Costruzione dell’immagine prospettica di un parallelepipedo.
La difficoltà di costruzione dell’immagine prospettica di un parallelepipedo equivale, tutto
sommato, a quella che si incontra nella costruzione dell’immagine prospettica di un cubo; infatti
l’unica differenza consiste nel fatto che le tre dimensioni devono essere liberamente modificabili tra
loro, mentre nella costruzione di un cubo è sufficiente considerare una dimensione che dovrà essere
usata per tutti i dodici spigoli.
Immagine sul piano reale
Il primo passo consiste nel costruire la pianta del solido che si vuole raffigurare sul piano reale, in
modo da preparare la base dell’immagine prospettica su cui si “poggerà” la costruzione che
vogliamo raffigurare. La base è rettangolare, quindi bisogna disegnare un rettangolo. Conviene
costruirne uno che sia “ruotabile” e “traslabile”, in modo che alla fine del disegno sarà possibile
verificare e riscontrare alcune proprietà dell’omologia.
Costruzione di un rettangolo “traslabile” per un suo lato e “ruotabile” da un suo
vertice
1. Si disegni il punto A sul piano reale e una circonferenza Γ di centro A e raggio pari ad un
lato del rettangolo; si disegni un punto B su di essa. Il segmento AB sarà uno dei quattro lati
del rettangolo. Nascondere la circonferenza.
2. Disegnare adesso una retta perpendicolare al segmento AB e passante per A. Su tale retta
individuare un punto D che si trova ad una distanza pari alla seconda dimensione del
rettangolo.
3. Disegnare la retta parallela ad AB passante per D e la parallela ad AD passante per B. Tali
due rette si intersecano nel punto C, quarto vertice del rettangolo
4. Disegnare il rettangolo, con il comando “poligono”, avente per vertici i punti ABCD e
nascondere tutte le rette usate per questa costruzione ed il segmento AB.
Questo rettangolo sarà traslabile se “trascinato” dal vertice A, e “ruotabile” trascinando il vertice B
attorno ad A.
Attenzione: il rettangolo così disegnato sarà ruotabile, traslabile e se ne potrà inoltre modificare il lato AD muovendo
il vertice D. Si potrà inoltre modificare la lunghezza del lato AB mostrando, con il comando “mostra-nascondi”, la
circonferenza Γ e modificandola.
Chiaramente si può costruire una macro che, a partire dalla definizione di A, di Γ e di D, disegni
automaticamente il rettangolo ABCD
La prospettiva della base
Il secondo passo per la costruzione del parallelepipedo consiste nel costruire l’immagine prospettica
del rettangolo. Per fare questo bisogna fissare la posizione sul piano reale dell’osservatore rispetto
la linea di terra. Indichiamo con il punto Oss un punto del piano reale che indica la posizione
dell’osservatore. Disegniamo anche la linea di terra (LT) che è l’asse dell’omologia, e la linea di
orizzonte (LO) che è la linea dei punti corrispondenti dei punti all’infinito. Il punto centrico
dell’omologia, si può ottenere proiettando ortogonalmente Oss su LO. Esso rappresenta il punto di
fuga di tutte le rette che, sul piano reale, sono perpendicolari alla LT.
Per disegnare il punto di fuga delle rette parallele al lato AB, Piero Della Francesca adoperava il
seguente metodo: disegnava una retta parallela ad AB e passante per Oss. Questa retta interseca la
LT in un punto che proiettato ortogonalmente a LT incontra la LO nel punto S1 il cui simmetrico
rispetto a inf è F1 (detto “punto di fuga” ovvero è il punto all’infinito di tutte le parallele ad AB).
Analogamente disegnava la parallela ad AD passante per Oss che interseca la LT in un punto che
proiettato perpendicolarmente a LT su LO individua la posizione del punto S2 il cui simmetrico
rispetto ad inf è F2 (punto all’infinito di tutte le parallele alla retta AD):
Nascondiamo adesso tutte le linee che sono servite per la costruzione di F1 e F2, fino ad avere
davanti la seguente figura:
Disegniamo le rette passanti per AB, per CD, per AD e per BC. Queste quattro rette intersecheranno
rispettivamente nei punti G1, G2, G3 e G4 la LT. Se conduciamo adesso la retta passante per G1 e F1,
ci rendiamo conto che l’immagine omologa di A deve trovarsi su questa retta (che è l’omologa di
AB). Questa immagine deve trovarsi anche sulla retta passante per G3 e F2, che rappresenta
l’immagine omologa della retta AD. L’immagine A’ di A si troverà pertanto nel punto di
intersezione tra queste due rette. Analogamente si può fare per le immagini omologhe di B e C:
A questo punto non ci resta che nascondere un po’ di rette e lasciare evidenziati i punti A’B’C’D’
che uniti con il comando “poligono”, descrivono i vertici dell’immagine omologa del rettangolo
ABCD:
È superfluo dire che sarebbe comunque bastato fare uso delle macro già messe a punto
precedentemente per ogni punto A B C D ed unire gli omologhi di ogni punto con un poligono, per
ottenere l’immagine omologa del rettangolo in figura. In tal caso avremmo dovuto prima trovare il
centro dell’omologia che si trova sulla retta per Oss. perpendicolare alla linea di terra LT e dista da
LO tanto quanto Oss. dista da LT.
Il procedimento qui esposto è stato figurato soltanto per rievocare i passi compiuti da Piero Della
Francesca con il moderno strumento Cabrì.
Le “pareti” verticali
Dobbiamo adesso “alzare” la base del parallelepipedo e creare le facce laterali. A questo proposito
dobbiamo renderci conto che il piano su cui le dimensioni reali non subiscono variazioni è il piano
verticale passante per la LT, cioè proprio il piano su cui avviene la proiezione omologica. Se
riportiamo, quindi, sulla perpendicolare alla LT per il punto G1 precedentemente disegnato l’altezza
del parallelepipedo G1H e uniamo H con F1 disegniamo proprio l’immagine omologa della retta che
contiene lo spigolo superiore (che chiamiamo EF) del parallelepipedo parallelo ad AB. Per ottenere
E’F’ intersecheremo questa retta con le perpendicolari a LT per A’ e per B’.
Analogamente, unendo E’ con F2 si costruisce la retta omologa a quella che contiene lo spigolo EM.
Il punto M’, a sua volta, si trova sulla perpendicolare alla LT passante per D’. Risulta così
determinato M’ e, tracciando il punto d’intersezione tra la retta M’F1 e la retta F2F’ si determina
anche il quarto vertice della base superiore L’:
Adesso non ci resta che unire i punti E’F’L’M’ con un poligono per evidenziare l’immagine
omologica della base superiore del parallelepipedo. Unendo E’ con A’, M’ con D’, L’ con C’ e F’
con B’ si disegnano gli spigoli verticali del parallelepipedo. Basta adesso nascondere le rette usate
per la costruzione e si ottiene l’immagine omologa di un parallelepipedo:
A questo punto con il disegno fatto è possibile vedere come varia l’immagine omologa di un
parallelepipedo se si sposta l’osservatore, o se si varia la forma della base del parallelepipedo, o
anche se ne varia l’altezza, o se cambia l’altezza dell’osservatore. Piero Della Francesca doveva
fare un quadro diverso per ogni situazione diversa, a noi basta un semplice clic.
Si osserva che se il lato AB è quasi parallelo alla LT, la prospettiva assume l’aspetto che si evince
nel caso particolare della cosiddetta prospettiva centrale. Se AB è perfettamente parallelo (o
perpendicolare) a LT, l’immagine prospettica scompare.