‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﻧﻈﺮﯾﻪی اﻋﺪاد‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﺳﻮم‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١۵ :‬ﻓﺮوردﯾﻦ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .١‬ﻣﻘﺪارﯾﺎﺑ‬
‫اﮔﺮ ﺑﺮای اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ‪ m‬و ‪ n‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪ ،m٢ + ٣m٢ n٢ = ٣٠n٢ + ۵١٧‬ﻣﻘﺪار ‪ ٣m٢ n٢‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻋﺒﺎرت داده ﺷﺪه را ﺗﺠﺰﯾﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫‪(m٢ − ١٠)(٣n٢ + ١) = ۵٠٧ = ٣ × ١٣٢‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ m٢ − ١٠‬و ‪ ٣n٢ + ١‬ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻘﺴﻮمﻋﻠﯿﻪﻫﺎﯾ از ‪ ۵٠٧‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ وﺿﻮح ‪ ٣n٢ + ١‬ﺑﺮ ‪ ٣‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬
‫‪ m٢ − ١٠‬ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮ ‪ ٣‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻤﺎم ﺣﺎﻻت ﻣﻤ ﻦ ﻋﺒﺎرتاﻧﺪ از‪:‬‬
‫• اﮔﺮ ‪ ،m٢ − ١٠ = ٣‬در آن ﺻﻮرت ‪ m٢ = ١٣‬ﮐﻪ اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﻣ ﺎن ﻧﺪارد‪.‬‬
‫• اﮔﺮ ‪ ،m٢ − ١٠ = ٣ × ١٣‬در آن ﺻﻮرت ‪ m٢ = ۴٩‬و ‪.m = ٧‬‬
‫• اﮔﺮ ‪ ،m٢ − ١٠ = ٣ × ١٣٢‬در آن ﺻﻮرت ‪ m٢ = ۵١٧‬ﮐﻪ ﺑﺎز ﻫﻢ ﻣﻤ ﻦ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺲ ‪ .٣n٢ + ١ = ١٣‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ n = ٢‬و ‪.٣m٢ n٢ = ۵٨٨‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٢‬ﻗﻀﯿﻪی وﯾﻠﺴﻮن‬
‫‪p‬‬
‫اﻟﻒ( اﮔﺮ ‪ p‬ﻋﺪدی اول ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪.(p − ١)! ≡ −١‬‬
‫ب( ﺑﺮای ﻋﺪد اول ‪ p‬و ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ و دلﺧﻮاه ‪ ،n‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫⌋ ⌊‬
‫‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫≡‬
‫)‪(n‬‬
‫‪p‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺑﺮرﺳ درﺳﺘ ﺣ ﻢ ﺑﺮای ‪ p = ٢‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻗﺎﺑﻞ اﻧﺠﺎم اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﻓﺮض ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪ .p ⩾ ٣‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی اﻋﺪاد‬
‫}‪ Z∗p = {١, ٢, . . . , p − ١‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻋﺪد ‪ n ∈ Z∗p‬ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p‬وارون ﺿﺮﺑ ﺧﻮدش‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪n٢ ≡ ١ ⇔ n٢ − ١ = kp ⇔ (n − ١)(n + ١) = kp ⇔ n = ١ ∨ n = p − ١‬‬
‫ﭘﺲ ﺗﻨﻬﺎ دو ﻋﺪد ‪ ١‬و ‪ p − ١‬واروﻧﺸﺎن ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮدﺷﺎن اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ دو وارون ﺣﺴﺎﺑ‬
‫ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﻫﻤﻨﻬﺸﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ وارونﻫﺎی اﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣ ﺗﻮان‬
‫‪ p−٣‬زوج ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﺮد ﮐﻪ در ﻫﺮ زوﺟ ‪ ،‬اﻋﺪاد وارون ﯾ دﯾ ﺮ ﺑﻪ‬
‫اﻋﻀﺎی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }‪ Z∗p \ {١, p − ١‬را ﺑﻪ‬
‫‪٢‬‬
‫‪ p−٣‬زوج ﻣﺮﺗﺐ را‬
‫ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p‬ﺑﺎﺷﻨﺪ )ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ p − ٣‬ﻋﺪدی زوج اﺳﺖ(‪ .‬اﮐﻨﻮن اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب اﯾﻦ‬
‫‪٢‬‬
‫ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p‬ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﯾ ﺷﻮد‪ ،‬ﯾﻌﻨ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪≡ ١ ⇒ (p − ١)! = ١ × ٢ × · · · × (p − ٢) × (p − ١) ≡ −١‬‬
‫‪p−٣‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪p‬‬
‫‪٢ × ٣ × ... × (p − ٢) ≡ ١‬‬
‫⌋ ⌊‬
‫ب( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n = pk + r‬ﮐﻪ در آن ‪ .٠ ⩽ r ⩽ p − ١‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ . np = k‬ﺛﺎﺑﺖ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﮐﺮد ﮐﻪ‬
‫) (‬
‫‪( ) p‬‬
‫‪ . np ≡ k‬ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺑﺴﻂ ‪ np‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫( ) (‬
‫)‬
‫‪n‬‬
‫‪pk + r‬‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪(pk + r) × · · · × (pk + ١) × (pk) × (pk − ١) × · · · × (pk + r − p + ١‬‬
‫=‬
‫!)‪p(p − ١‬‬
‫)‪(pk + r) × · · · × (pk + ١) × (k) × (pk − ١) × · · · × (pk + r − p + ١‬‬
‫=‬
‫!)‪(p − ١‬‬
‫)‪p (pk + r) × · · · × (pk + ١) × k × (pk − ١) × · · · × (pk + r − p + ١‬‬
‫≡‬
‫‪−١‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪≡ −١ × (pk + r) × · · · × (pk + ١) × k × (pk − ١) × · · · × (pk + r − p + ١‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪≡ −١ × r × (r − ١) × · · · × ١ × k × (−١) × (−٢) × · · · × (r − p + ١‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪≡ −١ × r × (r − ١) × · · · × ١ × k × (p − ١) × (p − ٢) · · · × (r + ١‬‬
‫‪= −١ × (p − ١)! × k‬‬
‫‪p‬‬
‫‪≡ k‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٣‬ب‪.‬م‪.‬م‬
‫ﺑﺮای ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ a ⩾ ٢‬و ﻫﺮ ‪ m‬و ‪ n‬ﻃﺒﯿﻌ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x, y ∈ Z‬دارﯾﻢ ‪.(am − ١, an − ١) | amx+ny − ١‬‬
‫ب( ‪(am − ١, an − ١) = a(m,n) − ١‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ z = mx + ny‬و )‪ .d = (am − ١, an − ١‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ‪ .d | z‬ﻣ داﻧﯿﻢ‬
‫‪ .d | an − ١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ .d | as − ١‬ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ‪ d | as+n − ١‬و ‪.d | as−n − ١‬‬
‫‪d | (as − ١) × an + (an − ١) = as+n − ١‬‬
‫)‪d | (as − ١) − (an − ١) = as − an = an × (as−n − ١‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ ،(d, an ) = ١‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ‪ .d | as−n − ١‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ‪d | as+m − ١‬‬
‫و ‪ .d | as−m − ١‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ d | a٠ − ١‬و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدهی ﻣ ﺮر از ﻟﻢ ﻓﻮق‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﮐﺮد ﮐﻪ ﺑﻪ‬
‫ازای ﻫﺮ ‪ x, y ∈ Z‬دارﯾﻢ ‪.d | amx+ny − ١‬‬
‫ب( ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ )‪ .k = (m, n‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻟﻢ ﺑﺰو ﻣ داﻧﯿﻢ ﮐﻪ ‪ x, y ∈ Z‬وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ‪ .k = mx + ny‬ﻃﺒﻖ‬
‫ﺣ ﻢ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ‪ .d | ak − ١‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ‪.ak − ١ | d‬‬
‫اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ‪ m١‬و ‪ n١‬را ﻃﻮری در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ‪ m = km١‬و ‪ .n = kn١‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫)‪an − ١ = (ak − ١)(ak(n١ −١) + ak(n١ −٢) + · · · + ak + ١‬‬
‫)‪am − ١ = (ak − ١)(ak(m١ −١) + ak(m١ −٢) + · · · + ak + ١‬‬
‫ﭘﺲ ‪ ak − ١ | an − ١‬و ‪ .ak − ١ | am − ١‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ )‪.ak − ١ | (am − ١, an − ١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻋﺪد‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻓﺮد و اول ‪ ،p‬ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ n٢n + ١‬ﺑﺮ ‪ p‬ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎﯾﺪ ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ‪ n‬ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ ‪ .n٢n ≡ −١‬دارﯾﻢ ‪ .٢p−١ ≡ ١‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ .٢(p−١)k ≡ ١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n‬ﺑﻪ‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫ﺻﻮرت ‪ (p − ١)k‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در آن ﺻﻮرت ﺑﺎﯾﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪ (p − ١)k٢(p−١)k ≡ −١‬ﮐﻪ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ ‪.k ≡ ١‬‬
‫‪p‬‬
‫ﭘﺲ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ l‬ﺻﺤﯿﺢ‪ n = (p − ١)(pl + ١) ،‬در راﺑﻄﻪی ‪ n٢n ≡ −١‬ﺻﺪق ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﺗﻮان دو‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ p‬ﻋﺪدی اول ﺑﺎﺷﺪ و ‪ a‬و ‪ b‬اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ‪ .p | ap − bp‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪.p٢ | ap − bp‬‬
‫‪p‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪی ﻓﺮﻣﺎ ﻣ داﻧﯿﻢ ‪ .ap ≡ a‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪٠ ≡ ap − bp ≡ a − b ⇒ p | a − b‬‬
‫در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ ‪ a = pk + b‬ﮐﻪ ‪ k‬ﯾ‬
‫ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺴﻂ ‪ ap‬را ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪی ‪ p٢‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪ap = (pk + b)p‬‬
‫) ( ‪p‬‬
‫∑‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪(pk)i bp−i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=٠‬‬
‫) ( ‪p‬‬
‫∑‬
‫‪p‬‬
‫‪= b + pb (pk) +‬‬
‫‪(pk)i bp−i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=٢‬‬
‫)‬
‫( ‪p‬‬
‫∑‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p−١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪= b + pb (pk) + p‬‬
‫‪(pk)j+٢ bp−j−٢‬‬
‫‪j‬‬
‫‪+‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪j=٠‬‬
‫)‬
‫( ‪p‬‬
‫∑‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪٢ p−١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪=b +p b k+p‬‬
‫‪(pk)j+٢ bp−j−٢‬‬
‫‪j‬‬
‫‪+‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪j=٠‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p−١‬‬
‫‪p٢‬‬
‫‪≡ bp‬‬
‫ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪p٢‬‬
‫‪ap − bp ≡ ٠ ⇒ p٢ | ap − bp‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۶‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮی‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ ‪ n‬ﻋﺪدی ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه ‪ ٢n! − ١‬ﺑﺮ ‪ n‬ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺴﻤﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﭼﻮن )‪ ϕ(n‬ﻋﺪدی ﮐﻤﺘﺮ از ‪ n‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺘﻤﺎ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪ ϕ(n) | n! :‬ﭘﺲ ‪ k‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪.n! = ϕ(n) × k‬‬
‫از ﻃﺮﻓ ﭼﻮن ‪ n‬ﻋﺪدی ﻓﺮد اﺳﺖ‪ ،‬دارﯾﻢ‪ .(n, ٢) = ١ :‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪی اوﯾﻠﺮ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪٢n! − ١ ≡ ٢k×ϕ(n) − ١ ≡ (٢ϕ(n) )k − ١ ≡ ١k − ١ ≡ ١ − ١ ≡ ٠ ⇒ n | ٢n! − ١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬دﻧﺒﺎﻟﻪی ﻣﺮﮐﺐ‬
‫ﺑﺮای اﻋﺪاد ﻃﺒﯿﻌ ‪ a, b, c, d‬دارﯾﻢ ‪ .ab = cd‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ m‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪.Tm = am +bm +cm +dm‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ‪ T١‬ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ m‬ﻃﺒﯿﻌ ‪ Tm ،‬ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ nTm − ١ ،n ⩾ ٢‬ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ (a, c) = x‬و ‪ .(b, d) = y‬ﭘﺲ اﻋﺪاد ‪ a١ , b١ , c١‬و ‪ d١‬وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ‪،c = xc١ ،a = xa١‬‬
‫‪ d = yd١ ،b = yb١‬و ‪ .(a١ , c١ ) = (b١ , d١ ) = ١‬ﭼﻮن ‪ ،ab = cd‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪(xa١ )(yb١ ) = (xc١ )(yd١ ) ⇒ a١ b١ = c١ d١‬‬
‫ﭘﺲ ‪ .a١ | c١ d١‬از آنﺟﺎ ﮐﻪ ‪ ،(a١ , c١ ) = ١‬ﭘﺲ ‪ .a١ |d١‬از ﻃﺮف دﯾ ﺮ‪ ،‬ﭼﻮن ‪ d١ |a١ b١‬و ‪،(b١ , d١ ) = ١‬‬
‫دارﯾﻢ ‪ .d١ |a١‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ .a١ = d١‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ .b١ = c١‬ﺣﺎل ﻗﺮار دﻫﯿﺪ ‪z = a١ = d١‬‬
‫و ‪ .t = c١ = b١‬ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮان دﯾﺪ ﮐﻪ‪:‬‬
‫)‪T١ = a + b + c + d = xz + yt + xt + yz = (x + y)(z + t‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦﮐﻪ ‪ x + y > ١‬و ‪ ،z + t > ١‬ﭘﺲ ‪ T١‬ﻋﺪدی ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮای ‪ Tm‬از راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﻣ ﺗﻮان دﯾﺪ ﮐﻪ ‪ Tm‬ﻫﻢ ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪:‬‬
‫) ‪Tm = am + bm + cm + dm = xm z m + y m tm + xm tm + y m z m = (xm + y m )(z m + tm‬‬
‫ج( ﭼﻮن ‪ Tm‬ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ ﻣ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ ‪ Tm = αβ‬ﮐﻪ ‪ .α, β > ١‬ﭘﺲ‬
‫)‪nTm − ١ = nαβ − ١ = (nα − ١)(nβ + nβ−١ + · · · + ١‬‬
‫در ﻋﺒﺎرت ﻓﻮق‪ ،‬ﻫﺮ دو ﻋﺎﻣﻞ ﺑﺰرگﺗﺮ از ﯾ‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ‪ nTm − ١‬ﻋﺪدی ﻣﺮﮐﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬