ﺷﺸﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫ﺑﻪ ازای ﻫﺮ اﻧﺘﺨﺎب ﺑﺮای ﻧﻔﺮ اول‪ ،‬ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺮای اﻧﺘﺨﺎب دو ﻧﻔﺮ دﯾ ﺮ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﻪ ﺑﺎر‬
‫‪٧×٣‬‬
‫ﺷﻤﺮده ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻﺗ ﮐﻪ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﯿﭻ دو ﻧﻔﺮی ﮐﻨﺎر ﻫﻢ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ ﺑﺎ ‪= ٧‬‬
‫‪٣‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪١‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪١ − ( ٧) = ١ −‬‬
‫= ‪=١−‬‬
‫‪٣۵‬‬
‫‪۵‬‬
‫‪۵‬‬
‫‪٣‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٣‬ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎی ﺗﺤﻮﯾﻠ‬
‫ﺧﺎﻧﻢ ﺷﻠﻮغ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺗﺎزﮔ ﺗﺮم دوم ﺧﻮد را ﺷﺮوع ﮐﺮده اﺳﺖ‪ ۶ ،‬درس اﺧﺘﺼﺎﺻ در اﯾﻦ ﺗﺮم ﺑﺮداﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﻃﺒﻖ‬
‫ﺷﻨﯿﺪهﻫﺎﯾﺶ‪ ،‬ﺑﺮای ﻫﺮ درس ﯾ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺤﻮﯾﻠ در ﻫﻔﺘﻪی ﭘﯿﺶ رو دارد ﮐﻪ ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻫﺮ ﮐﺪام‪ ،‬ﯾ از روزﻫﺎی‬
‫ﺷﻨﺒﻪ ﺗﺎ ﺳﻪﺷﻨﺒﻪ اﺳﺖ‪ .‬او ﻧﻤ داﻧﺪ ﻣﻬﻠﺖ ارﺳﺎل ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻫﺮ درس در ﮐﺪامﯾ از اﯾﻦ ‪ ۴‬روز ﻫﺴﺖ‪ .‬در ﭼﻨﺪ ﺣﺎﻟﺖ او‬
‫در ﻫﺮ ﯾ از روزﻫﺎی ﺷﻨﺒﻪ ﺗﺎ ﺳﻪﺷﻨﺒﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻣ دﻫﺪ؟‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻟﺖﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﺧﺎﻧﻢ ﺷﻠﻮغ روز ﺷﻨﺒﻪ ﻫﯿﭻ ﺗﻤﺮﯾﻨ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ را ﺑﺎ ‪ A٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ‬
‫‪ A٢ ،A١‬و ‪ A٣‬را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺮای روزﻫﺎی ﯾ ﺷﻨﺒﻪ‪ ،‬دوﺷﻨﺒﻪ و ﺳﻪﺷﻨﺒﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﺷﻤﻮل و ﻋﺪم ﺷﻤﻮل‪،‬‬
‫ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻟﺖﻫﺎﯾ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﯾ از ‪ A٢ ،A١ ،A٠‬و ‪ A٣‬رخ ﻧﺪﻫﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪۴ ۶‬‬
‫‪۴ ۶‬‬
‫‪۴ ۶‬‬
‫‪۴ ۶‬‬
‫‪۴ −‬‬
‫‪٣ +‬‬
‫‪٢ −‬‬
‫‪١ = ١۵۶٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬ﺗﺎﺑﻊ ﻋﺠﯿﺐ‬
‫ﺑﺮای ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ ،n‬ﺑﺴﻂ ‪ n‬را در ﻣﺒﻨﺎی ‪ ٢‬ﺑﺪون ﺻﻔﺮﻫﺎی زاﺋﺪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ و )‪ f (n‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻌﺪاد رﻗﻢ ﻫﺎی ﺻﻔﺮ‬
‫آن ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ‪ f (۴) = ٢‬و ‪ .f (۶) = ١‬ﻣﻘﺪار )‪ S = ٢f (١) + ٢f (٢) + · · · + ٢f (٢۵۵‬را‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)‪(m‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد ‪ m‬رﻗﻤ ﮐﻪ در ﺑﺴﻂ دودوﯾ ﺧﻮد دارای ‪ r‬رﻗﻢ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ r‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد ﺑﯿﻦ‬
‫‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ٢۵۵‬ﮐﻪ در ﺑﺴﻂ دودوﯾ ﺧﻮد دارای ‪ r‬رﻗﻢ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫∑ ) (‬
‫) ( ) (‬
‫) ( ‪٧‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪١‬‬
‫‪m‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ··· +‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m=١‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻘﺪار ‪ S‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫)‪S = ٢f (١) + ٢f (٢) + · · · + ٢f (٢۵۵‬‬
‫‪٧‬‬
‫) ( ‪٧‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪m‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫‪٢‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r=٠‬‬
‫‪m=١‬‬
‫(‬
‫)‬
‫∑ ‪٧‬‬
‫‪٧‬‬
‫∑‬
‫‪r m‬‬
‫=‬
‫‪٢‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r=٠ m=١‬‬
‫)‬
‫(‬
‫∑ ‪٧‬‬
‫‪m‬‬
‫∑‬
‫‪m r‬‬
‫‪٢‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪m=١ r=٠‬‬
‫ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪای ‪ (٢ + ١)m‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫) ( ‪m‬‬
‫) ( ‪m‬‬
‫∑‬
‫‪m r m−r ∑ m r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫= )‪٣ = (٢ + ١‬‬
‫‪٢١‬‬
‫=‬
‫‪٢‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r=٠‬‬
‫‪r=٠‬‬
‫ﭘﺲ‬
‫‪٧‬‬
‫‪٨‬‬
‫∑‬
‫‪٣ −١‬‬
‫=‪S‬‬
‫= ‪٣m‬‬
‫‪= ٣٢٨٠‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪−‬‬
‫‪١‬‬
‫‪m=٠‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﺗﯿﺮاﻧﺪازی‬
‫در ﯾ ﻣﺴﺎﺑﻘﻪی ﺗﯿﺮاﻧﺪازی‪ ١٣ ،‬ﻫﺪف ﺳﻔﺎﻟ ‪ ،‬ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬در ﭼﻬﺎر ﺳﺘﻮن ﻗﺮار دارﻧﺪ‪ .‬ﯾ‬
‫ﻣ ﺧﻮاﻫﺪ ﻫﺮ ‪ ١٣‬ﻫﺪف را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻗﺎﻋﺪهﻫﺎی زﯾﺮ ﺑﺸ ﻨﺪ‪:‬‬
‫‪ .١‬ﺗﯿﺮاﻧﺪاز اﺑﺘﺪا ﺑﺎﯾﺪ ﺳﺘﻮﻧ را ﮐﻪ ﻣ ﺧﻮاﻫﺪ ﯾ‬
‫ﺗﯿﺮاﻧﺪاز ﻣﺎﻫﺮ‬
‫ﻫﺪف از آن را ﺑﺸ ﻨﺪ‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺗﯿﺮاﻧﺪاز ﺳﭙﺲ ﺑﺎﯾﺪ ﭘﺎﯾﯿﻦﺗﺮﯾﻦ ﻫﺪف ﺷ ﺴﺘﻪﻧﺸﺪهی ﺳﺘﻮن اﻧﺘﺨﺎﺑ را ﺑﺸ ﻨﺪ‪.‬‬
‫اﮔﺮ اﯾﻦ ﻗﺎﻋﺪهﻫﺎ رﻋﺎﯾﺖ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺳﯿﺰده ﻫﺪف ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺷ ﺴﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ؟‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺳﺘﻮنﻫﺎ را از ﭼﭗ ﺑﻪ راﺳﺖ ﺑﺎ ‪ c ،b ،a‬و ‪ d‬ﻋﻼﻣﺖﮔﺬاری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻫﺮ ﺗﯿﺮاﻧﺪازی ﻣﻌﺘﺒﺮ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﮐﻠﻤﻪای ‪١٣‬‬
‫ﺣﺮﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﭼﻬﺎر ﺣﺮف ‪ ،a‬ﺳﻪ ﺣﺮف ‪ ،b‬ﭘﻨﺞ ﺣﺮف ‪ c‬و ﯾ ﺣﺮف ‪ d‬ﺗﺸ ﯿﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﭼﻨﯿﻦ ﮐﻠﻤﺎﺗ‬
‫ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬
‫!‪١٣‬‬
‫‪= ٣۶٠٣۶٠‬‬
‫!‪۴! × ٣! × ۵! × ١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﻫﺎچ زﻧﺒﻮر ﻋﺴﻞ‬
‫ﮐﻨﺪوی ﻋﺠﯿﺐ ﯾ ﺷﺒ ﻪی ﺳﻪﺑﻌﺪی ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ از ﻣ ﻌﺐﻫﺎی ﺑﻪ ﺿﻠﻊ واﺣﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ زﻧﺒﻮر در ﺗﻨﻬﺎ روز زﻧﺪﮔ ﺧﻮد در‬
‫ﯾ ﺧﺎﻧﻪ از ﮐﻨﺪو ﯾ ﺳ ﺳ ﻋﺴﻞ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ و در ﭘﺎﯾﺎن آن روز ﻣ ﻣﯿﺮد‪ .‬در روز ﺑﻌﺪ در ﻫﺮ ﯾ از ﺷﺶ ﺧﺎﻧﻪای‬
‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺧﺎﻧﻪی اوﻟﯿﻪ ﻣﺠﺎور ﺿﻠﻌ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﯾ زﻧﺒﻮر ﺟﺪﯾﺪ ﺷﺮوع ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﺗﻨﻬﺎ ﯾ زﻧﺒﻮر در ﮐﻨﺪو وﺟﻮد‬
‫دارد‪ .‬ﺑﻌﺪ از ﮔﺬﺷﺖ ﺷﺶ روز در ﺧﺎﻧﻪای ﮐﻪ زﻧﺒﻮر اول ﺷﺮوع ﺑﻪ ﮐﺎر ﮐﺮده اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻨﺪ ﺳ ﺳ ﻋﺴﻞ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ؟‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﻘﺪار ﻋﺴﻠ ﮐﻪ در ﺧﺎﻧﻪ اوﻟﯿﻪ در روز ‪ n‬اُم ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮد ﺑﺮاﺑﺮ ﮔﺸﺖﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ n − ١‬از ﺧﺎﻧﻪی ﻣﺒﺪأ ﺑﻪ‬
‫ﺧﻮدش اﺳﺖ‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ در ﺣﺮﮐﺖ ﺑﻪ ﯾ از ﺷﺶ ﺧﺎﻧﻪی ﻣﺠﺎور ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻘﺪار ﻋﺴﻞ در ﭘﺎﯾﺎن روز ‪ n‬اُم‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻌﺪاد ﮔﺸﺖﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ﮐﻢﺗﺮ از ‪ n‬از ﻣﺒﺪأ ﺑﻪ ﺧﻮدش اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﮔﺸﺖﻫﺎ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ دﻧﺒﺎﻟﻪای از ﺣﺮﮐﺎت در ﯾ از‬
‫ﺷﺶ ﺟﻬﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ در ﻫﺮ ﯾ از ﺳﻪ راﺳﺘﺎی ﺣﺮﮐﺖ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺮﮐﺖﻫﺎ در ﻫﺮ ﯾ از دو ﺟﻬﺖ ﯾ ﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﭼﻨﯿﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪای را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ رﺷﺘﻪای ﻣﺘﺸ ﻞ از ﺣﺮوف ‪ F ،R ،L ،D ،U‬و ‪ B‬ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ‪ U‬ﻫﺎ ﺑﺎ ‪ D‬ﻫﺎ‪،‬‬
‫ﺗﻌﺪاد ‪ L‬ﻫﺎ ﺑﺎ ‪ R‬ﻫﺎ و ﺗﻌﺪاد ‪ F‬ﻫﺎ ﺑﺎ ‪ B‬ﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭼﻨﯿﻦ رﺷﺘﻪای زوج ﺣﺮﻓ اﺳﺖ‪ .‬ﯾﻌﻨ ‪ ۴ ،٢ ،٠‬ﯾﺎ ‪ ۶‬ﺣﺮف‬
‫دارد‪.‬‬
‫در ﮐﻞ ﺳﻪ راﺳﺘﺎ ﺑﺮای ﺣﺮﮐﺖ دارﯾﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن اﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮﻫﺎ ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫!‪٢‬‬
‫!‪١!١‬‬
‫!‪۴‬‬
‫!‪۶‬‬
‫!‪+ ٢!٢‬‬
‫!‪+ ٣!٣‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ دارد و ﺑﺮای ﻫﺮ راﺳﺘﺎ ‪= ٢٨‬‬
‫‪ .١‬ﺗﻨﻬﺎ از ﯾ راﺳﺘﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻧﺘﺨﺎب راﺳﺘﺎ ‪(٣)٣‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ دارﯾﻢ‪ .‬ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﺿﺮب در ﮐﻞ ‪ ١ × ٢٨ = ٨۴‬ﺣﺎﻟﺖ در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ دارﯾﻢ‪.‬‬
‫)(‬
‫‪ .٢‬از دو راﺳﺘﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻧﺘﺨﺎب دو راﺳﺘﺎ ﺑﻪ ‪ ٣٢‬ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای دو راﺳﺘﺎی ﻣﺸﺨﺺ‪ ،‬ﯾﺎ‬
‫از ﻫﺮ راﺳﺘﺎ ﺑﺎﯾﺪ دو ﺣﺮف داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﯾﺎ در ﯾ راﺳﺘﺎ دو و در ﯾ راﺳﺘﺎ ﭼﻬﺎر ﺣﺮف داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪ .‬ﭘﺲ‬
‫!‪۴‬‬
‫!‪۶‬‬
‫!‪ ١!١!١!١‬ﺣﺎﻟﺖ دارد‪ .‬ﻃﺒﻖ اﺻﻞ ﺿﺮب ﺟﻮاب اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ در ﮐﻞ ‪ ١١۵٢‬ﺣﺎﻟﺖ‬
‫!‪+ ٢ × ١!١!٢!٢‬‬
‫‪= ٣٨۴‬‬
‫ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ .٣‬از ﻫﺮ ﺳﻪ راﺳﺘﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤ ﻦ ﮐﻠﻤﻪ ‪ ۶‬ﺣﺮﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﺷﺶ ﺣﺮف ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ در آن‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ ۶! = ٧٢٠‬رﺷﺘﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞ وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻫﯿﭻ ﯾ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫از ﺟﻬﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺸﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﮔﺸﺖ ﻣﻤ ﻦ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺸﺖ ﺑﻪ ﻃﻮل ﺻﻔﺮ‬
‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ در ﮐﻞ ‪ ٨۴ + ١١۵٢ + ٧٢٠ + ١ = ١٩۵٧‬ﮔﺸﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻃﻮل ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ ۶‬از ﻣﺒﺪا ﺑﻪ ﺧﻮدش دارﯾﻢ‪ .‬در‬
‫▷‬
‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ ١٩۵٧‬ﺳ ﺳ ﻋﺴﻞ در ﻣﺒﺪأ وﺟﻮد ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٧‬ﺧﻮاﻫﺮ و ﺑﺮادر‬
‫ﻣ داﻧﯿﻢ ﺧﺎﻧﻮادهای ﯾ ﻓﺮزﻧﺪ ﭘﻨﺞﺳﺎﻟﻪ و ﯾ ﻓﺮزﻧﺪ ﺳﻪﺳﺎﻟﻪ دارد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﺣﺘﻤﺎل دﺧﺘﺮ ﯾﺎ ﭘﺴﺮ ﺑﻮدن ﻫﺮ ﻧﻮزاد‪،‬‬
‫ﻓﺎرغ از ﺟﻨﺴﯿﺖ ﻓﺮزﻧﺪان دﯾ ﺮ ﺧﺎﻧﻮاده‪ ،‬ﯾ ﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ را ﮐﻪ اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻮاده ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫ﻓﺮزﻧﺪ دﺧﺘﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ب( اﮔﺮ ﺑﺪاﻧﯿﻢ ﻓﺮزﻧﺪ اول اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻮاده دﺧﺘﺮ اﺳﺖ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ را ﮐﻪ ﻓﺮزﻧﺪ دﯾ ﺮﺷﺎن ﻧﯿﺰ دﺧﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ج( اﮔﺮ ﺑﺪاﻧﯿﻢ اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻮاده ﯾ‬
‫ﻓﺮزﻧﺪ دﺧﺘﺮ دارد‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ را ﮐﻪ ﻓﺮزﻧﺪ دﯾ ﺮﺷﺎن ﻧﯿﺰ دﺧﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺟﻨﺴﯿﺖ ﻓﺮزﻧﺪ اول و دوم را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺎ ‪ g١‬و ‪ g٢‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﻢ و ﻣﻘﺪار ﯾ‬
‫و ﻣﻘﺪار ﺻﻔﺮ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﺟﻨﺲ ﭘﺴﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫ﺑﺮای آنﻫﺎ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﺟﻨﺲ دﺧﺘﺮ‬
‫اﻟﻒ(‬
‫}‪ } = ١ − Pr {g١ = ٠ ∧ g٢ = ٠‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫}‪= ١ − Pr {g١ = ٠} Pr {g٢ = ٠‬‬
‫‪١ ١‬‬
‫‪٣‬‬
‫= × ‪=١−‬‬
‫‪٢ ٢‬‬
‫‪۴‬‬
‫ب(‬
‫دﺧﺘﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ { ‪Pr‬‬
‫‪١‬‬
‫= }‪Pr {g٢ = ١ | g١ = ١} = Pr {g٢ = ١‬‬
‫‪٢‬‬
‫ج(‬
‫}‪Pr {g١ = ١ ∧ g٢ = ١‬‬
‫}‪Pr {g١ = ١ ∨ g٢ = ١‬‬
‫}‪Pr {g١ = ١} Pr {g٢ = ١‬‬
‫=‬
‫}‪١ − Pr {g١ = ٠ ∧ g٢ = ٠‬‬
‫}‪Pr {g١ = ١} Pr {g٢ = ١‬‬
‫=‬
‫}‪١ − Pr {g١ = ٠} Pr {g٢ = ٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪×١‬‬
‫‪١‬‬
‫= ‪= ٢ ١ ٢ ١ = ۴٣‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪١− ٢ × ٢‬‬
‫‪۴‬‬
‫= }‪Pr {g١ = ١ ∧ g٢ = ١ | g١ = ١ ∨ g٢ = ١‬‬
‫▷‬