Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
8.4 Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
Introduzione
Lo spunto per questo esperimento didattico (Bartolini Bussi & Mariotti,
1999) è dato da un disegno in cui Albrecht Dürer (Peiffer, 1995) introduce il
metodo della doppia proiezione per la rappresentazione grafica delle sezioni
coniche.
Figura 1: disegno di Dürer
“ Se ora voglio tracciare la linea ad uovo o ellisse, devo disegnare il cono e
indicare la sezione. Nello stesso modo devo disegnare il piano e porlo sotto. Procedo come segue. Sia a il vertice del cono, bcde la sua base. Abbasso da a una linea verticale. Sia f l’estremità superiore della sezione obliqua
del cono, g la sua estremità inferiore. Divido questa sezione con 11 punti in
12 parti e comincio da f a numerare questi punti. Sotto questo cono, disegno un piano. Così a sarà il centro e bcde la circonferenza, come indica il
cono verticale. Quando si abbassano, da tutti i punti di quest’ultimo, delle
linee verticali sul piano, quelle uscenti da f, g e dai numeri 1,2,3, ecc., si-
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
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tuati tra loro, tagliano il cerchio. Io designerò con le loro lettere e numeri
questi punti di intersezione. Fatto ciò, prendo un compasso e pongo nel cono una delle punte sulla linea verticale [condotta da] a, alla stessa altezza
del punto 1 della sezione obliqua fg. Pongo l’altra punta del compasso sulla linea ad alla medesima altezza. Riporto questa apertura del compasso
sul piano di base, dove pongo una punta sul centro a, l’altra sulla retta 1 e
da questa descrivo un arco verso d che ritorna alla retta 1. Dopo pongo di
nuovo una delle due punte del compasso sulla linea verticale a nel cono,
all’altezza del punto 2 della sezione fg, pongo l’altra punta sulla linea ad e
riporto questa distanza sul piano ponendo une delle due punte del compasso sul centro a, l’altra sulla retta 2, e, a partire da tale punto, descrivo verso d un arco che ha gli estremi sulla retta 2. E così fino a 4. Poi, inverto il
compasso al punto 5 ponendo l’altra punta sulla linea ab. Riporto questa
distanza sul piano descrivendo un arco di centro a, verso d con i due estremi sulla retta 5. Procedo così per tutti i numeri e riporto tutti gli elementi del cono sul piano. In seguito, partendo dal piano, traccio l’ellisse,
senza linee ausiliarie, nel modo seguente. Riporto su una retta verticale la
lunghezza fg della sezione, divisa con 11 punti in 12 segmenti uguali, e
traccio undici linee orizzontali parallele, una per ciascun punto. Prendo
poi le larghezze sul piano, sulla retta 1 quella parte individuata dall’arco
di cerchio, che riporto sulla retta 1 della sezione fg. Indico la larghezza
mediante due punti posti uno da una parte e uno dall’altra dell’asse [fg].
Eseguo lo stesso [procedimento] per tutti i numeri. Quando i punti saranno
tutti disposti attorno [a fg], passando da un punto all’altro traccio la linea
ad uovo o ellisse [...]. „
Nel metodo di Dürer il triangolo assiale è interpretato come la proiezione
ortogonale del cono su un piano verticale passante per l’asse. A questa
proiezione è poi associata una seconda proiezione sul piano di base, che
consente di determinare l’ampiezza del cono a diverse quote.
È interessante osservare come Dürer introduce il nome tedesco della sezione:
L’ellisse mi propongo di chiamarla linea ad uovo, poiché essa è identica a
un uovo.
Di fatto nel disegno (Fig.1), dopo avere tracciato correttamente tutti i 13
punti ed eseguito il trasporto dei segmenti, il tratto che congiunge i punti
trovati è lievemente forzato per assumere la forma di un uovo.
Può sorprendere che Dürer rappresenti con una forma ad uovo (dotata di
un solo asse di simmetria) una curva, l’ellisse, che ha due assi di simmetria
ortogonali. Questo errore percettivo è del resto documentato fin
dall’antichità, per la difficoltà a “vedere” nello spazio la sezione di un cono.
In alcuni casi, come vedremo, sono date argomentazioni dettagliate in difesa della forma ad uovo. In altri ci si oppone a questo misconcetto diffuso. A
partire da questo caso storico è parso interessante indagare se anche gli stu-
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
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denti di oggi hanno dubbi in proposito. A tale scopo è stato compiuto un
esperimento didattico in due diverse sedi universitarie (Modena e Pisa).
La consegna
“ É stato costruito un dialogo immaginario con brani estratti da trattati di
epoche diverse. Esso riguarda la forma di una particolare sezione di un
cono. Leggilo con attenzione.
SERENO: Poiché so che molti geometri esperti ritengono che la sezione trasversale del cilindro sia diversa da quella del cono che viene
chiamata ellisse, ho pensato che non si può permettere ad essi, né a coloro che - udendoli - potrebbero essere da loro persuasi, di rimanere in
questo errore. Eppure, a chiunque dovrebbe apparire assurdo che studiosi di geometria si pronuncino su un problema geometrico senza fornire dimostrazioni e si lascino attrarre da apparenze di verità, cosa del
tutto opposta allo spirito della geometria. Comunque, dal momento che
essi sono di ciò convinti e io invece del contrario, dimostrerò 'more geometrico' che entrambe le figure solide hanno necessariamente una sezione del medesimo genere, anzi identica, purché cono e cilindro (di loro appunto sto parlando), siano tagliati opportunamente, non in modo
qualsiasi (Le sezioni del cilindro e le sezioni del cono, IV secolo d. C.).
WITELO: Tutte le ellissi ottenute come sezioni di un cono acutangolo si allargano dalla parte vicina alla base del cono: ciò non accade per
quelle ottenute come sezioni di un cilindro. Ciò accade a causa dell'acuità dei coni e della regolarità dei cilindri. Se infatti, a partire dal punto (dell'asse del cono) ottenuto intersecando l'asse del cono con la linea
perpendicolare a un lato del triangolo per l'asse, si traccia un cerchio
appartenente al cono e si immagina un cilindro avente tale cerchio come base: è evidente che la parte inferiore del cono è esterna a tale cilindro, mentre la parte superiore del cono è ad essa interna. Pertanto la
parte inferiore della sezione conica contiene la parte inferiore della sezione cilindrica, mentre la parte superiore della sezione cilindrica contiene la parte superiore della sezione conica. D'altronde le due parti
della sezione cilindrica sono uguali per la regolarità del solido e le uguaglianze degli angoli formati con l'asse. Ne segue allora l'assunto
(Sulla Prospettiva, circa 1270).
ALBRECHT DÜRER: Non conosco i nomi tedeschi delle sezioni (del
cono), ma propongo di chiamare l'ellisse curva ad uovo, poiché è di fatto identica a un uovo (Trattato sulle Misurazioni con Riga e Compasso
sulla Retta, nel Piano e su Tutti i Corpi, 1525).
GULDIN: Bisogna anche evitare l'errore di coloro che ritengono
l'ellisse (ottenuta come sezione di un cono) più stretta nella parte rivolta
verso il vertice del cono, più larga in quella prossima alla base - come
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l'uovo di gallina: mentre invece in nulla differiscono (quanto a ciò) le
ellissi originate da un cono e quelle tagliate da un cilindro (Centrobaryca 1640).
Come ti inseriresti in questo dialogo? Quale è la tua opinione? Come potresti convincere i tuoi interlocutori immaginari che hanno espresso
un’opinione diversa dalla tua? Come potresti convincere uno studente di
scuola secondaria? „
Metodologia
Quattordici studenti dei corsi di Matematiche elementari da un punto di vista superiore di due diverse sedi universitarie (A e B) hanno accettato di
partecipare ad una sessione pomeridiana straordinaria in cui affrontare la
consegna illustrata. Tutti gli studenti avevano già frequentato almeno due
corsi annuali di geometria (algebra, lineare, geometria proiettiva, affine ed
euclidea, ecc.). In questi corsi essi avevano avuto informazioni sui casi di
sezioni piane di un cono. Queste informazioni erano state date in modo veloce, giusto per ricordare proprietà già studiate nella scuola superiore e introdurre l’argomento delle coniche e delle quadriche. Da un certo punto di
vista, quindi, si trattava di un gruppo di “esperti”, poiché tutti sapevano che
non si ottengono curve ad uovo.
Gli studenti sono stati divisi a gruppetti (due gruppi di tre – che saranno
indicati con A2 e B5 – e quattro coppie – che saranno indicate con A1, B1B2, B3, B4). È stato loro dato un foglio con il dialogo e chiesto di rispondere alle domande finali producendo una sola risposta per gruppo. In un caso
(B1-B2) non è stato possibile raggiungere l’accordo tra i due studenti che
hanno quindi prodotto due elaborati distinti.
Gli argomenti di Witelo
Gli studenti, sapendo che la posizione di Witelo e Dürer non è corretta, cercano inizialmente di ripercorrere le argomentazioni fornite da Witelo per
scoprire le cause dell’errore e costruire una contro-argomentazione. Riportiamo i risultati di questo processo di analisi del testo.
Ragionare per simmetria
Si può attaccare il problema tentando di trasferire le proprietà di simmetria
del cono a quelle della sezione. La prima idea è quella di identificare il centro della sezione con l’intersezione dell’asse del cono e del piano secante.
Questa idea sembra guidare il lavoro della coppia A1, che opera inizialmente su un modello tridimensionale costituito da due triangoli isosceli ritagliati dal foglio e uniti lungo gli assi di simmetria (vedi Fig. 2).
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
5
Figura 2: estratto di protocollo
Figura 3: estratto di protocollo
È proprio il modello di carta a mettere in crisi la loro idea. Quindi disegnano un cono e un cilindro circolari retti con la stessa base e lo stesso piano
secante (Fig. 3), pensando di ottenere due ellissi concentriche e cercando di
valutare la distanza dei punti delle ellissi dall’asse del cono. Tuttavia, immaginando di cambiare l’inclinazione del piano secante, si accorgono che
le “distanze” si modificano senza conservare la simmetria.
Questo risultato è molto sconcertante perché sottolinea la differenza delle proprietà della sezione conica rispetto a quelle della sezione cilindrica.
Sembrano quindi, contro la loro intenzione, dare ragione a Witelo, contro
l’intenzione degli studenti.
Ragionare per contenente-contenuto
Una coppia di studenti (B3) disegna la configurazione descritta da Witelo e
successivamente disegnano ciò che appare sul piano secante (Fig. 4).
Figura 4: estratto di protocollo
Essi ottengono due curve chiuse che si intersecano in due punti. Questa
configurazione può spiegare, secondo loro, perché non c’è contraddizione
tra avere una “vera” ellisse nella sezione conica che nella parte superiore “è
contenuta” e nella parte inferiore “contiene” la sezione cilindrica.
Ragionare per casi limite
Uno studente (B2) spiega l’errore grafico e concettuale di Dürer ricorrendo
a un ragionamento sul limite.
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Figura 5: estratto di protocollo
“ Questi due disegni mostrano le sezioni che si ottengono tagliando una piramide e un prisma con base un poligono regolare (nell’esempio un esagono). Come si può ben osservare le due sezioni non sono simili infatti mentre
la sezione del prisma è simmetrica rispetto alla retta indicata con r sul disegno, ciò non avviene nella piramide.
Ora noi possiamo immaginare che tale sproporzione si mantenga quando
all’aumentare dei lati piramide e prisma si avvicinano a cono e cilindro.
[…]
Mentre nel caso del prisma e del cilindro la simmetria invita a pensare che
si otterrà qualcosa di simmetrico (un’ellisse), nell’altro caso la percezione
visiva ci guiderebbe a pensare ad una curva non simmetrica (l’ “uovo” di
Dürer). L’inganno è poi rafforzato anche dalla costruzione che solitamente
viene utilizzata per disegnare tali curve che è quella per punti. Infatti la selezione dei punti di partenza sulla circonferenza di base equivale a scegliere solitamente un poligono regolare, da cui otteniamo come nel primo disegno una distribuzione asimmetrica dei punti finali nel caso del cono. „
Lo studente, dopo avere giustificato l’errore di Witelo e Dürer, non cerca di
costruire un argomento a favore della simmetria. Cambia quadro e costruisce una dimostrazione di tipo analitico (vedi più oltre).
Il ricorso a disegni e modelli
Come abbiamo visto, gli studenti utilizzano disegni anche sofisticati. In alcuni casi, il disegno può ostacolare il processo, come nell’esempio qui di
seguito. Dopo avere disegnato in modo approssimativo un cono e un cilindro con la stessa base, gli studenti (A2) tagliano la figura con un piano per
l’asse comune ortogonale alla base e osservano:
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
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“ “raddoppiando” un cono si può ottenere un cilindro. „
Concludono velocemente che la regolarità del cilindro induce la regolarità
delle sezioni. La loro attenzione è attirata dai triangoli tratteggiati in Fig. 6,
di cui congetturano l’uguaglianza. Nel particolare disegno realizzato, sembra che la traccia del piano secante intersechi le tracce del cilindro e del cono in 4 punti che individuano quattro segmenti congruenti. Gli studenti tentano per molto tempo di dimostrare l’uguaglianza dei triangoli, senza successo.
Figura 6: estratto di protocollo
Gli studenti usano anche modelli tridimensionali, costruiti in modo veloce
con carta tagliata e piegata (come nella Fig. 2) o semplicemente evocati. In
due casi (la coppia B3 e il trio B5) suggeriscono che il ricorso a modelli di
legno potrebbe essere utile a risolvere il conflitto anche con studenti della
scuola media.
Le dimostrazioni
Tutti gli studenti, tranne uno, si limitano ad esplorare i testi di Witelo e Dürer alla ricerca di un’argomentazione convincente che li contraddica. Lo
studente B2, invece, dopo la presentazione del ragionamento per caso limite
che sembra confermare gli argomenti di Witelo presenta una dimostrazione,
che combina un procedimento sintetico ed uno analitico. Il ragionamento
sintetico gli consente di trasferire nel piano il trattamento analitico, evitando il ricorso a sistemi di riferimento tridimensionali.
“ Vediamo che da un cono tagliato da un piano opportuno si ottiene
un’ellisse e non un “uovo”.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
8
Figura 7: estratto di protocollo
Scegliamo un riferimento cartesiano sul piano che seca il cono con l’asse x
che passa per i due punti più distanti della sezione e l’asse y partente dal
primo dei due punti.
Cercheremo di scrivere l’equazione canonica che ci mostra che è
un’ellisse.
Nel disegno accanto si rappresenta la sezione ottenuta con il piano che
contiene l’asse x e l’asse del cilindro [sic!].
OP’ = x
PP’ = y
OA = j
Poiché P si trova sul cono allora si troverà su una circonferenza posta in
un piano perpendicolare all’asse del cilindro PBC [sic!].
Il triangolo BPC è rettangolo in P allora per il 2 Teo. di Euclide
BP’ P’C = PP’2.
Se scegliamo un altro punto Q sulla sezione otterremo ugualmente:
DQ’ Q’E = QQ’ = y2
I triangoli ODQ’ e CBP’ sono simili allora
DQ’ = α OQ’ = α x
con α opportuno.
BP’ = α CP’ = α x’
Anche AP’C e AQ’E sono simili quindi
P’C = β AP’ = β (J – x)
con β opportuno.
Q’E = β AQ’ = β(J – x’)
Quindi qualunque punto della sezione:
y2 = α x β (J – x)
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
y2 = αβ J x + αβ x2
2
J

x− 
2
y
2
+
=1
2
2
αβ J
J
4
4
che è un’ellisse di centro ( J/2, 0). „
Lo studente ritiene però che la dimostrazione non risolve del tutto il problema posto nella consegna, cioè quello di inserirsi in questo dibattito storico con interlocutori dell’antichità, del medioevo o del Cinquecento:
Questa dimostrazione “more analitico” ha però l’inconveniente di non dire
niente a chi non conosce le ellissi come equazioni.
Lo stesso studente ricorda di avere visto un modello tridimensionale che
potrebbe risolvere il problema da un punto di vista sintetico:
Se vogliamo utilizzare la definizione dell’ellisse come luogo di punti, il problema arriva nel dover determinare i fuochi. Una costruzione che porti a
tale dimostrazione è molto complicata con due sfere tangenti internamente
al cono. I punti in cui tangono le sfere con il piano sono i fuochi e ciò si
dimostra con un po’ di lavoro.
Figura 8: estratto di protocollo
Il senso dell’esperimento
Anche se l’esperimento riguarda solo 14 studenti, esso fornisce informazioni significative. Gli studenti conoscevano alcune proprietà delle coniche e
non avevano dubbi che l’argomento di Witelo fosse sbagliato. Piuttosto
cercavano di confutarlo in modo diretto, senza troppo successo. In effetti
non è possibile costruire una confutazione diretta dell’argomento di Witelo,
senza entrare nel merito di proprietà dell’ellisse (ad esempio le proprietà
focali) che non sono facilmente e velocemente riconducibili alla sua genesi
come sezione conica. Si possono naturalmente costruire varie dimostrazioni
del fatto che questa sezione del cono è un’ellisse e non un “uovo”, ad esempio:
9
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- Nello stile di Apollonio, mostrando che la sezione ha due diametri
coniugati ortogonali (cioè due assi di simmetria).
- Nello stile di Sereno, costruendo (e poi dimostrando la validità della
costruzione) un cilindro che ha la stessa sezione del cono.
- Nello stile dei geometri postcartesiani, ricorrendo alla geometria analitica, come ha fatto brillantemente uno studente (vedi anche HerzFischler, 1990).
Quest’ultima dimostrazione sembra alla portata degli studenti, che avevano affrontato nei corsi universitari la geometria analitica del piano e dello
spazio. Il mancato ricorso alle equazioni può dipendere da due cause: una
competenza non più sicura nelle tecniche analitiche o un rifiuto ad uscire
dal quadro sintetico in cui operavano gli antichi geometri (vedi Capitolo 5
paragrafo 5).
Possiamo proporre due dimostrazioni, di natura sintetica, che risolvono
il problema:
- La dimostrazione sul modello di Dandelin, già accennata dallo studente B2.
- La dimostrazione con il metodo di Dürer, rivisitato in modo da evitare inganni percettivi e da dare conto anche del paradosso intrinseco
nel ragionamento con il passaggio al limite.
Le sfere di Dandelin
Si può dimostrare direttamente che la sezione E di un cono è (con
un’opportune inclinazione del piano secante) un’ellisse facendo ricorso alla
costruzione di Dandelin (1822). Ecco una traccia della dimostrazione (Courant & Robbins, 1971):
“ La dimostrazione si basa sull’inserimento di due sfere S1 ed S2 tangenti a
π nei punti F1 ed F2 rispettivamente, e che toccano il cono secondo i due
cerchi paralleli K1 e K2 rispettivamente. Si congiunge un punto arbitrario P
di E con F1 ed F2 e si traccia la retta che congiunge P al vertice O del cono. Questa retta giace interamente sulla superficie del cono e interseca i
cerchi K1 e K2 nei punti Q1 e Q2 rispettivamente. Ora PF1 e PQ1 sono due
tangenti condotte da P a S1,e quindi :
PF1 = PQ1.
Analogamente,
PF2 = PQ2.
addizionando membro a membro queste due equazioni, si ottiene:
PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2.
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
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Ma PQ1 + PQ2 = Q1Q2 è proprio la distanza tra i cerchi paralleli K1 e
K2,misurata sulla superficie del cono, ed è perciò indipendente dalla particolare scelta del punto P su E. L’equazione risultante
PF1 + PF2 = costante
vale per tutti i punti P di E, ed è precisamente la definizione focale
dell’ellisse. E è perciò un’ellisse e F1 e F2 sono i suoi fuochi.
„
Figura 9: costruzione di Dandelin
Il metodo di Dürer rivisitato
Il metodo di Dürer trae la sua origine dalla tradizione dei trattati classici. La
novità di Dürer sta nella trasposizione alla geometria di una tecnica usata
dai tagliatori di pietre (Pfeiffer, 1995). Un oggetto tridimensionale è rappresentato attraverso due proiezioni ortogonali, la prima su un piano orizzontale e la seconda su un piano verticale, che è ruotato intorno alla retta comune
fino a sovrapporsi al piano orizzontale. In questo modo, un punto dello spazio è identificato da due punti del piano in cui si traccia la rappresentazione.
La retta che congiunge i due punti è perpendicolare alla retta intersezione.
Dürer usa questo metodo, come abbiamo visto, senza fornire ulteriori
giustificazioni, come metodo per disegnare le sezioni coniche. Il metodo
della doppia proiezione è un metodo corretto. Solo un incidente come un
piccolo scivolamento della riga o del compasso può indurre il tracciamento
di punti appartenenti al contorno di un “uovo” piuttosto che ad un’ellisse,
soprattutto se questa è l’aspettativa del disegnatore.
Si può usare questo metodo:
- Per costruire correttamente la sezione.
- Per sciogliere il paradosso del passaggio al limite.
- Per dimostrare che la curva non ha la forma ad “uovo”, provando che
ha due assi di simmetria ortogonali.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
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È utile realizzare i disegni in un ambiente di geometria dinamica (es. CabriPlus) che consente di costruire l’intera curva (dopo avere definito il metodo di Dürer su un solo punto generico), attraverso i comandi traccia o
luogo.
La costruzione della sezione
Consideriamo un cono circolare retto ottenuto ruotando un triangolo rettangolo (non isoscele) intorno al cateto maggiore VV° (Fig. 10). Consideriamo
un piano s non parallelo al piano di base b e secante il cono. Supponiamo
che tra i punti d’intersezione ci siano due punti giacenti su generatrici opposte (per ottenere un’ellisse). Se r è la retta intersezione dei piani s e b, sia
A°B° il diametro del cerchio di base ortogonale alla retta r. Il triangolo
A°VB° sia chiama triangolo per l’asse. Sia DC il segmento ottenuto intersecando il triangolo per l’asse con il piano secante. Consideriamo un punto
generico R sul segmento DC. Proiettiamo ortogonalmente la sezione orizzontale del cono (cerchio) alla quota di R (il cui diametro è EF). Il segmento R°R°' nel piano di base rappresenta l’ampiezza della sezione lungo una
retta perpendicolare a DC per R nel piano secante.
V
D
E
R
F
C
V°
R"
R °' '
E°
R°
C
R °'
D
R
R'
Figura 10: costruzione della sezione
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
13
Disegnamo a lato il segmento CD e riportiamo su di esso il punto R. Tracciamo poi una retta per R ortogonale a CD. Su tale retta, riportiamo il segmento R°R°’ da parti opposte rispetto a R, ottenendo i punti R’ ed R”. Tali
punti appartengono alla sezione.
In ambiente Cabri, l’unione dei luoghi descritti da R’ e da R”, al variare
di R costituisce una ellisse che è percettivamente non a forma di “uovo”.
Coni e piramidi
Con lo stesso procedimento si può costruire la sezione piana di una piramide a base esagonale, trovando che in generale l’esagono sezione non è regolare, pur avendo un asse di simmetria. I sei vertici (anzi cinque di essi, poiché il passaggio per il sesto è obbligato) individuano una ellisse, che è la
curva sezione del cono a cui tendono i poligoni sezione ottenuti da piramidi
con base data da poligoni regolari inscritti nel cerchio che costituisce la base del cono.
D
E
C
E
C
D
Figura 11: sezione di piramide
La curva ottenuta ha due assi di simmetria ortogonali
La retta CD è ovviamente un asse di simmetria della curva, poiché i punti
R' ed R'' sono simmetrici. Si può dimostrare anche l’esistenza di un secondo
asse di simmetria. Questo asse interseca DC nel suo punto medio O che tut-
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tavia non appartiene all’asse del cono. Per dimostrarlo basta ripetere la costruzione eseguita su R per il punto S di DC simmetrico di R rispetto al
punto O. Il disegno suggerisce la congettura che R°R°' = S°S°' (In Fig. 12 è
stato disegnato solo uno dei due semicerchi).
Dimostrazione
I due triangoli V°R°R°' e V°S°S°' del piano di base sono rettangoli. Dunque
per il teorema di Pitagora:
R °R °'2 = V°R °'2 −V°R °2
= V°E° 2 − V°R ° 2 = (V°E° − V°R °) ⋅ (V°E° + V°R °)
= E°R ° ⋅ F°R ° .
S°S°'2 = V°S°'2 − V°S° 2
= V°H°2 − V°S° 2 = (V°H° − V°S°) ⋅ (V°H° + V°S°)
= H°S° ⋅ G°S°
Per provare che
R°R°' = S°S°'
è sufficiente provare che:
E°R° · F°R° = H°S° · G°S°
cioè che
ER · FR = HS · GS
cioè che vale la proporzione:
ER : GS = HS : FR.
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
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V
D
S
G
H
O
E
R
C
A°
F
E°
R ° G°
O°
V° S°
R °'
H°
F°
B°
S°'
Figura 12
Ma questa proporzione segue osservando che:
ER : GS = CR : CS = DS : DR = HS : FR.
(sulla base dell’ipotesi
CR = SD e RO = OS
e sulla similitudine delle coppie di triangoli: ECR / GCS e HDS / FDR).
Discussione
L’esperimento è stato proposto in varie occasioni, a gruppi di insegnanti
esperti o in corsi di aggiornamento per insegnanti e perfino in laboratori in
occasione di congressi con la partecipazione di esperti di didattica della matematica. Il dialogo storico immaginario, e in particolare l’argomento di
Witelo, sono destabilizzanti. Essi non sono sufficienti a mettere in crisi le
proprietà delle sezioni coniche (anche se questo potrebbe accadere con allievi più giovani o meno esperti), ma provocano interminabili discussioni e
sistematici, ma inefficaci, tentativi di affrontare il conflitto in modo diretto.
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16
Non abbiamo trovato nessuna discussione di questo problema nei libri di
testo, neppure in quelli che introducono le coniche come sezioni prima di
passare alla definizione basata sulle proprietà focali. Sono magari proposti
disegni accurati che giustificano “senza dimostrazione” il fatto che:
secando un cono circolare retto con un piano non passante per il vertice si
ottiene una curva che può essere una:
ellisse
parabola
iperbole.
In questo modo si nasconde un problema che riemerge rapidamente quando
gli studenti sono messi in crisi, come accade dall’argomentazione di Witelo.
Le dimostrazioni di tipo analitico non soddisfano completamente gli studenti, poiché non attaccano in modo diretto l’argomentazione di Witelo. Infatti, in ogni sequenza di manipolazioni algebriche di una formula, non è
sempre possibile tradurre i singoli passi in manipolazioni geometriche
dell’oggetto: l’efficacia del linguaggio algebrico sta proprio nella possibilità di sospendere di quando in quando l’interpretazione geometrica dei passaggi e quindi di ricorrere, a volte, a passaggi non interpretabili geometricamente.
Le due dimostrazioni sintetiche offerte affrontano il problema in modo
indiretto, provando,
- Nel caso delle sfere di Dandelin, che la curva sezione ha le stesse
proprietà metriche focali dell’ellisse, ed è quindi un’ellisse.
- Nel caso del metodo di Dürer rivisitato, che la curva sezione ha due
assi di simmetria ortogonali, e non può quindi avere una forma ad
“uovo”.
Si tratta di dimostrazioni che introducono un controllo intellettuale che
va “contro” la percezione. Esse non sono “naturali”. Sono strumenti di mediazione semiotica che possono essere trascinati nel compito in modo intenzionale dall’insegnante o da uno studente più competente, come lo studente B2, che ricorda di avere visto da qualche parte una copia del modello
di Dandelin.
I risultati dell’esperimento mostrano chiaramente che sotto enunciati “scontati” utilizzati per introdurre le coniche come sezioni di un cono, si nascono
in realtà misconcezioni notevoli, che emergono quando gli studenti sono
posti in una situazione conflittuale.
Le misconcezioni si possono evitare quando l’insegnante affronta in
modo diretto il problema delle sezioni coniche, come mostra l’esperienza
svolta nell’A.S. 1999/2000 da Renato Verdiani presso il Liceo Scientifico
“Il Pontormo” di Empoli. L’idea fondamentale è stata quella di riproporre
per una presentazione pubblica di fronte a tutta la scuola un percorso preparato in laboratorio con gli studenti, nel quale le classiche definizioni metri-
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica
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che realizzate graficamente con Cabri si affiancano a modelli di cartoncino
di curvigrafi e di coni che illustrano i teoremi di Dandelin. I modelli sono
particolarmente ben riusciti, pur avendo dimensioni piccole. L’accuratezza
della presentazione e la sua efficacia sono testimoniate dal successo della
presentazione proposta al preside e a varie classi della scuola. Un estratto
del materiale prodotto è presentato in questo cd.