DERET BERKALA
(TIME SERIES)
(2) – TREND NON-LINIER
Matakuliah
Tahun
Versi
: KodeJ0204/Statistik Ekonomi
: Tahun 2007
: Revisi
TIPE TREN NON-LINIER




Trend Kuadratik
Trend Eksponensial
Kurva Gompertz
Kurva Pearl-Reed
TREND KUADRATIK




Dalam jangka pendek trend yang linier dapat
menggambarkan dengan baik gerakan trend deret
berkala
Dalam jangka panjang  umumnya trend akan nonlinier
Salah satunya berbentuk parabola (kuadratik)
Persamaan kuadratik:
Yi’ = a + bXi + cXi2


Yi’ merupakan nilai trend yang ditaksir, Xi adalah waktu
a, b, c merupakan konstanta
TREND KUADRATIK

Persamaan normal trend kuadratik:
 Yi
 Xi Yi
 Xi2 Yi

 na  b Xi  c  Xi2
 n Xi  b Xi2  c  Xi3
 n Xi2  b Xi3  c  Xi4
Disederhanakan menjadi:
 Yi
 ui Yi
 ui2 Yi

dimana
ui  Xi  X
 na  c  ui2
 b ui2
 a ui2  c  ui4
 ui  0
3
u
 i 0
CONTOH TREND KUADRATIK
u
uY
u2Y
u2
u4
Tahun
Deposit Uang
Y'
1949
71
-13
-923
11.999
169
28.561
133,645
1950
49
-11
-539
5.929
121
14.641
83,145
1951
71
-9
-639
5.751
81
6.561
53,965
1952
95
-7
-665
4.655
49
2.401
46,105
1953
128
-5
-640
3.200
25
625
59,565
1954
156
-3
-468
1.404
9
81
94,345
1955
192
-1
-192
192
1
1
150,445
1956
217
1
217
217
1
1
227,865
1957
301
3
903
2.709
9
81
326,605
1958
378
5
1.890
9.450
25
625
446,665
1959
520
7
3.640
25.480
49
2.401
588,045
1960
726
9
6.534
58.806
81
6.561
750,745
1961
804
11
8.844
97.284
121
14.641
934,765
1962
1.328
13
17.264
224.432
169
28.561
1.140,105
Jumlah
5.036
0
35.226
451.508
910
105.742
CONTOH TREND KUADRATIK




Berdasarkan data, dapat diperoleh persamaan normal
berikut:
5.036
 14a  910c
(1)
35.226
 910b
(2)
451.508  910a  105.742c
(3 )
Solusi persamaan normal diatas adalah
a = 186,49; b = 37,71; c = 2,665
Diperoleh persamaan kuadratik sebagai berikut:
Yi’ = 186,49 +37,71 u + 2,665 ui2
Contoh: nilai trend kuadratik tahun 1949 menjadi:
Yi’ = 186,49 +37,71 (-13) + 2,665 (-13)2 = 133,645
CONTOH TREND KUADRATIK
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
Deposit Uang
Nilai Perkiraan (Y')
62
19
61
19
60
19
59
19
58
19
57
19
56
19
55
19
54
19
53
19
52
19
51
19
50
19
19
49
0
TREND EKSPONENSIAL



Trend kuadratik menggambarkan tingkat pertambahan
secara kurang lebih konstan (constant rate of
increase)
Rasio perubahan yang konstan lebih sesuai
digambarkan dengan persamaan trend eksponensial
sebagai berikut:
Y’ = abX
Gambar kurva diatas akan menunjukkan pertambahan
yang makin menaik
CONTOH TREND EKSPONENSIAL
Tahun
PDB = Y
750,0
1963
410,8
700,0
1964
425,3
650,0
1965
429,9
600,0
1966
441,9
550,0
1967
448,0
500,0
1968
497,0
450,0
1969
531,0
400,0
1970
571,0
350,0
1971
611,0
300,0
1972
654,0
1973
707,0
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
PDB = Y
TREND EKSPONENSIAL



Bila persamaan eksponensial ditransformasi
menggunakan logaritma, maka akan diperoleh
rumusan:
log Y’ = log a + X log b
Persamaan diatas menyatakan garis linier atas dasar
X dan log Y’
Jika Y’ = log Y’, a = log a, b = log b, maka persamaan
diatas menjadi persamaan trend linier biasa, yaitu
Y’ = a + bX
TREND EKSPONENSIAL

Persamaan normal yang terbentuk:
 log Yi  n(log a)  (log b) Xi
2
X
log
Y

(log
a
)
X

(log
b
)
X
 i i
 i
 i

Disederhanakan menjadi:
 log Yi
 ui log Yi

karena
ui  0
 n(log a)
 (log b) ui2
CONTOH TREND EKSPONENSIAL
PDB = Y
u
1963
410,8
-5
2,6136
-13,0682
25
2,5866
386,011
1964
425,3
-4
2,6287
-10,5148
16
2,6110
408,282
1965
429,9
-3
2,6334
-7,9001
9
2,6353
431,837
1966
441,9
-2
2,6453
-5,2906
4
2,6597
456,752
1967
448,0
-1
2,6513
-2,6513
1
2,6840
483,103
1968
497,0
0
2,6964
0,0000
0
2,7084
510,975
1969
531,0
1
2,7251
2,7251
1
2,7328
540,456
1970
571,0
2
2,7566
5,5133
4
2,7571
571,637
1971
611,0
3
2,7860
8,3581
9
2,7815
604,617
1972
654,0
4
2,8156
11,2623
16
2,8058
639,499
1973
707,0
5
2,8494
14,2471
25
2,8302
676,394
29,8014
2,6809
110
Jumlah
log Y
u log Y
u2
Tahun
log Y'
Y'
CONTOH TREND EKSPONENSIAL

Berdasarkan data diperoleh:
29,7925  11(log a) dan 2,680  110 log b
log a


 2,7084
log b
 0,02436
Sehingga akan diperoleh persamaan trend
eksponensial berikut:
Log Y’ = 2,7084 + 0,02436 u
(1968 = 0)
Contoh: nilai trend eksponensial kuadratik tahun 1963
menjadi:
Log Y’ = 2,7084 + 0,02436 (-5) = 2,5866
Y’ = Antilog (2,5866) = 386,011
CONTOH TREND EKSPONENSIAL
750,0
700,0
650,0
600,0
550,0
500,0
450,0
400,0
350,0
300,0
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
PDB = Y
Nilai Perkiraan (Y')
PEMERIKSAAN KETEPATAN
MODEL



Pemeriksaan ketepatan model berguna untuk
mengetahui seberapa baik model yang dihasilkan
Dapat digunakan untuk membandingkan antar metode
Metode yang bisa digunakan diantaranya adalah Mean
Absolute Deviation (MAD) dengan rumus
1 n
MAD   Yt  Yt'
n t 1

Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang
PEMERIKSAAN KETEPATAN MODEL

Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang
Tahun
Deposit
Uang
Perkiraan Trend
Kuadratik
Perkiraan Trend
Eksponensial
|Yt - Yt'| Trend
Kuadratik
|Yt - Yt'| Trend
Eksponensial
1949
71
133,65
47,46
62,65
23,54
1950
49
83,15
60,33
34,15
11,33
1951
71
53,97
76,69
17,04
5,69
1952
95
46,11
97,49
48,90
2,49
1953
128
59,57
123,93
68,44
4,07
1954
156
94,35
157,54
61,66
1,54
1955
192
150,45
200,27
41,56
8,27
1956
217
227,87
254,58
10,87
37,58
1957
301
326,61
323,62
25,61
22,62
1958
378
446,67
411,38
68,67
33,38
1959
520
588,05
522,95
68,05
2,95
1960
726
750,75
664,77
24,75
61,23
1961
804
934,77
845,05
130,77
41,05
1962
1.328
1.140,11
1.074,23
187,90
253,77
60,78
36,39
MAD =
PEMERIKSAAN KETEPATAN MODEL
Contoh: Model Perkiraan untuk Deposit Uang
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
0
19
49
19
50
19
51
19
52
19
53
19
54
19
55
19
56
19
57
19
58
19
59
19
60
19
61
19
62

Deposit Uang
Nilai Perkiraan dg Trend Eksponensial
Nilai Perkiraan dg Trend Kuadratik
SEKIAN &
SEE YOU NEXT SESSION