‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۴-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﻫﺸﺘﻢ‬
‫راﺑﻄﻪﻫﺎ و ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺰﺋ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ۵ :‬ﺧﺮدادﻣﺎه‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﺗﻘﺎرن و ﺗﺮاﯾﺎﯾ‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪی ‪ R‬ﺗﺮاﯾﺎﯾ و ﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪.R = R−١ ◦ R‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ R‬ﺗﺮاﯾﺎﯾ و ﺗﻘﺎرﻧ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه )‪ (a, b‬را در ‪ R‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ⇒ (b, b) ∈ R ⇒ (b, b) ∈ R−١ ⇒ (a, b) ∈ R−١ ◦ R‬‬
‫ﭘﺲ ‪ .R ⊆ R−١ ◦ R‬از ﻃﺮف دﯾ ﺮ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ (a, c‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاﻫ از ‪ R−١ ◦ R‬ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫‪(a, c) ∈ R−١ ◦ R ⇒ ∃b : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R−١ ⇒ ∃b : (a, b) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R‬‬
‫‪⇒ ∃b : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R‬‬
‫ﭘﺲ ‪ .R−١ ◦ R ⊆ R‬ﭘﺲ ‪.R−١ = R ⊆ R‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪی ‪ R = R−١ ◦ R‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه ‪ (a, b) ∈ R‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪(a, b) ∈ R ⇒ (a, b) ∈ R−١ ◦ R ⇒ ∃c : (a, c) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R−١ ⇒ ∃c : (b, c) ∈ R‬‬
‫‪⇒ ∃c : (b, c) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R−١ ⇒ (b, b) ∈ R−١ ◦ R = R‬‬
‫‪⇒ (b, a) ∈ R−١ ◦ R = R‬‬
‫ﭘﺲ ‪ R‬ﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ (a, b), (b, c) ∈ R‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ R‬ﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ دارﯾﻢ‬
‫‪ .(c, b) ∈ R‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫‪(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R−١ ⇒ (a, c) ∈ R−١ ◦ R = R‬‬
‫ﭘﺲ ‪ R‬ﺗﺮاﯾﺎﯾ ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺖ و اﯾﻦ اﺛﺒﺎت را ﮐﺎﻣﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬اﺧﺘﻼﻓﺎت ﺟﺰﺋ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﺗﻤﺎم زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی اﻋﺪاد ﻃﺒﯿﻌ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬راﺑﻄﻪی ∼ روی اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ ،A ∼ B‬ﻫﺮﮔﺎه ‪ A‬و ‪ B‬در ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﻀﻮ اﺧﺘﻼف داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪی )∼ ‪ (P(N),‬ﯾ‬
‫راﺑﻄﻪی ﻫﻢارزی اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﮐﻼس ﻫﻢارزی دارد‪.‬‬
‫ج( آﯾﺎ ﺗﻌﺪاد ﮐﻼسﻫﺎی ﻫﻢارزی اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺷﻤﺎرا اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺧﻮاص رواﺑﻂ ﻫﻢارزی را در راﺑﻄﻪی ∼ ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫• ﺑﺎزﺗﺎﺑ ‪ :‬از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎ ﺧﻮدش در ﺻﻔﺮ ﻋﻀﻮ اﺧﺘﻼف دارد‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺮای ﻫﺮ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫از اﻋﺪاد ﻃﺒﯿﻌ ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ ،A‬ﮔﺰارهی ‪ A ∼ A‬ﺻﺎدق اﺳﺖ‪.‬‬
‫• ﺗﻘﺎرﻧ ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ .A ∼ B‬ﭘﺲ ‪ A‬و ‪ B‬در ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﻀﻮ اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ ‪ B‬و ‪ A‬ﻧﯿﺰ در ﻣﺘﻨﺎﻫ‬
‫ﻋﻀﻮ اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ ‪.B ∼ A‬‬
‫• ﺗﺮاﯾﺎﯾ ‪ :‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ A ∼ B‬و ‪ B ∼ C‬ﭘﺲ ‪ A‬و ‪ B‬در ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n١ , n٢ , . . . , nk‬و ‪ B‬و‬
‫‪ C‬در ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ m١ , m٢ , . . . , mt‬اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ‪ .‬از اﯾﻦ دو ﺣﻘﯿﻘﺖ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‬
‫ﮐﻪ اﺧﺘﻼف ‪ A‬و ‪ C‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻣﺘﻨﺎﻫ ‪ n١ , n٢ , . . . , nk , m١ , m٢ , . . . , mt‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺲ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ ‪.A ∼ C‬‬
‫ب( ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد اول ‪ p‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫}‬
‫‪Xp = p, p , p , . . .‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪٢‬‬
‫{‬
‫ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺑﺮای ﻫﺮ دو ﻋﺪد اول ‪ ،p, q‬دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Xp , Xq‬ﻫﯿﭻ اﺷﺘﺮاﮐ ﻧﺪارﻧﺪ‪ .‬از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ اﯾﻦ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﻀﻮ دارﻧﺪ‪ ،‬ﭘﺲ اﺧﺘﻼف آنﻫﺎ ﻧﯿﺰ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﻮده و در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﻨﺪ در ﯾ ﮐﻼس‬
‫ﻫﻢارزی ﻗﺮار ﮔﯿﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ اوﺻﺎف و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﺪد اول دارﯾﻢ‪ ،‬ﭘﺲ ﺗﻌﺪاد ﮐﻼسﻫﺎی ﻫﻢارزی‬
‫ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ A‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی دلﺧﻮاﻫ از اﻋﺪاد ﻃﺒﯿﻌ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ YA‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ }‪ .YA = {pi |p ∈ P ∧ i ∈ N‬ﺑﻪ راﺣﺘ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﺮرﺳ اﺳﺖ ﮐﻪ اﮔﺮ ‪ ،A ̸= B‬آنﮔﺎه ‪ YA‬و ‪ YB‬در‬
‫ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻋﻀﻮ اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ در دو ﮐﻼس ﻫﻢارزی ﻣﺘﻔﺎوت ﻗﺮار دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺗﻌﺪاد ﮐﻼسﻫﺎی ﻫﻢارزی‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﻪ اﻧﺪازهی |)‪ |P(N‬اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓ ‪ ،‬ﭼﻮن ﻫﺮ ﮐﻼس ﻫﻢارزی ﺷﺎﻣﻞ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ ﻋﻀﻮ‬
‫ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ از )‪ P(N‬ﻫﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺗﻌﺪاد ﮐﻼسﻫﺎی ﻫﻢارزی ∼ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺑﺮاﺑﺮ |)‪ |P(N‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪی‬
‫ﮐﺎﻧﺘﻮر‪-‬ﺷﺮودر‪-‬ﺑﺮﻧﺸﺘﺎﯾﻦ‪ ،‬اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد دﻗﯿﻘﺎً ﺑﺮاﺑﺮ |)‪ |P(N‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٣‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ‪ ،‬ﻣﻔﻬﻮﻣ ﺷﺒﯿﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ اﻋﻀﺎی آن ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺗ ﺮاری ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای‬
‫ﻣﺜﺎل }‪ {۴, ٠, ١, ١, ۵‬ﯾ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺑﺎ ‪ ۵‬ﻋﻀﻮ اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ K‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻤﻪی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی‬
‫ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪی ‪ k‬ﻋﻀﻮی ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻪ ‪ k‬ﯾ ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ و ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪ .‬راﺑﻄﻪی ⪯ را روی ‪ K‬اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫‪ A ⪯ B‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺗﺮﺗﯿﺒ از اﻋﻀﺎی ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ) ‪ (a١ , a٢ , . . . , ak‬و ) ‪ (b١ , b٢ , . . . , bk‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ ١ ⩽ i ⩽ k‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪ .ai ⩽ bi‬ﺑﺮای ﻣﺜﺎل }‪.{۴, ٠, ١, ١, ۵} ⪯ {٢, ٢, ٨, ٢, ۶‬‬
‫اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪی )⪯ ‪ (K,‬ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺰﺋ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪی )⪯ ‪ (K,‬ﻣﺸﺒ ﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ } ‪ X = {x١ ⩾ x٢ ⩾ · · · ⩾ xk‬و } ‪ .Y = {y١ ⩾ y٢ ⩾ · · · ⩾ yk‬ﭘﯿﺶ از ﻫﺮ ﭼﯿﺰ ادﻋﺎ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪ X ⪯ Y‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ١ ⩽ i ⩽ k‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪.xi ⩽ yi‬‬
‫ﯾ ﻃﺮف ادﻋﺎ ﻧﺘﯿﺠﻪی ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای اﺛﺒﺎت ﻃﺮف دﯾ ﺮ ادﻋﺎ روی ‪ k‬اﺳﺘﻘﺮا ﻣ زﻧﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای‬
‫‪ k = ١‬ﺣ ﻢ واﺿﺢ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﮔﺎم اﺳﺘﻘﺮا ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﭼﻮن ‪ X ⪯ Y‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﺮﺗﯿﺒ از ‪ X‬و ‪ Y‬وﺟﻮد‬
‫دارد ﮐﻪ ﺷﺮاﯾﻂ ⪯ را ﺑﺮﻗﺮار ﺳﺎزد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ در اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ‪ y١‬ﺑﺎ ‪ xt‬و ‪ yl‬ﺑﺎ ‪ x١‬ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﭼﻮن‬
‫‪ x١ ⩾ xt‬و ‪ y١ ⩾ yl‬ﭘﺲ ‪ .y١ ⩾ yl ⩾ x١ ⩾ xt‬ﭘﺲ ﺑﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﮐﺮدن ‪ x١‬و ‪ ،xt‬ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺪﯾﺪ ﻧﯿﺰ ‪ X ⪯ Y‬را ﻧﺘﯿﺠﻪ‬
‫ﻣ دﻫﺪ و ﻋﻼوه ﺑﺮ آن ‪ x١‬ﺑﺎ ‪ y١‬ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺣﺬف ‪ x١‬و ‪ y١‬از ﭼﻨﺪدﺳﺘﻪﻫﺎی ‪ X‬و ‪ Y‬و ﻃﺒﻖ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا‪،‬‬
‫اﺛﺒﺎت ادﻋﺎ ﮐﺎﻣﻞ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺳﻪ ﺷﺮط ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺰﺋ را ﺑﺮرﺳ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫• ﺑﺎزﺗﺎﺑ ‪ :‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪی } ‪ A = {a١ , a٢ , . . . , ak‬دارﯾﻢ ‪ .ai ⩽ ai‬ﭘﺲ ﺑﺮای ﻫﺮ‬
‫‪ A ∈ K‬دارﯾﻢ ‪.A ⪯ A‬‬
‫• ﭘﺎدﺗﻘﺎرﻧ ‪ :‬اﮔﺮ } ‪ A = {a١ ⩾ a٢ ⩾ · · · ⩾ ak‬و } ‪ B = {b١ ⩾ b٢ ⩾ · · · ⩾ bk‬و ﺑﺪاﻧﯿﻢ ﮐﻪ‬
‫‪ A ⪯ B‬و ‪ ،B ⪯ A‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻃﺒﻖ ادﻋﺎ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ١ ⩽ i ⩽ k‬دارﯾﻢ ‪ ai ⩽ bi‬و ‪ bi ⩽ ai‬ﭘﺲ‬
‫‪ .ai = bi‬ﭘﺲ ‪.A = B‬‬
‫• ﺗﺮاﯾﺎﯾ ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪی } ‪ A = {a١ ⩾ a٢ ⩾ · · · ⩾ ak‬و } ‪B = {b١ ⩾ b٢ ⩾ · · · ⩾ bk‬‬
‫و } ‪ C = {c١ ⩾ c٢ ⩾ · · · ⩾ ck‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ‪ A ⪯ B‬و ‪ .B ⪯ C‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻃﺒﻖ‬
‫ادﻋﺎ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ١ ⩽ i ⩽ k‬دارﯾﻢ ‪ ai ⩽ bi‬و ‪ .bi ⩽ ci‬ﭘﺲ ‪ .ai ⩽ ci‬ﭘﺲ ‪.A ⪯ C‬‬
‫ب( ﺑﺮای ﻫﺮ دو ﭼﻨﺪدﺳﺘﻪی } ‪ A = {a١ ⩾ a٢ ⩾ · · · ⩾ ak‬و } ‪ B = {b١ ⩾ b٢ ⩾ · · · ⩾ bk‬و ﺑﺮای ﻫﺮ‬
‫‪ ،١ ⩽ i ⩽ k‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ } ‪ mi = min {ai , bi‬و } ‪ .Mi = max {ai , bi‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔ ﻣ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد‬
‫ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ mi ⩾ mi+١ ،١ ⩽ i ⩽ k − ١‬و ‪ .Mi ⩾ Mi+١‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ ﻧ ﺘﻪ ﻣ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﮐﻪ‬
‫دو ﭼﻨﺪدﺳﺘﻪی } ‪ M = {M١ ⩾ M٢ ⩾ · · · ⩾ Mk‬و } ‪ m = {m١ ⩾ m٢ ⩾ · · · ⩾ mk‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ‬
‫ﮐﺮان ﺑﺎﻻ و ﺑﺰرگﺗﺮﯾﻦ ﮐﺮان ﭘﺎﯾﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬راﺑﻄﻪی راﺑﻄﻪﻫﺎ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ R(S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻫﻤﻪی راﺑﻄﻪﻫﺎی روی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ S‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬راﺑﻄﻪی ⪯ را روی )‪ R(S‬اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ‪ R١ ⪯ R٢‬ﻫﺮﮔﺎه ‪ .R١ ⊆ R٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ⪯ روی )‪ R(S‬ﯾ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺰﺋ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ‪ ،‬ﯾ‬
‫ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺟﺰﺋ اﺳﺖ ﺑﺎﯾﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ﺑﺎزﺗﺎﺑ ‪ ،‬ﺗﺮاﯾﺎﯾ و ﭘﺎدﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﭘﺎدﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻨﺎنﭼﻪ ‪ R١‬و ‪ R٢‬دو راﺑﻄﻪ روی ‪ S‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ﮐﻪ ‪ R١ ⪯ R٢‬و ‪R٢ ⪯ R١‬‬
‫در اﯾﻦ ﺻﻮرت دارﯾﻢ ‪ R١ ⊆ R٢‬و ‪ .R٢ ⊆ R١‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ R١ = R٢‬و ﻟﺬا اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﭘﺎد ﺗﻘﺎرﻧ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻫﻢﭼﻨﯿﻦ از آنﺟﺎ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ راﺑﻄﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ R‬روی ‪ ،S‬دارﯾﻢ ‪ R ⊆ R‬ﻣ ﺗﻮان ﻧﺘﯿﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ‪ R ⪯ R‬و در ﻧﺘﯿﺠﻪ راﺑﻄﻪی‬
‫⪯ روی )‪ R(S‬ﺑﺎزﺗﺎﺑ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮای اﯾﻦﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺗﻌﺪی اﺳﺖ‪ ،‬ﺳﻪ راﺑﻄﻪی ‪ R٢ ،R١‬و ‪ R٣‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ R١ ⪯ R٢‬و‬
‫‪ .R٢ ⪯ R٣‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫}‬
‫‪R١ ⪯ R٢ ⇒ R١ ⊆ R٢‬‬
‫‪⇒ R١ ⊆ R٣ ⇒ R١ ⪯ R٣‬‬
‫‪R٢ ⪯ R٣ ⇒ R٢ ⊆ R٣‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ راﺑﻄﻪی ⪯ روی )‪ R(S‬ﯾ‬
‫راﺑﻄﻪی ﺗﺮاﯾﺎﯾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﺧﻮب و ﭼ ﺎل‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ S‬و راﺑﻄﻪی ⪯ روی آن داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ (S, ⪯) .‬را ﺧﻮب ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ﻫﯿﭻ دﻧﺒﺎﻟﻪی ﻧﺰوﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ای‬
‫از اﻋﻀﺎی آن ﭘﯿﺪا ﻧﺸﻮد‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ ﮐﻪ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ‪ x١ , x٢ , . . .‬ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪.· · · ⪯ x٢ ⪯ x١‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ )⪯ ‪ (S,‬را ﭼ ﺎل ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ اﮔﺮ ﺑﺮای ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ‪ x‬و ‪ y‬از ‪ S‬ﮐﻪ ‪ ،x ⪯ y‬ﻋﻀﻮی ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ z‬در ‪ S‬ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﮐﻪ ‪.x ⪯ z ⪯ y‬‬
‫اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ )⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺐ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺧﻮب ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮی از آن ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی رﺷﺘﻪﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻣﺘﺸ ﻞ از ﺣﺮوف زﺑﺎن اﻧ ﻠﯿﺴ ﺑﺎ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻟﻐﺖﻧﺎﻣﻪای ﻧﻪ ﺧﻮب اﺳﺖ‬
‫ﻧﻪ ﭼ ﺎل‪.‬‬
‫ج( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ )⪯ ‪ (S,‬ﭼ ﺎل ﺑﺎﺷﺪ و ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه ﺧﻮب ﻧﺨﻮاﻫﺪ‬
‫ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﺑﺘﺪا ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺐ اﺳﺖ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ‪ ،‬ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮ ‪ S‬ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪاﻧﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬
‫)⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮب ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﯾﻌﻨ اﻋﻀﺎی ‪ x١ , x٢ , . . .‬ﻣﻮﺟﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ .· · · ⪯ x٢ ⪯ x١‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی‬
‫‪ L‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت }‪ L = {x١ , x٢ , . . .‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎﯾﺪ ‪ L‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﻣﺎ واﺿﺢ‬
‫اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺪارد‪ .‬ﺗﻨﺎﻗﺾ ﺣﺎﺻﻞ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ )⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮب اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﮐﻨﻮن ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )⪯ ‪ (S,‬ﻫﻢ ﺧﻮب ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻢ ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮی از آن ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ )⪯ ‪(S,‬‬
‫ﺧﻮشﺗﺮﺗﯿﺐ ﻫﻢ ﻫﺴﺖ‪ .‬ﯾ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی دلﺧﻮاه از )⪯ ‪ (S,‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ L‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﻧﺸﺎن‬
‫دﻫﯿﻢ ‪ L‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ دارد‪ .‬ﯾ ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه از آن را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ و آن را ‪ x١‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻋﻀﻮ دﯾ ﺮی‬
‫در ‪ L‬ﻧﺒﺎﺷﺪ ﮐﻪ از ‪ x١‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﮐﺎر ﺗﻤﺎم اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻋﻀﻮی ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x٢‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ از‬
‫‪ x١‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﺪداً اﮔﺮ ﻋﻀﻮ دﯾ ﺮی وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ از ‪ x٢‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ‬
‫ﺑﺮای ‪ L‬ﭘﯿﺪا ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻋﻀﻮ دﯾ ﺮی از ‪ L‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x٣‬ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ .x٣ ⪯ x٢ ⪯ x١‬اﯾﻦ‬
‫روﻧﺪ را اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ‪ .‬اﮔﺮ در ﺟﺎﯾ ﮐﺎر ﻣﺘﻮﻗﻒ ﺷﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ ﭘﯿﺪا ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﯾ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ﻧﺰوﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﭘﯿﺪا ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ ﻓﺮض اﯾﻦﮐﻪ )⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮب اﺳﺖ در‬
‫ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ اﯾﻦ روﻧﺪ ﻣﺘﻮﻗﻒ ﻣ ﺷﻮد و اﯾﻦ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ L‬ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ دارد و )⪯ ‪(S,‬‬
‫ﺧﻮش ﺗﺮﺗﯿﺐ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( دو ﻋﻀﻮ ‪ a‬و ‪ aa‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻫﯿﭻ ﻋﻀﻮی ﺑﯿﻦ اﯾﻦ دو ﻧﯿﺴﺖ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎ راﺑﻄﻪی ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﺷﺪه ﭼ ﺎل ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺮای اﯾﻦﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ﺧﻮب ﻧﯿﺴﺖ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﯾ دﻧﺒﺎﻟﻪی ﻧﺰوﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻣﺜﺎل‬
‫ﺑﺰﻧﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻨﻈﻮر دﻧﺒﺎﻟﻪی زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪· · · ⪯ aab ⪯ ab ⪯ b‬‬
‫ج( ﻃﺒﻖ ﻓﺮض ﺳﻮال )⪯ ‪ (S,‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ دارد‪ .‬اﯾﻦ دو ﻋﻀﻮ را ‪ x١‬و ‪ y‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ و ﺑﺪون‬
‫ﮐﻢ ﺷﺪن از ﮐﻠﯿﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ .y ⪯ x١‬ﺣﺎل ﭼﻮن )⪯ ‪ (S,‬ﭼ ﺎل اﺳﺖ ﻋﻀﻮی ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x٢‬وﺟﻮد دارد‬
‫ﮐﻪ ﺑﯿﻦ اﯾﻦ دو ﻋﻀﻮ ﻗﺮار ﺑ ﯿﺮد ﭘﺲ دارﯾﻢ ‪ .y ⪯ x٢ ⪯ x١‬ﺣﺎل ﻣﺠﺪدا ﻋﻀﻮی ﺑﯿﻦ ‪ y‬و ‪ x٢‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫اﮔﺮ اﯾﻦ ﻋﻀﻮ را ‪ x٣‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ دارﯾﻢ ‪ .y ⪯ x٣ ⪯ x٢ ⪯ x١‬ﺑﺎ اداﻣﻪی اﯾﻦ روﻧﺪ ﺑﻪ ﯾ دﻧﺒﺎﻟﻪی ﻧﺰوﻟ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ‬
‫ﻣ رﺳﯿﻢ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ اﺳﺖ ﮐﻪ )⪯ ‪ (S,‬ﺧﻮب ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﻋﺪدی‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ،n‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ An‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت }‪ An = {kn | k ∈ N‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺧﺎﻧﻮادهی ‪S‬‬
‫از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ را ﺑﻪ ﺻﻮرت }‪ S = {Ai | i ∈ N‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه از ‪ S‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ At‬و ‪As‬‬
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪ At ⪯ As‬ﻫﺮﮔﺎه ‪ .At ⊆ As‬آﯾﺎ )⪯ ‪ (S,‬ﯾ ﻣﺸﺒ ﻪ اﺳﺖ؟‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ )⪯ ‪ (S,‬ﯾ ﻣﺸﺒ ﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎﯾﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ﻫﺮ دو ﻋﻀﻮی از ‪ S‬ﯾ‬
‫ﺑﺎﻻ و ﯾ ﺑﺰرگﺗﺮﯾﻦ ﮐﺮان ﭘﺎﯾﯿﻦ دارﻧﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‬
‫‪At ⪯ As ⇔ At ⊆ As ⇔ t | s‬‬
‫ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﮐﺮان‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ اﮔﺮ دو ﻋﻀﻮ دلﺧﻮاه ‪ As‬و ‪ At‬از )⪯ ‪ (S,‬را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﻢ و ‪ Ad‬ﯾ ﮐﺮان ﭘﺎﯾﯿﻦ ﺑﺮای آنﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ دارﯾﻢ ‪d | t‬‬
‫و ‪ d | s‬و درﻧﺘﯿﺠﻪ )‪ .d | (t, s‬از ﻃﺮﻓ اﮔﺮ ‪ d‬را ﺧﻮد ﺑﺰرگﺗﺮﯾﻦ ﻣﻘﺴﻮمﻋﻠﯿﻪ ﻣﺸﺘﺮک ‪ s‬و ‪ t‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ﺑﻪ وﺿﻮح ‪Ad‬‬
‫ﯾ ﮐﺮان ﭘﺎﯾﯿﻦ ﺑﺮای ‪ As‬و ‪ At‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺰرگﺗﺮﯾﻦ ﮐﺮان ﭘﺎﯾﯿﻦ وﺟﻮد دارد و ﺧﻮد )‪ Agcd(s,t‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ Al‬ﯾ ﮐﺮان ﺑﺎﻻ ﺑﺮای ‪ As‬و ‪ At‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ آنﭼﻪ در ﺑﺎﻻ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ ‪ s | l‬و ‪ .t | l‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ‬
‫ﻣﻀﺮب ﻣﺸﺘﺮک ‪ s‬و ‪ t‬ﺑﺎﯾﺪ ‪ l‬را ﻋﺎد ﮐﻨﺪ‪ .‬از ﻃﺮﻓ اﮔﺮ ‪ l‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﻀﺮب ﻣﺸﺘﺮک ‪ s‬و ‪ t‬ﺑ ﺬارﯾﻢ‪ ،‬دﯾﺪه‬
‫ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ‪ Al‬ﯾ ﮐﺮان ﺑﺎﻻ ﺑﺮای ‪ As‬و ‪ At‬اﺳﺖ و درﻧﺘﯿﺠﻪ ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﮐﺮان ﺑﺎﻻی ‪ As‬و ‪ At‬ﺧﻮد )‪ Alcm(s,t‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٧‬ﺟﺒﺮ ﺑﻮل‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Dn‬ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻘﺴﻮمﻋﻠﯿﻪﻫﺎی ‪ n‬ﺑﺎ راﺑﻄﻪی ﻋﺎد ﮐﺮدن ﯾ‬
‫ﻫﯿﭻ ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ ﮐﺎﻣﻠ ﺑﻪ ﺟﺰ ‪ ١‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺟﺒﺮ ﺑﻮل اﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ n‬ﺑﺮ‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n‬ﺷﺎﻣﻞ ﻫﯿﭻ ﻣﺮﺑﻊ ﮐﺎﻣﻠ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روی ﺗﻌﺪاد ﻋﻮاﻣﻞ اول ‪ n‬ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ اﮔﺮ ‪ n‬ﺑﺮ ‪k‬‬
‫ﻋﺪد اول ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ (Dn , |) ،‬ﺑﺎ ‪ Bk‬ﯾ رﯾﺨﺖ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ n‬ﻋﺪدی اول ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ Dn‬ﺑﺎ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل‬
‫دو ﻋﻀﻮی ‪ B١‬ﯾ رﯾﺨﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ )| ‪ (Dn ,‬ﯾ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺠﺰﯾﻪی ‪ n‬ﺑﻪ ﻋﻮاﻣﻞ اول‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫∏‬
‫‪ ki=١ pk‬ﺑﺎﺷﺪ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣ ﻢ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ﮐﻪ ﺑﺮ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ k − ١‬ﻋﺪد اول ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺪه‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ .m = pnk‬ﻃﺒﻖ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا‪ (Dm , |) ،‬ﺑﺎ ‪ Bk−١‬ﯾ رﯾﺨﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻘﺴﻮمﻋﻠﯿﻪﻫﺎی دلﺧﻮاه ‪a‬‬
‫و ‪ b‬از ‪ n‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ ‪ a = a′ a′′‬و ‪ b = b′ b′′‬ﮐﻪ } ‪ a′ , b′ ∈ {١, pk‬و ‪ a′′‬و ‪ b′′‬ﻣﻘﺴﻮمﻋﻠﯿﻪ ‪m‬‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ a | b‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ a′ | b′‬و ‪ .a′′ | b′′‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫‪(Dn , |) ≃ (Dm , |) × (Dpk , |) ≃ Bk−١ × B١ ≃ Bk‬‬
‫ﺑﺮﻋ ﺲ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )| ‪ (Dn ,‬ﯾ ﺟﺒﺮ ﺑﻮل اﺳﺖ‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ n‬و ‪ ١‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺰرگﺗﺮﯾﻦ و ﮐﻮﭼ ﺗﺮﯾﻦ ﻋﻀﻮ‬
‫‪ Dn‬ﺑﺎ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻋﺎد ﮐﺮدن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n‬ﺑﺮ ‪ a٢‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﯾﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺘﻤﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫}‬
‫‪gcd(a, a) = ١‬‬
‫‪⇒ aa = gcd(a, a) × lcm(a, a) = n = ka٢ ⇒ a = ka‬‬
‫‪lcm(a, a) = n‬‬
‫‪⇒ a | gcd(a, a) = ١ ⇒ a = ١‬‬
‫▷‬