‫جامعة دمشق‬
‫كلية االقتصاد‬
‫ماجستير إدارة األعمال‬
‫تحلـيـــــــل مـــاركـــوف‬
‫بإشراف الدكتور‬
‫جــــمــــال الــيــوســـــــف‬
‫إعداد الطالب‬
‫شـــــــادي حـــســـين‬
‫الفهرس‬
‫‪ ‬المقدمة ‪.‬‬
‫‪ ‬مصفوفة ماركوف ‪.‬‬
‫‪ ‬خواص مصفوفة ماركوف ‪.‬‬
‫‪ ‬العمليات العشوائية ‪.‬‬
‫‪ ‬عمليات ماركوف ‪.‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف ‪.‬‬
‫‪ ‬االحتماالت المستقرة و االنتقالية‬
‫– عالقة شابمان – كولموغورف ‪:‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف لفترات زمنية طويلة نسبيا ‪.‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف المتناسقة ‪.‬‬
‫‪ ‬نهاية سالسل ماركوف المتناسقة ‪ -‬حالة التوازن –‬
‫‪ ‬مسألة عن التنبؤ بحالة النظام ‪.‬‬
‫‪ ‬تطبيق أسلوب ماركوف في اتخاذ القرارات ‪.‬‬
‫‪ ‬تحسين الحل مع (بدون خصم ) ‪.‬‬
‫‪ ‬المراجع ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬المقدمة ‪:‬‬
‫تحليل ماركوف من أهم الموضوعات التي يتوجب على الباحث‬
‫العملياتي معرفتها وأهميتها تنشأ من مجاالت تطبيقها الواسعة حيث طبقت‬
‫بنجاح في عمليات التنبؤ بالحالة التي يكون عليها النظام (حالة السوق ‪,‬‬
‫حالة المنظمة ‪ )...,‬خالل فترة زمنية معينة أو في نهاية فترة زمنية ما ‪.‬‬
‫إن تحليل ماركوف يمثل أهم األساليب العملية المتبعة في دراسة الظواهر‬
‫العشوائية وهذا يفرض بالضرورة التعرف على تلك الظواهر ‪.‬‬
‫ويمكننا أن نتعرف بلمحة موجزة على المصفوفات قبل دراسة تحليل‬
‫ماركوف ‪ ,‬يدخل مفهوم المصفوفة وتطبيقاتها الواسعة والعديدة في أبحاث‬
‫ومسائل كثيرة يتطلب حلها المعطيات والعمليات الحسابية الكبيرة منها ‪:‬‬
‫ الدراسات المتعلقة بالنواحي االقتصادية واإلحصائية والسكانية ‪,‬التي‬‫تستخدم نماذج جداول المدخالت والمخرجات ‪ ,‬التي نصادفها في‬
‫العديد من التطبيقات المفيدة في الرياضيات و تطبيقاتها االقتصادية‬
‫واإلدارية ‪,‬االقتصاد الرياضي ‪.... ,‬‬
‫ نظرية القرارات واأللعاب ‪.‬‬‫ بحوث العمليات والبرمجة الخطية ‪,‬حيث تعد المصفوفة أساسا رئيسيا‬‫في هذه األبحاث ‪ ,‬إضافة إلى ذلك فأن الشكل الذي تأخذه المصفوفة‬
‫يمكن االستفادة منه بوضع البيانات والمعطيات بصورة مبسطة‬
‫وسهلة يمكن من خاللها استخالص النتائج المطلوبة وبشكل سريع‬
‫ومما ال شك فيه أن المصفوفة تلعب دورا بارزا في إيجاد العمليات‬
‫الحسابية وذلك باستخدامها في الحاسب االلكتروني ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫وتعرف المصفوفة بأنها مجموعة منتهية من األعداد الحقيقية متوضعة‬
‫ضمن جدول مستطيل أو مربع على شكل أسطر وأعمدة ‪,‬نرمز لها بأحد‬
‫الرموز التالية ‪:‬‬
‫حيث ‪:‬‬
‫‪A=(aij), A=( aij)mn‬‬
‫‪n :‬‬
‫عدد األسطر‬
‫عدد األعمدة‬
‫‪m :‬‬
‫‪ ‬مصفوفة ماركوف ‪:‬‬
‫وهي أحد أشكال المصفوفات وتعرف بأنها مصفوفة مربعة الشكل‬
‫كل عنصر من عناصرها ‪ mij‬يحقق المتراجحة التالية ‪:‬‬
‫‪1 ≥ Mij ≥ 0‬‬
‫‪m 11 m12…. m1j‬‬
‫‪m 21 m22…. m2j‬‬
‫‪:‬‬
‫‪m i1 mi2….. mij‬‬
‫= )‪Amn = (mij‬‬
‫‪ ‬خواص مصفوفة ماركوف ‪:‬‬
‫تتمتع المصفوفة الماركوفية بخواص عديدة نذكر منها‪:‬‬
‫‪ -1‬بفرض أن ‪ m‬عدد طبيعي و )‪ A(n,n‬مصفوفة ماركوفية فإن‬
‫المصفوفة ‪ Am‬هي مصفوفة ماركوفية أيضا ‪.‬‬
‫‪ -2‬بفرض أن كال من ‪ M‬و ‪ N‬مصفوفة ماركوفية فإن ‪N * M‬‬
‫هي مصفوفة ماركوفية أيضا ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬العمليات العشوائية ‪:‬‬
‫دراسة الفترات الزمنية المحددة }‪, {tk‬حيث ‪ :k:1,2,….‬وبفرض أن‬
‫‪ ζtk‬قيمة عشوائية تصف حالة نظام في اللحظة ‪, tk‬فإن منحنى القيم‬
‫االحتمالية}‪ {ζ tk‬يمثل عملية عشوائية ‪,‬أن مجموعة الحاالت المحتملة في‬
‫اللحظة ‪ tk‬هي ‪ ζtk‬عناصرها ‪( Etk‬متنافرة)‪,‬أي أن تحقق أحدها في تلك‬
‫اللحظة ينفي تحقيق حالة أخرى من تلك المجموعة في تلك اللحظة ‪ ,‬وعدد‬
‫الحاالت يمكن أن يكون محدودا أو غير محدود مثال توزيع بواسون ‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫لعبة رمي قطعة النقد (‪ )k‬مرة ‪,‬كل رمية يمكن عدها فترة زمنية‬
‫معينة ‪ ,‬تشكل النتائج التي تم الحصول عليهاا عملياة عشاوائية ‪,‬وحالاة‬
‫النظام ألي رمية أما الشعار أو الكتابة ‪.‬‬
‫‪ ‬عمليات ماركوف‪:‬‬
‫توضح عمليات ماركوف السلوك العشوائي لنظام معين ‪,‬وجوده‬
‫على حالة ما يتوقف على حالة النظام السابقة فقط ‪ ,‬وبالتالي إذا‬
‫……‪n=0,1,2,‬‬
‫كانت ‪ :t0< t1 <.......... < tn‬حيث‬
‫تمثل فترات زمنية ‪ ,‬فإن مجموعة القيم العشوائية }‪ {ζtn‬تشكل‬
‫عملية ماركوفية إذا حققت الخاصة الماركوفية التالية‪:‬‬
‫}‪ζ tn-1 =Xn-1‬‬
‫‪= X0}=P{ ζtn =Xn‬‬
‫‪P {ζtn=Xn ζ tn-1,….ζ10‬‬
‫لجميع القيم الممكنة ‪ζt0 ,ζt1 ,. ................... , ζtn :‬‬
‫االحتماالت ‪ ζtn-1=Xn-1}:‬׀‪Pxn-1Xn = P{ζtn = Xn‬‬
‫في اللحظة ‪, tn‬إذا كان في اللحظة الزمنية ‪ tn-1‬على الحالة ‪Xn-1‬‬
‫وهذه االحتماالت تسمى االنتقالية وحيدة الخطوة (لمرحلة واحدة ) ‪ ,‬ألنها‬
‫توضح تغير حالة النظام بين اللحظة ‪ tn-1‬واللحظة ‪tn‬‬
‫‪5‬‬
‫أي االحتماالت االنتقالية لـ ‪ m‬خطوة تعطى بالعالقة ‪:‬‬
‫}‪Pxn,xn+m = P{ζtn+m=Xn+m ζtn=Xn‬‬
‫وبشكل أخر ‪:‬‬
‫تتكون عملية ماركوف من مجموعة من األغراض ‪,‬ومجموعة من الحاالت‬
‫بحيث إن ‪:‬‬
‫‪ -1‬عند أي وقت يجب أن يكون كل غرض في حالة معينة (مميزة ) ‪,‬‬
‫واألغراض المميزة ليست في حاجة لكي تكون في حالة مميزة ‪.‬‬
‫‪ -2‬احتمال أن ينتقل أحد األغراض من حالة إلى حالة أخرى (والتي قد‬
‫تكون مماثلة للحالة األولى )في فترة زمنية واحدة يعتمد على هاتين‬
‫الحالتين فقط ‪.‬‬
‫األعداد الصحيحة للفترات الزمنية التالية للحظة التي تبدأ فيها العملية تمثل‬
‫مراحل العملية ‪ ,‬والتي قد تكون محدودة أو غير محدودة ‪ .‬إذا كان عدد‬
‫الحاالت محدودا أو غير محدود عدديا‪ ,‬فأن عملية ماركوف تسمى سلسلة‬
‫ماركوف ‪ .‬وسلسلة ماركوف المحدودة هي سلسلة لها عدد محدود من‬
‫الحاالت ‪.‬‬
‫نرمز الحتمال االنتقال من ‪ i‬إلى حالة ‪ j‬في فترة زمنية واحدة بالرمز ‪Pij‬‬
‫ولسلسلة ماركوف ذات ‪ N‬حالة (حيث إن ‪ N‬عدد صحيح موجب ثابت )‬
‫المصفوفة ‪ P‬ذات ‪ [Pij]=N×N‬هي المصفوفة التصادفية أو االنتقالية‬
‫المرتبطة بالعملية ‪ .‬وبالضرورة ‪,‬فإن عناصر كل صف من ‪ p‬مجموعها‬
‫‪1‬وأكثر من ذلك ‪.‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف ‪:‬‬
‫لتكن المجموعة ‪ E1,E2,…..En : j=0,1,2,3,…..‬وتمثل جميع‬
‫الحاالت التي يمكن أن يأخذ النظام إحداها (حاالت متنافية) ‪,‬وفي أي لحظة‬
‫زمنية‪ ,‬في اللحظة البدائية ‪ ,t0‬النظام يكون على إحدى هذه الحاالت بفرض‬
‫أن ‪( aj‬حيث …‪ ) j=0,1,2,‬االحتماالت األولية ألن يكون النظام على‬
‫الحالة ‪ Ej‬في اللحظة ‪ tj‬وبفرض أن النظام المدروس ماركوفي ‪,‬يمكن‬
‫تحديد ‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫}‪Pij=p{ζtn=j, ζtn-1=i‬‬
‫احتماالت انتقال النظام بخطوة وحيدة من الحالة )‪ (i‬في اللحظة )‪ (tn-1‬إلى‬
‫الحالة)‪ (j‬في اللحظة)‪ , (tn‬وبفرض أن هذه االحتماالت مستقرة (ال تتغير‬
‫مع مرور الزمن ) ويفضل عرض االحتماالت االنتقالية من الحالة ‪ Ei‬إلى‬
‫الحالة ‪Ej‬على شكل مصفوفة ‪:‬‬
‫‪P00‬‬
‫‪P01 P02 ...........‬‬
‫‪10‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P11 P12 ……….‬‬
‫‪P20‬‬
‫‪P21 P22……….‬‬
‫‪..... ....... ...................‬‬
‫‪..... ....... ..................‬‬
‫=‪P‬‬
‫المصفوفة ‪ P‬تسمى مصفوفة االحتماالت االنتقالية وتسمى السلسلة‬
‫الماركوفية متجانسة إذا كانت ‪ Pij‬مستقلة عن الزمن ويجب أن تحقق‬
‫‪n‬‬
‫الشروط التالية‪:‬‬
‫‪∑ Pij =1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪ :‬حيث )‪(Pij > 0‬‬
‫أصبح باإلمكان إعطاء تعريف لسالسل ماركوف ‪ ,‬مصفوفة االحتماالت‬
‫االنتقالية ‪ P‬مع االحتماالت األولية}‪ {a p‬المقابلة للحاالت )‪ (Ei‬تشكل‬
‫سلسلة ماركوفية ‪ ,‬عادة تصف سالسل ماركوف آلية انتقال نظام ما من‬
‫حالة ألخرى بنهاية فترات زمنية منتظمة ويصادف حاالت تكون الفترة‬
‫الزمنية مرتبطة بطبيعة النظام ‪ ,‬وبالتالي يمكن أن تكون غير متساوية ‪ ,‬في‬
‫هذه الحاالت نسمي السلسلة سلسلة ماركوف العائمة (المغمورة)‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ ‬االحتماالت المستقرة و االنتق الية – عالقة شابمان – كولموغورف ‪:‬‬
‫مع} ‪ {ai‬المعطاة و االحتماالت االنتقالية ‪ P‬لسلسلة ماركوف ‪ ,‬تتحدد‬
‫االحتماالت المطلقة لحاالت النظام لعدد معين من االنتقاالت (المستويات )‬
‫على النحو التالي ‪:‬‬
‫لتكن } ‪{aj‬االحتماالت النهائية لحاالت النظام بعد ‪ n‬انتقاال ‪,‬أي في اللحظة‬
‫‪ tn‬قيمة} ‪{aj‬يمكن التعبير عنها بشكل عام بداللة } ‪ {aj‬و ‪: p‬‬
‫‪=∑aj(0) pij‬‬
‫‪aj(1)= a (0) p1j +a2(0) p2j+ a3(0) p3j +….‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫وهكذا ‪......‬‬
‫)‪ajn =∑ak(0) pkj(n‬‬
‫‪k‬‬
‫حيث )‪ pkj(2‬االحتماالت االنتقالية النتقالين متتاليين ( لمستويين ) أي‬
‫احتماالت االنتقال من الحالة ‪ k‬إلى الحالة ‪ j‬بعد انتقاليين متتاليين و بالمثل‬
‫يمكن إثبات أن ‪:‬‬
‫‪ajn =∑ai0 . pij =∑ai0 pijn‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫حيث ‪ pijn‬االحتماالت االنتقالية لـ ‪ n‬خطوة ( االحتماالت االنتقالية‬
‫للمستوى ‪ ) n‬وبتحديد العالقة المتعدية ‪:‬‬
‫‪pijn =∑ pikn-1 pkj‬‬
‫‪k‬‬
‫وبشكل عام ولجميع ‪ i‬و ‪ j‬يكون ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪:0<m<n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪kj‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Pij(n) =∑ p‬‬
‫)‪(n-m‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪k‬‬
‫وهذه العالقة تسمى عالقة شابمان – كولموغورف‬
‫وبشكل عام ‪:‬‬
‫‪= pn‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pn-1 .‬‬
‫=‬
‫)‪Pij(n‬‬
‫ومن الجدير اإلشارة إلى خاصية سالسل ماركوف لفترات زمنية طويلة‬
‫والتي وفقها االحتماالت المطلقة للفترات الزمنية الطويلة ال تتوقف على‬
‫االحتماالت البدائية)‪ a(n‬في هذه الحالة االحتماالت تسمى االحتماالت‬
‫المستقرة ‪.‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف لفترات زمنية طويلة نسبياً ‪:‬‬
‫في الفقرات السابقة تتم دراسة سالسل ماركوف لفترات زمنية قصيرة‬
‫حيث تحسب االحتماالت االنتقالية المستقرة وفق عالقة شابمان _‬
‫كوموغروف ( الفقرة السابقة ) وهذه العالقة غير مجدية عند إجراء‬
‫الحسابات لفترة زمنية طويلة (لعدد غير منته من الخطوات )‪ ,‬وهذا يتطلب‬
‫إيجاد طريقة (طرائق ) منظمة تساعد على التنبؤ بسلوك النظام بعيد المدى‬
‫هذه الفقرة سوف تدرس بعض الحاالت الخاصة من سالسل ماركوف‬
‫الالزمة لدراسة سلوك النظام لفترة زمنية طويلة ‪.‬‬
‫‪ – 1‬سالسل ماركوف المستقرة ‪:‬‬
‫تعد سلسلة ماركوف مستقرة عندما يتم التوصل إلى أي حالة ‪ Ej‬من أي‬
‫حالة أخرى ‪ Ei‬بعدد منته من الخطوات ‪ ,‬عندما ‪: i ≠j‬‬
‫‪Pij(n) > 0‬‬
‫‪,‬‬
‫∞<‪:1≤n‬‬
‫في هذه الحالة كافة حاالت النظام تسمى انتقالية ‪.‬‬
‫‪ – 2‬الحاالت المغلقة و الحاالت المستوعبة ‪:‬‬
‫حاالت النظام ‪ c‬سالسل ماركوف تسمى مغلقة ‪ ,‬عندما يكفي وصول إلى‬
‫الحالة ‪ c‬لبقائه عليها لفترة زمنية غير منتهية ‪ ,‬الحالة الخاصة من الحاالت‬
‫المغلقة ‪ Ej‬والتي احتماالتها االنتقالية هي (‪ )Pij =1‬تسمى الحالة‬
‫المستوعبة ( الماصة )‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫تشكل جميع حاالت النظام غير االنتقالية حاالت مغلقة ‪,‬وال يمكن ألي حالة‬
‫أخرى أن تكون مغلقة ‪ ,‬والحاالت المغلقة يجب أن تستوفي جميع صفات‬
‫سالسل ماركوف وبالتالي يمكن إجراء التحليل المباشر عليها ‪.‬‬
‫‪ ‬سالسل ماركوف المتناسقة ‪:‬‬
‫أي سلسلة ماركوفية غير دورية تكون متوازنة إذا كان جميع حاالتها‬
‫متوازنة في هذه الحالة توزيع االحتماالت المطلقة ‪:‬‬
‫‪an = a0 . pn‬‬
‫حالة العودة تكون صفرية إذا كانت ∞ = ‪ Mij‬وغير صفرية إذا كانت‬
‫∞ < ‪( Mij‬أي نهائي ) حيث ‪ Mij :‬متوسط الزمن الالزم للعودة ‪.‬‬
‫الحالة تسمى دورية لفترة ‪ t‬إذا كانت العودة إليها ممكنة فقط بعد عدد من‬
‫الخطوات ‪.‬‬
‫حالة العودة تكون متوازية إذا كانت غير صفرية وغير دورية ‪.‬‬
‫دائما وحدية ومتماثلة في مجال التوزيع ضمن∞ →‪ n‬حيث مجال‬
‫التوزيع مستقل عن االحتماالت االبتدائية ‪a0‬‬
‫النظرية التالية صحيحة ‪:‬‬
‫النظرية جميع حاالت سالسل ماركوف غير االنتقالية لفترة زمنية ال نهائية‬
‫تقود إلى نتيجة وحيدة وفقط وحيدة من الحاالت الثالث التالية ‪ :‬غير عائدة‬
‫‪,‬عائدة صفرية عائدة غير صفرية ‪,‬ففي جميع الظروف تكون حاالت النظام‬
‫انتقالية (متصلة ) ولها فترة وحيدة في حاالت خاصة عندما يكون عدد‬
‫الحاالت في السلسلة منتهيا ال يمكن أن تحتوى حاالت غير عائدة أو حاالت‬
‫صفرية فقط ‪.‬‬
‫‪ ‬نهاية سالسل ماركوف المتناسقة – حالة التوازن ‪:‬‬
‫يتضح أن زيادة عدد الخطوات االحتمالية المطلقة يجعلها غير مرتبطة‬
‫(متوقفة ) بالحالة االبتدائية ‪,‬وهذه الخاصية سبق تسميتها خاصية سالسل‬
‫‪10‬‬
‫ماركوف طويلة األجل ‪,‬أما هذه الفقرة فتعرض أسلوب تحديد مجال التوزيع‬
‫(طويل األجل ) للسالسل المستقرة وسوف تقتصر الدراسة على الحاالت‬
‫غير الدورية ‪ ,‬ألنها الحالة الوحيدة المستخدمة الحقا ‪,‬عدا هذا تحليل‬
‫الحاالت الدورية معقدة للغاية ‪,‬وال يقع ضمن اهتمامات طلبة قسم إدارة‬
‫األعمال ‪.‬‬
‫‪ ‬مسألة عن التنبؤ بحالة النظام ‪:‬‬
‫شركة خدمات سياحية ‪ A‬تتنافس مع ثالث شركات متشابهة هي‬
‫‪B,C,D‬رغبت هذه الشركة بدارسة رغبات الزبائن لتتنبأ بنصيبها من‬
‫طالبي الخدمات السياحية ‪ ,‬فأخذت عينة عشوائية من المسافرين في عطلة‬
‫نهاية األسبوع عددها )‪ (1000‬شخص ‪ ,‬وتم سؤالهم عن الشركة السياحية‬
‫التي قدمت لهم الخدمة آخر مرة وعن الشركة السياحية التي يرغبون بتلقي‬
‫الخدمة فيها في المرة القادمة ‪ ,‬ووضعت النتائج في جدول للسهولة ‪.‬‬
‫عدد‬
‫المصطافين‬
‫الذين تلقوا‬
‫الخدمة‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪350‬‬
‫‪21‬‬
‫‪42‬‬
‫‪63‬‬
‫‪A 224‬‬
‫‪300‬‬
‫‪24‬‬
‫‪30‬‬
‫‪201‬‬
‫‪B 45‬‬
‫‪200‬‬
‫‪14‬‬
‫‪136‬‬
‫‪20‬‬
‫‪C 30‬‬
‫‪150‬‬
‫‪99‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫‪D 24‬‬
‫‪158‬‬
‫‪223‬‬
‫‪296‬‬
‫الشركات التي ستقدم الخدمة في المرة القادمة‬
‫الشركة‬
‫‪A‬‬
‫الشركة‬
‫التي‬
‫قدمت‬
‫الخدمة‬
‫‪1000‬‬
‫‪323‬‬
‫العدد‬
‫المتوقع‬
‫للمصطافين‬
‫‪11‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫ الحالة االبتدائية للنظام – حصة الشكات من المسافرين ‪:‬‬‫يتم الحصول على هذه الحصة بقسمة عدد المسافرين الذين تلقوا الخدمة‬
‫فعال لديها إلى العدد اإلجمالي للعينة ‪,‬أي ‪:‬‬
‫حصة الشركة ‪A‬من السوق يرمز لها بــ )‪a1(0) = 350/1000*100=35% : a1(0‬‬
‫حصة الشركة ‪B‬من السوق يرمز لها بــ )‪a2(0) = 300/1000*100=30% : a2(0‬‬
‫حصة الشركة ‪C‬من السوق يرمز لها بــ )‪a3(0) = 200/1000*100=20% : a3(0‬‬
‫حصة الشركة ‪D‬من السوق يرمز لها بــ )‪a4(0) = 150/1000*100=15% : a4(0‬‬
‫أي يمكن وضع شعاع الحالة االبتدائية للنظام )‪ a (0‬على النحو التالي ‪:‬‬
‫) )‪a (0) = ( a1(0) + a2(0) + a3(0) + a4(0‬‬
‫) ‪a (0) = (0.35 0.30 0.20 0.15‬‬
‫أما مصفوفة االحتماالت االنتقالية فيمكن وضعها عن طريق قسمة العدد‬
‫في كل سطر من أسطر المصفوفة على مجموع هذا السطر ( الرقم الذي‬
‫على اليمين ) ‪.‬‬
‫على سبيل المثال ‪:‬‬
‫ إذا كان مسافر قد تلقى الخدمة من الشركة ‪ A‬فاحتمال تلقيه للخدمة في‬‫الشركة ‪ A‬ويرمز له بـ ‪: P11‬‬
‫‪P11=224/350 =0.64‬‬
‫في الشركة ‪ B‬ويرمز له بـ ‪: P12‬‬
‫‪P12 = 63/350 =0.18‬‬
‫في الشركة ‪ A‬ويرمز له بـ ‪: P13‬‬
‫‪P13 = 42/350 = 0.12‬‬
‫في الشركة ‪ B‬ويرمز له بـ ‪: P14‬‬
‫‪P14 = 21/350 =0.06‬‬
‫‪12‬‬
‫وهكذا نحسب باقي االحتماالت وتوضع في مصفوفة االحتماالت‬
‫االنتقالية ‪. P‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.64 0.18 0.12 0.06‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.15 0.67 0.10 0.08‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.15 0.10 0.68 0.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.16 0.08 0.10 0.66‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪P‬‬
‫التنبؤ بحصة كل شركة من المسافرين في عطلة نهاية األسبوع األول أي‬
‫المستوى األول لتحليل ماركوف ‪:‬‬
‫‪0.64 0.18 0.12 0.06‬‬
‫‪0.15 0.67 0.10 0.08‬‬
‫)‪0.30 0.20 0.15‬‬
‫)‪(0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪a = a . P =(0.35‬‬
‫‪0.15 0.10 0.68 0.07‬‬
‫‪0.16 0.08 0.10 0.66‬‬
‫) ‪= ( 0.323 0.296 0.223 0.158‬‬
‫ التنبؤ بحصة الشركة من المسافرين في نهاية األسبوع الثاني – المستوى‬‫الثاني لتحليل ماركوف ‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫) ‪a(2) = a(0). P2 =(0.3198 0.2914 0.2358 0.163‬‬
‫ التنبؤ بحصة الشركة من المسافرين في نهاية األسبوع الثالث –‬‫المستوى الثالث لتحليل ماركوف ‪.‬‬
‫) ‪a(3) = a(0). P3 =(0.303 0.288 0.243 0.166‬‬
‫أما حالة التوازن فيتم الوصول إليها ‪ ,‬عندما تصبح حصص في الفترة‬
‫القادمة تساوي الحصص في الحالية أي ‪:‬‬
‫)‪a(n) = a(0) . P(n-1‬‬
‫وهذا يمكن الحصول عليه مباشرة من جدول االحتماالت االنتقالية وفق‬
‫العالقة التالية ‪:‬‬
‫‪Bj = ∑Bi . Pij‬‬
‫‪: ∑ Bj = 1‬‬
‫‪B4‬‬
‫‪0.06‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪0.18‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.67‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪0.68‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪0.66‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪0.16‬‬
‫‪B4‬‬
‫‪14‬‬
‫أي حالة التوازن هي الحالة التي تحقق ‪:‬‬
‫‪B1 = 0.64 B1 + 0.15 B2 +0.15 B3 + 0.16 B4‬‬
‫‪B2 = 0.18 B1 + 0.67 B2 +0.10 B3 + 0.08 B4‬‬
‫‪B3 = 0.12 B1 + 0.10 B2 +0.68 B3 + 0.10 B4‬‬
‫‪B4 = 0.06 B1 + 0.08 B2 +0.07 B3 + 0.66 B4‬‬
‫‪B2 + B3 + B4 = 1‬‬
‫بإصالح هذه العالقة وحلها يتم التوصل إلى حالة التوازن ‪.‬‬
‫‪B1 +‬‬
‫‪ ‬تطبيق أسلوب ماركوف في اتخاذ القرارات ‪:‬‬
‫شركة سياحية يمكنها إجراء الدعاية لخدماتها السياحية بإحدى وسائل‬
‫الدعاية المعروفة ‪ ,‬صحف ‪ ,‬تلفاز ‪ ,‬إذاعة ‪ ,‬وهي تقوم اإلقبال على‬
‫خدماتها بثالثة مستويات ‪ :‬ممتاز ‪ ,‬جيد ‪,‬مقبول ‪ ,‬إن خبراتها السابقة‬
‫ساعدتها على وضع تقديرات حول العائد الذي تحققه لكل مستو من‬
‫مستويات اإلقبال هذا من جهة ‪ ,‬ومن جهة ثانية الحظت (بناء على الخبرة )‬
‫إن اإلقبال في الفترة الزمنية القادمة مرتبط بمستوى اإلقبال الحالي ‪ .‬وعلى‬
‫أسلوب الدعاية المعتمد ‪,‬مصفوفة االحتماالت االنتقالية )‪ : P(K‬حيث‬
‫‪ K = 1.2.3‬لمستويات الطلب والعائد المقابل )‪ P(K‬لكل أسلوب من‬
‫أساليب الدعاية هي ‪:‬‬
‫‪650‬‬
‫‪500‬‬
‫‪300‬‬
‫‪500‬‬
‫‪400‬‬
‫‪200‬‬
‫‪800‬‬
‫‪900‬‬
‫‪450‬‬
‫= )‪R(1‬‬
‫‪1400 1700‬‬
‫‪120‬‬
‫‪1100 1800‬‬
‫‪1000 1500‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪900‬‬
‫‪700‬‬
‫= ‪R‬‬
‫‪830‬‬
‫‪950‬‬
‫‪750‬‬
‫‪680‬‬
‫‪600‬‬
‫‪500‬‬
‫‪550‬‬
‫‪450‬‬
‫‪350‬‬
‫)‪(2‬‬
‫= )‪R(3‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪P(1)= 0.2‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪P = 0.2‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪15‬‬
‫وتكلفة اإلعالن الشهرية ‪ 550 ,900 ,150‬ل‪.‬س للدعاية باإلذاعة ‪,‬بالتلفاز‪,‬‬
‫بالصحف على الترتيب ‪.‬‬
‫المطلوب ‪:‬‬
‫‪ -1‬تحديد أفضل أسلوب دعاية لألشهر الثالثة التالية ‪.‬‬
‫‪ -2‬تحديد أفضل أسلوب دعاية لفترة زمنية غير منتهية ‪.‬‬
‫سوف تحل هذه المسألة مباشرة باعتماد أسلوب البرمجة الديناميكية‪:‬‬
‫يتطلب الحل تحديد الداخل المتوقع لكل أسلوب من أساليب الدعاية ‪,‬وهذا‬
‫يتم عن طريق حساب األمل الرياضي ‪,‬والذي يساوي مجموع جداءات‬
‫الدخول لكل حالة من حاالت النظام باحتماالت تحقيقها ‪.‬‬
‫قبل عرض الحل تعرف الرموز التالية ‪:‬‬
‫‪ - Vik‬الدخل المتوقع عندما يكون اإلقبال على الحالة ‪ i‬ألسلوب‬
‫الدعاية ‪. k‬‬
‫)‪ - Fj(i‬الدخل المتوقع في المرحلة ‪ j‬إذا كان النظام على مرحلة ‪i‬‬
‫)‪ - Fj*(i‬الدخل األمثل المتوقع في المرحلة ‪ j‬إذا كان النظام على حالة ‪i‬‬
‫‪ - K‬بدائل أسلوب التأثير ( االستراتيجيات ) ‪,‬أي أساليب الدعاية ‪.‬‬
‫أ‪ -‬الدخل المتوقع للشركة عندما يعتمد أسلوب الدعاية األول ويكون‬
‫اإلقبال من النوع ‪:‬‬
‫الممتاز ‪V11 = 0.3 (500) + 0.6 (650) + 0.1 (800) -150 = 470 :‬‬
‫جيد ‪:‬‬
‫‪V21 = 0.2 (400) + 0.5 (500) + 0.3 (900) -150 = 450‬‬
‫مقبول ‪V31 = 0.1 (200) + 0.3 (300) + 0.6 (450) -150 = 230 :‬‬
‫‪16‬‬
‫ب ‪ -‬الدخل المتوقع للشركة عندما يعتمد أسلوب الدعاية الثاني ويكون‬
‫اإلقبال من النوع ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ممتاز‪V1 = 0.6 (1200) + 0.3 (1400) + 0.1 (1700) -900 = 410 :‬‬
‫جيد ‪:‬‬
‫‪V22 = 0.2 (900) + 0.5 (1100) + 0.3 (1800) -900 = 370‬‬
‫مقبول ‪V32 = 0.1 (700) + 0.7(1000) + 0.2 (1500) -900 = 170 :‬‬
‫ج ‪ -‬الدخل المتوقع للشركة عندما يعتمد أسلوب الدعاية الثالث ويكون‬
‫اإلقبال من النوع ‪:‬‬
‫‪V13 = 0.3 (550) + 0.4 (680) + 0.3 (830) -550 = 136‬‬
‫ممتاز‪:‬‬
‫جيد ‪:‬‬
‫مقبول ‪:‬‬
‫‪V23 = 0.0 (450) + 0.6 (600) + 0.4(950) -550 = 190‬‬
‫‪V33 = 0.0 (350) + 0.3(500) + 0.7 (750) -550 = 125‬‬
‫تعرض النتائج على شكل الجدول التالي ‪:‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪136‬‬
‫‪190‬‬
‫‪125‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪410‬‬
‫‪370‬‬
‫‪170‬‬
‫‪470‬‬
‫‪450‬‬
‫‪230‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫وباعتماد أسلوب اإلياب ‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(i‬‬
‫) ‪F3 = Max ( Vi‬‬
‫‪17‬‬
F3(i) = Max ( Vik)
i
V ik
*
F3(i) = Max ( Vik) F3 (i)
K=1
2
3
1
470
410
136
470
1
2
450
370
190
450
1
3
230
170
125
230
1
K*
F2(i) = Max { Vik +Pijk .F3(1) + Pijk .F3(2) + Pijk .F3(3)}
Vik +Pijk .F3(1) + Pijk .F3(2) + Pijk .F3(3)
K=1
i
2
3
F3*
(i)
K*
1
470+434=904 410+440=850 136+390=526
904
1
2
450+388=838 370+388=758 190+362=552
838
1
3
230+320=550 170+408=578 125+296=421
578
2
18
‫})‪F1(i) = Max { Vik +Pijk .F2(1) + Pijk .F2(2) + Pijk .F2(3‬‬
‫)‪Vik +Pijk .F2(1) + Pijk .F2(2) + Pijk .F2(3‬‬
‫*‪K‬‬
‫)‪F3* (i‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1301.8‬‬
‫=‪136+779.8‬‬
‫‪915.8‬‬
‫=‪410+851.6‬‬
‫‪1216.6‬‬
‫=‪470+831.8‬‬
‫‪1301.8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1223.2‬‬
‫=‪190+734‬‬
‫‪924‬‬
‫=‪370+773.2‬‬
‫‪1143.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪962.6‬‬
‫=‪125+656‬‬
‫‪781‬‬
‫=‪170+792.6‬‬
‫‪962.6‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪450+773.2‬‬
‫‪1223.2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪230+688.6‬‬
‫‪918.6‬‬
‫‪3‬‬
‫أي تعتمد اإلستراتيجية الثانية ( الدعاية بالتلفاز ) عندما يكون اإلقبال على‬
‫خدمات الشركة مقبوال في السنتين األولى و الثانية ‪ ,‬وتعتمد اإلستراتيجية‬
‫األولى في باقي الحاالت و لجميع السنوات ‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ ‬المراجع‪:‬‬
‫‪ -1‬د‪ .‬جمال اليوسف‪,‬د‪.‬صباح بقجه جي‪,‬بحوث عمليات‪ ,‬جامعة دمشق ‪2007,‬‬
‫‪ -2‬د‪ .‬ريتشارد برونسون‪,‬بحوث عمليات ‪ ,‬جامعة ديكنسون األمريكية ‪2002 ,‬‬
‫‪ -3‬د‪.‬عبد الرزاق فاضل ‪,‬د‪.‬نذر عواد ‪,‬د‪.‬ياسر الجندي ‪,‬الرياضيات اإلدارية ‪,‬‬
‫جامعة دمشق ‪2004 ,‬‬
‫‪20‬‬