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I
.I
I
I
I
I
I
Ie
I
.1
I
I
I
I
I
.I
A PROPOS DU TRI
by
A. HOCQUENGHEM
University of North Carolina
Institute of statistics Mimeo Series No. 484.5
August 1966
This research was supported by the Air Force office
of Scientific Research Contract No. AF-AFOSR-760-65.
DEPAR'lMENT OF STATISTICS
UNIVERSITY OF NORTH CAROLINA
Chapel Hill, N. C.
I
I
.I
I
I
I
I
I
Ie
I
I
I
I
I
I
I
.e
I
1.
INTRODUCTION
Trier une sui"tie
(A) de N nombres
(A)
a
1, a 2, ••• ,
~
c'est ranger ces nombres par ordre de grandeur soit 'croissan"tie, soit
d~croissan"tie, en vue d' obtenir une s~quence monotone.
Dans un but de simplification, nous supposerons tous 1es nombres diff'rents •.
Dans ce cas, on peut consid~rer que 1es nombres
do
sont 1es nombres entiers
i
N et trier la sui"tie revient a determiner l'inverse de la permutation.
,
1 a
a
1, 2, ... , N
2.1
DESCRIPTION D'UN ALGORIT.I:ME D'EXTRACTION DE SEQUENCES CROISSANTES
,
Considerons 1a sui"tie
A
et posons a
1
nous poserons
a
1
,
nous poserons
a
si
a < a
2
1
D'une faCion genera1e,
2
2
2
'" a
'" a
2
1
1
2
•
supposons que, ayant app1iqu6 l'algoritbme
a , a , ••• , a , nous ayons obtenu 1es
p
2
1
1
Comparons
,
a
1
1
1
1
>
a
2
1
si
a
= a
h1
, a , ••• , a
1
1
k sequences croissan"ties,
a la
sui"tie
I
I
-.
•
1
2
&:k , ••• ,
~,
.,
Pour placer ap+l' nous le comparons awe: nombres terminaux de chaque sequence:
h
l
s1
a p +l
> al
s1
hi
a
1
h _
1 1
< a + < a _
p l
1 1
s1
ap+l
, nous poserons
h
<&:kk
,
En brei', nous plaCfons
nous
a
' noue poserons a p+l -a1
poserons
l+h
1
(1 - 2,3, ••• ,k)
1
a p +l - ak+l
l a l' extremit§ de la sequence de plus bas 1nd1ce
p+
qUi peut 1 t admettre et s1 cela est impossible
,
a p +1 coumencera une nouvelle
sequence.
~
En ayant place tous les
, "
elements
de la suite A, nous obt1endrons
~
l' ensemble de sequences cro1ssantes
c
•
•
a
1
n
,
m
n
, an
possedant les propr1e't6s su1vantes
tous les nombres de A sont plaC's, tout
I
I
I
I
I
I
el
I
I
I
I
I
I
I
-.
I
I
I
.I
I
I
I
I
I
Ie
I
I
nombre
a .1
i
est un nombre place dans 1a suite A , avant 1e nombre a .1+1
i
"
.
.1-1
.1
et apres 1e nombre a
• En outre, 1e plus petit majorant de a appartena.nt
i
i
"a 1a ()eme
/
.1
.
i-1
1igne est place avant a
dans 1a suite A.
i
(lxemp1e : (suite) 0-7-2-15-6-20-1'- 17-1-12-4-14-8-5-13-19-21-9-11-3-18-10
(
(L'app1ication de l'a1ogorithme conduit au tableau suivant
~
0-7-15-20-21
(
(
(
2-6-16-17-19
1-12-14-18
4-8-13
(
(
(
5-9-11
(
3-10
(
(et, par exemp1e, dans 1a suite A ,14 est place avant 18 ,apres 14
(
(apres 16 (le plus petit majorant de 14 dans 1a ligne precedente).
(
(
,
, ,
Neus pouvons a10rs enoncer 1e theoreme suivant :
I
I
I
I
I
•I
,
~
La.
plus longue sequence decroissante que l'on puisse extraire de la suite
A
contient exactement n
En eff'et, soit
an
jn
nombres
a
.1 1
1
a
(1).
"
,
un element de 1a derniere ligne, soit
son plUS petit majorant dans la
petit ma.1orant de
et
jn-l
1
n-
( n-l ) ieme ligne, soit
dans la
1e plus petit ma.1orant de
a
(n-2)
.1 2
ieme
dans
2
_
n 1
n-1
.1n_2
1'\
1e plus
n-c
1igne, etc ••• et soit
,
1a premiere ligne.
;'
, .
.
est une sequence decroissante extraite de la suite
3
a
I
a
A•
La. sequence
11 ne peut y
p1usde n
~voir
,
une sequence decroissante extraite cE
A et comprenant
,
termes, car une te11e sequence ne peut avoir que
commun avec chaque ligne du tableau
I
I
0
ou
~
I
1 element
C
~ Exemp1e
en remontant 1es lignes du tableau de l' exemp1e pre'cldent,
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
partir,
soit de l'e1&ment
3
, soit de l'tf1_nt
a
10
on
trouve 1es sequences
20-16-12-8-5-3
et
20-16-14-13-11-10
-,
11 peut y avoir d' autres sequences
decroissantes de longueur
mais i1 n' enste pas de sequence
On
6 ,
decroissante plus longue.
/
" "precedent
"
deduit
du theoreme
1e coro1laire suivant :
11 n' existe pas de partition de la suite
contienne moins de
n
,
A en sequences croissantes qui
'" ,
sequences.
En ef'f'et, dans l' hypoth~se contraire, une s,"quence d'croissante de longuer
aurait donc au moins
n
2 'l'ments communs avec une s'quence de la partition,
ce qui est manifestement absurde.
L' algori thIne donn' conduit donc ~ une partition min1ma1e de 1a suite
A en
s~quences croissantes •
2.2
REMARQUES DIVERSES
2.2.1)
Exemp1e
11 peut exister d'autres partitions minima1es de 1a suite
1e meme exemp1e admet comma partition en
0-1-3-10
4-5-9-11-18
6
,
A
sequences croissantes
-.
I
I
I
I
I
I
el
I
I
I
I
I
I
I
-.
6-8-13-19-21
4
I
I
I
.I
I
I
I
I
I
Ie
I
I
I
I
I
I
I
1-12-14
16-11
2-15-20
2.2.2)
I.e ~me algor1thme permet dt eftectuer une partition m1n1ma1e de
en sequences d&cro1ssantes dont 1e nombre n I est ce1ui de 1a plus
longue sequence cro1ssante extraite de
(Example
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(,
A.
1e mame exemp1e conduit au tableau de sequences decro1ssantes
o
1-2-1
15-6-4-3
20-16-12-8-5
11-14-13-9
19-11-10
21-18
;
(et a 1& sequence cro1ssante de longueur maximum
(
(
0-1-15-16-11-19-21
ou
(
0-2-6-8-9-11-18
11 est bon de remarquer qu t extra1re de 1a suite
2.2.3)
A 1& plus longue
,
"
sequence
cro1ssante ne conduit pas necessairement
a une partition m1n1male.
(Exemp1e
(
(
~
~ 1and:ls
1& suite
4-1-2-5-6-3-1-8-9-11-10
4-5-6-1-8-9-11 et
admet 1a partition m1n1ma1e
1-2-3-10
,
que silt on extrait d t abord 1& plus longue sequence cro1ssante
(
(
(
(11 reste 1& suite
fcroissantes
1-2-5-6-1-8-9-11
4-3-10
,
qui se partage encore en deux sequences
4-10 et 3.
.I
A
5
2.2.4
)
,
Tbutes les sequences
croissantes du tableau C contiennent au plus
n':l~ments (longueur de la plus longue suite croissante).
Par suite
ou
N < 00'
m + m + ... + m ::: n.n'
2
l
n
D' autre part, 6i nous extrayons de la suite A la plus longue suite croissante,
il reste une suite A'
sequences
contenant
(N-n')
croissantes donnera au moins
N-n' > n-l
Inversement, si trois nombres entiers
,,
,
,
(n-l)
sequences.
Done
N+l > n+n' •
ou
precedentes, it est aise
nombres et dont la partition en
~
N,n,n'
I
sati6font aux deux inegalites
de construire une suite A de
N nombres admettant
une partition minimale en n suites croissantes et une partition minimale en
n'
suite d~croissantes. En effet, choisissons une suite de nombres entiers
croissants
• N-n' < b
si
et tels que
1::: b i +l - b i ::: n'
Ceci est possible puisque
i
n
• N
= 0,1,2, ••• ,n-2
b
.
,
1 < n-l < n'
- n-l
,
d'apres les inegalities initiales.
On voit aisement que la suite
l+bn- 1,2+bn- l,···,bn , l+bn- 2,2+bn- 2,···bn- l' l+bn- 3,···,b2 ,
1,2,3, ••• , b
satisfait aux conditions
2.3.
l
impos~es.
PARTITION D'UNE SUITE A EN SEQUENCES MONOTONES
,
,
Nous nous proposons maintenant d'etabJ,.ir un resultat concernant la partition
I
I
-.
I
I
I
I
I
I
el
I
I
I
I
I
I
I
-.
6
I
I
I
II
I
I
I
I
I
Ie
I
I
I
I
I
I
I.
I
I
d' une suite A en sequences monotones (dont 1es unes seront croissantes et
1es autres decroissantes).
g (x) = x(x+3)
Pour ce1a noua poserons
8i
et nous 'noncerons 1e theoreme
2
P designe 1e plus petit entier tel que N < g (p) , i1 eXiste ensuite
une partition de 1a suite
A contenant au plus p
I.e r~su1tat est ~vident si
.
,
p = 1,
g(p) = 2 , N = 1 ou 2 •
,
Demontrona 1e resu1tat par recurrence
minima1e de
,
sequences monotones.
pour ce1a faisons une partition
,
A , en sequences croissantes ; ai 1e nombre
est, au plus, ega1
su¢rieur ~ p
a
p
.
,
n de ces sequences
,
, 1e resu1tat est etab1i ; si par contre, nest
,
,
, nous pourrons extraire de A une sequence decroissante de
longueur n et i1 restera une suite
A • I.e nombre de termes de 1a suite
1
A est :
1
N = N-n < N-p-1 < g(p) - (p+1)
1
-
-
= g(p-1)
,
Ce qui montre que 1e raisonnement par recurrence s' applique.
I1 est faci1 de verifier qU'i1 eXiste des suites n'admettant pas de partition
en moins de
p
sequences.
I1 suffit pour cd1a de g6n~ra1iser 1es suites
suivantes correspondant au cas
p=3 et p=4
8-9-3-2-1-4-5-6-7
14-15-3-2-1-10-11-12-13-9-8-7-6-5Mais nous n'avons pu construire d'algorithme permettant de faire 1a partition
7
minima1e d' une suite A en
(1)
s~quences
monotones.
CHENON - Math6matiques Socia1es et Sciences Bancaires _ n05 Janvier 1964.
I
I
-.
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••I
8
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