“Le geometrie della visione”
Liceo Classico Varrone (Rieti)
2005-2006
LABORATORIO VII
 Indice degli elementi del laboratorio
- Esercizi grafici sui punti di fuga
- La rappresentazione prospettica delle altezze
- Esercizio grafico sulle altezze
- Rappresentazione prospettica di un parallelepipedo di data altezza e posizione sul pavimento .
- Il problema del goal
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Laura Catastini
 Obiettivi disciplinari e formativi della lezione
- Generalizzazione della ricerca del punto di fuga di una arbitraria direzione del piano partendo
dalla rappresentazione prospettica di un pavimento con piastrelle rettangolari.
- La rappresentazione prospettica delle altezze con il metodo di Alberti e di Piero della Francesca.
- Applicazione degli elementi fin qua presentati, in un problema di ricostruzione della realtà, data la
sua rappresentazione prospettica e alcune misure.
SVOLGIMENTO LABORATORIO
♦ Generalizzazione del punto di fuga
Viene proiettata per un breve periodo di tempo la Tavola VII-1 affinché gli studenti riprendano
contatto visivo con gli elementi geometrici presenti in una rappresentazione prospettica e con i loro
nomi
Successivamente la scheda 1 viene rimossa e si consegna la Tavola VII-2a degli esercizi. Il primo di
essi chiede di orientarsi nel disegno e di mettere i nomi agli oggetti indicati
Tavola VII-2a
L’esercizio 2, (Tavola VII-2b), chiede una dimostrazione sintetica che giustifichi la distanza dal
punto principale dei punti di fuga richiesti:
- Determinare sulla linea dell’orizzonte del piano del quadro come in fig. 1 i punti di fuga delle
rette parallele al piano di terra con direzione rispettivamente di 30°, 150° , 60°, 120° (misurati in
senso antiorario rispetto alla linea di terra), sapendo che l’altezza dell’occhio OP misura 9 cm e la
distanza dell’occhio dal piano del vetro OO’ misura 10 cm. (usa il disegno in prospettiva della fig.2
per ragionamenti e valutazioni
O'
Linea di terra
P'
Fig. 1
Fig. 2
L’esercizio impegna il pensiero dello studente nella rappresentazione spaziale del raggio di fuga,
della sua intersezione F con la linea dell’orizzonte e nella ricostruzione, sempre nello spazio, del
triangolo rettangolo OO’F.
Nella risoluzione della ricerca del punto di fuga di rette appartenenti a piano paralleli al piano di
terra, con inclinazione 30° rispetto alla linea di terra, gli studenti, aiutandosi con la fig. 2, hanno
visualizzato abbastanza bene il triangolo
ma non riconoscono in esso la metà di un triangolo equilatero, né ricordano la misura dell’altezza.
Procedono allora con il teorema di Pitagora a individuare la misura del segmento cercato. A
risultato ottenuto, ricordiamo le relazioni tra il lato e l’altezza del triangolo equilatero, chiedendo di
usare tale relazione per verificare il risultato.
Si fa notare poi come facilmente si poteva arrivare alla stessa soluzione usando la tangente,
indispensabile nel caso di triangoli non particolari, e si chiede di risolvere il problema nel caso di un
angolo di 78°.
♦ La rappresentazione prospettica delle altezze
Si ricorda la tecnica prospettica secondo l’impianto albertiano, usando il proiettore e il CD de “Le
geometrie della visione”. Si sottolineano ancora, in modo particolare
- l’esplicita descrizione dei parametri albertiani che fissano il punto centrico all’altezza di tre
braccia, cioè a altezza d’uomo.
- l’esigenza che le diagonali della griglia di terra siano allineate tra loro, fatto già affrontato e
giustificato con l’invarianza dell’allineamento negli incontri precedenti
- il “modo ottimo” usato per il giusto degradare delle “linee traverse” (le orizzontali del piano di
terra) Si ricorda inoltre che il metodo del punto di distanza viene introdotto più tardi, da Piero della
Francesca.
Viene descritto il metodo delle “alzate” di Alberti, per determinare in prospettiva l’altezza degli
oggetti posti sul piano di terra
- Metodo delle “alzate” di Alberti
La rappresentazione sul piano del dipinto delle altezze, non presentava e non presenta particolari
problemi: essa può realizzarsi usando la teoria dei rapporti e delle similitudini. La distanza tra la
linea di terra e il punto centrico rappresenta, nella scala del quadro, l’altezza dell’occhio che,
nell’impostazione di Alberti, è di tre braccia quanto cioè è alto un uomo. Se vogliamo quindi
rappresentare dei personaggi in piedi su quella pavimentazione, se alti uguali, dobbiamo
rappresentarli tutti con gli occhi equidistanti dalla linea di terra. È infatti in questo modo che
vediamo gli occhi dei vari personaggi: tutti allineati col punto centrico O.
Questo studio di Pisanello descrive molto bene la situazione.
Alberti usa il fatto che se si taglia la piramide visiva con piani paralleli , equidistanti dalla base gli
oggetti sui due piani hanno la stessa forma, sono cioè simili e pertanto si conservano i rapporti tra le
corrispondenti parti.
Nell’immagine animata seguente possiamo allontanare, muovendo il punto A, il porticato e vedere
come le varie proporzioni si conservino.
Animazione VII-1
Possiamo inquadrare facilmente la questione all’interno del quadro teorico che abbiamo delineato:
se un oggetto A posto, ad esempio, come nella pianta
è alto 6 braccia e se l'altezza dell'occhio è di 3 braccia, allora sarà rappresentato in prospettiva alto
come 2 uomini posti nella corrispondente posizione: cioè
PR = 2 PQ e SU = 2 ST
ll fatto che i punti R ed U ottenuti raddoppiando le rispettive distanze dalla linea tratteggiata si
allineino con il punto di fuga O non è esplicitamente detto da Alberti ma, probabilmente, ben chiaro
essendo questo una conseguenza della teoria euclidea della similitudine più volte richiamata.
In questo modo Alberti poteva rappresentare sul piano del quadro in modo rigoroso e
geometricamente corretto la proiezione, da un punto O, di un oggetto qualunque descrivibile in
termini in larghezza, profondità e altezza.
Lo spazio oggettivo viene descritto con una rete di cubi tridimendionali (le coordinate (x,y,z)) e la
sua rappresentazione pittorica viene descritta tramite una costruzione geometrica, di facile
realizzazione, i cui principi generali nascono dai postulati dell’Ottica di Euclide. All’interno di
questa rete è ora possibile collocare qualunque oggetto e proiettarlo, proiettando i punti della griglia
che lo definiscono, ottenendone la sua esatta rappresentazione prospettica.
L’animazione che segue, ottenuta muovendo il punto A, dà l’idea di muoversi in una realtà virtuale
dove incontriamo dei parallelepipedi tutti uguali con la base quadrata di un braccio per un braccio e
con l'altezza di 9 braccia.
Animazione VII-2
Entrambi si giustificano con semplici proporzioni, dato il contesto di similitudine.
♦ Esercizi grafici
1) Dato l’occhio all’altezza di tre braccia, si disegni un parallelepipedo alto 5 braccia nella
mattonella indicata in disegno:
O
Lo
3,20 cm
1,07 cm
Lt
Tavola VII-3
Costruzione: si alzino dai quattro vertici delle mattonella le rette verticali che saranno gli spigoli
del parallelepipedo da rappresentare. (ricordiamo che rette verticali si rappresentano verticali). Il
segmento AA’ misura in scala 3 braccia. Si divida il segmento in tre parti uguali (vedi figura
seguente)
O
A'
Lo
3,20 cm
1,07 cm
A
Lt
Il lato del parallelepipedo da rappresentare è alto 5 braccia, per cui alle tre già presenti (AA’)
occorre aggiungerne 2 fino ad arrivare al numero richiesto.
A'
O
3,20 cm
1,07 cm
A
Lt
È sta trovata così l’altezza prospetticamente giusta per il lato in questione e per quello che si trova
sulla sua stessa linea traversa
Per trovare l’altezza dei lati più lontani, Alberti usa lo stesso metodo, ma per accelerare la
procedura, gli studenti sono stati invitati a sfruttare il punto di fuga, dato che i segmenti di
profondità sono perpendicolari al piano del quadro.
A'
O
3,20 cm
1,07 cm
A
Lt
Ed ecco il parallelepipedo completo
O
3,20 cm
1,07 cm
Lt
2) Problema del goal (Tavola VII-4)
Il problema è già stato presentato nel laboratorio IV, ma solo in via qualitativa.
La figura seguente mostra una porta di calcio. Si tratta di determinare se il pallone ha superato o
meno la linea di fondo:
Tavola VII-4
Si dispone solo di questa fotografia e si sa che l’altezza della traversa è di 2,40 m. e l’altezza del
pallone al momento in cui è stata scattata la foto è 1,80 m da terra. Il problema chiede una
soluzione grafica
Soluzione.
I segmenti AB e CD sono paralleli e appaiono incontrarsi nel punto O.
La retta PO rappresenta una retta parallela alla linea AB
Riportiamo le alzate sulla linea di terra. Il segmento HK corrisponde all’altezza della traversa cioè a
2,40 m.
Riportiamo nella stessa scala, sulla linea di terra, l’altezza del pallone. Dato che 2,40/1,80=4/3,
dividiamo l’altezza HK in 4 parti e prendiamone 3. Il segmento TU è i ¾ del segmento HK
Poiché T U è sulla destra di HK il pallone non è dentro la porta.
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