Departement fur Informatik
Institut fur Verhaltenswissenschaft
Nummerische Verfahren der Analysis
Fach:
Schultyp:
Vorkenntnisse:
Bearbeitungsdauer:
Autor:
Herausgeber:
Fassung vom:
Mathematik
ab Sekundarstufe II
Kenntnisse von Funktionen und Funktionsgraphen
2 Doppellektionen
Thomas Holenstein
Werner Hartmann
25.8.1999
Inhaltsverzeichnis
1
Suche nach Nullstellen
4
2
Minimum und Maximum
8
3
Steigung einer Kurve
12
4
Fl
ache unter einer Kurve
16
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
4.1
4.2
4.3
4.4
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weshalb .
Begrie .
Aufgaben
Methode .
Aufgaben
Weshalb .
Aufgaben
Methode .
Aufgaben
4
4
5
6
......................................... 8
......................................... 9
......................................... 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
.........................................
.........................................
.........................................
.........................................
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
12
12
13
14
16
17
17
18
1 Suche nach Nullstellen
In diesem Puzzleteil lernen Sie was Nullstellen sind und mit welchem Verfahren ein Computer
Nullstellen nden kann. Auch lernen Sie Anwendungen des Verfahrens kennen. Gehen Sie dazu
wie folgt vor:
Lesen Sie in Ihrer Expertengruppe zuerst alleine den Abschnitt 1.1 durch. Danach losen Sie
die Aufgabe im Abschnitt 1.2. Dabei werden Sie das Verfahren zur Suche nach Nullstellen
erstmals kennenlernen.
Lesen Sie dann den Abschnitt 1.3. In diesem Abschnitt wird das Verfahren erklart. Beachten
Sie beim Lesen insbesondere das Schema unter 1.3.1. Da wird das Verfahren zusammengefasst. Danach sollten Sie bereits eine gute Idee haben, wie das Verfahren funktioniert.
Sobald alle den Theorieteil durchgelesen haben, beginnen Sie gemeinsam mit dem Losen
der Aufgaben im Abschnitt 1.4. Sie sollten alle Aufgaben (ausser der letzten) losen konnen.
Falls Sie eine Aufgabe nicht losen konnen, fragen Sie Ihren Lehrer.
Danach sollten alle den Sto sehr gut verstanden haben. Denn alle mussen ja den Sto
Ihren Mitschulern erklaren.
Sobald Sie die Aufgaben durchgearbeitet haben, wissen Sie was Nullstellen sind und wie
ein Computer Nullstellen ndet. U berlegen Sie sich dann, wie Sie das gelernte Wissen ihren
Mitschulern weitergeben wollen.
1.1 Motivation
Eine
einer Funktion f (x) ist eine Zahl s, so dass f (s) = 0. In anderen Worten: bei
der Nullstelle ist die Funktion f (x) gerade Null.
Sie werden nun eine Methode kennen lernen, wie ein Computer eine solche Nullstelle ndet.
Obwohl es dafur verschiedene Methoden gibt, behandeln wir nur eine, denn die anderen sind zu
kompliziert oder bringen nichts wesentlich neues.
Vielleicht fragen Sie sich jetzt: Weshalb will man uberhaupt Nullstellen einer Funktion bestimmen?\ Die Antwort ist einfach:" das Suchen von Nullstellen entspricht genau dem Losen von
Gleichungen!
Falls wir die Gleichung x2 sin(x) = x losen wollen, so suchen wir die Nullstellen der Funktion
f (x) = x2 sin(x) x. Und Gleichungen tauchen bekanntlich immer wieder auf.
Nullstelle
1.2 Aufgabe
In diesem Abschnitt probieren Sie das Verfahren aus, ohne es genauer zu kennen. Benutzen Sie
das Programm, das Sie auf dem Internet nden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie das Programm
nden, falls er noch nichts dazu gesagt hat.
Sie sollten ungefahr einen U berblick bekommen, wie das Verfahren zum Nullstellen nden
funktioniert. Im nachsten Abschnitt wird es dann ganz genau erklart.
1. Suchen Sie als erstes zwei oder drei Nullstellen von sin(x). Markieren Sie mit der Maus
eine Umgebung der Nullstelle: Drucken Sie die Maustaste etwa bei -1 und fahren Sie mit
gedruckter Maustaste nach rechts. Etwa bei 1 lassen Sie die Maustaste los. Das Intervall
sollte nun gelb hinterlegt sein.
Sobald Sie auf die Taste Schritt\ drucken, wird das Intervall kleiner. Wiederholen Sie
das mehrmals. Irgendwann" haben Sie eine Nullstelle von sin(x) ziemlich genau bestimmt.
Probieren Sie dass mit allen Nullstellen von sin(x) aus. Wenn Sie wollen konnen Sie auch
die Nullstellen von cos(x) suchen.
Achten Sie beim Markieren jeweils auf die Farbe des Hintergrundes. Wann nimmt er welche
Farbe an? Wann konnen Sie Schritte machen?
4
1.3 Methode
Die Methode um Nullstellen zu nden, basiert auf der folgenden Idee: zuerst wahlen wir zwei
Punkte P1 und P2 auf dem Graphen der Funktion, wobei der eine unterhalb und der andere oberhalb der x-Achse liegt. Bei einer gutartigen Funktion konnen wir nun annehmen, dass dazwischen
eine Nullstelle liegt (s. Abb. 1).
Nun verkleinern wir das Intervall mit der Nullstelle: wir wahlen einen dritten Punkt P3 zwischen P1 und P2. Je nachdem ob dieser Punkt oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt, fahren
wir mit dem Intervall zwischen P1 und P3 oder mit dem Intervall zwischen P3 und P2 weiter. In
Abb. 2 wurden wir mit dem Intervall zwischen P3 und P2 weiterfahren, denn P3 ist oberhalb der
x-Achse und P2 unterhalb.
y
P1
y
1 1
P1
x
P31
1
x
P2
P2
Abbildung 1: Zwischen P1 und P2 liegt
mindestens eine Nullstelle
Abbildung 2: Zwischen P3 und P2 liegt
nun eine Nullstelle
Es gibt aber auch nicht so nette Funktionen, bei denen stimmt unsere Beobachtung nicht:
obwohl wir zwei Punkte gefunden haben, von denen einer oberhalb und der andere unterhalb
der x-Achse ist, liegt keine Nullstelle dazwischen (s. Abb. 3). Bei diesen Funktionen funktioniert
unser Verfahren nicht. In den Aufgaben konnen Sie dann selbst ausprobieren, was das Verfahren
in diesen Fallen genau macht.
y
P2
1 1
x
P1
Abbildung 3: Zwischen P1 und P2 liegt bei y = 1=x keine Nullstelle
Das Verfahren nennt man in der Literatur Bisektion. Es ist im Schema 1.3.1 genauer beschrieben. Beachten Sie, dass der dritte Schritt (Nimm als neues Paar... ) manchmal schiefgehen
konnte: fur f (m) = 0 kann man namlich diese Bedingung nicht wirklich erfullen. Das ist aber
kein Problem, denn dann hat man schon eine Nullstelle gefunden!
5
1.3.1
Verfahren: Bisektion
?
Suche zwei Zahlen a und b, so dass f (a) und
f (b) unterschiedliche Vorzeichen haben.
-
?
?
Setze m = a+b
2
Nimm als neues Paar (a; b) entweder a und m
oder m und b, so dass f (a) und f (b) danach
wieder unterschiedliche Vorzeichen haben.
?
Falls wir die Nullstelle noch nicht genugend
genau gefunden haben, so wiederhole obigen
Schritt, sonst ist die Nullstelle etwa a.
1.4 Aufgaben
?
Losen Sie die nachfolgenden Aufgaben wieder mit dem Programm, das Sie schon im Abschnitt 1.2
benutzt haben.
1. Finden Sie beide Losungen der Gleichung x2 cos(x) = x.
2. Wie viele Schritte braucht es, damit die Nullstelle bis auf 2 Stellen nach dem Komma bestimmt ist? Beantworten Sie diese Frage fur ein Startintervall der Lange 2 und etwa 3 bis 4
verschiedene Funktionen. Was fallt Ihnen auf?
3. Bestimmen Sie mit Hilfe des Programms alle Losungen der Gleichung sin(x) = sin(3x=2)
(gemeint sind wirklich alle, nicht nur die auf dem Bildschirm sichtbaren). Tipp: Welche
Periode hat die Funktion, von der Sie Nullstellen suchen? Versuchen Sie nicht, die Nullstellen
exakt zu nden: nummerische Werte genugen.
Die folgenden Aufgaben haben unter anderem das Ziel, Ihnen zu zeigen, wo Probleme beim Suchen
vom Nullstellen auftreten konnten.
Bevor Sie mit diesen Aufgaben beginnen, uberlegen Sie doch in der Expertengruppe gemeinsam,
welche Probleme auftreten konnten. Wenden Sie dazu etwa 5 Minuten auf. Sie brauchen nichts
aufzuschreiben.
4. Was passiert, wenn Sie die Nullstelle von f (x) = 1=x suchen und mit dem Intervall von etwa
-1 bis 1 beginnen? U berlegen Sie sich zuerst was passieren wird und schauen Sie es sich
nachher mit dem Programm an.
5. Versuchen Sie bei der Funktion
x3 3:2x2 + 3:35x 1:15
f (x) = 4
x 4:26x3 + 6:76x2 4:74x + 1:25
alle Nullstellen zu bestimmen. Verwenden Sie dazu als linke Grenze a eine Zahl die kleiner
als 0 ist. Als rechte Grenze nehmen Sie eine Zahl grosser als 2.
Konnen Sie so alle drei Nullstellen bestimmen? Falls Sie Probleme haben, versuchen Sie
einen Grund dafur zu nden.
Weshalb konnte dieses Problem auch von praktischer Bedeutung sein?
6
6. In der Beschreibung des Verfahrens steht im ersten Schritt einfach: "Suche zwei Zahlen a und
 berlegen
b, so dass. ..\ Wie wurde dieser Schritt auf einem Computer tatsachlich gemacht? U
Sie sich mindestens zwei verschiedene Varianten. Welche Variante hat welche Vorteile? Was
fur eine Variante wurde im Programm implementiert?
7. In der Beschreibung des Verfahrens steht im letzten Schritt einfach: "Falls wir die Nullstelle
nicht genugend genau. ..\ Wie genau ist "genugend genau\? Wer bestimmt, was genug
genau ist?
8. (Freiwillig) Bei der Beschreibung des Verfahrens wird erwahnt, dass der dritte Schritt (Nimm
als neues Paar. ..) schiefgehen konnte. Als Losung wird vorgeschlagen, dass man einfach die
gefundene Nullstelle ausgibt. Im Programm wurde eine andere Losung implementiert. Versuchen Sie zuerst herauszunden wie diese Losung funktioniert, dann wieso sie funktioniert.
Weshalb wurde wohl im Programm diese Losung gewahlt?
7
2 Minimum und Maximum
In diesem Puzzleteil lernen Sie was Extremalstellen einer Funktion sind (namlich die "Gipfel\ sowie
die tiefsten Punkte der Taler\) und wie ein Computer solche Extremalstellen ndet. Gehen Sie
dazu wie folgt vor: "
Lesen Sie in ihrer Expertengruppe zuerst alleine die Abschnitte 2.1 und 2.2 durch. Danach
losen Sie die Aufgaben im Abschnitt 2.3. Dabei werden Sie ungefahr erkennen wie man das
Minimum von Funktionen auf dem Computer ndet.
Lesen Sie dann den Abschnitt 2.4 durch. In diesem Abschnitt wird das Verfahren erklart.
Beachten Sie insbesondere das Schema unter 2.4.4. Da wird das Verfahren zusammengefasst.
Danach sollten Sie bereits eine gut Idee haben, wie das Verfahren funktioniert.
Sobald alle den Theorieteil durchgelesen haben, beginnen Sie gemeinsam mit dem Losen der
Aufgaben im Abschnitt 2.5. Sie sollten alle Aufgaben losen konnen. Falls Sie eine Aufgabe
nicht losen konnen, fragen Sie Ihren Lehrer.
Nachher sollten alle den Sto gut verstanden haben. Denn alle mussen den Sto ja spater
ihren Mitschulern erklaren.
Wenn Sie die Aufgaben gelost haben, verstehen Sie was die Extremalstellen einer Funktion
sind und wie ein Computer diese ndet.
2.1 Weshalb
Vielleicht werden Sie sich jetzt fragen: "Weshalb sollte man uberhaupt die Gipfel und Taler von
Funktionen suchen? Die sieht ja sowieso jeder von Auge!\ Nun, wenn man einfach eine Funktion
ohne Zeichnung gegeben hat (f (x) = 11x5 + 13x3 3x + 3) ist es schwierig die Gipfel und Taler
einfach "von Auge\ zu bestimmen. Zudem gibt es viele Anwendungen in denen ein Computer die
Extrema einer Funktion berechnen soll. Und der Computer hat kein Auge.
Dass man das Minimum oder Maximum einer Funktion berechnen will leuchtet schnell ein.
Betrachten Sie zum Beispiel folgende Aufgabe:
2.1.1
Aufgabe
Eine Nahrungsmittelrma
will ihre Erbsen in Buchsen verpacken. Dabei soll das Volumen der
Buchse 1 dm3 betragen. Die Buchse soll zylinderformig sein. Welchen Radius sollte die Buchse
haben, damit so wenig Blech wie moglich gebraucht wird?
2.1.2
L
osung
In unserer Losung berucksichtigen wir nur den Blechbedarf. Weitere herstellungsbedingte Askpekte lassen wir der Einfachheit halber weg. Die Formel fur das Volumen eines Zylinder ist "Grundache mal Hohe\, also
V = |{z}
r2 h:
(1)
Grundache
Die Oberache der Buchse ist nun genau die Menge Blech, die man benotigt um eine Buchse
herzustellen. Boden und Deckel der Buchse geben zusammen 2r2. Die Mantelache ist "Umfang
mal Hohe\, also ist die gesamte Oberache
2
A = 2| r
+ 2|rh
(2)
{z }
{z }
2Grundache
Mantelache
Der Wert A soll jetzt minimal werden. Dabei soll das Volumen aber konstant sein. Das gibt uns
noch einen Zusammenhang zwischen Hohe und Radius. Wir nehmen also die Formel (1) und losen
8
sie nach h auf (das gibt h = rV ). Eingesetzt in (2) bekommen wir A = 2r2 +2r rV = 2r2 +2 Vr :
Und genau bei dieser Funktion fragt sich unsere Firma: "Fur welchen von r wird A am kleinsten?
Das Volumen V soll dabei 1 dm3 sein.\ Sie werden dieses Minimum in den Aufgaben bestimmen!
2
2
2.2 Begrie
Im Zusammenhang mit den Minima und den Maxima hat man einige Begrie eingefuhrt, welche
erklart werden mussen:
2.2.1
Globale Extrema
Falls eine Funktion nirgends grosser ist als an der Stelle x0, so sagt man: "die Funktion ist in
\. Die Kurve in Abbildung 4 ist in x1 global maximal (wir nehmen an, dass
die Funktion auf der linken Seite immer weiter nach unten geht, rechts soll sie sich der x-Achse
nahern).
Wenn die Funktion an einer Stelle x0 ihren kleinsten Wert annimmt, so sagt man: "die Funktion
ist in x0
. Die Funktion in Abbildung 4 ist nirgends global minimal, denn auf
der linken Seite geht sie beliebig weit runter.
Das
ist der Wert, welcher die Funktion an ihrer Minimalstelle annimt.
Analog ist das
deniert. In der Abbildung 4 ist das globale Maximum etwa
1=2.
sind die Stellen, an welcher eine Funktion global minimal oder
global maximal ist. In der Abbildung 4 ist x1 die einzige globale Extremalstelle.
x0
global maximal
global mimimal
globale Minimum
globale Maximum
Globale Extremalstellen
2.2.2
Lokale Extrema
Falls eine Funktion in einer kleinen Umgebung von x0 nirgends grosser als f (x0 ) wird, so sagt
man: "die Funktion ist in x0
\. In Abbildung 4 ist die Funktion in x1 und in x2
lokal maximal.
Genau so ist die Funktion in x3
, das wird naturlich analog deniert.
sind wiederum die Stellen, in welchen eine Funktion lokal minimal
oder lokal maximal ist. In Abbildung 4 also x1, x2 und x3.
lokal maximal
lokal minimal
Lokale Extremalstellen
y
1
x1
1
x3
x2
x
Abbildung 4: Funktion mit drei lokalen Extrema
2.3 Aufgaben
In diesem Abschnitt probieren Sie das Verfahren aus, ohne es genauer zu kennen. Benutzen Sie
das Programm dass Sie auf dem Internet nden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie das Programm
nden, falls er noch nichts dazu gesagt hat. Beachten Sie: das Programm sucht nur nach lokalen
Minima.
9
Sie sollten ungefahr einen U berblick bekommen, wie das Verfahren zum Suchen von Extremalstellen funktioniert. Im nachsten Abschnitt wird es dann ganz genau erklart.
1. Suchen Sie zuerst zwei Minimalstellen von cos(x). Markieren Sie mit der Maus eine Umgebung der Minimalstelle: Drucken Sie etwa bei 4 die linke Maustaste und fahren Sie mit
gedruckter Maustaste nach rechts. Etwa bei 2 lassen Sie die Maustaste los. Das Intervall
sollte nun gelb hinterlegt sein.
Jetzt konnen Sie mit dem Knopf "Schritt\ das markierte Intervall verkleinern. Versuchen
Sie so beide sichtbaren Minimalstellen
von cos(x) zu nden.
Achten Sie beim Markieren des Intervalls auf den Hintergrund. Wann nimmt er welche Farbe
an? Wann konnen Sie Schritte machen? (Die Antwort auf diese Frage wird Ihnen vielleicht
erst im nachsten Abschnitt klar)
2. Das Programm sucht nur nach lokalen Minimalstellen. U berlegen Sie sich wie lokale Maximalstellen gesucht werden konnen. Wie konnte einem das Programm dabei helfen?
2.4 Methode
2.4.1
Vereinfachung
Wir vereinfachen uns die zukunftige Arbeit, wenn wir sagen, dass wir nur lokale Minimalstellen
suchen. Wir konnen aber lokale Maximalstellen mit unserem Verfahren genau so suchen: Wir
mussen nur unsere Funktion auf den Kopf stellen (s. Abb. 5). Das ist mathematisch ganz einfach:
wenn wir eine lokale Maximalstelle von f (x) suchen, so betrachten wir einfach g(x) = f (x). Der
Funktionsgraph wird an der x-Achse gespiegelt.
2.4.2
Idee
Die Methode beruht auf folgender Idee: wenn wir drei Punkte gegeben haben, von denen der
mittlere tiefer ist als die beiden ausseren, so wird wohl mindestens ein lokales Minimum zwischen
den beiden ausseren Punkten liegen. Betrachten Sie dazu die Abbildung 6. Wenn die Punkte P1,
P2 und P3 so wie im Bild liegen hat es immer mindestens ein lokales Minimum dazwischen. Egal
wie kompliziert die Funktion in Wirklichkeit ist { ausgenommen sind Funktionen mit Polstellen
oder solche mit "Sprungen\. Dazu sehen Sie mehr in einer Aufgabe.
y
y
1
P1
1
x
a
P3
m
1
1
b
x
P2
Abbildung 6: P2 ist tiefer als P1 und
P3. Also liegt wohl zwischen P1 und P3
eine lokales Minimum, egal wie kompliziert die Funktion aussieht.
Abbildung 5: Wie man ein Minimum
in ein Maximum verwandelt
10
2.4.3
Methode
Die Methode funktioniert nun wie folgt: Wir wahlen zunachst drei Punkte mit obiger Eigenschaft.
Die x-Koordinaten seien a, m und b. Obige Eigenschaft bedeutet folgendes: f (a) > f (m) und
f (m) < f (b) (wobei a < m < b). Diese Eigenschaft ist zum Beispiel in Abbildung 6 erfullt.
Wir wahlen nun das neue m0 in der Mitte des grosseren der beiden Intervalle [a; m] oder [m; b].
Anders gesagt: falls b m < m a, so wahle m0 = (a + m)=2, sonst wahle m0 = (m + b)=2.
Es gibt nun zwei Moglichkeiten:
1. Falls 0gilt f (m) > f (m0 ). Fahre mit den drei Punkten (m; m0; b) oder mit den drei Punkten
(a; m ; m) weiter.
2. Falls0 gilt f (m) f (m0 ) fahren wir mit den drei Punkten (a; m; m0) oder mit den drei Punkten
(m ; m; b) weiter.
Diese drei Punkte erfullen nun wieder die obige Bedingung, wie in Abbildung 6. Das Intervall,
indem sich die Minimalstelle benden kann, wurde bei unserer Operation wesentlich kleiner. Wenn
man das jetzt genugend haug macht, kennt man das Minimum sehr genau.
Das Verfahren wird im Abschnitt 2.4.4 nochmals zusammengefasst.
2.4.4
Verfahren
?
Suche drei Zahlen a, m und b so dass gilt: a < m < b,
f (a) > f (m) und f (m) < f (b) (Abb. 6).
?
-
Wahle ein m0 im grosseren Intervall [a; m] oder
[m; b]. Wir
nennen im folgenden die vier Zahlen (a; b; m; m0) neu x1, x2, x3
und x4, wobei sie hier der Grosse nach geordnet sind:
x1 < x2 < x3 < x4.
?
Falls gilt f (x2) < f (x3), so setze a = x1, m = x2, b = x3.
Falls gilt f (x2) f (x3), so setze a = x2, m = x3, b = x4.
?
Falls wir das Minimum nicht genugend genau gefunden haben,
wiederhole obige Schritte. Sonst ist das Minimum etwa m.
?
2.5 Aufgaben
Losen Sie die nachfolgenden Aufgaben wieder mit dem Programm, das Sie schon im Abschnit 2.3
benutzt haben.
1. Unser Verfahren beruht sehr stark auf folgender Annahme: Wenn wir drei Zahlen a; b; c
kennen (a < b < c), wobei f (a) > f (b) und f (b) < f (c), dann gibt es ein lokales Minimum
dazwischen.
Leider stimmt diese Annahme nicht bei allen Funktionen. Finden Sie eine Funktion bei
denen die Annahme nicht stimmt.
2. Losen Sie die Aufgabe im Abschnitt 2.1! Welche Dimensionen hat eine "optimale\ Erbsenbuchse? Wieviel Blech wird benotigt?
11
3 Steigung einer Kurve
In diesem Puzzleteil lernen Sie was die Steigung einer Funktion in einem Punkt ist { namlich
die Steilheit des Funktionsgraphen in diesem Punkt. Sie werden sehen wie ein Computer diese
Steigung berechnet. Zudem werden Sie lernen, dass die Steigung wieder als Funktion aufgefasst
werden kann. Dazu gehen Sie wie folgt vor:
Lesen Sie in ihrer Expertengruppe zuerst alleine den Abschnitt 3.1 durch. Danach versuchen
Sie die Aufgaben im Abschnitt 3.2 zu losen. Dabei werden Sie zum ersten Mal das im
Computer angewandte Verfahren sehen.
Lesen Sie dann den Abschnitt 3.3 durch. In diesem Abschnitt wird das Verfahren erklart.
Sobald alle den Theorieteil durchgelesen haben, beginnen Sie gemeinsam mit dem Losen der
Aufgaben im letzten Teil. Sie sollten alle Aufgaben losen konnen. Falls Sie eine Aufgabe
nicht losen konnen, fragen Sie Ihren Lehrer.
Danach mussen alle den Sto sehr gut verstanden haben. Denn alle mussen ja ihren Mitschulern die Steigung erklaren.
3.1 Weshalb
Vielleicht werden Sie sich jetzt fragen: "Weshalb soll man uberhaupt die Steigung einer Funktion
bestimmen?\ In diesem Abschnitt werden
wir eine Antwort auf diese Frage geben.
3.1.1
Beispiel: Eisenbahn
Oensichtlich ist die Steigung einer Funktion interessant wenn man die Steilheit einer Strasse
oder eines Schienenstucks bestimmen will: das ist namlich genau dasselbe. Eisenbahnschienen
durfen eine Steigung von ca. 1% nicht uberschreiten, wenn die Eisenbahn noch ohne Zahnrad
und Zugseil auskommen soll. Wenn man Zugstrecken entwirft, muss man das naturlich dauernd
beachten. Dazu muss irgendwo die Steigung berechnet werden und das wird vermutlich von einem
Computer gemacht.
3.1.2
Beispiel: Strecke und Geschwindigkeit
In der Abbildung 7 ist der zuruckgelegte Weg eines Autos auf der A1 zwischen Zurich und Bern
aufgezeichnet. Die Geschwindigkeit ist der Weg, welchen man in einer bestimmten Zeit zurucklegt,
dividiert durch eben diese Zeit: v = s=t. Die Steigung berechnet man genau gleich. Die
Steigung in einem Punkt ist also genau die Geschwindigkeit des Autos an diesem Ort.
3.2 Aufgaben
In diesem Abschnitt probieren Sie das Verfahren aus, ohne es genauer zu kennen. Benutzen Sie
dazu das Programm dass Sie auf dem Internet nden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie das
Programm nden, falls er noch nichts dazu gesagt hat.
Danach sollten Sie sehen, wie das Verfahren zum Berechnen der Steigung in etwa funktioniert
und eine Idee haben, was man unter der "Ableitungsfunktion\ versteht.
1. Machen Sie sich mit der Bedienung des Programms vertraut. Oben sehen Sie Knopfe, mit
welchen Sie verschiedene Funktionen wahlen konnen. Nehmen Sie als Beispiel die Funktion
sin(x).
Wenn Sie mit der Maus auf die Funktion klicken, wird an diesem Ort eine Gerade hingelegt.
Deren Steigung wird gemessen und rechts oben abgezeigt (unter f 0(x))
Gleichzeitig wird unterhalb der Funktion, auf dem zweiten Anzeigefeld, eine Markierung auf
eben dieser Hohe gezeichnet.
12
Bern (126 km)
Zurich (0 km)
1
2
1h
h
3
2
h
Abbildung 7: Weg eines Autos von Zurich nach Bern. Das Auto fahrt nach einer Stunde oensichtlich schneller als nach zwanzig Minuten, denn die Kurve ist bei einer Stunde steiler.
Machen Sie so etwa 20 bis 40 Punkte. Sie bekommen verschiedene Markierungen. Oensichtlich bekommen Sie unten wieder eine Funktion: die sogenannte Steigungsfunktion.
Was ist das fur eine Funktion? Vielleicht hilft es, wenn Sie spater die Markierungen ausschalten ("Markierungen zeichnen\) und dafur die Option "Linien zeichnen\ aktivieren.
Bemerkung: In der Mathematik bezeichnet man die Steigung einer Funktion oft auch als
, die Steigungsfunktion meistens als
. Man benutzt dazu
das Symbol f 0(x). Wenn man also sagen will, dass die Funktion f (x) = x2 an der Stelle
x = 0 waagrecht ist, schreibt man f 0 (0) = 0: "die Steigung von f in 0 ist 0\.
2. Nehmen Sie ein2 Blatt Papier zur Hand und versuchen Sie die Ableitungsfunktion der Funktion f (x) = x selbst zu schatzen. Zeichnen Sie genugend Punkte, bis sie eine Vermutung
haben was die Ableitung sein konnte.
Ableitung
Ableitungsfunktion
3.3 Methode
Die Steigung einer Funktion f (x) in einem Punkt x0 ist deniert als die Steigung der Tangente in
diesem Punkt an die Funktion. Die Steigung in einem Punkt ist also einfach eine Zahl.
Diese Zahl konnen wir von Hand folgendermassen abschatzen: Wir legen von Auge die Tangente
an die Funktion und messen die Steigung. Leider kann ein Computer dies nicht. Er hat kein
Augenmass, um abzuschatzen was in etwa die Tangente ist. Wir werden deshalb eine andere
Methode kennenlernen.
3.3.1
Gerade
Die Steigung einer Geraden zu bestimmen ist nicht all zu schwer. Man nimmt zum Beispiel zwei
Punkte auf der Geraden: (x1; y1) und (x2; y2). Die Steigung der Geraden ist dann oenbar genau
(s. Abb. 8)
y y1 y
m= 2
= :
x2 x1 x
13
y
1
(x1; y1)
y
(xy2; y2)
1
x
(x1; y1)
y
x
Abbildung 8: Bestimmen der Steigung
einer Geraden
3.3.2
1
1
x
x
(x2; y2)
Abbildung 9: Bestimmen der Steigung
einer Funktion
Kurve
Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen, wurde man im optimalen Fall die
Tangente an diesen Punkt legen und deren Steigung messen. Ein Computer kann das leider nicht.
Deshalb geht man folgendermassen vor, um die Steigung in einem Punkt x0 zu bestimmen: Man
bestimmt zwei Punkte (x1; y1) und (x2; y2) auf der Kurve und legt eine Gerade { die Sekante {
durch die beiden Punkte. Von dieser Geraden bestimmt man dann die Steigung (s. Abb. 9). Man
hot, dass diese Steigung etwa der Steigung der Funktion in x0 entspricht.
Damit das moglichst genau stimmt, setzt man x1 im Abstand d=2 links von x0, wahrend man
x2 im Abstand d=2 rechts von x0 wahlt. Der Abstand d zwischen x1 und x2 sollte oensichtlich
klein sein. Je kleiner der Abstand der beiden Punkte, desto genauer wird vermutlich die Steigung
berechnet.
3.4 Aufgaben
Losen Sie die nachfolgenden Aufgaben wieder mit dem Programm, das Sie schon im Abschnitt 3.2
benutzt haben.
1. Ein Korper bewegt sich auf einer Geraden. Zum Zeitpunkt t (in Sekunden) bendet er sich
an der Stelle t sin(t) (in Meter). Wie schnell war der Korper zum Zeitpunkt t = 3 s? Wie
schnell zum Zeitpunkt t = 7 s?
2. Fullen Sie die folgende Tabelle aus. U berprufen Sie, falls moglich, die schon eingetragenen
Funktionen mit Hilfe des Programms. Danach tragen Sie die leeren Eintrage ein.
f (x)
f 0 (x)
1
0
1
2x
x
x2
sin(x)
cos(x)
ex
3. Betrachten Sie die Funktion f (x) = e x und deren Ableitung. Was stellen Sie fest? Beschreiben Sie das in einigen Worten.
14
4. Betrachten Sie wieder die Funktion sin(x). Deaktivieren Sie zuerst den Knopf "Markierungen Zeichnen\ und aktivieren Sie "Linien Zeichnen\. Versuchen Sie die Ableitungskurve
moglichst glatt mit moglichst wenig Punkten hinzukriegen. 30 Punkte sollten fur eine glatte
Kurve reichen!
Sobald Sie zufrieden sind, aktivieren Sie den Knopf "Markierungen Zeichnen\ wieder. Wieviele Punkte haben Sie gebraucht. Wo haben Sie am meisten Punkte verwendet?
5. Nehmen Sie nun als Funktion cos(x). Verandern Sie den Abstand d. Wie andert sich die
Kurve unten? Wie gross muss d sein, damit die untere Kurve moglichst ach ist?
15
4 Flache unter einer Kurve
In diesem Puzzleteil lernen Sie, weshalb man die Flache unter einem Funktionsgraphen berechnen
will und wie ein Computer diese Flache berechnen kann. Zudem werden Sie erkennen, dass die
Flache wieder zu einer neuen Funktion fuhrt. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
Lesen Sie in ihrer Expertengruppe zuerst alleine den Abschnitt 4.1. Danach losen Sie die
Aufgabe im Abschnitt 4.2. Dabei werden Sie das Verfahren zum Berechnen der Flache
erstmals kennenlernen. Sie brauchen die Aufgabe nicht vollig zu verstehen. Sie konnen
spater nochmals zu der Aufgabe zuruckgehen, falls etwas nicht klar geworden ist.
Lesen Sie dann den Abschnitt 4.3 durch. In diesem Abschnitt wird das Verfahren erklart.
Sobald alle den Theorieteil durchgelesen haben, beginnen Sie gemeinsam mit dem Losen der
Aufgaben im letzten Teil. Sie sollten alle Aufgaben losen konnen. Falls sie eine Aufgabe
nicht losen konnen, fragen Sie Ihren Lehrer.
Danach sollten alle ihren Sto sehr gut verstanden haben. Denn alle mussen ja den Sto
ihren Mitschulern erklaren.
4.1 Motivation
Das Bestimmen der Flache unter einem Funktionsgraphen
ist interessant: Wenn Ihnen ein Computer die Flache unter der Funktion f (x) = p1 x2 zwischen 0 und 1 berechnen kann, konnen
Sie Kreisachen und damit auch bestimmen: diese Kurve beschreibt namlich genau einen Viertelkreis mit Radius 1, die Flache ist also =4.
Es gibt aber noch viele andere Anwendungen. Beispiel: Abb. 10 zeigt den Stromverkauf bzw.
Stromeinkauf (falls die Kurve negativ ist) der Schweiz im Jahre 1996. Wenn man nun die Flache
uber der t-Achse misst und die Flache unter der t-Achse abzieht, so bekommt man als Resultat
genau die Menge Strom, welche die Schweiz 1996 ins Ausland verkaufen konnte.
GWh
1000
500
Export
Monat
Import
500
Jan Feb Mar Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
Abbildung 10: Stromexport der Schweiz 1996 (ktive, aber realistische Zahlen)
Beachten Sie: die Flache unter der t-Achse muss negativ gezahlt werden. Das scheint im
Moment das Problem komplizierter zu machen. Wir werden aber sehen, dass das Gegenteil der
Fall ist!
16
4.2 Aufgabe
In diesem Abschnitt probieren Sie das Verfahren aus, ohne es genauer zu kennen. Benutzen
Sie dazu das Programm, das Sie auf dem Internet nden. Fragen Sie Ihren Lehrer, wie Sie das
Programm nden, falls er noch nichts dazu gesagt hat.
Sie sollten einen U berblick bekommen wie das Verfahren zum Berechnen der Flache funktioniert.
1. (a) Wahlen Sie die Funktion cos(x). Klicken Sie mit der Maus auf die Funktion, am besten
etwa bei . Betrachten Sie insbesondere die Anzeigen rechts oben.
Wie berechnet der Computer die Flache unter einer Kurve? Wie gross ist die Flache
unter dieser Kurve etwa?
(b) Berechnen Sie nun die Flachen unter cos(x) von bis 0 und von bis . Sie konnen
den linken Rand verschieben, indem Sie die Shift-Taste auf der Tastatur gedruckt halten
und mit der Maus bei klicken.
Betrachten Sie den Farbunterschied. Welche Rechtecke werden rot und welche grau
angemalt?
(c) Berechnen Sie jetzt einige (etwa 20 bis 30) Stellen dazwischen. Betrachten Sie wie
unten auf der jeweiligen Hohe Markierungen angebracht werden. Zum Beispiel: Falls
die Flache von 0 bis =2 berechnet wird und der Rechner 0.983 erhalt, so wird unten
bei (=2; 0:983) ein Punkt eingezeichnet.
Was stellen Sie fest? Was fur eine Funktion scheint das zu geben? Diese Funktion ist die
chenfunktion\, sie wird in Abschnitt 4.3 am Schluss genauer beschrieben. Schauen
"SieFlasich
das Resultat genauer an, indem sie den Knopf "Linien Zeichnen\ aktivieren
und Markierungen nicht mehr zeichnen ("Markierungen Zeichnen\).
(d) Machen Sie diese Aufgabe fur einige linke Werte. Vergleichen Sie die Kurven die Sie
erhalten. Inwiefern gleichen sich die Kurven?
4.3 Methode
Wie kann ein Computer die Flache der Funktion f (x) in Abbildung 11 zwischen -2 und 2 berechnen? Eine einfache Idee ist die Flache mit moglichst vielen Rechtecken anzunahern. Von
Rechtecken konnen wir die Flache ohne Probleme berechnen.
y
1
1
x
Abbildung 11: Eine Funktion f (x) und ihre Flache von -2 bis 2.
Wie nahert man die Flache einer Funktion am besten mit Rechtecken an? Drei Moglichkeiten
sind in Abbildung 12 dargestellt. Auf der linken Seite wurde die Hohe eines Rechtecks immer am
linken Rand des Intervalls gemessen, auf der rechten Seite wurde sie immer am rechten Rand des
Intervalls gemessen und in der Mitte wurde die Hohe in der Mitte des Intervalls gemessen.
Es ist nicht klar, welches dieser Verfahren das beste Resultat liefern wird. Gefuhlsmassig ist
es das mittlere.
Ebenso ist es schwierig zu sagen, wieviele Rechtecke man nehmen soll. Intuitiv ist klar, dass
man moglichst viele nehmen sollte. Auf der anderen Seite wird das Verfahren damit immer aufwendiger.
17
y
1
y
1
1
x
y
1
x
1
1
x
Abbildung 12: Annaherung der Flache unter einer Funktion mit Rechtecken
4.3.1
Formel
Die Naherung der Flache mit Hilfe von Rechtecken kann man auch als Formel beschreiben. Wir
nehmen den Ansatz in Abbildung 12 in der Mitte. Nun ist x die Breite des Rechtecks, x0 die
x-Koordinate der Mitte des Rechtecks, wie in Abbildung 13.
y
x0
1 1
x
x
Abbildung 13: Berechnen eines Rechtecks
Die Flache A eines einzelnen Rechtecks berechnet sich dann gemass
A = xf (x0):
So berechnen wir jetzt von mehrereren Rechtecken die Flache und zahlen dann alle Flachen
zusammen. Jetzt merken wir auch, dass es tatsachlich einfacher ist, die Flachen unter der x-Achse
negativ zu zahlen. Denn wenn f (x) negativ ist zahlen wir die Flache automatisch negativ.
4.3.2
Fl
achenfunktion
Jetzt haben wir noch eine neue Idee: Wenn wir (willkurlich) den linken Rand a festhalten, so
wird jedem b eine Flache zugeordnet. Wir lassen also a x, wahrend wir b verandern. Fur jedes
b berechnen wir dann die Flache zwischen a und b. So bekommen wir fur jeden Wert b eine
bestimmten Zahl.
Wir haben also ein Verfahren, mit dem wir fur jedes b die Flache unter der Kurve von a bis b
erhalten. Dieses Verfahren liefert eine Funktion, die sogenannte Flachenfunktion.
4.4 Aufgaben
Losen Sie die nachfolgenden Aufgaben wieder mit dem Programm, das Sie schon im Abschnitt 4.2
benutzt haben.
1. Nahern Sie mit dem Programm nummerisch. Tipp: lesen Sie Abschnitt 4.1 nochmals
durch.
2. Berechnen Sie die Flachenfunktion von ex . Setzen Sie den linken Rand so weit als moglich
links. Berechnen Sie einige Punkte und betrachten Sie die entstehende Kurve. Was fallt
Ihnen auf?
Stellen Sie eine Vermutung auf: Wie gross ist die Flache von ex zwischen 1 und 0?
18
3. Betrachten Sie die Flachenfunktion von f (x) = 1. Was ist die Flachenfunktion, falls a =
2; 1; 0; 1 (a ist der linke Rand)?
4. Betrachten Sie die Flachenfunktion von f(x) = cos(
x). Wie sieht die Flachenfunktion aus,
falls a = 0 ist? Versuchen Sie auch a = 2 , a = 2 .
5. (Freiwillig) Berechnen Sie nochmals die Flachenfuntion von ex. Setzen Sie den linken Rand
auf 0. Wie andert sich die Flachenfunktion?
Berechnen Sie diese Flachenfunktion, wenn b < a. Wir
haben uns bis jetzt noch nicht
uberlegt, was das sein soll: Was ist die Flache unter ex von 0 bis -3? Schauen Sie was das
Programm ausgibt. Wie werden solche "umgekehrte\ Flachen deniert? U berlegen Sie sich
die Grunde dafur.
19
5 Losungen
In diesem Kapitel sind einige Losungen zu den Aufgaben in den Kapiteln 1 bis 4.
5.1 Losungen Kapitel 1
5.1.1
Abschnitt 1.4
2. Es braucht, unabhangig von der Funktion immer etwa acht Schritte. Der Grund dafur ist,
dass das Intervall jedesmal um die Halfte kleiner wird. Dabei kommt es nicht auf die Funktion
an. Das Intervall hat also folgende Grosse: nach einem Schritt: 1, nach zwei Schritten: 1/2,
nach drei Schritten: 1/4 usw. Nach 8 Schritten ist die Grosse des Intervalls etwa 0.008.
damit ist die Nullstelle bis auf 2 Stellen nach dem Komma bestimmt.
3. Die Nullstellen sind:
0 + k 4
2:5132 + k4
5:0265 + k4
6:2831 + k4(= 2 + k4)
Wobei jeweils k eine ganze Zahl ist.
4. Das Programm nimmt an, dass zwischen 1 und 1 eine Losung vorhanden ist und verkleinert
das Intervall. Dabei ndet das Programm falschlicherweise die Polstelle 0. Falls ein Computer mit dieser Methode bei einer solchen Funktion Nullstellen sucht, kann das zu Problemen
fuhren, die speziell abgefangen werden sollten.
5. Die Nullstelle bei 1 lasst sich so nicht nden, die andern beiden schon (Intervall so legen,
dass 0:8550 < m < 1, bzw. 1 < m < 1:3449). Es ist unmoglich die Nullstelle bei 1 zu
nden, da folgendes gilt: zu Beginn ist der Funktionswert am linken Rand (f (a)) kleiner als
0, f (b) > 0. Dies bleibt bei jedem Schritt gleich.
Falls man aber 1 als Nullstelle entdecken muss, so muss am Schluss f (a) > 0 und f (b) < 0
sein. Dies kann nicht geschehen, also wird man die Nullstelle bei eins nicht nden.
Das Problem konnte von praktischer Bedeutung sein, falls jemand zum Beispiel alle Nullstellen braucht und die Funktion ahnlich wie hier aussieht.
6. Bei der im Programm implementierten Variante muss ist dass der Benutzer des Programms
zwei Zahlen a und b angeben.
Eine zweite Variante ist, dass der Computer selber Zahlenpaare ausprobiert, bis er ein geeignetes gefunden hat. Beispiel: er probiert die Zahlenpaare (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), .. .durch.
Die zweite Variante hat den Vorteil, dass der Mensch nicht eingreifen muss und nach Angaben
gefragt wird, welche er unter Umstanden gar nicht weiss. Sie hat aber auch Nachteile. Es
konnte lange dauern. Oder der Computer ndet gar kein geeignetes Paar, obwohl es irgendwo
ein solches gibt (z.B. ndet er vielleicht (0:1; 0:2) nicht).
7. Es kommt wohl auf die Anwendung an, wie genau "genugend genau\ ist. In unserem Programm genugten vier Stellen nach dem Komma. Bei einer Flugzeugsteuerung konnte das zu
ungenau sein.
Vermutlich sollte der Benutzer entscheiden, wie genau die Nullstelle gefunden werden soll.
8. Im Programm wurde folgende Losung gewahlt: Falls f (x) = 0 so wird einfach weitergefahren,
als ob f (x) positiv ist. Die Losung funktioniert, weil sie konsequent durchgezogen wurde:
Das Intervall beinhaltet die Nullstelle ja immer noch, weil der andere Rand immer (echt)
negativ ist. Nur ein Rand kann 0 werden.
Das Problem wurde so gelost, weil diese Losung einfacher zu programmieren ist.
{
{
{
{
20
5.2 Losungen Kapitel 2
5.2.1
Abschnitt 2.5
1. Die Annahme stimmt zum Beispiel bei der Funktion f (x) = 1=x nicht. Nehmen wir a =
2; b = 0:5; c = 1 so gilt f (a) = 1=2; f (b) = 2; f (c) = 1. Damit stimmt die Voraussetzung
aus unserer Methode. Trotzdem hat diese Funktion kein lokales Minimum dazwischen.
2. Der Radius sollte 0:54 dm = 0:054 m betragen. Die Oberache ist dann 20 0:27657 dm2 =
0:055 m2.
5.3 Losungen Kapitel 3
5.3.1
Abschnitt 2.3
2. Die Ableitungsfunktion von f (x) = x2 ist f 0 (x) = 2x.
5.3.2
Abschnitt 2.5
1. Nach drei Sekunden bewegt er sich mit 1:99 m=s, nach sieben Sekunden mit 0:25m=s.
2. Die ausgefullte Tabelle sieht so aus:
f (x)
f 0 (x)
1
0
x
1
x2
2x
sin(x)
cos(x)
cos(x)
sin(x)
ex
ex
3. Die Ableitung ist f 0(x) = e x, also immer genau das Negative der Funktion selbst.
4. Die meisten Punkte sollte man an den Orten machen, an dem sich die Steigung der Ableitung
am meisten verandert.
5. Mit zunehmendem d wird die Kurve immer acher. Fur d = 2 6:28 ist die Kurve unten
sogar immer genau Null.
5.4 Losungen Kaptiel 4
5.4.1
Abschnitt 4.4
2. Die Flache unter ex zwischen 1 und 0 ist 1.
3. Die Flachenfunktion ist F (x) = x + 2; x + 1; x; x 1 (jeweils fur a = 2; 1; 0; 1).
4. Die Fl
achenfunktion ist F (x) = sin(x) fur a = 0. Fur a = 2 ist sie F (x) = sin(x) + 1, fur
a = 2 ist sie F (x) = sin(x) 1.
5. Falls a > b gilt: Die Flache unter f (x) von a bis b ist das negative der Flache unter f (x) von
b bis a.
Wenn man diese Art von Flache so deniert, dann bekommt man immer dieselbe Kurve fur
die Flachenfunktion, nur nach oben und nach unten verschoben.
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