ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
18
fVIi.kh
vkadM+ksa dk fo'ys"k.k
vkfFkZd vkadM+ksa dk v/;;u izk;% lkaf[;dh fof/k;ksa dh lgk;rk ls fd;k tkrk gSA lkaf[;dh
foKku] la[;kRed rF;ksa ds ladyu] oxhZdj.k] lkj.kh;u dh ,d fof/k gS tks ,d ?kVuk
dh O;k[;k djus] o.kZu djus vkSj rqyuk djus esa lgk;rk djrh gSA
Li"V :i ls] ,dopu :i easa lkaf[;dh ,d oSKkfud fo"k; gS tks o.kZukRed Hkh gS vkSj
fu.kkZ;d HkhA o.kZukRed lkaf[;dh esa ge oSKkfud vUos"k.k ds laiw.kZ lIrd dks 'kkfey
djrs gSaA lHkh lkaf[;dh; tkap esa igyk pj.k] fofHkUu fof/k;ksa ls rF;ksa dks ,d=k djuk
gSA mÙkjnkrkvksa ls ladfyr rF;ksa dk igys laiknu fd;k tkrk gSA ;s rF;] rc lkj.kh]
xzkQ] fp=kksa dh lgk;rk ls izLrqr fd, tkrs gSaA ifjek.kkRed lwpuk dk lkaf[;dh :i
esa fo'ys"k.k fd;k tkrk gSA izfrfuf/k fp=kksa dh ml lanHkZ esa O;k[;k dh tkrh gS ftlesa
mudk v/;;u fd;k x;k gSA
mís';
bl ikB dks i<+us ds ckn vki le> ldsaxs %
dsUnzh; izo`fÙk 'kCn dk vFkZ(
vkSlr dh vo/kkj.kk dk nSfud thou esa iz;ksx djuk(
fofHkUu J`a[kykvksa esa lekUrj ek/; dh x.kuk djuk(
lekUrj ek/; dh x.kuk esa oSdfYid fof/k;ksa dk iz;ksxA
18.1 dsUnzh; izo`fÙk dk vFkZ
vkadM+ksa ds ladyu] O;ofLFkrhdj.k vkSj izLrqrhdj.k ds i'pkr~ muds fo'ys"k.k dh vko';drk
gksrh gSA vkadM+ksa dk fo'ys"k.k ,d ,slh fof/k gS ftlds ek/;e ls la[;kRed vkadM+ksa ls
egRoiw.kZ rF; fudkys tkrs gSaA lkaf[;dh; fo'ys"k.k dk ,d egRoiw.kZ mís'; ,d vdsyk
ewY; izkIr djuk gS tks lEiw.kZ vkadM+ksa dh fo'ks"krkvksa dk o.kZu djsA
vFkZ'kkL=k
45
ekWM~;wy - 6
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
fVIi.kh
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
lkaf[;dh esa ge dqN leL;kvksa ds fo"k; esa v/;;u djrs gSa tks vf/kdka'k vusd dkj.kksa
ls izHkkfor gksrh gSaA ge tks Hkh fu"d"kZ fudkyrs gSa og cgqr ls dkj.kksa ds la;qDr izHkkoksa
ij vk/kkfjr gksrs gSa vkSj ,sls dkj.kksa dk vyx&vyx izHkko fudkyuk cgqr dfBu gSA rFkkfi
vkadM+ksa ds fo'ys"k.k esa igyk pj.k 'kq) vkadM+ksa ls izfrfuf/k ewY; Kkr djuk gSA bls] vkSlr
;k dsUnzh; izo`fr dk eki dgk tkrk gSA
'kq) vkadM+s igys laikfnr fd, tkrs gSa vksj fQj vko`fr forj.k esa ifjofrZr fd, tkrs
gSaA o.kZukRed lkaf[;dh dk ,d ekSfyd mís'; vkadM+ksa esa lcls vf/kd izfrfuf/kRo djus
okyh ewY; la[;k Kkr djuk gSA ;g izfrfuf/k la[;k vkSlr ;k lekUrj ek/; dgykrh
gSA ;g ewY; ;k vdsyh la[;k gS] tks fd lcdk izfr:i gSA bls dsUnzh; izo`fr dk eki
Hkh dgk tkrk gSA bl izdkj vkSlr o.kZukRed lkaf[;dh tks izo`fr dk eki djrh gS] dsUnzh;
izo`fr dgykrh gSA ;g fl) gks pqdk gS fd vkadM+ksa dh ,d fo'ks"k fn'kk dh vksj tkus
dh izo`fr gksrh gSA
vkadM+ksa dk dsUnzh; LFkkiu ;k ewY; dh vksj ,d=k gksus dh izo`fr dsUnzh; izo`fr dgykrh
gS A vkadM+ksa ds lewg ds fdlh vkSlr ewY; dh x.kuk djus dk mís'; ,d vdsyk ewY;
izkIr djuk gS tks lHkh enksa dk izfrfuf/kRo djrk gS vkSj ftls efLr"d vklkuh ls vkSj
'kh?kz le> ldrk gSA vdsyk ewY; og fcUnq gS ftlds pkjksa vksj O;fDrxr ensa ,df=kr
gksrh gSaA
ge viuh nSfud ppkZ esa izk;% vkSlr 'kCn dk iz;ksx djrs gSaA ;fn dksbZ nkok djrk gS
fd mlds 6 fo"k;ksa esa vkSlr vad 100 es ls 76 gSa] ;g n'kkZrk gS] fd mlus dqy 456
vFkkZr 76 × 6 vad izkIr djus esa lQyrk izkIr dh gSA mnkgj.k ds fy,] ;fn fdlh J`a[kyk
esa 5 ikfj;ksa esa lfpu us 59, 78, 100, 50 vkSj 63 ju cuk,A mlus dqy 350 ju cuk,A
mldk juksa dk vkSlr 350 ÷ 5 = 70 gSA ;g egRoiw.kZ gS fd lfpu us fdlh Hkh ikjh esa
ftlesa og [ksyk] Bhd 70 ju ugha cuk,A ysfdu vkSlr ds :iesa ;g la[;k ikap ikfj;ksa
esa mlds }kjk cuk, x;s juksa dk ,d vPNk izfrfuf/kRo djrh gSA voyksduksa ds fdlh
lewg dk ,d vkSlr ewY; fudkyus dk mís'; ,d vdsyk ewY; izkIr djuk gS tks lHkh ewY;ksa
dk izfrfuf/kRo djrk gS vkSj ftls efLr"d vklkuh ls rFkk 'kh/kzrk ls le> ldrk gSA
18.2
vkSlrksa dk mís'; vkSj dk;Z
ladfyr lwpuk vkSj 'kq) vkadM+ksa dks laf{kIr djuk
nks ;k vf/kd lewgksa esa rqyuk dks lqxe cukuk
'kq) vkadM+ksa ls ,d izfrfuf/k ewY; izLrqr djuk
Hkkoh uhfr vkSj dk;ZØeksa dks lqxe cukukA
18.3
dsUnzh; izo`fr ds eki ds :i esa lekUrj ek/;
dsUnzh; izo`fr;ksa ds fofHkUu eki gSaA lekUrj ek/; muesa ls ,d gSaA lekUrj ek/; dks
lHkh enksa ds ;ksx dks enksa dh la[;k ls Hkkx nsdj] izkIr fd;k tk ldrk gSA
46
vFkZ'kkL=k
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
X=
xf.krh; :i esa
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
Σx
N
x = en
tgka]
Σx = enksa dk ;ksx
fVIi.kh
N = enksa dh la[;k
X = lekUrj ek/;
lk/kkj.k Hkk"kk esa lekUrj ek/; vkSlr ds uke ls yksdfiz; gSA bldh x.kuk djuh cgqr
vklku gSA eku yks ,d d{kk esa 10 fo|kFkhZ gSaA mUgksaus vFkZ'kkL=k esa 10 esa ls fuEu vad
izkIr fd,A
fo|kFkhZ
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
vad (x)
2
7
10
8
6
3
5
4
5
0
;gka ‘x’ vFkZ'kkL=k esa vad gSaA ge buds ;ksx ls vkjEHk djrs gSa 2 + 7 + 10 + 8 + 6 +
3 + 5 + 4 + 5 + 0 = 50, Li"V gS fd 10 fo|kfFkZ;ksa us dqy feydj 50 vad (Σx) izkIr
fd,A fo|kfFkZ;ksa dh la[;k (N) 10 gSA bl izdkj 10 fo|kfFkZ;ksa }kjk izkIr vadksa dk vkSlr
50 ÷ 10 = 5 gSA nwljs 'kCnksa esa]
x=
Σx 50
=
=5
N 10
ikBxr iz'u 18.1
1.
dsUnzh; izo`fr dk ,d mnkgj.k nksA
2.
lekUrj ek/; dh x.kuk dk ekSfyd lw=k nksA
3.
;fn enksa dk ;ksx 40 gS vkSj ek/; 4 gS rks enksa dh la[;k (N) Kkr djksA
4.
jktk dk phuh dk lkIrkfgd miHkksx 35 fd-xzk- gS rks mldk nSfud vkSlr miHkksx
D;k gS\
5.
10 fo|kfFkZ;ksa ds vkSlr vad 50 gSaA ;fn ,d vkSj fo|kFkhZ lewg esa 'kkfey gks tkrk
gS ftlus 5 vad izkIr fd,] rks u;k vkSlr D;k gksxk\
18.4
fofHkUu izdkj dh J`a[kykvksa esa lekUrj ek/; dh x.kuk
tSlk fd ikB 17 esa fn;k x;k gS] vkadM+s fofHkUu izdkj dh J`a[kykvksa esa O;ofLFkr fd,
tk ldrs gSaA os gSa & O;fDrxr J`a[kyk] fofPNUu J`a[kyk rFkk vfofPNUu J`a[kykA fofHkUu
J`a[kykvksa esa lekUrj ek/; dh x.kuk uhps nh xbZ gSA
vFkZ'kkL=k
47
ekWM~;wy - 6
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
¼v½ O;fDrxr J`a[kyk % lekUrj ek/; ;k ek/; dh x.kuk dk mi;qZDr lw=k lHkh n'kkvksa
esa ykxw gksrk gSA ijUrq tfVy vkadM+ksa ds fy, ;fn vizR;{k fof/k dk iz;ksx djuk
gS rks mi;qZDr lw=k fuEu izdkj ls la'kksf/kr fd;k tk ldrk gSA
x =A+
fVIi.kh
Σdx
N
;gka A dkYifud ek/; gSA dx dkYifud ek/; x ls fopyu rFkk N enksa dh la[;k gSA
mnkgj.k 1. 10 fo|kfFkZ;ksa }kjk 30 vadksa esa ls fuEu izkIrkadksa dk lekUrj ek/; Kkr dhft;sA
x : 4, 3, 8, 9, 12, 10, 25, 10, 21 vkSj 20
x = vad
gy
¼v½ izR;{k fof/k
Σx: 4 + 3 + 8 + 9 + 12 + 10 + 25 + 10 + 21 + 20 = 122
lekUrj ek/; x =
Σx 122
=
= 12.2
N
10
¼c½ vizR;{k fof/k ;k y?kq fof/k
x ¼vad½
dx = x–A
A = 12, x –12
4
3
8
9
12
10
25
10
21
20
–8
–9
–4
–3
0
–2
+13
–2
+9
+9
Σx = 122
Σdx = 2
ge dkYifud ek/; (A) 12 eku ysrs gSa
x = A+
Σdx
2
= 12 +
N
10
x = 12 + 0.2 = 12.2
48
vFkZ'kkL=k
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
¼c½ fofPNUu J`a[kyk % fofPNUu J`a[kyk esa lekUrj ek/; dks Kkr djus ds fy, ge fuEu
lw=k dk iz;ksx dj ldrs gSaA
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
¼v½ izR;{k fof/k
x=
Σfdx
N
fVIi.kh
tgka N = vko`fr;ksa dk ;ksx
¼c½ vizR;{k fof/k ;k y?kq fof/k
x =A+
Σfdx
N
mnkgj.k 2. uhps fn, x, vkadM+ksa dks lgk;rk ls lekUrj ek/; dh x.kuk djksA
izfr ifjokj cPpksa dh la[;k
0
1
2
3
4
5
6
ifjokjksa dh la[;k
13
17
20
40
20
17
13
gy
¼v½ izR;{k fof/k
x = cPpksa dh la[;k
f = ifjokjksa dh la[;k
x
f
0
13
0
1
17
17
2
20
40
3
40
120
4
20
80
5
17
85
6
13
78
140
420
x=
fx
Σfx 420
=
=3
N 140
bl izdkj vkSlr 3 gS tks ;g n'kkZrk gS vkSlru izfr ifjokj 3 cPps gSaA
vFkZ'kkL=k
49
ekWM~;wy - 6
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
¼c½ vizR;{k fof/k ;k y?kq fof/k
x
f
dx = (x – A) A = 2
fdx
0
13
–2
–26
1
17
–1
–17
2
20
0
0
3
40
+1
40
4
20
+2
40
5
17
+3
51
6
13
+4
52
fVIi.kh
140
+183
–43
140
x =A+
Σfdx
140
= 2+
=3
N
140
¼l½ vfofPNUu J`a[kyk % vfofPNUu J`a[kyk esa lekUrj ek/; dks Kkr djus ds fy, fuEu
rhu fof/k;ksa dk iz;ksx fd;k tkrk gSS
¼v½ izR;{k fof/k
x=
Σfdx
N
¼c½ fcuk in fopyu ds y?kq fof/k
x = fdlh oxZ dk e/; ewY;
x =A+
Σfdx
N
¼l½ in fopyu ds lkFk y?kq fof/k
x = A+
Σfdx ′
×c
N
;gka c = lekiorZd
vfofPNUu J`a[kyk esa lekUrj ek/; dh x.kuk dh uhps ,d mnkgj.k dh lgk;rk ls foLrkj
ls O;k[;k dh xbZ gSA
50
vFkZ'kkL=k
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
mnkgj.k 3. ,d fo|ky; esa 300 fo|kfFkZ;ksa }kjk izkIrkad
x ¼vad½
f ¼fo|kfFkZ;ksa
0-10
10-20
23
27
20-30 30-40
40
120
40-50
50-60
60-70
40
27
23
dh la[;k½
fVIi.kh
gy% igys izR;sd oxZ dk e/; ewY; Kkr djuk gSA blds fy;s izR;sd oxZ dh Åijh lhek
vkSj fuEu lhek ds ;ksx dks 2 ls Hkkx fn;k tkrk gSA vFkkZr
x=
L1 + L 2 0 + 10 10 + 20 20 + 30 30 + 40 40 + 50
:
,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
50 + 60 60 + 70
,
2
2
= 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65
;gka L1 izR;sd oxZ dh fuEu lhek rFkk L2 Åijh lhek gS
¼v½ izR;{k fof/k
x
x=
l1 + l 2
2
fx
0-10
5
23
115
10-20
15
27
405
20-30
25
40
1000
30-40
35
120
4200
40-50
45
40
1800
50-60
55
27
1485
60-70
65
23
1495
300
10500
x=
vFkZ'kkL=k
f ¼vko`fr½
Σfx 10500
=
= 35
N
300
51
ekWM~;wy - 6
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
¼c½ y?kq fof/k@vizR;{k fof/k
(i) fcuk in fopyu ds
fVIi.kh
x
f
0-10
23
10-20
e/; ewY; (x)
dx(x–A) A = 25
fdx
5
–20
–460
27
15
–10
–270
20-30
40
25
0
0
30-40
120
35
+10
1200
40-50
40
45
+20
800
50-60
27
55
+30
810
60-70
23
65
+40
920
300
3000
x = A+
Σfdx
3000
= 25 +
= 25 + 10 = 35
N
300
¼l½ y?kq fof/k in fopyu ds lkFk
x
x ¼e/; ewY;½ f ¼vko`fr½
dx(x–A)A = 25
dx′ =
dx
,c = 10
10
fdx1
0-10
5
23
–20
–2
–46
10-20
15
27
–10
–1
–27
20-30
25
40
0
0
0
30-40
35
120
+10
1
120
40-50
45
40
+20
+2
+80
50-60
55
27
+30
3
81
60-70
65
23
+40
4
92
300
x =A+
52
300
Σfdx '
300
× c = 25 +
×10 = 35
N
300
vFkZ'kkL=k
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
18.6 lekUrj ek/; ds iz;ksx esa lko/kkfu;k¡
lekUrj ek/; dk iz;ksx djrs le; gesa nks egRoiw.kZ lko/kkfu;k¡ j[kuh pkfg,A
1. ;g ckr egRoiw.kZ gS fd lekUrj ek/; ,d dkYifud ewY; gS ftldks okLrfod rF;ksa
}kjk O;Dr ugha fd;k tk ldrkA mnkgj.k ds fy,] ;fn dqy feykdj 10 ifjokjksa
esa dqy 27 cPps gSaA izfr ifjokj vkSlr cPps (27 ÷10) = 2.7 gksaxsA ;g vokLrfod
gSA izfr ifjokj 2 ;k 3 cPps gks ldrs gS 2.7 ughaA
fVIi.kh
2. lekUrj ek/; xq.kkRed vkadM+s ds :i esa ugha gks ldrk tSls bekunkjh] cgknqjh] fu"Bk
vkSj lkSUn;Z vkfnA
ikBxr iz'u 18.2
1. fuEu vkadM+ksa ls lekUrj ek/; Kkr djks%
4, 6, 3, 7, 8, 2 vkSj 5
2. fuEu vkadM+ksa ls lekUrj ek/; Kkr dhft,
vad ¼5 esa ls½
0
1
2
3
4
5
fo|kfFkZ;ksa dh la[;k
3
7
8
5
3
4
3. ;fn dkYifud ek/; ls fy, x, 10 ds lewg ds fopyuksa dk ;ksx 50 gS vkSj dkYifud
ek/; 20 gS rks okLrfod lekUrj ek/; D;k gksxk\
vkius D;k lh[kk
vkadM+ksa dh dsUnzh; LFkkiu ;k ewY; ds ikl ,d=k gksus dh izo`fr dsUnzh; izo`fr dgykrh
gS A
vkSlr og ewY; gS tks vkadM+ksa ds lewg dk izfrfuf/kRo djrk gSA
lekUrj ek/; ,d xf.krh; vkSlr gS vkSj bldk lk/kkj.kr;k dsUnzh; izo`fr;ksa ds eki
ds :i eas iz;ksx fd;k tkrk gSA
lekUrj ek/; dks lHkh enksa ds ;ksx dks] enksa dh la[;k ls Hkkx nsdj Kkr fd;k tkrk
gS A
vFkZ'kkL=k
53
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
xf.krh; :i esa X =
tgka,
fVIi.kh
Σx
N
x = en
Σx = enksa dk ;ksx
N = enksa dh la[;k vkSj
X = lekUrj ek/;
lekUrj ek/; dh O;fDrxr J`a[kyk] fofPNUu vkSj vfofPNUu J`a[kyk esa fofHkUu lw=kksa
}kjk x.kuk dh tk ldrh gSA
ikBkUr iz'u
1. vkadM+ksa ds fo'ys"k.k ls vki D;k le>rs gSa\
2. o.kZukRed fo'ys"k.k ls D;k vfHkizk; gS\
3. dsUnzh; izo`fr dh vo/kkj.k dh O;k[;k dhft,A
4. lekUrj ek/; ls vkidk D;k vfHkizk; gS\ bldh x.kuk dSls dh tkrh gS\
5. lekUrj ek/; dh ifjHkk"kk nhft,A ;g D;k n'kkZrk gS\
6. dsUnzh; izo`fr;ksa ds eki ls vkidk D;k vfHkizk; gS\ lekUrj ek/; bls fdl izdkj
izfrfcfEcr djrk gS\
7. fuEu vkadM+ksa ls ek/; Kkr dhft,: 7, 4, 17, 19, 11, 16, 15, 14, 9 vkSj 11
8. Åij ds vkadM+ksa ds lewg esa fuEu enksa dks tksM+ fn;k tk; rks la'kksf/kr ek/; D;k
gksxk\ 18, 14, 14, 8, 10 vkSj 21
9. uhps fn, x, vkadM+ksa dh lgk;rk ls ek/; dh x.kuk dhft,A
54
x
f
0
1
1
13
2
20
3
40
4
40
5
13
6
7
vFkZ'kkL=k
ekWM~;wy - 6
vkadM+kas dk fo'ys"k.k
10. uhps fn, x, vkadM+ksa ls lekUrj ek/; dh x.kuk dhft,A
x
f
0-10
5
10-20
15
20-30
20
30-40
25
40-50
20
50-60
15
60-70
5
vFkZ'kkL=k esa vkadM+ksa dk
izLrqrhdj.k vkSj fo'ys"k.k
fVIi.kh
11. uhps fn, x, vkadM+ksa ls ek/; Kkr djks%
x
f
20-40
2
40-60
7
60-80
9
80-100
24
100-120
9
120-140
7
140-160
2
ikBxr iz'uksa ds mÙkj
ikBxr iz'u 18.1
1. 1
2. x =
4. 7 fd-xzk-
5. 5
Σx
N
3. 45.9
ikBxr iz'u 18.2
1. 5
2. 2.33
3. 18
4. 25
vFkZ'kkL=k
55
ekWM~;wy 7 % Hkkjrh; vFkZO;oLFkk
19.
20.
21.
22.
Hkkjrh; vFkZO;oLFkk & ,d fogaxe n`f"V
Hkkjrh; vFkZO;oLFkk ds {ks=kd igyw
Hkkjrh; vFkZO;oLFkk ds lEeq[k pqukSfr;ka
Hkkjrh; vFkZO;oLFkk & fo'o ds lanHkZ esa