‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی دوم‬
‫ﻣﻨﻄﻖ و اﺻﻞ ﻻﻧﻪﮐﺒﻮﺗﺮی‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١٨ :‬اﺳﻔﻨﺪ ﻣﺎه‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﻣﺠﻤﻮع ﺻﻔﺮدار!‬
‫‪ ١٠٠٠‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﺜﺒﺖ در اﺧﺘﯿﺎر دارﯾﻢ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣ ﺗﻮان ﺗﻌﺪادی از آنﻫﺎ را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮد ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺸﺎن‬
‫ﺑﻪ ﺳﻪ ﺻﻔﺮ ﺧﺘﻢ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اﯾﻦ اﻋﺪاد را ﺑﺎ ‪ a١ , a٢ , . . . , a١٠٠٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ ازای ‪ ،١ ⩽ i ⩽ ١٠٠٠‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪Si‬‬
‫‪aj‬‬
‫‪j=١‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ ١ ⩽ k ⩽ ١٠٠٠‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ Sk‬ﺑﺮ ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ در واﻗﻊ ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد ‪ a١‬ﺗﺎ ‪ ak‬ﺑﺮ‬
‫‪ ١٠٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺳﻪ ﺻﻔﺮ ﺧﺘﻢ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ Si ،١ ⩽ i ⩽ ١٠٠٠‬ﺑﺮ ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﺗﻘﺴﯿﻢ ‪ Si‬ﻫﺎ ﺑﺮ ﻋﺪد‬
‫‪ ١٠٠٠‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﯾ از اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ٩٩٩‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻻﻧﻪﻫﺎ را اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪) ٩٩٩‬ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺑﺮ ‪ (١٠٠٠‬و ﮐﺒﻮﺗﺮﻫﺎ‬
‫را ‪ Si‬ﻫﺎ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮ اﺻﻞ ﻻﻧﻪی ﮐﺒﻮﺗﺮی‪ k ،‬و ‪ k ′‬وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ‪ Sk‬و ‪ Sk′‬در ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺑﺮ ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﯾ ﺴﺎﻧ‬
‫دارﻧﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ k > k ′‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﺗﻘﺴﯿﻢ ‪ Sk − Sk′‬ﺑﺮ ‪ ،١٠٠٠‬ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﭼﻮن‬
‫▷‬
‫‪ ،Sk − Sk′ = ak′ +١ + ak′ +٢ + · · · + ak‬اﻋﺪاد ‪ ak′ +١‬ﺗﺎ ‪ ak‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی اﻋﺪاد ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه‬
‫در ﯾ داﯾﺮه ﺑﻪ ﺷﻌﺎع واﺣﺪ‪ ،‬ﻫﻔﺖ ﻧﻘﻄﻪ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪی دوﺑﻪدوی آنﻫﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫داﯾﺮه ﯾ از اﯾﻦ ﻫﻔﺖ ﻧﻘﻄﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺮﮐﺰ‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮﻫﺎن ﺧﻠﻒ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻫﯿﭻ ﯾ از اﯾﻦ ‪ ٧‬ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬از ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه ﺑﻪ ﻫﺮ ﮐﺪام از اﯾﻦ ﻫﻔﺖ ﻧﻘﻄﻪ‬
‫ﯾ ﺧﻂ رﺳﻢ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و آن را اﻣﺘﺪاد ﻣ دﻫﯿﻢ ﺗﺎ ﻣﺤﯿﻂ داﯾﺮه را ﻗﻄﻊ ﮐﻨﺪ )اﮔﺮ ﻧﻘﻄﻪای روی ﻣﺤﯿﻂ داﯾﺮه ﻗﺮار داﺷﺘﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺧﻮد آن ﻧﻘﻄﻪ ﯾ ﺳﺮ ﭘﺎرهﺧﻂ ﻣ ﺷﻮد(‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻫﻔﺖ ﺷﻌﺎع رﺳﻢ ﮐﺮدهاﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﻫﻔﺖ ﺷﻌﺎع‪ ،‬داﯾﺮه را ﺑﻪ‬
‫ﻫﻔﺖ ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬از ﯾ از اﯾﻦ ﺷﻌﺎعﻫﺎ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﺎﻋﺖﮔﺮد ﺣﺮﮐﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و زاوﯾﻪی ﺑﯿﻦ ﺷﻌﺎعﻫﺎی ﻣﺘﻮاﻟ‬
‫را ‪ θ١ , θ٢ , . . . , θ٧‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ‪ .θ١ + θ٢ + · · · + θ٧ = ٣۶٠‬ﭘﺲ ‪ k‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪≃ ۵١٫ ۴‬‬
‫‪،θk ⩽ ٣۶٠‬‬
‫‪٧‬‬
‫ﭼﻮن اﮔﺮ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ i‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‬
‫‪ ،θi > ٣۶٠‬آنﮔﺎه ‪.θ١ + θ٢ + · · · + θ٧ > ٣۶٠‬‬
‫‪٧‬‬
‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ دو ﺗﺎ از ﻧﻘﺎط‪ ،‬روی ﻣﺤﯿﻂ ﻗﻄﺎﻋ از داﯾﺮه ﺑﻪ ﺷﻌﺎع واﺣﺪ و زاوﯾﻪی ﻣﺮﮐﺰی ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ ۵١٫ ۴‬درﺟﻪ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﭼﻮن ﻓﺮض ﮐﺮدهاﯾﻢ ﻧﻘﺎط ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻫﯿﭻ ﮐﺪام از اﯾﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ در ﻣﺮﮐﺰ اﯾﻦ ﻗﻄﺎع ﻗﺮار ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﻣ داﻧﯿﻢ ﻏﯿﺮ‬
‫از ﻓﺎﺻﻠﻪی ﻣﺮﮐﺰ ﺗﺎ ﻧﻘﺎط ﻗﺴﻤﺖ ﻣﻨﺤﻨ ﭼﻨﯿﻦ ﻗﻄﺎﻋ ‪ ،‬ﻓﺎﺻﻠﻪی ﻫﯿﭻ دو ﻧﻘﻄﻪای ﯾ واﺣﺪ ﯾﺎ ﺑﯿﺶﺗﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬
‫▷‬
‫ﭼﻨﯿﻦ ﺣﺎﻟﺘ ﺑﺎ ﻓﺮض اوﻟﯿﻪ در ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﺟﺎیﮔﺸﺖ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ⟩ ‪ ⟨a١ , a٢ , . . . , a١٠٠‬و ⟩ ‪ ⟨b١ , b٢ , . . . , b١٠٠‬دو ﺟﺎیﮔﺸﺖ از اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬
‫در ﻣﯿﺎن ﺣﺎﺻﻞﺿﺮبﻫﺎی ‪ a١ b١ , a٢ b٢ , . . . , a١٠٠ b١٠٠‬دﺳﺖ ﮐﻢ دو ﻋﺪد ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﯾ ﺴﺎن در ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬دارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اﮔﺮ دو ﺗﺎ از اﯾﻦ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮبﻫﺎ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣﺪاﮐﺜﺮ‬
‫ﯾ از آنﻫﺎ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ دو ﺟﺎیﮔﺸﺖ از ‪ ai‬ﻫﺎ و ‪ bi‬ﻫﺎ داﺧﻞ ﺧﻮد ﻋﺪد ‪ ١٠٠‬را ﻫﻢ دارﻧﺪ‬
‫ﮐﻪ در ﻫﺮ ﻋﺪدی ﺿﺮب ﺷﻮد‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻪ ﻧﺎﭼﺎر ﺑﺎﯾﺪ ﻋﺪد ‪ ١٠٠‬از ﺟﺎیﮔﺸﺖ ‪ a‬در‬
‫ﻋﺪد ‪ ١٠٠‬از ﺟﺎیﮔﺸﺖ ‪ b‬ﺿﺮب ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺻﻮرت دﻗﯿﻘﺎً ﯾ از ﺣﺎﺻﻞﺿﺮبﻫﺎ ﻣﻀﺮب ‪ ١٠٠‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﺟﺰ اﯾﻦ دو ﻋﺪد‪ ،‬ﻫﺮ ﮐﺪام از ﺟﺎیﮔﺸﺖﻫﺎ ‪ ٩‬ﻋﺪد ﻣﺨﺘﻮم ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻫﻢ دارﻧﺪ )از ‪ ١٠‬ﺗﺎ ‪ (٩٠‬ﮐﻪ اﮔﺮ در ﻋﺪدی ﻣﺨﺘﻮم‬
‫ﺑﻪ ﺻﻔﺮ از ﺟﺎیﮔﺸﺖ دﯾ ﺮ ﺿﺮب ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻋﺪد ﻣﻀﺮب ‪ ١٠٠‬دﯾ ﺮی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﺷﻮد و ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺛﺒﺎت ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ﻫﻤﻪی اﯾﻦ اﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻮم ﺑﻪ ﺻﻔﺮ در ﻋﺪدی از ﺟﺎیﮔﺸﺖ دﯾ ﺮ ﺿﺮب ﻣ ﺷﻮﻧﺪ ﮐﻪ ﻣﻀﺮب ‪ ١٠‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ در ﺑﯿﻦ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮبﻫﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ١٨‬ﻋﺪد ﻣﺨﺘﻮم ﺑﻪ ﺻﻔﺮ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺑﺮای رﻗﻢ دﻫ ﺎن اﯾﻦ اﻋﺪاد ﺗﻨﻬﺎ ‪ ١٠‬ﺣﺎﻟﺖ‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻒ )از ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ (٩‬وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﻨﺎﺑﺮ اﺻﻞ ﻻﻧﻪﮐﺒﻮﺗﺮی دو ﺗﺎ از اﯾﻦ ‪ ١٨‬ﻋﺪد رﻗﻢ دﻫ ﺎن ﯾ ﺴﺎﻧ دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﯾﻦ‬
‫دو ﻋﺪد ارﻗﺎم ﯾ ﺎن و دﻫ ﺎن ﯾ ﺴﺎن و ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪهی ﯾ ﺴﺎﻧ در ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺑﺮ ‪ ١٠٠‬دارﻧﺪ و ﻣﺴﺌﻠﻪ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻫﻢ اﺛﺒﺎت‬
‫▷‬
‫ﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۴‬ﺻﻔﺤﻪی ﺷﺘﺮﻧﺞ!‬
‫ﯾ ﺻﻔﺤﻪی ﺷﻄﺮﻧﺞ ‪ ۶×۶‬را ﺑﺎ ‪ ١٨‬دوﻣﯿﻨﻮ ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﭘﻮﺷﺎﻧﺪهاﯾﻢ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﭘﻮﺷﺶ ﺟﺪول ﺑﻪ ﻫﺮ ﺻﻮرت ﮐﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣ ﺗﻮان ﺻﻔﺤﻪ را ﺑﻪ دو ﺻﻔﺤﻪی ﻣﺴﺘﻄﯿﻠ ﮐﻮﭼ ﺗﺮ ﺑﺮش زد‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﯿﭻ دوﻣﯿﻨﻮﯾ آﺳﯿﺐ ﻧﺒﯿﻨﺪ‪ .‬دوﻣﯿﻨﻮﻫﺎ‪،‬‬
‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞﻫﺎی ‪ ٢ × ١‬ﯾﺎ ‪ ١ × ٢‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺻﻔﺤﻪی ‪ ۶ × ۶‬را ﻣ ﺷﻮد ﺑﻪ ده ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺨﺘﻠﻒ از روی ﺧﻄﻮط ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺮش زد )اﻓﻘ ﯾﺎ ﻋﻤﻮدی(‪ .‬ﺗﻌﺪاد‬
‫دوﻣﯿﻨﻮﻫﺎﯾ را ﮐﻪ در ﺑﺮشﻫﺎی اﻓﻘ ﺻﺪﻣﻪ ﻣ ﺑﯿﻨﻨﺪ ‪ n١ , . . . , n۵‬و ﺗﻌﺪاد دوﻣﯿﻨﻮﻫﺎﯾ را ﮐﻪ در ﺑﺮشﻫﺎی ﻋﻤﻮدی‬
‫ﺻﺪﻣﻪ ﻣ ﺑﯿﻨﻨﺪ ‪ n۶ , . . . , n١٠‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ .‬ﭼﻮن ﻫﺮ دوﻣﯿﻨﻮ دﻗﯿﻘﺎً در ﯾ ﺑﺮش ﺻﺪﻣﻪ ﻣ ﺑﯿﻨﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣﺠﻤﻮع اﯾﻦ ده ﻋﺪد‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ١٨‬اﺳﺖ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﻤﻪی ‪ ni‬ﻫﺎ زوج ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ ١ ⩽ i ⩽ ١٠‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ ni‬ﻓﺮد اﺳﺖ‪ .‬ﺧﻄ را ﮐﻪ اﯾﻦ ‪ ni‬دوﻣﯿﻨﻮ آن را ﻗﻄﻊ ﮐﺮدهاﻧﺪ‪ l ،‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﯾ‬
‫ﻃﺮف ﺧﻂ ‪ l‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺧﺎﻧﻪﻫﺎی اﯾﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪ از ﺻﻔﺤﻪی ﺷﻄﺮﻧﺠ را ‪ m‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ‪ m‬ﻣﻀﺮب ‪۶‬‬
‫اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﻋﺪدی زوج اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ ﮐﺪام از ‪ ni‬دوﻣﯿﻨﻮﯾ ﮐﻪ ﺧﻂ ‪ l‬را ﻗﻄﻊ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬ﯾ ﺧﺎﻧﻪ از اﯾﻦ ﻧﺎﺣﯿﻪ‬
‫را ﻣ ﭘﻮﺷﺎﻧﻨﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺟﻤﻌﺎً ‪ ni‬ﺧﺎﻧﻪ را ﻣ ﭘﻮﺷﺎﻧﻨﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ m − ni‬ﺧﺎﻧﻪی دﯾ ﺮ ﺗﻮﺳﻂ دوﻣﯿﻨﻮﻫﺎی ﮐﺎﻣﻞ ﭘﻮﺷﯿﺪه‬
‫ﻣ ﺷﻮد‪ .‬وﻟ اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﻋﺪدی ﻓﺮد اﺳﺖ و ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ دوﻣﯿﻨﻮﻫﺎی ﮐﺎﻣﻞ ﭘﻮﺷﺎﻧﺪه ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ از ‪ ni‬ﻫﺎ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﯿﭻﮐﺪام ﺻﻔﺮ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ زوج ﺑﻮدﻧﺸﺎن ﺑﺎﯾﺪ ﻫﻤ‬
‫ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ٢‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ در آن ﺻﻮرت ﺟﻤﻌﺸﺎن ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ ١٨‬ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﯾﻦ ﺑﺎ ﻓﺮض در ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ از‬
‫▷‬
‫‪ ni‬ﻫﺎ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺮش ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ آن ﺑﻪ ﻫﯿﭻ دوﻣﯿﻨﻮﯾ ﺻﺪﻣﻪ ﻧﻤ زﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ‬
‫ﯾ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }↔ ‪ {T, F, ∧, ∨, ¬, →,‬را ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ﺑﺘﻮان ﺑﺮای ﻫﺮ ﮔﺰارهی ﻣﻨﻄﻘ ‪،‬‬
‫ﻋﺒﺎرﺗ ﻫﻢارز ﻧﻮﺷﺖ ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ از اﻋﻀﺎی آن زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‪ ،‬ﭘﺮاﻧﺘﺰ و ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺑﻮﻟ ﺗﺸ ﯿﻞ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ‬
‫}¬ ‪ {∧, ∨,‬ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل‪ ،‬ﮔﺰارهی ‪ T‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ p∨¬p‬ﻧﻮﺷﺖ و ﯾﺎ ﮔﺰارهی ‪(p → q)∧r‬‬
‫ﻫﻢارز ﻋﺒﺎرت ‪ (¬p ∨ q) ∧ r‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }¬ ‪ {→,‬ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی } ‪ {→, T‬ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣ داﻧﯿﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }¬ ‪ {∧, ∨,‬ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺎﺑﻌ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ اﯾﻦ ﺳﻪ ﻋﻤﻠ ﺮ ﻣﻨﻄﻘ را‬
‫ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از → و ¬ و ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﺳﺎﺧﺖ‪ .‬روش ﺳﺎﺧﺖ در اداﻣﻪ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻫﺮ ﻋﺒﺎرت ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ p ∨ q‬ﮐﻪ در آن ‪ p‬و ‪ q‬ﺧﻮد ﮔﺰارهﻫﺎی ﻣﻨﻄﻘ ﺳﺎده ﯾﺎ ﻣﺮﮐﺐ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻋﺒﺎرت‬
‫‪ (¬p) → q‬را ﺟﺎیﮔﺰﯾﻦ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻗﻮاﻋﺪ ﻫﻢارزی دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪(¬p) → q ≡ ¬(¬p) ∨ q ≡ p ∨ q‬‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺒﺎرت ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ q ∧ p‬ﮐﻪ در آن ‪ p‬و ‪ q‬ﮔﺰارهﻫﺎی ﺳﺎده ﯾﺎ ﻣﺮﮐﺐ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻋﺒﺎرت ))‪ ¬(p → (¬q‬را‬
‫ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬ﭼﻮن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻗﺎﻋﺪهی دﻣﻮرﮔﺎن دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪¬(p → (¬q)) ≡ ¬((¬p) ∨ (¬q)) ≡ ¬(¬(p ∧ q)) ≡ p ∧ q‬‬
‫ﻋﺒﺎراﺗ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ¬p‬ﻧﯿﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺻﻮرت ﻗﺎﺑﻞ ﺑﯿﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺑﺮای اﯾﻦ ﻣﻨﻈﻮر‪ ،‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﻢ ﮔﺰارهای وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﻧﻤ ﺗﻮان ﺑﺎ → و ‪ T‬ﻣﻌﺎدلﺳﺎزﯾﺸﺎن ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ‬
‫ﻣﻮرد را ﺑﺮای ﮔﺰارهی ‪ F‬ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﮔﺰارهی دلﺧﻮاه ‪ S‬را ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از →‪ ،T ،‬ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺑﻮﻟ و ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬
‫ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﻢ اﯾﻦ ﻋﺒﺎرت ﻫﻢارز ‪ F‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮای ﺳﺎدهﺗﺮ ﺷﺪن اﺛﺒﺎت‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﭘﺮاﻧﺘﺰﮔﺬاری آن را ﮐﺎﻣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﯾﻌﻨ ﺑﻪ آن ﻃﻮری ﭘﺮاﻧﺘﺰ اﺿﺎﻓﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ‬
‫اوﻟﻮﯾﺖﻫﺎی ﻋﻤﻠ ﺮﻫﺎی ﺑﻪ ﮐﺎر رﻓﺘﻪ در آن ﺗﻐﯿﯿﺮی ﻧ ﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ در ﺗﻌﺮﯾﻒ زﯾﺮ ﺻﺪق ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻋﺒﺎرت‬
‫ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺎ ‪ S‬ﻫﻢارز اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻋﺒﺎرت ﺑﺎ ﭘﺮاﻧﺘﺰﮔﺬاری ﮐﺎﻣﻞ ﺑﻪ ﯾ‬
‫از ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫• ‪T‬‬
‫• ‪ p‬ﮐﻪ در آن ‪ p‬ﯾ‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺑﻮﻟ اﺳﺖ‪.‬‬
‫• )‪ (a → b‬ﮐﻪ در آن ‪ a‬و ‪ b‬ﺧﻮد ﻋﺒﺎرﺗ ﺑﺎ ﭘﺮاﻧﺘﺰﮔﺬاری ﮐﺎﻣﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﻢ ‪ S‬ﻫﻢارز ﺑﺎ ‪ F‬ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﺣﺎﻟﺘ از ﻧﺴﺒﺖ دادن ‪ T‬و ‪ F‬ﺑﻪ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی‬
‫ﺑﻮﻟ ﺑﻪ ﮐﺎر رﻓﺘﻪ در ‪ S‬ﻣﻌﺮﻓ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺣﺎﺻﻞ ‪ S‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ T‬ﺷﻮد‪ .‬ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ اﮔﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﻪی ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎ ﻣﻘﺪار ‪T‬‬
‫ﻧﺴﺒﺖ دﻫﯿﻢ‪ ،‬ارزش ﮔﺰاره ﺑﺮاﺑﺮ ‪ T‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﺮای اﺛﺒﺎت اﯾﻦ ادﻋﺎ‪ ،‬در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﯾ از داﺧﻠ ﺗﺮﯾﻦ ﭘﺮاﻧﺘﺰﻫﺎ‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ و آن را ﺑﺎ ﻣﻘﺪارش ﺟﺎیﮔﺰﯾﻦ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺑﺎﻻ‪ ،‬اﯾﻦ ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﯾ از ﺣﺎﻟﺖﻫﺎی‬
‫) ‪ ،(p → q) ،(p → T ) ،(T → p) ،(T → T‬ﯾﺎ )‪ (p → p‬را دارد ﮐﻪ در ﻫﺮ ﭘﻨﺞ ﺣﺎﻟﺖ ارزش آن ﺑﺮاﺑﺮ ‪T‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ارزش آن را ﺑﻪ ﺟﺎﯾﺶ ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺎر را آن ﻗﺪر ﺗ ﺮار ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺗﺎ دﯾ ﺮ ﭘﺮاﻧﺘﺰی ﺑﺎﻗ ﻧﻤﺎﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻋﺒﺎرت ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه ﯾﺎ ‪ T‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی آن اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ S‬ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺑﻮﻟ اش ﻫﻤﻮاره‬
‫ﺻﺤﯿﺢ اﺳﺖ‪ ،‬ﯾﺎ ‪ p‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﯾﻌﻨ وﻗﺘ ﺑﻪ ‪ p‬ﻣﻘﺪار ‪ T‬را ﻧﺴﺒﺖ دﻫﯿﻢ ارزش ﮔﺰاره ﺑﺮاﺑﺮ ‪ T‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬در ﻫﺮ‬
‫دو ﺣﺎﻟﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪ ﮐﻪ ‪ S‬ﻫﻢارز ‪ F‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۶‬اﺳﺘﻨﺘﺎج‬
‫اﻟﻒ( ﮔﺰارهی زﯾﺮ را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)‪(p ∧ (p → q) ∧ (s ∨ r) ∧ (r → ¬q)) ⇒ (s ∨ t‬‬
‫ب( ﺑﺎ ﻓﺮضﻫﺎی‬
‫))‪∀x : (p(x) ∨ q(x‬‬
‫)‪∃x : ¬p(x‬‬
‫))‪∀x : (¬q(x) ∨ r(x‬‬
‫))‪∀x : (s(x) → ¬r(x‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)‪∃x : ¬s(x‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﺮاﺣﻞ اﺳﺘﻨﺘﺎج را ﺑﺎ ذﮐﺮ ﻧﺤﻮهی ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪن ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ از ﻓﺮضﻫﺎ ﯾﺎ ﻣﺮاﺣﻞ ﻗﺒﻠ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫دﻟﯿﻞ‬
‫ﮔﺰاره‬
‫ﻓﺮض ﺳﺆال‬
‫)‪p ∧ (p → q) ∧ (s ∨ r) ∧ (r → ¬q‬‬
‫)‪(١‬‬
‫ﺳﺎدهﺳﺎزی ﮔﺰارهی )‪(١‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪(٢‬‬
‫ﺳﺎدهﺳﺎزی ﮔﺰارهی )‪(١‬‬
‫‪p→q‬‬
‫)‪(٣‬‬
‫وﺿﻊ ﻣﻘﺪم ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (٢‬و )‪(٣‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪(۴‬‬
‫ﻧﻘﯿﺾ ﻣﻀﺎﻋﻒ )‪(۴‬‬
‫‪¬¬q‬‬
‫)‪(۵‬‬
‫ﺳﺎدهﺳﺎزی ﮔﺰارهی )‪(١‬‬
‫‪r → ¬q‬‬
‫)‪(۶‬‬
‫رﻓﻊ ﺗﺎﻟ از ﮔﺰارهی )‪ (۵‬و )‪(۶‬‬
‫‪¬r‬‬
‫)‪(٧‬‬
‫ﺳﺎدهﺳﺎزی ﮔﺰارهی )‪(١‬‬
‫‪s∨r‬‬
‫)‪(٨‬‬
‫ﻗﯿﺎس ﻓﺼﻠ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (٧‬و )‪(٨‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪(٩‬‬
‫اﻓﺰودن ﺑﻪ ﮔﺰارهی )‪(٩‬‬
‫‪s∨t‬‬
‫)‪(١٠‬‬
‫ب(‬
‫دﻟﯿﻞ‬
‫ﮔﺰاره‬
‫ﻓﺮض‬
‫))‪∀x : (p(x) ∨ q(x‬‬
‫)‪(١‬‬
‫ﻓﺮض‬
‫)‪∃x : ¬p(x‬‬
‫)‪(٢‬‬
‫ﺣﺬف ﺳﻮر وﺟﻮدی از ﮔﺰارهی )‪(٢‬‬
‫)‪¬p(a‬‬
‫)‪(٣‬‬
‫ﺣﺬف ﺳﻮر ﻋﻤﻮﻣ از ﮔﺰارهی )‪(١‬‬
‫)‪p(a) ∨ q(a‬‬
‫)‪(۴‬‬
‫ﻗﯿﺎس ﻓﺼﻠ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (٣‬و )‪(۴‬‬
‫)‪q(a‬‬
‫)‪(۵‬‬
‫ﻗﯿﺎس ﻓﺼﻠ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (٣‬و )‪(۴‬‬
‫)‪¬¬q(a‬‬
‫)‪(۶‬‬
‫ﻓﺮض‬
‫))‪∀x : (¬q(x) ∨ r(x‬‬
‫)‪(٧‬‬
‫ﺣﺬف ﺳﻮر ﻋﻤﻮﻣ از ﮔﺰارهی )‪(٧‬‬
‫)‪¬q(a) ∨ r(a‬‬
‫)‪(٨‬‬
‫رﻓﻊ ﺗﺎﻟ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (۶‬و )‪(٨‬‬
‫)‪r(a‬‬
‫)‪(٩‬‬
‫ﻓﺮض‬
‫))‪∀x : (s(x) → ¬r(x‬‬
‫)‪(١٠‬‬
‫ﺣﺬف ﺳﻮر ﻋﻤﻮﻣ از ﮔﺰارهی )‪(١٠‬‬
‫)‪s(a) → ¬r(a‬‬
‫)‪(١١‬‬
‫ﻋ ﺲ ﻧﻘﯿﺾ ﮔﺰارهی )‪(١١‬‬
‫)‪¬(¬r(a)) → ¬s(a‬‬
‫)‪(١٢‬‬
‫ﻧﻘﯿﺾ ﻣﻀﺎﻋﻒ از )‪(٩‬‬
‫)‪¬¬r(a‬‬
‫)‪(١٣‬‬
‫وﺿﻊ ﻣﻘﺪّم ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮔﺰارهﻫﺎی )‪ (١٢‬و )‪(١٣‬‬
‫)‪¬s(a‬‬
‫)‪(١۴‬‬
‫ﻣﻌﺮﻓ ﺳﻮر وﺟﻮدی در ﮔﺰارهی )‪(١۴‬‬
‫)‪∃x : ¬s(x‬‬
‫)‪(١۵‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺷﺮط ﺻﺤﺖ ﮔﺎم ‪ ٣‬اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻓﻮق اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ a‬در ﻫﯿﭻﯾ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺷﺮط ﺑﻪ راﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﺮرﺳ اﺳﺖ‪.‬‬
‫از ﮔﺎمﻫﺎی ﻗﺒﻠ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺸﺪه‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬ﺟﺎیﮔﺸﺖ ﺑﯿﺸﯿﻨﻪﮐﻨﻨﺪه‬
‫دو دﻧﺒﺎﻟﻪی اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ‪ ٠ < a١ < a٢ < · · · < an‬و ‪ ٠ < x١ < x٢ < · · · < xn‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪P .‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻤﻪی ﺟﺎیﮔﺸﺖﻫﺎی اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫{‬
‫‪F : P → R+‬‬
‫∑‬
‫‪F (⟨p١ , p٢ , ..., pn ⟩) = ni=١ ai xpi‬‬
‫اﮔﺮ )‪ m = max F (p‬ﺑﺎﺷﺪ و‬
‫‪p∈P‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ M‬ﺗﻨﻬﺎ ﯾ‬
‫}‪M = {p ∈ P |F (p) = m‬‬
‫ﻋﻀﻮ دارد‪ .‬اﯾﻦ ﻋﻀﻮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺗﻨﻬﺎ ﺟﺎیﮔﺸﺘ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ‪ m‬را ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﺟﺎیﮔﺸﺖ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫⟩‪α = ⟨α١ , α٢ , ..., αn ⟩ = ⟨١, ٢, ٣, ..., , n − ١, n‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬اﮐﯿﺪاً ﺻﻌﻮدی اﺳﺖ ﯾﻌﻨ ﺑﺮای ﻫﺮ دو اﻧﺪﯾﺲ دﻟﺨﻮاه ‪ i‬و ‪ j‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪i < j ⇒ αi < α j‬‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﺟﺎیﮔﺸﺖ دلﺧﻮاه دﯾ ﺮ ﻣﺎﻧﻨﺪ ⟩ ‪ β = ⟨β١ , β٢ , ..., βn‬ﮐﻪ ‪ β ̸= α‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ‪ i‬و ‪ j‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪i < j‬‬
‫وﻟ ‪ βi > βj‬ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻮن در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ‪ β‬ﻧﯿﺰ اﮐﯿﺪاً ﺻﻌﻮدی و ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ α‬ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺧﻼف ﻓﺮض اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪F (β) = a١ xβ١ + a٢ xβ٢ + ... + ai xβi + ... + aj xβj + ... + an xβn‬‬
‫‪ β ′‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ β‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ ﺟﺎی ‪ βi‬و ‪ βj‬در آن ﺑﺎ ﻫﻢ ﻋﻮض ﺷﺪهاﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪F (β ′ ) = a١ xβ١ + a٢ xβ٢ + ... + ai xβj + ... + aj xβi + ... + an xβn‬‬
‫) ‪⇒ F (β ′ ) − F (β) = (ai xβj + aj xβi ) − (ai xβi + aj xβj‬‬
‫) ‪= ai (xβj − xβi ) + aj (xβi − xβj‬‬
‫) ‪= (xβi − xβj )(aj − ai‬‬
‫ﮔﻔﺘﯿﻢ ﮐﻪ ‪ βi > βj‬ﭘﺲ از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪی ‪ x‬ﺻﻌﻮدی اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪⇒ xβi > xβj ⇒ (xβi − xβj ) > ٠‬‬
‫ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ‪ j > i ،‬و دﻧﺒﺎﻟﻪی ‪ a‬ﺻﻌﻮدی اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪⇒ aj > ai ⇒ (aj − ai ) > ٠‬‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪی ﺗﺴﺎوی و دو ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﺑﺎﻻ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪F (β ) − F (β) > ٠ ⇒ F (β ′ ) > F (β‬‬
‫‪′‬‬
‫ﭘﺲ )‪ F (β‬ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﻧﯿﺴﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ β‬ﻋﻀﻮ ‪ M‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﻧﺸﺎن دادﯾﻢ ﻫﺮ ﺟﺎیﮔﺸﺖ ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﺑﺎ ‪ α‬ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ M‬ﺗﻬ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ α‬ﺗﻨﻬﺎ ﻋﻀﻮ ‪ M‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬