‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۴-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﻣﺪلﺳﺎزی ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﻧﻬﻢ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١۶ :‬ﺧﺮدادﻣﺎه‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎی ﺣﺎﻟﺖﻣﺘﻨﺎﻫ‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﯾ‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖﻣﺘﻨﺎﻫ ﻗﻄﻌ ﻃﺮاﺣ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫از زﺑﺎنﻫﺎی زﯾﺮ ﯾ‬
‫اﻟﻒ( اﻋﺪاد دودوﯾ ﻣﻀﺮب ‪٣‬‬
‫ب( رﺷﺘﻪﻫﺎی دودوﯾ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد زوﺟ ﺻﻔﺮ و ﺗﻌﺪاد ﻓﺮدی ﯾ‬
‫دارﻧﺪ‬
‫ج( رﺷﺘﻪﻫﺎی دودوﯾ ﺷﺎﻣﻞ ‪١١٠١٠‬‬
‫د( رﺷﺘﻪﻫﺎی دودوﯾ ﮐﻪ در ‪ ۴‬ﺣﺮف آﺧﺮﺷﺎن ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫‪ ٠‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٢, −‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠, −‬‬
‫‪٢, +‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪S.‬‬
‫‪٠, +‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١, +‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١, −‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫ب( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠,.٠‬‬
‫‪٠, ١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١, ١‬‬
‫‪١, ٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪start‬‬
‫‪start‬‬
‫ج( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١١٠١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١١٠١٠‬‬
‫‪١١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١١٠‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠, ١‬‬
‫‪λ.‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪start‬‬
‫‪٠‬‬
‫د( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠١١١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪x٠١١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪xx٠١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪xxx٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪.‬‬
‫‪١١١١‬‬
‫‪start‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪٠‬‬
‫‪١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٢‬زﺑﺎنﻫﺎی ﻧﺎﻣﻨﻈﻢ‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ زﺑﺎنﻫﺎی زﯾﺮ ﻧﺎﻣﻨﻈﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( }‪{ai bj | i > j‬‬
‫ب( }‪{an bm | n ̸= m‬‬
‫ج( }‪ n‬ﻋﺪدی اول اﺳﺖ | ‪{an‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﯾﻦ زﺑﺎن ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ p − ١‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺮای اﯾﻦ زﺑﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ‬
‫رﺷﺘﻪی ‪ w = ap+١ bp‬ﻋﻀﻮ زﺑﺎن اﺳﺖ‪ .‬رﺷﺘﻪی ﺣﺎﺻﻞ از ﺣﺬف دور از ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ w‬ﻧﯿﺰ ﺑﺎﯾﺪ ﻋﻀﻮ زﺑﺎن‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬وﻟ روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ رﺷﺘﻪای ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ ap+١−l bp‬ﻋﻀﻮ زﺑﺎن ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ‬
‫ﻓﺮض ﻣﻨﻈﻢ ﺑﻮدن زﺑﺎن ﻏﻠﻂ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( اﮔﺮ زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺘﻤﻢ آن‪ ،‬ﯾﻌﻨ زﺑﺎن }‪ L = {an bn | n ∈ N‬ﻧﯿﺰ ﻣﻨﻈﻢ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ‬
‫اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ اﯾﻦ زﺑﺎن ﻣﻨﻈﻢ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ زﺑﺎن ‪ L‬ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ p − ١‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺮای آن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ رﺷﺘﻪی ‪ w = ap bp‬ﻋﻀﻮ زﺑﺎن ‪ L‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ رﺷﺘﻪی ﺣﺎﺻﻞ از‬
‫ﯾ ﺑﺎر ﺗ ﺮار دور در ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ w‬ﻧﯿﺰ ﻋﻀﻮ ‪ L‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬وﻟ روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ رﺷﺘﻪای ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ ap+l bp‬ﻋﻀﻮ ‪ L‬ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﻓﺮض ﻣﻨﻈﻢ ﺑﻮدن زﺑﺎن ‪ L‬ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺒﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ L‬و در‬
‫ﻧﺘﯿﺠﻪ زﺑﺎن ﻣﻄﻠﻮب ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﺎﻣﻨﻈﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﯾﻦ زﺑﺎن ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ p − ١‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺮای اﯾﻦ زﺑﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻓﺮض‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ m‬ﯾ ﻋﺪد اول ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ p‬ﺑﺎﺷﺪ‪ w = am .‬ﻋﻀﻮ اﯾﻦ زﺑﺎن اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ رﺷﺘﻪی ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫آﻣﺪه از ‪ m‬ﺑﺎر ﺗ ﺮار دور در ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ ،w‬ﯾﻌﻨ رﺷﺘﻪی ‪ w′ = am+ml‬ﻧﯿﺰ ﻋﻀﻮ زﺑﺎن ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬وﻟ‬
‫روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ )‪ m(l + ١‬ﻋﺪدی اول ﻧﯿﺴﺖ و ‪ w′‬ﻋﻀﻮ زﺑﺎن ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﻓﺮض ﻣﻨﻈﻢ‬
‫ﺑﻮدن زﺑﺎن ﻏﻠﻂ ﺑﻮده اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٣‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ‬
‫ﺑﺮای ﻫﺮ ﯾ‬
‫از زﺑﺎنﻫﺎی زﯾﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ‬
‫اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﺗﺼﻤﯿﻢ ﺑ ﯿﺮد‪.‬‬
‫اﻟﻒ( }‪{٠n ١n | n ∈ N‬‬
‫‪{ R‬‬
‫}‬
‫ب( ∗}‪ww | w ∈ {٠, ١‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪×, ×, R‬‬
‫‪qacc‬‬
‫‪␣،␣،R‬‬
‫‪×, ×, L‬‬
‫‪٠, ٠, R‬‬
‫‪×, ×, R‬‬
‫‪١, ×, L‬‬
‫‪␣،␣،R‬‬
‫‪٠, ×, R‬‬
‫ب( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺷ ﻞ زﯾﺮ‪ ،‬زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫‪٠, ×, R‬‬
‫‪s.‬‬
‫‪start‬‬
‫‪×, ×, L‬‬
‫‪␣, ␣, L‬‬
‫‪٠, ٠, R‬‬
‫‪١, ١, R‬‬
‫‪٠, ×, R‬‬
‫‪٠, ×, L‬‬
‫‪٠, ٠, L‬‬
‫‪١, ١, L‬‬
‫‪١, ×, L‬‬
‫‪×, ×, R‬‬
‫‪×, ×, L‬‬
‫‪␣, ␣, L‬‬
‫‪s.‬‬
‫‪start‬‬
‫‪١, ×, R‬‬
‫‪␣, ␣, R‬‬
‫‪×, ×, R‬‬
‫‪qacc‬‬
‫‪٠, ٠, R‬‬
‫‪١, ١, R‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬ﻣﻌ ﻮس زﺑﺎن ﻣﻨﻈﻢ‬
‫ﻣﻌ ﻮس زﺑﺎن ‪ L‬را ﺑﺎ ‪ LR‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ و ﻣﻨﻈﻮرﻣﺎن از آن زﺑﺎن ﺗﺸ ﯿﻞﺷﺪه از ﻣﻌ ﻮس ﺗ ﺗ رﺷﺘﻪﻫﺎی ‪ L‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺜﻼ ﻣﻌ ﻮس رﺷﺘﻪی »ﮔﺴﺴﺘﻪ«‪ ،‬رﺷﺘﻪی »ﻫﺘﺴﺴ « اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ ‪ L‬ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ LR ،‬ﻧﯿﺰ ﻣﻨﻈﻢ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﻌ ﻮس رﺷﺘﻪی ‪ w‬را ﺑﺎ ‪ wR‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ M‬ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻗﻄﻌ ﺑﺮای زﺑﺎن ‪L‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻬﺖ ﻫﻤﻪی ﯾﺎلﻫﺎی ‪ M‬را ﺑﺮﻋ ﺲ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﯾ ﺣﺎﻟﺖ ﺟﺪﯾﺪ ‪ s′‬ﺑﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ اﺿﺎﻓﻪ ﮐﻨﯿﺪ و آن را ﺑﺎ ﯾﺎل ‪ λ‬ﺑﻪ ﻫﻤﻪی‬
‫ﺣﺎﻻت ﻧﻬﺎﯾ وﺻﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺣﺎﻟﺖ ﺷﺮوع ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺟﺪﯾﺪ را ﺑﺮاﺑﺮ ‪ s′‬و ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻬﺎﯾ آن را ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺷﺮوع ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪M‬‬
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻏﯿﺮﻗﻄﻌ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ‪ M ′‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش‬
‫ﺑﺮای ‪ w‬در ‪ ،M‬ﯾ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ﺑﺮای ‪ wR‬در ‪ M ′‬وﺟﻮد دارد و ﺑﺮﻋ ﺲ‪ .‬ﭘﺲ ‪ M ′‬زﺑﺎن ‪ LR‬را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ .‬ﭘﺲ زﺑﺎن‬
‫▷‬
‫‪ LR‬ﻣﻨﻈﻢ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬زﺑﺎن ﭘﺎدﭘﯿﺸﻮﻧﺪی‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ زﺑﺎن ‪ L‬ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬زﺑﺎن ‪ L′‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی رﺷﺘﻪﻫﺎﯾ از ‪ L‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﭘﯿﺸﻮﻧﺪی از آنﻫﺎ‬
‫ﻋﻀﻮ ‪ L‬ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪ L′‬ﻧﯿﺰ ﻣﻨﻈﻢ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ M‬ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻗﻄﻌ ﺑﺮای ‪ L‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻤﻪی ﯾﺎلﻫﺎی ﺧﺮوﺟ از ﺣﺎﻻت ﻧﻬﺎﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ‬
‫‪ M‬را ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﺻﻞ را ﺑﺎ ‪ M ′‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ‪ M ′‬ﻣﺎﺷﯿﻨ ﺑﺮای زﺑﺎن ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ w‬ﻋﻀﻮ اﯾﻦ زﺑﺎن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﯿﭻ ﭘﯿﺸﻮﻧﺪی از آن ﻋﻀﻮ زﺑﺎن ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﯿﭻ ﯾ از رﺋﻮس ﻣﯿﺎﻧ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ w‬در ‪ ،M‬ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻬﺎﯾ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﻤﯿﻦ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش در ‪ M ′‬ﻧﯿﺰ وﺟﻮد دارد‪ .‬ﭘﺲ ‪ M ′‬اﯾﻦ رﺷﺘﻪ را‬
‫ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪.‬‬
‫ﺑﺮﻋ ﺲ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ w‬ﺗﻮﺳﻂ ‪ M ′‬ﭘﺬﯾﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ w‬در ‪ ،M ′‬ﯾ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش در ‪M‬‬
‫ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ w‬در ‪ M‬ﻧﯿﺰ ﭘﺬﯾﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ‪ .w ∈ L‬از ﻃﺮﻓ ‪ ،‬ﭼﻮن ﻫﯿﭻ ﯾﺎل ﺧﺮوﺟ ای ﺑﺮای ﺣﺎﻻت ﻧﻬﺎﯾ‬
‫‪ M ′‬وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ ،‬ﻫﯿﭻ ﮐﺪام رﺋﻮس ﻣﯿﺎﻧ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ w‬در ‪ ،M‬ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻬﺎﯾ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﯿﭻ ﭘﯿﺸﻮﻧﺪی از ‪ w‬در‬
‫▷‬
‫‪ L‬ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﺗﺮﮐﯿﺐ زﺑﺎنﻫﺎی ﻣﻨﻈﻢ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ زﺑﺎنﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬روی اﻟﻔﺒﺎی ‪ Σ‬ﻣﻨﻈﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ زﺑﺎن زﯾﺮ ﻧﯿﺰ ﻣﻨﻈﻢ اﺳﺖ‪:‬‬
‫}‪C = {x١ y١ x٢ y٢ · · · xk yk | ∀i : xi , yi ∈ Σ ∧ x١ x٢ · · · xk ∈ A ∧ y١ y٢ · · · yk ∈ B‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ MA‬و ‪ MB‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﻗﻄﻌ ﺑﺮای زﺑﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ MC‬را ﺑﺮای زﺑﺎن ‪ C‬ﻃﺮاﺣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﺪهی ﮐﻠ اﯾﻦ ﻃﺮاﺣ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ MC‬از دو‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ MA‬و ‪ MB‬ﺗﺸ ﯿﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ و اﯾﻦ دو را ﺑﻪﻃﻮر ﯾ در ﻣﯿﺎن اﺟﺮا ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪﻃﻮر دﻗﯿﻖﺗﺮ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬
‫) ‪ MA = (QA , Σ, fA , sA , FA‬و ) ‪ .MB = (QB , Σ, fB , sB , FB‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ MC‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‬
‫ﮐﻪ )}‪ .MC = (QA × QB × {٠, ١} , Σ, fC , (sA , sB , ٠), FA × FB × {٠‬ﻣﻮﻟﻔﻪی اول و دوم در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی‬
‫ﺣﺎﻻت ‪ ،MC‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ در ‪ MA‬و ‪ MB‬ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻮﻟﻔﻪی ﺳﻮم ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﺣﺮف‬
‫ﺑﻌﺪی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ زﺑﺎن ‪ A‬اﺳﺖ ﯾﺎ ‪ .B‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ fC‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫{‬
‫‪(fA (qA , s), qB ) x = ٠‬‬
‫= )‪fC ((qA , qB , x), s‬‬
‫‪(qA , fB (qB , s)) x = ١‬‬
‫ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ MC‬زﺑﺎن ‪ C‬را ﻣ ﭘﺬﯾﺮد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪w(C) = w١ w١ w٢ w٢ · · · wk wk ∈ C‬‬
‫ﮐﻪ ‪ w(A) ∈ A‬و ‪ .w(B) ∈ B‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ )‪ p(A‬ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ wA‬در ‪ MA‬و )‪ p(B‬ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ‪ wB‬در ‪MB‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ راﺣﺘ دﯾﺪه ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﺴﯿﺮ )‪ p(C‬ﯾ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش )‪ w(C‬در ‪ MC‬اﺳﺖ‪ ،‬ﮐﻪ )‪ p(C‬را ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﯾﻒ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫)‪(B‬‬
‫)‪(A‬‬
‫)‪(B‬‬
‫)‪(A‬‬
‫)‪(B‬‬
‫)‪(A‬‬
‫)‪p٢i−١ = (pi , pi , ٠‬‬
‫)‪(B‬‬
‫)‪(C‬‬
‫)‪(A‬‬
‫)‪p٢i = (pi+١ , pi , ١‬‬
‫)‪(B‬‬
‫)‪(C‬‬
‫)‪(A‬‬
‫ﭘﺲ )‪ w(C‬در ‪ MC‬ﭘﺬﯾﺮﻓﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش آن در ‪ MC‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪fC‬‬
‫ﺑﺮﻋ ﺲ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ w(C‬در ‪ MC‬ﭘﺬﯾﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد و )‪ p(C‬ﯾ‬
‫روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺴﯿﺮ )‪ p(C‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ‪:‬‬
‫)‪= (p١ , p′١ , ٠), (p٢ , p′١ , ١), (p٢ , p′٢ , ٠), (p٣ , p′٢ , ١), . . . , (pk+١ , p′k , ١), (pk+١ , p′k+١ , ٠‬‬
‫)‪p(C‬‬
‫ﮐﻪ ‪ p١ p٢ · · · pk+١‬ﯾ ﻣﺴﯿﺮ ﭘﺬﯾﺮش ﺑﺮای ‪ wA = w١ w٣ · · · w٢k−١‬در ‪ MA‬اﺳﺖ و ‪ p′١ p′٢ · · · p′k+١‬ﯾ‬
‫)‪(C) (C‬‬
‫)‪(C‬‬
‫ﭘﺬﯾﺮش ﺑﺮای ‪ wB = w٢ w۴ · · · w٢k‬در ‪ MB‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪.w(C) ∈ C‬‬
‫)‪(C‬‬
‫)‪(C‬‬
‫)‪(C‬‬
‫ﻣﺴﯿﺮ‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬ﮔﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎی زﯾﺮ ﻣﻌﺎدل ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ‬
‫اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﮐﻪ ﯾ ﻧﻮار از ﯾ ﻃﺮف ﻣﺤﺪود داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺧﺎﻧﻪی اول اﯾﻦ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣﺨﺼﻮﺻ دارد‬
‫و ﺳﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ از اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﭼﭗ ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﮐﻪ دو ﻧﻮار از ﯾ ﻃﺮف ﻣﺤﺪود داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ اﺳﺖ‪ ،‬وﻟ‬
‫دو ﻧﻮار و دو ﻫﺪ دارد‪ .‬اﯾﻦ دو ﻫﺪ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻫﻢ ﺣﺮﮐﺖ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺑﻪ راﺣﺘ ﻣ ﺗﻮان دﯾﺪ ﮐﻪ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ ﻧﻮار ﻧﯿﻤﻪﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی‬
‫ﮐﺮد‪ .‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻧﯿﻤﻪی دﯾ ﺮ ﻧﻮار اﺳﺘﻔﺎدهای ﻧ ﻨﯿﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان ﻣﺎﺷﯿﻦ‬
‫ﺗﻮرﯾﻨ را ﺑﺎ ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ ﻧﻮار ﻧﯿﻤﻪﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﮐﺮد‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ TM‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ و ‪HITM‬‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ ﻧﻮار ﻧﯿﻤﻪﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺧﺎﻧﻪﻫﺎی ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﺧﺎﻧﻪی ﺷﺮوع ‪ TM‬را ﺑﺎ ﺧﺎﻧﻪﻫﺎی ﻓﺮد‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ HITM‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺧﺎﻧﻪﻫﺎی ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺧﺎﻧﻪی ﺷﺮوع ‪ TM‬را ﺑﺎ ﺧﺎﻧﻪﻫﺎی زوج ‪HITM‬‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻫﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬را در ﻧﯿﻤﻪی راﺳﺖ ﻧﻮار‪ ،‬ﺑﺎ دو ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪HITM‬‬
‫در ﻫﻤﺎن ﺟﻬﺖ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﻫﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬را در ﻧﯿﻤﻪی ﭼﭗ ﻧﻮار‪ ،‬ﺑﺎ دو ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺎﺷﯿﻦ‬
‫‪ HITM‬در ﺟﻬﺖ ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ HITM‬ﺑﺎ رﺳﯿﺪن ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻪی اول ﻧﻮار‪ ،‬ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻣ ﺷﻮد‬
‫ﮐﻪ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬ﺑﻪ ﻧﯿﻤﻪی دﯾ ﺮ ﻧﻮار رﺳﯿﺪه اﺳﺖ و از اوﻟﯿﻦ ﺧﺎﻧﻪی ﻓﺮد ﺑﻪ اوﻟﯿﻦ ﺧﺎﻧﻪی زوج ﻧﻮار‪ ،‬ﯾﺎ از اوﻟﯿﻦ‬
‫ﺧﺎﻧﻪی زوج ﻧﻮار ﺑﻪ اوﻟﯿﻦ ﺧﺎﻧﻪی ﻓﺮد آن ﺟﺎﺑﻪﺟﺎ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﻫﻤﻪی ﺣﺮﮐﺖﻫﺎی ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪TM‬‬
‫را ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﮐﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎی ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎی ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ ﻧﻮار ﻧﯿﻤﻪﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﻣﻌﺎدل ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻣﺎﺷﯿﻦ ﺗﻮرﯾﻨ ﺑﺎ دو ﻧﻮار ﻧﯿﻤﻪﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ را ﺑﺎ ‪ 2HITM‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬روﺷﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪HITM‬‬
‫را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ HITM‬ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﮐﺮد‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ از ﻧﻮار دوم اﺳﺘﻔﺎدهای ﻧ ﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬ﻧﯿﺰ ﺑﺎ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ HITM‬ﻗﺎﺑﻞ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬ﺑﺎ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ‬
‫‪ 2HITM‬ﻗﺎﺑﻞ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ 2HITM‬ﺑﺎ ﯾ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬ﻗﺎﺑﻞ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻋﻤﻞ‬
‫ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻧﯿﻤﻪی راﺳﺖ ﻧﻮار ‪ ،TM‬ﻧﻮار اول ‪ HITM‬را ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺑﺎ ﻧﯿﻤﻪی ﭼﭗ آن ﻧﻮار‬
‫دوم ‪ 2HITM‬را ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺮای ﻣﺸﺨﺺ ﮐﺮدن ﻣﺤﻞ ﻫﺮ ﻫﺪ‪ ،‬روی ﺧﺎﻧﻪی ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﯾ ﻋﻼﻣﺖ ﺑﻪ‬
‫ﺧﺼﻮص اﺿﺎﻓﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ )ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر اﻟﻔﺒﺎی ﻧﻮار را ﮔﺴﺘﺮش ﻣ دﻫﯿﻢ(‪ .‬ﺑﺮای ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی ﺣﺮﮐﺖ ﻫﺮ ﻫﺪ‬
‫ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ ،2HITM‬ﻋﻼﻣﺖ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را از ﺧﺎﻧﻪی ﻗﺪﯾﻤ ﭘﺎک ﮐﺮده و در ﺧﺎﻧﻪی ﺟﺪﯾﺪ ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ‬
‫ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻫﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ 2HITM‬ﺑﺎ ﻣﺎﺷﯿﻦ ‪ TM‬ﻗﺎﺑﻞ ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی اﺳﺖ‪.‬‬
‫▷‬