ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
26
fVIi.kh
izkf;drk ls ifjp;
nSfud thou es]a ge izk;% fuEu izdkj ds dFku dgrs gS%a
(i) laHkor% vkt o"kkZ gksxhA
(ii) jsyxkM+h 'kk;n nsj ls vk,xhA
(iii) ;g laHko ugha gS fd cSd
a us dksbZ xyrh dh gSA
(iv) vf/kd laHkkouk gS fd vxys flrEcj ekl esa nkyksa ds ewY; fxj tk,axsA
(v) eq>s lansg gS fd og nkSM+ esa thu ik,xkA
'kCnksa laHkor%] 'kk;n vFkok laHkkouk dk iz;ksx ;g n'kkZrk gS fd ml ?kVuk] ftlds fo"k;
esa ge mijksDr dFku dg jgs gS]a ds ?kVus dk gesa iw.kZ fo'okl ugha gSA vFkkZr~] ?kVuk 'kk;n
?kV Hkh ldrh gS ;k 'kk;n ugha Hkh ?kV ldrh gSA izkf;drk fl)kar xf.kr dh og 'kk[kk
gS] ftls vfuf'prrk dh fLFkfr;ksa ds v/;;u ds fy, fodflr fd;k x;k gSA
bl fl)kar dk vkjaHk 16oha 'krkCnh esa gqvk FkkA izkf;drk dh ifjdYiuk dk L=ksr la;ksx ds
[ksyksa tSls flDdk mNkyus] iklk Qsd
a us bR;kfn ds v/;;u ds vUrxZr gqvk rFkk vktdy
HkkSfrdh] lekt foKku] vFkZ'kkL=] tuu foKku] tho foKku] bR;kfn esa gksrk gSA
mís';
bl ikB ds v/;;u ds ckn vki leFkZ gks tk,axs fd
•
,d ;kn`fPNd iz;ksx dk vFkZ le> lds(a
•
,d ;kn`fPNd iz;ksx dh ?kVuk rFkk ifj.kke esa vUrj crk lds(a
•
,d ?kVuk E ds ?kVus dh izkf;drk P(E) dks ifjHkkf"kr dj lds;a
•
P(E) nh gqbZ gks rks P(E ) Kkr dj ldsa;
xf.kr
697
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
•
izkf;drk P(E) ds fy, dFku 0 ≤ P(E) ≤ 1 ns lds;a
•
,d flDds dks mNkyus] ,d ikls dks mNkyus rFkk vPNh rjg QsVa h xbZ rk'k dh xM~Mh
esa ls ,d iÙkk fudkyus ls lEcfU/kr iz'uksa dks gy djus ds fy, izkf;drk dh vo/kkj.kk
dk iz;ksx dj ldsAa
fVIi.kh
visf{kr iwoZ Kku
•
flDds ls lacfa /kr Kku& fpr vFkok iV
•
,d iklk] ikls ds Qyd rFkk Qydksa ij vafdr la[;k,a
•
rk'k ds iÙkksa dk Kku& xM~Mh esa iÙkksa dh la[;k] 13&13 iÙkksa ds pkj jax&gqdqe] iku]
b±V rFkk fpM+h& izR;sd jax esa ckn'kkg] csxe] xqyke bR;kfn rLohj okys iÙks
•
vuqikr] fHkUu rFkk n'keyo dh vo/kkj.kk,¡ rFkk mu ij ewyHkwr lafØ;k,aA
26-1 ;kn`fPNd iz;ksx vkSj blds ifj.kke
fuEufyf[kr fLFkfr;kas dk voyksdj dhft,%
(1) ekuk fd ge ,d flDds dks mNkyrs gSAa ge
igys ls gh tkurs gSa fd flDdk nks laHko
fof/k;ksa esa ls ,d fof/k esa Hkwfe ij fxjrk gS
vFkkZr ;k rks fpr (H) ;k iV (T) ij dh vksj
vkrk gSA
(2) ekuk fd ge ,d iklk Qsd
a rs gSAa ge igys ls
gh tkurs gSa fd iklk 6 fHkUu fof/k;ksa 1, 2, 3,
4, 5 ;k 6 esa ls fdlh ,d fof/k ls Hkwfe ij
fxjsxk vFkkZr dksbZ ,d la[;k gh Åij dh
vksj vk,xhA
(3) ekuk ge 4 cht yxkrs gSa vkSj rhu fnu ckn
tc ge ,d flDds dh ckr djrs
gSa rks ge ;g ekudj pyrs gSa fd
fu"i{k (fair) gS vFkkZr ;g lefer
gS vkSj ,slk dksbZ dkj.k ugha gS ;g
,d vksj dh vis{kk nwljh vksj
vf/kd ckj Hkwfe ij fxjsxkA
iklk ,d N% Qydksa okyk ?ku gS
tks Hkwfe ij ,d leku izdkj ls
fdlh ,d Qyd ij fxjrk gS rFkk
bu Qydksa ij 1 ls 6 la[;k,a ¼1
la[;k ,d Qyd ij½ ;k fcUnq
vafdr gksrs gSaA
1
3 5
..
. ...
vadfq jr gksus okys chtksa dh la[;k dk voyksdu
djrs gSAa vadqfjr gksus okys chtksa dh la[;k 0,
1, 2, 3, ;k 4 gks ldrh gSA
mijksDr iz;ksxksa ls gesa lHkh lEHkkfor ifj.kke Kkr gSa ijUrq ge fuf'pr :i ls ;g izkxqfDr
ugha dj ldrs gSa fd okLro esa dkSu lk ifj.kke izkIr gksxkA bl izdkj ds iz;ksx ;kn`fPNd
iz;ksx dgykrs gSAa
698
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
(1) es]a ;kn`fPNd iz;ksx ds laHkkfor ifj.kke gS%a fpr ;k iVA
(2) es]a ;kn`fPNd iz;ksx ds laHkkfor ifj.kke gS%a 1, 2, 3, 4, 5, 6
(3) eas] laHkkfor ifj.kke gS%a 0, 1, 2, 3, 4.
fVIi.kh
;kn`fPnd iz;ksxksa ds dqN vU; mnkgj.k
(i) ,d FkSys] ftlesa fHkUu fHkUu
jaxksa dh ,d tSlh xsansa gSa] esa
ls fcuk ns [ ks ,d xs a n
fudkyukA
(ii) ,d vPNh rjg QsV
a h xbZ
rk'k ds iÙkksa dh xM~Mh eas
ls ,d iÙkk fcuk ns [ ks
fudkyukA
rk'k dh xM~Mh esa 52 iÙks gksrs gSa ftl 13&13
iÙks pkj jax ds gksrs gSAa tks gqdqe ( ) iku
( ) b±V ( ) vkSj fpM+h ( ). gqdqe vkSj fpM+h
ds iÙks dkys jax ds rFkk iRrs yky gksrs gSAa
izR;sd jax esa iÙkk bDdk] ckn'kkg] csxe] xqyke,
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, rFkk 2 gksrs gSAa ckn'kkg]
csxe o xqyke r'ohj okys iÙks dgykrs gSAa .
ns[ksa vkius fdruk lh[kk 26-1
1. fuEu esa ls dkSu dkSu ls iz;ksx ;kn`fPNd iz;ksx gS\a
(i) ekuk ,d cgqfodYih iz'u] ftlds pkj fodYi A, B, C, D esa ls] ,d fodYi lgh
gS] ds mÙkj dk vuqeku yxkrs gSaA
(ii) vyx vyx ifpZ;ksa ij 1 ls 20 rd izkÑr la[;k,¡ fy[kh xbZ gSa ¼,d iphZ ij ,d
la[;k½ rFkk bUgsa ,d cDls esa j[k fn;k x;k gSA vki fcuk ns[ks cDls esa ls ,d iphZ
fudkyrs gSAa
(iii) fdlh Å¡pkbZ ls vki ,d iRFkj Qsd
a rs gSAa
(iv) gjh vkSj tksgu esa ls izR;sd Lora= :i ls 1] 2] 3 esa ls ,d la[;k pqurk gSA
2. iz'u 1 esa ;kn`fPNd iz;ksxksa esa D;k D;k laHkkfor ifj.kke gS\a
26-2 ,d ?kVuk dh izkf;drk
ekuk ,d flDdk ;kn`PN;k mNkyk tkrk gSA nks laHkkfor ifj.kke fpr (H) vkSj iV (T) gSAa
ge eku ldrs gSa fd izR;sd ifj.kke H ;k T ds ?kVuk dh laHkkouk ,d leku gSA vU; 'kCnksa
es]a ge dg ldrs gSa fd nks ?kVuk,¡ H vkSj T leku laHkkouk okyh ;k leizkf;d (equally
likely) ?kVuk,a gSAa
xf.kr
699
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
fVIi.kh
blh izdkj tc ge ,d iklk Qsd
a rs gSa rks ;g ;qfDrlaxr
gksxk fd ge N% Qydkas ¼;k 6 ifj.kke 1] 2] 3] 4] 5] 6½ ds
ckjs esa ;g eku ysa fd izR;sd Qyd ij izR;sd la[;k ds vkus
dh laHkkouk ,d tSlh gSA vU; 'kCnksa es]a ge dgrs gSa fd
ifj.kke 1, 2, 3, 4, 5 rFkk 6 leizkf;d ?kVuk,¡ gSAa
;kn`PN;k mNkyus
dk vFkZ gS fd flDds
dks fcuk fdlh
#dkoV ;k fcuk
fdlh vfrfjDr
lgk;rk ds fxjus
nsuk gSA
blls igys fd ge ,d ?kVuk dh izkf;drk dks ifjHkkf"kr djs]a
vkb, ge 'kCn ?kVuk ds vFkZ dks le>sAa ,d iz;ksx ds ,d
;k vf/kd ifj.kke ,d ?kVuk cukrs gSAa mnkgj.kkFkZ] ,d ikls
ds Qsd
a us es]a ^iklk ,d le la[;k n'kkZrk gS* ,d ?kVuk gSA
bl ?kVuk ds lacfa /kr ifj.kke 2] 4 ;k 6 gSAa rFkkfi ?kVuk dks izk;%
,d ifj.kke ds :i esa Hkh iz;ksx fd;k tkrk gSA flDds dks mNkyus dh voLFkk eas] ^^flDdk
fpr n'kkZrk gS** ;k flDdk iV n'kkZrk gS] izR;sd ,d ?kVuk gSA igyh ?kVuk ifj.kke 'H' ds
laxr gS rFkk nwljh ?kVuk ifj.kke 'T' ds laxr gSA ;fn ge ?kVuk E ^flDdk fpr n'kkZrk
gS* vkSj ?kVu F, ^flDdk iV n'kkZrk gS* eku ys]a rks E rFkk F izkjfEHkd ?kVuk,¡ dgykrh gSAa
,d ?kVuk ftlesa iz;ksx dk dsoy ,d ifj.kke gks] izkjfEHkd ?kVuk dgykrh gSA
,d ?kVuk E dh izkf;drk] ftls P(E) }kjk n'kkZ;k tkrk gS fuEu ls ifjHkkf"kr gS%
P(E) =
vuqd
dwy
wy if
ifj.kkeks
ds vuq
j.kkeksaa dh
dh la
la[[;k
;k
E ds
iz;ksx ds lHkh laHkkfor ifj.kkeksa dh la[; k
blesa ekuk x;k gS fd lHkh ifj.kke leizkf;d gSAa
bl ikB esa ge ogh iz;ksx ysxsa ftlds ifj.kke leizkf;d gSAa
ge vc izkf;drk Kkr djus lac/a kh dqN mnkgj.k ysrs gSAa
mnkgj.k 26.1: ,d flDdk ,d ckj mNkyk tkrk gS (i) ,d fpr (ii) ,d iV izkIr djus dh
izkf;drk Kkr dhft,A
gy: ekuk ?kVuk E = ^,d fpr izkIr djuk*
iz;ksx ds laHkkfor ifj.kke gS:a fpr (H), iV (T)
laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k = 2
E ds vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k = 1 (fpr)
E dh izkf;drk = P(E) = P (fpr)
=
700
E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k
iz;ksx ds lHkh laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
=
1
2
blh izdkj ;fn ?kVuk F = ^,d iV izkIr djuk^] rks
P(F) =
fVIi.kh
1
2
mnkgj.k 26.2: ,d iklk ,d ckj Qsd
a k tkrk gSA la[;k 3 ds vkus dh izkf;drk D;k gS\
gy: ekuk ?kVuk E = ^la[;k 3 dk vkuk* gSA
iz;ksx ds laHkkfor ifj.kke : 1, 2, 3, 4, 5, 6
blfy, laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k = 6
E ds vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k = 1 (vFkkZr 3)
vr%, P(E) = P(3) =
1
6
E ds vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k
dqy laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k
mnkgj.k 26.3: ,d iklk ,d ckj mNkyk tkrk gSA 3 dks NksMd
+ j vU; la[;k vkus dh
izkf;drk Kkr dhft,A
gy: ekuk ?kVuk F = ^3 dks NksMd
+ j vU; la[;k dk vkuk*
l
a Ha kkfor ifj.kke gSa : 1, 2, 3, 4, 5, 6
laHkkfor ifj.kkeksa dh dqy dqy la[;k = 6
vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k (1, 2, 4, 5, 6) = 5
P(F) =
5
6
/;ku nhft, fd mnkgj.k 26-2 dh ?kVuk F ] mnkgj.k 26-2 dh ?kVuk ¼E ugha½ ds leku gSA
mnkgj.k 26.4: ,d FkSys esa 2 yky xSna s] 3 uhyh xSnsa sa rFkk 4 dkyh xsna sa gSAa FkSys esa ls ,d
xasn ;kn`fPNd :i ls fudkyh tkrh gSA (i) yky (ii) uhyh (iii) dkyh (iv) uhyh xasn ugha
ds vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A
gy:
(i) ekuk yky xsn
a fudkyus dh ?kVuk E gSA
iz;ksx ds dqy laHkkfor ifj.kke = 2
(yky)
xf.kr
+
3
+
(uhyh)
4=9
(dkyh)
701
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k = 2
2
9
∴ P(yky xsan) = P(E) =
fVIi.kh
(ii) ekuk uhyh xsn
a fudkyus dh ?kVuk F gSA
∴ P(uhyh xasn) = P(F) =
3 1
=
9
3
(iii) ekuk dkyh xsn
a fudkyus dh ?kVuk G gSA
∴ P (dkyh xsn
a ) = P(G) =
4
9
(iv) ekuk fd ?kVuk ^^uhyh xsn
a ugha fudkyh xbZ**] H gSA
;gk¡ uhyh xsan ugha dk vFkZ yky ;k dkyh xsan gSA
∴ H ds vuqdwy ifj.kke gSa = 2 + 4 = 6
∴ P(H) =
6
2
=
9
3
mnkgj.k 26.5: vPNh rjg QsVa h xbZ rk'k ds 52 iÙkksa dh ,d xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyk
tkrk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd ;g iÙkk
(i) yky jax dk gSA (ii) dkys jax dk gSA
gy: (i) ekuk ?kVuk E = *fudkyk x;k iÙkk yky jax dk gS*
yky jax ds iÙkksa dh la[;k = 13 + 13 = 26
∴ E ds vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k = 26
dqy iÙkksa dh la[;k = 52
∴ P(E) =
26 1
=
52 2
(ii) ekuk ?kVuk F = fudkyk x;k iÙkk dkys jax dk gSA
dkys iÙkksa dh la[;k = 13 + 13 = 26
∴ P(F) =
702
26 1
=
52 2
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
mnkgj.k 26.6: ,d iklk ,d ckj Qsd
a k tkrk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd ikls ij
(i) 7 ls NksVh la[;k vk,xh? (ii) 7 ls cM+h la[;k vk,xh?
gy: (i) ekuk ?kVuk E = ^7 ls NksVh la[;k*
E ds vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k ¼1] 2] 3] 4] 5] 6½ = 6
∴ P(E) =
fVIi.kh
6
=1
6
(ii) ekuk ?kVuk F = ^7 ls cM+h la[;k*
F ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k = 0
(Θ ikls ds fdlh Hkh Qyd ij 7 ls cM+h
la[;k ugha gksrh½
∴ P(F) =
0
=0
6
ns[kas vkius fdruk lh[kk 26-2
1. ikls dks 1 ckj Qsd
a us ij la[;k 5 vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A
2. ,d iklk ,d ckj Qsd
a k tkrk gSA bldh D;k izkf;drk gksxh fd ikls ij
(i) la[;k 7 vk,xh\
(ii) 5 ls NksVh la[;k vk,xh\
3. 52 iÙkksa dh ,d xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyk tkrk gSA bl iÙks dk ckn'kkg gksus dh
izkf;drk D;k gksxh\
4. 0 rFkk 20 ds chp esa ls ,d iw.kk±d pquk tkrk gSA pqus gq, iw.kk±d ds vHkkT; la[;k gksus
dh izkf;drk D;k gS\
5. ,d FkSys esa 3 yky vkSj 3 lQsn xsans gSaA fcuk ns[ks] FkSys ls 1 xssan fudkyh tkrh gSA D;k
izkf;drk gksxh fd ;s xsna
(i) yky jax dh gS (ii) lQsn jax dh gS?
6. 3 iq#"k vkSj 4 fL=;k¡ ls ,d lk{kkRdkj ds fy, mifLFkr gksrh gSa ftlesa ,d izR;k'kh
pquk tkuk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd pquk x;k O;fDr ,d
(i) iq#"k gS
xf.kr
(ii) L=h gSA
703
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
26-3 izkf;drk ds ckjs esa dqN vkSj
izkf;drk ds dbZ jkspd xq.k/keZ gSAa ge budks mnkgj.kksa }kjk Li"V djsx
a sA
voyksdu 1: mijksDr mnkgj.k 26-6 es]a
fVIi.kh
(a) ?kVuk E lnk ?kVsxh D;ksfa d ikls ij izR;sd la[;k lnk 7 ls NksVh gksrh gSA ,slh ?kVuk
ftlds lHkh laHkkfor ifj.kke mlds vuqdy
w gS]a fuf'pr ?kVuk dgykrh gSA vU;
'kCnksa esa tks ?kVuk vo'; gh ?kVsxh] fuf'pr ?kVuk dgykrh gSA fuf'pr ?kVuk dh
izkf;drk 1 gksrh gSA
(b) ?kVuk F dk ?kfVr gksuk vlaHko gS D;ksfd ikls ij dksbZ Hkh la[;k 7 ls cM+h ugha gksrh
gSA ,slh ?kVuk] tks dHkh ?kfVr ugha gks ldrh] vlaHko ?kVuk dgykrh gSA vlaHko
?kVuk dh izkf;drk 0 gksrh gSA
(c) izkf;drk dh ifjHkk"kk ls] fdlh ?kVuk E dh izkf;drk P(E), 1 ls vf/kd ugha gks ldrh
gS D;ksafd va'k esa la[;k] E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k gS] tks gj dh la[;k ¼dqy
laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k½ ls cM+h ugha gks ldrh gSA
(d) D;ksafd va'k rFkk gj esa izkÑr la[;k,¡ gSa] vr% P(E) _.kkRed Hkh ugha gks ldrh gSA
(a), (b), (c) rFkk (d) ls P(E) lnk 0 ls ysd 1 rd gksrh gS] vFkkZr
0 ≤ P(E) ≤ 1
voyksdu 2: mnkgj.k 26-1 es]a nksuksa ?kVuk,¡ 'H dk vkuk* rFkk 'T dk vkuk* izkjfEHkd
?kVuk,¡ gSa rFkk
P(H) + P(T) =
1
1
+ =1
2
2
blh izdkj 1 ikls dks ,d ckj Qsd
a us ds iz;ksx es]a izkjfEHkd ?kVuk,¡ gSa 1, 2, 3, 4, 5 vkSj 6
dks izkIr djuk] rFkk
P(1) + P (2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =
1
1
1
1
1
1
+ + + + + =1
6
6
6
6
6
6
vr% ge bl fu"d"kZ ij igaqprs gSa fd fdlh iz;ksx dh izkjfEHkd ?kVukvksa dh
izkf;drkvksa dk ;ksxQy lnk 1 gksrk gSA
voyksdu 3: mnkgj.k 26-2 rFkk 26-3 ls]
3 dh izkf;drk + rhu ds vfrfjDr vU; la[;k dh izkf;drk =
vFkkZr
704
1
5
+
=1
6
6
P(3) + P(3 ugha) = 1
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
vFkkZr P(E) + P(E ugha) = 1
...(1)
blh izdkj mnkgj.k 26-1 ls
P(H) = P(E) =
P(T) = P(F) =
1
2
fVIi.kh
1
2
blfy, P(E) + P(F) =
1
1
+ =1
2
2
vr%, P(E) + P(E ugha) = 1 [iV dk vkuk = dksbZ fpr u vkuk] ...(2)
(1) vkSj (2) ls, ge ns[krs gSa fd E ds fy,,
P(E) + P(E ugha) = 1
P(E) + P( E ) = 1
;k
[ge ‘E ugha’ dks E }kjk n'kkZrs gSa]
?kVuk E , ?kVuk E dh iwjd ?kVuk dgykrh gSA vFkkZr E rFkk E iwjd ?kVuk,¡ gSaA
O;kid :i es]a fdlh ?kVuk E ds fy,] fuEu lnk lR; gS
P(E) + P( E ) = 1
mnkgj.k 26.7: ;fn P(E) =
2
gks] rks ‘E ugha’ dh D;k izkf;drk gS?
7
gy: P(E) + P(E ugha) = 1
blfy,
P(E ugha) = 1 – P(E) = 1 –
2
5
=
7
7
mnkgj.k 26.8: ,d ikls dks ,d ckj Qsd
a us ij ikls ij 5 ugh vkus dh D;k izkf;drk
gksxh\
gy: ekuk ^5 dk vkuk* ?kVuk E gSA
vr% gesa P(E ugha), vFkkZr P( E ) Kkr djuk gSA
1
6
vc
P(E) =
blfy,
P( E ) == 1 –
xf.kr
1
5
=
6
6
705
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
mnkgj.k 26.9: vPNh rjg QsVa h xbZ rk'k dh 52 iÙkksa dh ,d xM~Mh esa ls ,d iÙkk
;kn`PN;k fudkyk tkrk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd ;g ,d rLohj okyk iÙkk gSA
gy: dqy laHkkfor ifj.kke = 52
fVIi.kh
ekuk ?kVuk E = ^^,d rLohj okyk iÙkk**
E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k = 3 × 4 = 12
[ckn'kkg] csxe vkSj xqyke]
∴ P(,d rLohj okyk iÙkk) =
12 3
=
52 13
mnkgj.k 26.10: ,d flDdk nks ckj mNkyk tkrk gSA izR;sd ckj fpr vkus dh izkf;drk
Kkr dhft,A
gy: vkb, ge fpr ds fy, "H" iV ds fy, "T" fy[ksaA
bl iz;ksx ds laHkkfor ifj.kke gS:a HH, HT, TH, TT
HH dk vFkZ nksuksa ckj fpr
HT dk vFkZ igyk fpr nwljk iV
TH dk vFkZ igyk iV vkSj nwljk fpr
TT dk vFkZ nksuksa ckj iV
vr% dqy laHkkfor ifj.kke = 4
ekuk ?kVuk E = ^^nksukas ckj fpr**
vuqdy
w ifj.kke = HH
vuqdy
w ifj.kkeksa dh la[;k ¾ 1
∴ P(HH) =
1
4
mnkgj.k 26.11: la;ksx ls 100 vPNh vaxwfB;ksa esa 10 nks"kiw.kZ vaxwfB;k¡ fey tkrh gSaA ns[k
dj ;g crkuk laHko ugha fd dksbZ vaxwBh nks"kiw.kZ gS ;k ughaA bl lewg ls ,d vaxwBh
;kn`PN;k fudkyh tkrh gSA D;k izkf;drk gksxh fd ;g vaxBw h vPNh vaxBw h gS\
gy: dqy laHkkfor ifj.kke = 10 + 100 = 110
^vPNh vaxwBh* ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k = 100
706
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
∴ P(vPNh vaxwBh) =
100 10
=
110 11
mnkgj.k 26.12: nks ikls ,d dky vkSj nwljk uhyk] ,d lkFk mNkys tkrs gSAa dqy laHkkfor
ifj.kke fyf[k,A nksuksa iklksa ij ,d gh la[;k vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A
fVIi.kh
gy: lHkh laHkkfor ifj.kke uhps fn, x, gSAa buesa dks"B esa igyh la[;k dkys jax ds ikls
dh gS vkSj nwljh la[;k uhys jax ds ikls dh gSA
2
uhys jax dk iklk 3
dkys jax
dk iklk
1
3
2
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
dqy laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k = 6 × 6 = 36
?kVuk E ^nksuksa iklksa ij ,d gh la[;k* ds vuqdy
w ifj.kke gS%a (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),
(5, 5) vkSj (6, 6)
∴ ?kVuk E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k = 6.
∴ P(E) =
6 1
=
36 6
ns[ksa vkius fdruk lh[kk 26-3
1. fjDr LFkkuksa dks Hkj dj fuEu dFkukas dks iwjk dhft,%
(a) ,d ?kVuk dh izkf;drk lnk _______ ds cjkcj ;k cM+h ijUrq _______ ls NksVh
;k cjkcj gksrh gSA
(b) ml ?kVuk] tks lnk ?kfVr gksrh gS fd izkf;drk ________ gksrh gSA ,slh ?kVuk
________ ?kVuk dgykrh gSA
xf.kr
707
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
(c) og ?kVuk] tks dHkh Hkh ?kfVr ugha gksxh] dh izkf;drk _________ gksrh gSA ,slh
?kVuk__________ ?kVuk dgykrh gSA
(d) nks iwjd ?kVukvksa dh izkf;drkvksa dk ;ksXkQy _________ gksrk gSA
fVIi.kh
(e) ,d iz;ksx dh lHkh izkjfEHkd ?kVukvksa dh izkf;drkvksa dk ;ksxQy __________
gksrk gSA
2. ,d iklk ,d ckj Qsd
a k tkrk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd%
(a) ,d le la[;k vk,xh
(b) ,d fo"ke la[;k vk,xh
(c) ,d vHkkT; la[;k vk,xh
3. iz'u 2 es]a lR;kfir dhft, fd
P(,d le la[;k) + P(,d fo"ke la[;k) = 1
4. ,d iklk ,d ckj Qsd
a k tkrk gSA izkf;drk Kkr dhft, fd
(i) 4 ls NksVh la[;k vk,xh
(ii) 4 ds cjkcj ;k 4 ls cM+h la[;k vk,xh
(iii) ,d HkkT; la[;k vk,xh
(iv) ,slh la[;k tks HkkT; la[;k ugha gS
5. ;fn P(E) = 0.88 gks rks ‘E ugha’ dh D;k izkf;drk gksxh?
6. ;fn P( E ) = 0 gks] rks P(E) Kkr dhft,A
7. 52 iÙkksa dh vPNh rjg QsV
a h xbZ ,d xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyk tkrk gSA izkf;drk
Kkr dhft, fd ;g iÙkk ,d%
(i) yky iÙkk gksxk
(ii) dkyk iÙkk gksxk
(iii) yky csxe gksxk
(iv) dkys jax dk bDdk gksxk
(v) gqdqe dk xqyke gksxk
(vi) fpM+h dk ckn'kkg gksxk
(vii) ,d rLohj okyk iÙkk ugha gksxk
(viii) b±V dk xqyke ugha gksxk
8. ,d FkSys esa 15 lQsn xsans vkSj 10 uhyh xsansa gSaA FkSys esa ls ,d xsan ;kn`PN;k fudkyh
tkrh gSA D;k izkf;drk gksxh fd ;g xsna
(i) uhys jax dh ugha gS\
708
(ii) lQsn jax dh ugha gSA
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
9. ,d FkSys esa 3 yky] 4 gjs vkSj 2 uhys daps gSaA ;fn blesa ls ,d dapk ;kn`PN;k fudkyk
tk,] rks d;k izkFkfedrk gksxh fd ;g
(i) gjk ugha gS?
(ii) yky ugha gS?
(iii) uhyk ugha gS?
10. ,d gh le; nks fofHkUu flDds mNkys tkrs gSAa lHkh laHkkfor ifj.kke fyf[k,A ,d
fVIi.kh
flDds ij fpr rFkk nwljs ij iV vkus dh D;k izkf;drk gksxh\
11. Åij fn, x, iz'u 10 es]a nksuksa flDdksa ij iV gksus dh izkf;drk D;k gksxh\
12. nks iklkas dks ,d lkFk QSd
a k tkrk gSA bu ij vk, la[;kvkas dk ;ksxQy fy[k fy;k
tkrk gSA D;k izkf;drk gksxh fd ;g ;ksx
(i) 7
(ii) 8
(iii) 9
(iv) 10
(v) 12 gksA
13. la;ksxo'k 8 [kjkc f[kykSus mlh izdkj ds 92 vPNs f[kykSuksa esa fey tkrs gSaA bl lewg
esa ls ,d f[kykSuk ;kn`PN;k fudkyk tkrk gSA bl f[kykSus ds [kjkc gksus dh D;k
izkf;drk gksxh\
vkb, nksgjk,¡
•
,d ;kn`fPNd iz;ksx og iz;ksx gkrk gS ftlesa ,d ls vf/kd ifj.kke gksa rFkk iz;ksx dks
djus ls igys vkus okys ifj.kke dk vuqeku ugha yxk;k tk ldrkA
•
,d iz;ksx ds ,d ;k blls vf/kd ifj.kke ,d ?kVuk cukrs gSAa
•
,d ?kVuk] ftldk dsoy ,d ifj.kke gks] izkjfEHkd ?kVuk dgykrh gS A
•
,d ?kVuk E dh izkf;drk P(E) fuEu ls ifjHkkf"kr gksrh gS%
P(E) =
E ds vuqdwy ifj.kkeksa dh la[;k
iz;ksx ds lHkh laHkkfor ifj.kkeksa dh la[;k
, tcfd lHkh ifj.kke leizkf;d
gSaA
•
0 ≤ P(E) ≤ 1
•
;fn P(E) = 0 gks] rks E ,d vlaHko ?kVuk dgykrh gSA ;fn P(E) = 1 gks] rks E ,d
fuf'pr ?kVuk dgykrh gSA
•
,d iz;ksx dh lHkh izkjfEHkd ?kVukvksa dh izkf;drkvksa dk ;ksxQy 1 gksrk gSA
•
P(E) + P( E ) = 1 gksrk gS] tgk¡ fd E rFkk E iwjd ?kVuk,¡ gSAa
xf.kr
709
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
vkb, vH;kl djsa
1. fuEufyf[kr dFkuksa esa ls dkSu ls dFku lR; (T) vkSj dkSu ls dFku vlR; (F) gS:a
fVIi.kh
(i) ,d ?kVuk dh izkf;drk 1-01 gks ldrh gSA
(ii) ;fn P(E) = 0.08, rc P( E )= 0.02 gksxkA
(iii) ,d vlaHko ?kVuk dh izkf;drk 1 gksrh gSA
(iv) fdlh ?kVuk E ds fy, 0 ≤ P(E) ≤ 1 gksrk gSA
(v) P( E ) = 1 + P(E) gksrk gSA
2. 52 iÙkksa dh vPNh rjg QasVh xbZ ,d xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyk tkrk gSA D;k
izkf;drk gksxh fd ;g iÙkk yky rLohj okyk iÙkk gksxkA
3. nks flDdksa dks ,d lkFk ,d ckj mNkyk tkrk gSA de ls de ,d fpr vkus dh
izkf;drk D;k gksxh\[ladsr: P(de ls de 1 fpr) = 1 – P(dksbZ fpr ugha)]
4. ,d iklk nks ckj Qsd
a k tkrk gS rFkk gj ckj vkus okyh la[;kvksa dks uksV dj fy;k tkrk
gSA bldh d;k izkf;drk gksxh fd nksuksa la[;kvkas dk ;ksxQy
(i) 12 ls cM+k gksxk?
(ii) 12 ls NksVk gksxk?
(iii) 11 ls cM+k gksxk?
(iv) 2 ls cM+k gksxk?
5. iz'u 4 es]a la[;kvksa dk xq.kuQy 12 gksus dh izkf;drk D;k gksxh\
6. iz'u 4 es]a la[;kvksa dk vUrj 2 gksus dh izkf;drk D;k gksxh\
7. ,d FkSys esa 15 yky xsn
a sa vkSj dqN gjh xsna s gSAa ;fn ,d gjh xasn fudkyus dh izkf;drk
1
gks] rks gjh xasnksa dh la[;k Kkr dhft,A
6
8. fuEu esa ls dkSu fdlh ?kVuk dh izkf;drk ugha gks ldrh\
(A)
2
3
(B) – 1.01
(C) 12%
(D) 0.3
9. nks iklksa ds ,d ckj Qsd
a us ls] ;ksx 2 vkus dh izkf;drk gS%
(A)
1
9
(B)
1
18
(C)
1
36
(D)
35
36
10. nks flDdksa dks ,d lkFk ,d ckj mNkyus ij] 1 fpr vkSj 1 iV vkus dh izkf;drk gS%
(A)
710
1
3
(B)
1
4
(C)
1
2
(D)
2
3
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
ns[ksa vkius fdruk lh[kk ds mÙkj
26.1
1. (i), (ii) and (iii)
2. (i) A, B, C, D
(ii) 1, 2, 3, ..., 20
fVIi.kh
(iii) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1),
(3, 2), (3, 3)
26.2
1.
1
6
5. (i)
2. (i) 0
3
8
(ii)
26.3
1. (a) 0, 1
(d) 1
2. (i)
1
2
1
2
(ii)
1
2
(vii)
6. (i)
1
2
6. 1
4. (i)
7. (i)
5
8
(ii)
10
13
1
2
(viii)
3
5
(ii)
2
5
9. (i)
5
9
(ii)
2
3
10. HH, HT, TH, TT,
1
4
13.
2
25
xf.kr
3.
3
7
1
13
(ii)
4.
8
19
4
7
(c) 0, vlaHko ?kVuk
(iii)
1
2
(iii)
1
3
(iv)
2
3
(iii)
1
26
(iv)
1
26
(v)
1
52
(vi)
1
52
(iii)
1
9
(iv)
1
12
(v)
1
36
51
52
8. (i)
11.
2
3
(b) 1, fuf'pr ?kVuk
(e) 1
(ii)
1
2
5. 0.12
(ii)
12. (i)
(iii)
7
9
1
2
1
6
(ii)
5
36
711
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
vkb, vH;kl djsa ds mÙkj
1. (i) F
fVIi.kh
712
(ii) T
(iii) F
(iv) T
(v) F
2.
3
26
3.
3
4
4. (i) 0
(ii) 1
(iii)
1
36
5.
1
9
6.
2
9
7. 3
8. (B)
9. (C)
(iv) 1
10. (C)
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
ek/;fed ikB~;Øe
xf.kr
vH;kl dk;Z&lkaf[;dh
fVIi.kh
vf/kdre vad: 25
le; : 45 feuV
vuqns'k
1. izR;sd iz'u dk mÙkj iqfLrdk ds vyx&vyx i`"B ij nhft,A
2. fuEu lwpuk viuh mÙkj iqfLrdk esa nhft,A
uke
ukekadu la[;k
fo"k;
vH;kl dk;Z dk izdj.k (Topic)
irk
3. vki vius vH;kl dk;Z dh tkap v/;;u dsUnz ij vius fo"k; v/;kid ls djkbZ,
ftlls vkids dk;Z dk mfpr ifj"dj.k fey ldsA
viuk vH;kl dk;Z jk"Vªh; eqDr fo|ky;h f'k{kk laLFkku dks er Hksft,A
1. vkadM+ksa es]a dksbZ fo'ks"k la[;k fdruh ckj vkrh gS] bldks dgrs gSa
1
(A) ckjackjrk
(B) lap;h ckjackjrk
(C) oxZ eki
(D) pj
2. fuEu lap;h ckjackjrk caVu esa 40&50 oxZ dh ckjackjrk gS%
oxZ
lap;h
ckjackjrk
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
15
45
70
80
100
110
(A) 80
(B) 25
(C) 10
(D) 20
xf.kr
1
713
ekWM~;wy–6
xf.kr ek/;fed ikB~;Øe
lk¡f[;dh
3. 12, 16, 15 vkSj 17 dk ek/; gS
fVIi.kh
1
(A) 14.5
(B) 15
(C) 15.5
(D) 17
4. ;fn vkadM+ksa ds izR;sd fopj dks 5 ls c<+k fn;k tk,] rks ek/;
(A) ogh jgsxk
1
(B) 5 ls c<+ tk,xk
(C) ewy ek/; dk 5 xquk gks tk,xk (D)
5 ls ?kV tk,xk
5. izs{k.kksa 8, 9, 16, 15, 11, 13, 12, 14, 10 dk ek/;d gS
(A) 10
(B) 11.5
(C) 12
(D) 12.5
1
6. ikLkksa ds ,d tksMs+ dk ,d ckj mNkyk x;kA lHkh laHko ifj.kke fyf[k,A
2
7. nks flDdksa dks ,d ckj mNkyk x;kA de ls de ,d fpr vkus dh izkf;drk Kkr
2
dhft,A
8. ,d iklk ,d ckj mNkyk x;kA vHkkT; la[;k ds vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A
2
9. c<+rs Øe eas fy, x, fuEu izs{k.kksa dk ek/;d 32 gSA a dk eku Kkr dhft,A
2
12, 14, 15, 27, a + 2, a + 3, 35, 36, 40, 49
10. x dk eku Kkr dhft, ;fn fuEu izs{k.kksa dk cgqyd 12 gSA
2
15, 16, 19, 12, 13, 16, 12, 12, 12, 16, x
11. uhps fn, x,] ,d Ldwy ds 125 fo|kfFkZ;ksa ds nSfud tsc [kpZ ds vkadM+ksa dk vk;r fp=
[khafp,A
4
nSfud tsc [kpZ
fo|kfFkZ;ksa dh la[;k
(` esa)
10-20
20
20-30
30
30-40
25
40-50
35
50-60
15
vFkok
714
xf.kr
ekWM~;wy–6
izkf;drk ls ifjp;
lk¡f[;dh
(dsoy n`f"V fodykax fo|kfFkZ;ksa ds fy,)
fuEufyf[kr vk;r fp= dks ns[kdj fuEu iz'uksa ds mÙkj nsa
fo|kfFkZ;ksa dh la[;k
fVIi.kh
10
20
30
40
50
izkIrkad
(i) fdrus fo|kfFkZ;ksa us 20 ls 40 rd vad izkIr fd,?
(ii) fdrus fo|kfFkZ;ksa us 20 ls de vad izkIr fd,?
12.fuEu caVu dk ek/; 25 gSA ;fn ckjackjrkvksa dk ;ksx 25 gS rks x1 rFkk x2 ds eku Kkr
dhft,A
6
oxZ
ckjackjrk,a
xf.kr
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
1
x1
5
7
x2
3
1
715