‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ و ﺗﻮاﺑ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﭼﻬﺎرم‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ٢٩ :‬ﻓﺮوردﯾﻦ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ رواﺑﻂ زﯾﺮ را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( )‪A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C‬‬
‫ب( ))‪B ∩ (A ∪ C) = (A ∪ C) − ((A ∩ B) ∪ (C ∩ B‬‬
‫ج( )‪A − C = ((A ∪ C) ∩ B) ∪ ((A − B) ∩ C‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫)‪(A − B) ∪ (A − C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) = A − (B ∩ C‬‬
‫ب( ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ .D = A ∪ C‬ﺣﺎل دارﯾﻢ‪:‬‬
‫)‪D − ((A ∩ B) ∪ (C ∩ B)) = D − ((A ∪ C) ∩ B‬‬
‫)‪= D − (D ∩ B‬‬
‫)‪= D ∩ (D ∪ B‬‬
‫)‪= D ∩ (D ∪ B‬‬
‫)‪= (D ∩ D) ∪ (D ∩ B‬‬
‫)‪= ∅ ∪ (D ∩ B‬‬
‫‪=D∩B‬‬
‫ج(‬
‫)‪((A ∩ C) ∩ B) ∪ ((A − B) ∩ C) = ((A ∩ B) ∩ C) ∪ ((A − B) ∩ C‬‬
‫‪= ((A ∩ B) ∪ (A − B)) ∩ C‬‬
‫‪= ((A ∩ B) ∪ (A ∩ B)) ∩ C‬‬
‫‪= (A ∩ (B ∪ B)) ∩ C‬‬
‫‪= (A ∩ M ) ∩ C‬‬
‫‪=A∩C =A−C‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﺳﺎدهﺳﺎزی‬
‫ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣ ﺎن ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ))‪(B ∩ (B ∪ A)) ∪ (A ∩ (A ∪ B‬‬
‫ب( )‪(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫))‪(B ∩ (B ∪ A)) ∪ (A ∩ (A ∪ B)) = ((B ∩ B) ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ A) ∪ (A ∩ B‬‬
‫))‪= (∅ ∪ (B ∩ A)) ∪ (∅ ∪ (A ∩ B‬‬
‫)‪= (B ∩ A) ∪ (A ∩ B‬‬
‫)‪= A ∩ (B ∪ B‬‬
‫‪=A∩M =A‬‬
‫ب( ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ D = A ∩ B‬و ‪ .E = A ∩ B‬ﺣﺎل دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B) = D ∪ (E ∩ C) ∪ (D ∩ C) ∪ E‬‬
‫))‪= (D ∪ (D ∩ C)) ∪ (E ∪ (E ∩ C‬‬
‫‪=D∪E‬‬
‫)‪= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B‬‬
‫)‪= B ∩ (A ∪ A‬‬
‫‪=B∩M =B‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻓﺮاوان‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻮاﺑﻌ ﮐﻪ از ‪ R‬ﺑﻪ ‪ R‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد اﮐﯿﺪاً ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻮاﺑﻊ از ‪ R‬ﺑﻪ ‪ R‬را ‪ F‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ‪ ،r‬ﺗﺎﺑﻌ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ‪ r‬را ﺑﻪ ‪ ٠‬و‬
‫ﺑﻘﯿﻪ اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ را ﺑﻪ ‪ ١‬ﻣ ﺑﺮد‪ .‬اﯾﻦ ﻧ ﺎﺷﺖ‪ ،‬ﻧ ﺎﺷﺘ ﯾ ﺑﻪﯾ از ‪ R‬ﺑﻪ ‪ F‬اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ |‪.|F| ⩾ |R‬‬
‫ﺣﺎل ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ |‪ .|F| ̸= |R‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﭼﻨﯿﻦ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﯾ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﯾ ﺑﻪﯾ ﺑﯿﻦ اﻋﻀﺎی ‪ F‬و اﻋﻀﺎی‬
‫‪ R‬وﺟﻮد دارد‪ .‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ،r‬ﺗﺎﺑﻌ را ﮐﻪ ﺑﺎ ﻋﺪد ‪ r‬در ﺗﻨﺎﻇﺮ اﺳﺖ‪ fr ،‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : R → R‬را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و‬
‫ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﺑﺎ ﻫﯿﭻ ﮐﺪام از اﻋﻀﺎی ‪ R‬در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ‪ r‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪.f (r) = fr (r)+١‬‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬ﺑﺎ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘ ‪ s‬در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ )‪ .f (s) = fs (s) + ١ ̸= fs (s‬اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻧﺸﺎن‬
‫▷‬
‫ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ وﺟﻮد ﺗﻨﺎﻇﺮ ﯾ ﺑﻪﯾ ﺑﯿﻦ ‪ R‬و ‪ F‬ﻣﻤ ﻦ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪.|P | > R‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۴‬وارونﻫﺎ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : X → Y‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ g : Y → X‬را وارون ﭼﭗ ‪ f‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ‪ g ◦ f‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺗﺎﺑﻊ ‪ h : Y → X‬را وارون راﺳﺖ ‪ f‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ‪ f ◦ h‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬درﺳﺘ ﯾﺎ ﻧﺎدرﺳﺘ ﻫﺮ ﯾ از‬
‫ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﺑﻪﯾ ‪ ،‬وارون ﭼﭗ دارد‪.‬‬
‫ب( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ‪ ،‬وارون راﺳﺖ دارد‪.‬‬
‫ج( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﺑﻪﯾ ‪ ،‬وارون راﺳﺖ دارد‪.‬‬
‫د( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ‪ ،‬وارون ﭼﭗ دارد‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ X‬ﺗﻬ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣ ﻢ ﺑﺪﯾﻬ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ∅ ≠ ‪ .X‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه ) ‪ b ∈ R(f‬را‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﭼﻮن ‪ f‬ﯾ ﺑﻪﯾ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ دﻗﯿﻘﺎً ﯾ ﻋﻀﻮ ‪ a ∈ X‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ .f (a) = b‬ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ .g(b) = a‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ) ‪ c ∈ Y − R(f‬ﻧﯿﺰ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ g(c) = d‬ﮐﻪ ‪ d‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاﻫ از ‪X‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ g ◦ f‬روی داﻣﻨﻪی ‪ f‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( اﯾﻦ ﮔﺰاره ﻫﻢ درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه ‪ b ∈ Y‬را درﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﭼﻮن ‪ f‬ﭘﻮﺷﺎ اﺳﺖ‪ ،‬ﻋﻀﻮی ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ a‬در‬
‫‪ X‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ .f (a) = b‬ﺣﺎل ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ .g(b) = a‬اﮐﻨﻮن ﻧﯿﺰ واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ g ◦ f‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ‬
‫روی ‪ X‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( اﯾﻦ ﮔﺰاره ﻏﻠﻂ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ f‬ﭘﻮﺷﺎ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻘﻄﻪای ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ b‬در ‪ Y‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ در ﺑﺮد ‪ f‬ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺣﺎل ‪ g‬ﻫﺮ ﭼﻪ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻘﻄﻪی )‪ (f ◦ g)(b‬ﻧﻘﻄﻪای در ﺑﺮد ‪ f‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺧﻮد ‪ b‬ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ f ◦ g‬ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫د( اﯾﻦ ﮔﺰاره ﻏﻠﻂ اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ Y‬ﻣﺘﺸ ﻞ از ﯾ ﺗ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ b‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ a‬در ‪ ،X‬ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ‪ .f (a) = b :‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ f‬ﭘﻮﺷﺎ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬واروﻧ ﭼﭗ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ g‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ g ◦ f‬ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﺗﺎﺑﻊ ‪ g ◦ f‬ﻫﻤﯿﺸﻪ ﻣﻘﺪار )‪ g(b‬را ﺑﺮﻣ ﮔﺮداﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﮔﺮ ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎی ‪X‬‬
‫ﺑﯿﺶﺗﺮ از ﯾ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ g ◦ f‬ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۵‬ﺗﻌﺪاد ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﻫﺎ‬
‫ﮔﺰارهﻫﺎی زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n‬دارﯾﻢ | ‪.|R| = |Rn‬‬
‫ب( اﺟﺘﻤﺎع ﺷﻤﺎرا ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻢاﻧﺪازهی ‪ ،R‬ﯾ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻢاﻧﺪازهی ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻤﺎم ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﻫﺎی داﺧﻞ ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }‪ {١, . . . , n‬را ﺑﺎ ]‪ [n‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی )]‪ P([n‬ﺷﺎﻣﻞ ‪ ٢n‬ﻋﻀﻮ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻨﺎﻇﺮ‬
‫ﯾ ﺑﻪﯾ دلﺧﻮاﻫ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ f‬از )]‪ P([n‬ﺑﻪ ] ‪ [٢n‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﻨﺎﻇﺮ ﯾ ﺑﻪﯾ ‪ φ‬را از ‪ Rn‬ﺑﻪ ‪ R‬ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه ‪ (x١ , . . . , xn ) ∈ Rn‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﯾ از اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ‪ x١ , . . . , xn‬را در‬
‫ﻣﺒﻨﺎی دو ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺣﻔﻆ ﺳﺎزﮔﺎری‪ ،‬ﺑﺮای اﻋﺪادی ﮐﻪ ﺑﻪ دو ﻧﺤﻮ ﻧﻤﺎﯾﺶ داده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﺨﺘﻮمﺷﺎن‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ ﺑﻪ ﺟﺎی ‪ ٠٫ ٠١‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ‪ ٠٫ ١‬را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻣﻘﺪار ) ‪ φ(x١ , . . . , xn‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﻋﺪدی ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ رﻗﻢ ‪ i‬اُم آن در ﻣﺒﻨﺎی ‪ ٢n‬ﺑﺮاﺑﺮ ) ‪ f (Si‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫‬
‫}‬
‫{‬
‫‬
‫در اﯾﻦﺟﺎ رﻗﻢ ‪ i‬اُم ﻋﺪد ‪ xj‬ﺑﺮاﺑﺮ ﯾ اﺳﺖ ]‪ .Si = j ∈ [n‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﺮرﺳ اﺳﺖ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻇﺮ‬
‫ﯾ ﺑﻪﯾ و ﭘﻮﺷﺎ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ |‪.|Rn | = |R‬‬
‫ب( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪Si‬‬
‫∞∪‬
‫‪i=١‬‬
‫= ‪ .U‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ |‪ .|U | ⩾ |Si | = |R‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ |‪.|U | ⩽ |R‬‬
‫‪|U | ⩽ N × R ⩽ R٢ = R‬‬
‫ج( ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻤﺎم ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﻫﺎی داﺧﻞ ﺻﻔﺤﻪ را ‪ A‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﺑﺎ دﻧﺒﺎﻟﻪای ﻣﺘﻨﺎﻫ از اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ‬
‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ اﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت رﺋﻮس ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ اﮔﺮ ‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫ‬
‫از اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دارﯾﻢ |‪ .|A| ⩽ |B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎی ﺣﻘﯿﻘ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ n‬را ‪ Bn‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‬
‫∪‬
‫‪n‬‬
‫∞ = ‪ .B‬ﻣ داﻧﯿﻢ اﺟﺘﻤﺎع ﺷﻤﺎرا ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ‪،R‬‬
‫|‪ .|Bn | = |R | = |R‬از ﻃﺮﻓ ‪n=١ Bn‬‬
‫ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ‪ R‬دارد‪ .‬ﭘﺲ |‪ .|A| = |B| ⩽ |R‬ﺣﺎل ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ |‪ .|A| ⩾ |R‬دو ﻧﻘﻄﻪی )‪v = (٠, ١‬‬
‫و )‪ u = (١, ١‬را در ﺻﻔﺤﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روی ﻣﺤﻮر اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ﺑﺎ اﯾﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ ﺗﺸ ﯿﻞ ﯾ‬
‫ﻣﺜﻠﺚ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﭘﺲ |‪ .|A| ⩾ |R‬ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪی ﺷﺮودر‪-‬ﺑﺮﻧﺸﺘﺎﯾﻦ |‪.|A| = |R‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﺧﻢﻫﺎی ﻣﺮﺑﻊﭘﺮﮐﻦ‬
‫ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﺑﺪاﻧﯿﺪ ﺧﻢﻫﺎﯾ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ﮐﻞ ﻧﻘﺎط ﯾ‬
‫ﺧﻢﻫﺎ را ﮐﺸﻒ ﮐﺮده اﺳﺖ!‬
‫ﻣﺮﺑﻊ را ﻣ ﭘﻮﺷﺎﻧﻨﺪ‪ .‬ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﯾ‬
‫از اﯾﻦ‬
‫ﺑﺮای ﻃ ﮐﺮدن ﯾ ﻣﺮﺑﻊ ‪ ،١ × ١‬ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞﻫﺎی زﯾﺮ ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ :‬ﺑﺎ ﺷﺮوع از ﮔﻮﺷﻪی ﺑﺎﻻ ﭼﭗ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫ﺷ ﻞ ؟؟‪ ،‬ﯾ ﺑﺎر ﻣﺤﯿﻂ ﻣﺮﺑﻊ را ﻃ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ ؟؟‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﺷﻪی ﭘﺎﯾﯿﻦ‪-‬راﺳﺖ ﻣ رود و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ ؟؟‬
‫ﺑﺮﻣ ﮔﺮدد‪ .‬او اﯾﻦ ﮐﺎر را ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﺑﺎر اداﻣﻪ ﻣ دﻫﺪ و در ﻫﺮ ﺑﺎر ﻗﺪمﻫﺎی اﻓﻘ اش را ﻧﺼﻒ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬آﯾﺎ ادﻋﺎی ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ‬
‫درﺳﺖ اﺳﺖ و اﯾﻦ ﺧﻢ ﻫﻤﻪی ﻧﻘﺎط ﻣﺮﺑﻊ را ﻃ ﻣ ﮐﻨﺪ؟ اﺛﺒﺎت ﯾﺎ رد ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)آ( ﻣﺮﺣﻠﻪی اول‬
‫)ب( ﻣﺮﺣﻠﻪی دوم‬
‫)ج( ﻣﺮﺣﻠﻪی ﺳﻮم‬
‫)د( ﻣﺮﺣﻠﻪی ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺷ ﻞ ‪ :١‬ﺧﻢ ﻣﺮﺑﻊﭘﺮﮐﻦ ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﭘﺎره ﺧﻂ اﻓﻘ ﺑﻪ ﻃﻮل ﯾ‬
‫را ﮐﻪ ﻣﺮﺑﻊ را ﺑﻪ دو ﻗﺴﻤﺖ ﻫﻢاﻧﺪازه ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ ،‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬در ﻣﺮﺣﻠﻪی‬
‫اول‪ ،‬دو ﻧﻘﻄﻪی اﻧﺘﻬﺎﯾ اﯾﻦ ﭘﺎره ﺧﻂ ﻃ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و در ﻣﺮﺣﻠﻪی ‪ i‬اُم‪ ٢i−١ − ١ ،‬ﻧﻘﻄﻪ از اﯾﻦ ﭘﺎرهﺧﻂ ﻃ ﻣ ﺷﻮد‪،‬‬
‫ﭘﺲ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎﻃ از اﯾﻦ ﭘﺎرهﺧﻂ ﮐﻪ ﻃ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺷﻤﺎرا ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺣﺎﻟ ﮐﻪ اﯾﻦ ﭘﺎرهﺧﻂ ﻧﺎﺷﻤﺎرا ﻧﻘﻄﻪ دارد‪ .‬در‬
‫▷‬
‫ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻫﻤﻪی ﻧﻘﺎط اﯾﻦ ﭘﺎرهﺧﻂ ﻃ ﻧﻤ ﺷﻮﻧﺪ و ادﻋﺎی ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ اﺷﺘﺒﺎه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬داﯾﺮهﻫﺎ‬
‫ﻣ داﻧﯿﻢ داﺧﻞ ﻫﺮ داﯾﺮه ﺑﺎ ﺷﻌﺎع ﻣﺜﺒﺖ در ﺻﻔﺤﻪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ﻧﻘﻄﻪ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت آن اﻋﺪاد ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪادی داﯾﺮه در ﺻﻔﺤﻪ رﺳﻢ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺮﮐﺰ ﻫﯿﭻ داﯾﺮهای داﺧﻞ داﯾﺮهی دﯾ ﺮی ﻗﺮار ﻧﺪارد‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی اﯾﻦ داﯾﺮهﻫﺎ ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی داﯾﺮهﻫﺎی رﺳﻢ ﺷﺪه را ﺑﺎ ‪ S‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ‪ .‬داﯾﺮهی ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ ‪ p‬و ﺷﻌﺎع ‪ r‬را ﺑﺎ )‪ C(p, r‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ S ′‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ‪ .S ′ = C(p, ٢r )C(p, r) ∈ S :‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ | ‪ .|S| = |S ′‬ﺑﻪ‬
‫ﺳﺎدﮔ دﯾﺪه ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ در ‪ S ′‬داﯾﺮهﻫﺎ دوﺑﻪدو ﻣﺠﺰا ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ داﯾﺮه ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ،c ∈ S ′‬ﻧﻘﻄﻪای ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ q‬را داﺧﻞ‬
‫‪ c‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت آن اﻋﺪاد ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺗﺎﺑﻌ از ‪ S ′‬ﺑﻪ ‪ Q٢‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮدهاﯾﻢ‪ .‬ﭼﻮن داﯾﺮهﻫﺎ‬
‫دوﺑﻪدو ﻣﺠﺰا ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﺑﻪﯾ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ |‪ .|S ′ | ⩽ |Q٢ | = |N‬ﭘﺲ ‪ S ′‬ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ S‬ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬