‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﭼﻬﺎرم‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ و ﺗﻮاﺑ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ٢٩ :‬ﻓﺮوردﯾﻦ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻮاﻧﯿﻦ ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ رواﺑﻂ زﯾﺮ را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( )‪A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C‬‬
‫ب( ))‪B ∩ (A ∪ C) = (A ∪ C) − ((A ∩ B) ∪ (C ∩ B‬‬
‫ج( )‪A − C = ((A ∩ C) ∩ B) ∪ ((A − B) ∩ C‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﺳﺎدهﺳﺎزی‬
‫ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣ ﺎن ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ))‪(B ∩ (B ∪ A)) ∪ (A ∩ (A ∪ B‬‬
‫ب( )‪(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻓﺮاوان‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻮاﺑﻌ ﮐﻪ از ‪ R‬ﺑﻪ ‪ R‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﺷﻮد اﮐﯿﺪاً ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۴‬وارونﻫﺎ‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : X → Y‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ g : Y → X‬را وارون ﭼﭗ ‪ f‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ‪ g ◦ f‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺗﺎﺑﻊ ‪ h : Y → X‬را وارون راﺳﺖ ‪ f‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ‪ f ◦ h‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬درﺳﺘ ﯾﺎ ﻧﺎدرﺳﺘ ﻫﺮ ﯾ از‬
‫ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﺑﻪﯾ ‪ ،‬وارون ﭼﭗ دارد‪.‬‬
‫ب( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ‪ ،‬وارون راﺳﺖ دارد‪.‬‬
‫ج( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﺑﻪﯾ ‪ ،‬وارون راﺳﺖ دارد‪.‬‬
‫د( ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ‪ ،‬وارون ﭼﭗ دارد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۵‬ﺗﻌﺪاد ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﻫﺎ‬
‫ﮔﺰارهﻫﺎی زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n‬دارﯾﻢ | ‪.|R| = |Rn‬‬
‫ب( اﺟﺘﻤﺎع ﺷﻤﺎرا ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻢاﻧﺪازهی ‪ ،R‬ﯾ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻢاﻧﺪازهی ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻤﺎم ﭼﻨﺪﺿﻠﻌ ﻫﺎی داﺧﻞ ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﮐﺎردﯾﻨﺎﻟﯿﺘ ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﺧﻢﻫﺎی ﻣﺮﺑﻊﭘﺮﮐﻦ‬
‫ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﺑﺪاﻧﯿﺪ ﺧﻢﻫﺎﯾ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ ﮐﻞ ﻧﻘﺎط ﯾ‬
‫ﺧﻢﻫﺎ را ﮐﺸﻒ ﮐﺮده اﺳﺖ!‬
‫ﻣﺮﺑﻊ را ﻣ ﭘﻮﺷﺎﻧﻨﺪ‪ .‬ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﯾ‬
‫از اﯾﻦ‬
‫ﺑﺮای ﻃ ﮐﺮدن ﯾ ﻣﺮﺑﻊ ‪ ،١ × ١‬ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞﻫﺎی زﯾﺮ ﻋﻤﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ :‬ﺑﺎ ﺷﺮوع از ﮔﻮﺷﻪی ﺑﺎﻻ ﭼﭗ‪ ،‬اﺑﺘﺪا‬
‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ ‪١‬آ‪ ،‬ﯾ ﺑﺎر ﻣﺤﯿﻂ ﻣﺮﺑﻊ را ﻃ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ ‪١‬ب‪ ،‬ﺑﻪ ﮔﻮﺷﻪی ﭘﺎﯾﯿﻦ‪-‬راﺳﺖ ﻣ رود و ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫ﺷ ﻞ ‪١‬ج ﺑﺮﻣ ﮔﺮدد‪ .‬او اﯾﻦ ﮐﺎر را ﺑ ﻧﻬﺎﯾﺖ ﺑﺎر اداﻣﻪ ﻣ دﻫﺪ و در ﻫﺮ ﺑﺎر ﻗﺪمﻫﺎی اﻓﻘ اش را ﻧﺼﻒ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬آﯾﺎ‬
‫ادﻋﺎی ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ درﺳﺖ اﺳﺖ و اﯾﻦ ﺧﻢ ﻫﻤﻪی ﻧﻘﺎط ﻣﺮﺑﻊ را ﻃ ﻣ ﮐﻨﺪ؟ اﺛﺒﺎت ﯾﺎ رد ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)آ( ﻣﺮﺣﻠﻪی اول‬
‫)ب( ﻣﺮﺣﻠﻪی دوم‬
‫)ج( ﻣﺮﺣﻠﻪی ﺳﻮم‬
‫)د( ﻣﺮﺣﻠﻪی ﭼﻬﺎرم‬
‫ﺷ ﻞ ‪ :١‬ﺧﻢ ﻣﺮﺑﻊﭘﺮﮐﻦ ﻋﻠﯿﺮﺿﺎ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬داﯾﺮهﻫﺎ‬
‫ﻣ داﻧﯿﻢ داﺧﻞ ﻫﺮ داﯾﺮه ﺑﺎ ﺷﻌﺎع ﻣﺜﺒﺖ در ﺻﻔﺤﻪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ﻧﻘﻄﻪ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت آن اﻋﺪاد ﮔﻮﯾﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪادی داﯾﺮه در ﺻﻔﺤﻪ رﺳﻢ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺮﮐﺰ ﻫﯿﭻ داﯾﺮهای داﺧﻞ داﯾﺮهی دﯾ ﺮی ﻗﺮار ﻧﺪارد‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی اﯾﻦ داﯾﺮهﻫﺎ ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ‪.‬‬