Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
Introduzione
Questo esperimento (vedi Bartolini Bussi, 2005) è stato condotto a Modena
in una classe quarta liceo scientifico (insegnante: Marcello Pergola; osservatore: Amerina Tufo). Esso si inserisce in un progetto poliennale sulla didattica nel laboratorio delle macchine matematiche centrato sui seguenti
motivi1:
1. Culturale: una concezione della matematica intesa non come corpo
separato di conoscenze ma come parte dello sviluppo culturale globale dell’umanità, in relazione con altri campi (es. arte, tecnologia, filosofia, ecc.).
2. Storico: la contestualizzazione storica delle regole accettate dalla
comunità dei matematici (es. il senso storico del rigore; la definizione degli oggetti matematici, ecc.).
3. Epistemologico: il ricco e complesso significato delle coniche, non
limitato alla consueta definizione di luoghi di punti definiti da condizioni metriche; l’introduzione del movimento e (almeno implicitamente) del principio di continuità per tenere sotto controllo il problema dei punti generici.
4. Cognitivo: l’interpretazione dinamica di oggetti (statici o dinamici)
per produrre congetture e costruire di dimostrazioni (vedi Pergola &
Zanoli, 1994, 1995).
L’esperimento in questione si articola in diverse sessioni di lavoro (Tufo,
1995), alcune delle quali saranno discusse nel seguito con qualche dettaglio. Gli studenti già conoscono i tre tipi di coniche introdotti nel modo
classico (definizione metrica a partire dai fuochi e determinazione delle equazioni nella forma canonica).
Prima sessione:
lezione frontale
Introduzione storica.
L’insegnante presenta l’esigenza di ricostruire il significato geometrico delle relazioni algebriche tra le
coordinate. Illustra poi la differenza concettuale tra i
modi di considerare le coniche nell’età classica e
nell’età moderna (a partire dal XVII secolo), insistendo su tre aspetti:
- coniche come luoghi solidi / coniche come curve
1
Il termine “motivo” è usato nel senso di Leont’ev (1977) per denotare gli oggetti dell’attività
di lungo termine, di solito non insegnabili direttamente. Essi sono distinti dagli obiettivi, a cui
tendono azioni specifiche (es. le sessioni di lavoro individuali o di piccolo gruppo o dell’intera
classe) e dalle condizioni concrete di lavoro che definiscono operazioni particolari,
dell’insegnante o degli studenti, dipendenti dalla particolare situazione in cui si opera.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
2
piane;
- coniche come oggetti (sezioni piane di coni) / coniche come prodotti (rappresentazioni di
relazioni o traiettorie di strumenti);
- coniche studiate sinteticamente / coniche studiate analiticamente.
Seconda sessione:
lavoro di piccolo
gruppo
Terza sessione:
presentazione alla
classe
La classe è divisa in cinque piccoli gruppi, ciascuno
dei quali studia un diverso modello. Questa sessione
sarà presentata nel seguito con maggiori dettagli per
un gruppo di quattro studenti a cui è assegnato il modello dell’ortotome.
Dopo avere completato a casa una relazione scritta,
due studenti per ogni gruppo presentano all’intera
classe il risultato del loro lavoro completo di dimostrazioni.
Quarta sessione
Ripresa del lavoro dei gruppi da parte dell’insegnante
fino alla scrittura dell’equazione della parabola.
Quinta sessione:
Avvio di una breve digressione sul trattato di de
l’Hospital, in cui le coniche sono introdotte nel piano
per mezzo di strumenti tracciatori, uno per ciascun tipo di conica. E’ sottolineata la difficoltà a concepire
l’ellisse, la parabola e l’iperbole come manifestazioni
diverse dello stesso oggetto geometrico (conica) quando l’approccio è quello metrico, anche mediato da
strumenti.
lezione frontale
Il lavoro in piccolo gruppo
La seconda sessione dura due ore. Per descrivere alcune fasi del lavoro in
piccolo gruppo, sarà utilizzato uno schema a due colonne, la prima contenente i documenti (trascrizioni dei dialoghi e testi prodotti), la seconda contenente i commenti. Il lavoro di piccolo gruppo è stato diviso in diversi episodi, ciascuno dei quali è numerato in ordine progressivo. Alcuni di questi
episodi sono caratterizzati dall’intervento dell’insegnante. In questa sede
sono stati scelti alcuni estratti dai documenti collegati a temi diversi:
a) La qualità dell’aiuto offerto dall’insegnante per introdurre il problema;
b) La qualità dell’aiuto offerta dall’insegnante per esplorare il modello;
c) La qualità dell’esplorazione dinamica condotta dagli studenti;
d) La qualità dell’aiuto offerta dall’insegnante per riassumere l’intero
processo.
I temi a) e c) sono collegati, poiché rappresentano alcune delle operazioni compiute dall’insegnante e gli effetti prodotti sull’attività degli stu-
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
3
denti. Invece gli effetti dell’aiuto offerto relativamente ai punti a) e d) sono
meglio riconoscibili nella relazione scritta finale, che è analizzata in un paragrafo successivo.
Figura 1
A
V
H
K
S
P
Figura 2
Insegnante: Bisogna ricavare una
proprietà importante della parabola.
Posso aiutarvi un po’. E’ la proprietà della parabola che i geometri
greci ricavavano dall’esame di questa situazione dove la parabola è già
tracciata e vedete che è una parabola che giace nello spazio, sulla su-
1. Il compito
In questa consegna la fase di congettura (vedi Capitolo 5) è tagliata. Gli
studenti conoscono già la proprietà,
espressa dalla forma canonica
dell’equazione della parabola.
L’insegnate dice chiaramente che lo
studio nell’ambiente della geometria
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
4
perficie del cono, è quella che viene
attualmente descritta dall’equazione
cartesiana della parabola che voi
conoscete. Se voi considerate questo
punto della parabola [P] dovete
scoprire che relazione esiste tra
questo segmento verde [VS] dal vertice della parabola fino al piano
[…….] e questo segmento rosso
[PS].
[….]
tridimensionale e quello
nell’ambiente della geometria analitica sono “la stessa cosa”. È un esempio, molto frequente in questo
tipo di lavoro, di appropriazione regressiva (vedi Rotman, 1993) che
dipende dalle conoscenze attuali.
Figura 3: schizzi prodotti dagli studenti
La Fig. 3 mostra alcuni schizzi prodotti dagli studenti durante il lavoro di
gruppo. Gli schizzi sono eseguiti stando in piedi accanto al modello e contengono alcune lettere di codifica a cui si farà riferimento negli estratti successivi.
Insegnante: Il problema è di scoprire, sulla base dei teoremi di geometria a voi noti, teoremi sui triangoli
rettangoli e il concetto di triangoli
rettangoli simili, qual è la proprietà
che collega questi due segmenti, il
segmento verde [VS] che noi chiamiamo l’ascissa di questo punto[P] e
questo segmento rosso [PS] che noi
chiamiamo l’ordinata, osservando la
figura ed osservando triangoli rettangoli in questa figura, tenendo anche conto che c’è questa circonferenza [nel piano di base] che il cono
è circolare retto. Tutti gli elementi
ipotetici bisogna metterli bene in
ciaro, poi ragionando su quelli do-
2. Introduzione dell’insegnante
L’insegnante offre aiuto facendo riferimento ad alcune figure (angoli
retti) da osservare con attenzione.
Definisce anche le regole per gli studenti, dando alcune indicazioni su
come procedere. Non è quindi
un’esplorazione libera, ma guidata,
per contenere il lavoro entro un tempo accettabile per l’istituzione scolastica. Contestualmente l’insegnante
introduce i motivi dell’attività:
- il riferimento alla storia, che
giustifica le regole imposte;
- l’equivalenza della descrizione sintetica e analitica e il loro
contributo alla costruzione del
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
5
vete ricavare una proprietà della
parabola che equivale perfettamente
all’equazione che scriviamo noi adesso e all’equazione che scriverà
molti secoli dopo Cartesio. È la stessa relazione ricavata geometricamente e si può ricavare soltanto nello spazio. Provate a rifletterci sopra
e a vedere se riuscite a ricavare
qualcosa. Provate. Se fra un quarto
d’ora, un tempo ragionevole, non
avete ancora nessuna idea mi chiamate, altrimenti andate avanti con le
cose che riuscite a vedere.
[…]
significato di parabola;
- il necessario riferimento
all’oggetto fisico per produrre
congetture e costruire dimostrazioni.
Questi elementi saranno ripetuti più
volte durante il lavoro per costruire
il senso dell’attività.
Insegnante: Qualche volta è necessario prendere in considerazione
delle figure che non sono qui immediatamente visibili; ad esempio qui
c’è un triangolo rettangolo che è
fondamentale nella dimostrazione
che però voi non vedete, non è tracciato, lo dovete individuare. Però
tenendo sempre conto che dovete
considerare quei triangoli che hanno
come lati uno dei segmenti che dovete mettere in relazione tra loro.
[…]
S1: C’è un triangolo rettangolo
[OPS] cambia quando sposti il piano
cambia anche la base.
S2: E però nello stesso tempo cambia anche l’altro triangolo, cambia
anche questo qui.
3. L’aiuto nell’esplorazione
L’insegnante offre aiuto per orientare la ricerca di strategie efficaci. Gli
studenti hanno di fronte un modello
costruito con legno, ottone, fili e lastre di plexiglas. Non possono fare
esplorazioni dinamiche reali (come
accade, ad esempio, in ambiente Cabri con il dragging).
Il ricorso alle lettere è quasi inesistente (le lettere tra parentesi nel testo a lato sono state aggiunte per facilitare la lettura). Sono presenti gesti deittici2, eseguiti sia
dall’insegnante che dagli studenti.
L’introduzione dei nomi diventa essenziale solo più tardi, quando si devo scrivere le proporzioni.
Insegnante: Mi pare una buona idea però dovete fare dei ragionamenti di geometria piana però non
sullo stesso piano sempre. Perché
loro vedevano la figura nello spazio,
però facevano dei ragionamenti nel
piano. Come si fa a fare dei ragio2
Gesto che indica oggetti reali o virtuali
Gli studenti iniziano a tracciare qualche schizzo degli elementi essenziali
del modello (vedi Fig. 3).
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
6
namenti sul piano nello spazio?
Considerando piani diversi tra loro.
[…]
S2: Ma sì questa [PS] è l’altezza del
triangolo rettangolo, questa diventa
l’altezza, PS, il punto [sic!] PS è
l’altezza del triangolo rettangolo che
si viene a formare nella semicirconferenza. L’angolo alla circonferenza
è sempre di 90°, no?
S1:E’ vero, quindi questo triangolo
qua …
S3: Allora, praticamente c’è il
triangolo che ruota sulla semicirconferenza, cioè si sposta sulla semicirconferenza.
S2: Varia solo l’altezza, varia solo
l’altezza di questo triangolo [PHK].
S3: Considerando i due piani che ci
ha detto[orizzontale e secante]. Ehi
ma c’è anche questo piano qua [verticale].
S2: Eh in quel piano lì, dov’è?
S3: Dunque c’è…
S2. Eh in questo piano qui [verticale] se noi consideriamo questo triangolo qua [VAS], al variare del piano, allo spostarsi del piano varia …
S1: SVA, questo?
S2: VAS cambia anche quello lì.
S1: Cambia anche quello lì.
4. L’esplorazione dinamica
La capacità di “muovere” un modello statico è tipica di questa classe,
che ha già svolto attività su modelli
statici e dinamici. Nel testo a lato è
stata evidenziata una metafora insolita (si viene a formare), che vuole
sottolineare la formazione progressiva di un oggetto che non esiste nella
figura (nel modello tridimensionale)
ma che è creato in questo momento
nel processo mentale. Le frasi sono
accompagnate da molta gestualità di
tipo deittico o iconico3 (quest’ultima
per simulare con le mani i diversi
movimenti del vertice del triangolo
sulla semicirconferenza e del piano
di base che trasla). Sono svolte diverse esplorazioni, non tutte indispensabili alla soluzione, ma utili per
costruire con ricchezza l’oggetto
mentale.
Il processo di costruzione della dimostrazione è lungo. E’ necessario scegliere i triangoli “utili” e individuare su di essi le proporzioni “utili”. Le
proporzioni sono trasformate in uguaglianze di aree (in accordo con le regole della geometria greca), fino alla determinazione del sintomo della parabola:
2 VA ⋅ VK = PS2.
Solo successivamente l’insegnante suggerisce di mettere in relazione questa
uguaglianza con l’approccio postcartesiano. Ciò avviene con le seguenti sostituzioni:
3
Gesto che produce una relazione di somiglianza al contenuto semantico del discorso
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
7
VK = VS = x
PS = y
VA = k,
che consente di scrivere l’equazione canonica classica:
2kx = y2 .
In questo episodio il ruolo dell’insegnante è essenziale.
Insegnante: Quando scrivi
PS2 = 2 VA VK
è come scrivere così[y2 = 2 k x] , sono cambiare soltanto …. Questa è la
notazione moderna, questa qui [indica la prima] è quella che usavano
loro, ma è la stessa, non c’è nessuna
differenza, è l’equazione della parabola. E’ la proprietà geometrica della parabola.
Quindi quello [VA] è costante perché se io muovo questo qui [il piano
orizzontale] lo alzo o lo abbasso
questo qui [VA] non cambia perché
il vertice del cono e il piano secante
restano quello che sono.
Se taglio con un piano più vicino al
vertice come cambia la parabola?Se
questo piano secante lo metto …
cioè se accorcio questo qui [HS], se
taglio la parabola così, come cambia la parabola? Perché se io lascio
fisso il piano secante e cambio questo [piano orizzontale] la parabola
resta uguale, semplicemente diventa
più lungo o più corto questo arco.
Ma se io cambio il piano secante e
rtaglio il cono con un piano secante
più vicino al vertice del cono, some
cambia la parabola?
Ss: Si stringe.
Insegnante: Si stringe esattamente.
E se invece questo qui[HS] si allunga, se questo piano qui lo metto qua,
5. L’aiuto nella sintesi del processo
Continua il ricorso a gesti deittici ed
iconici. All’inizio l’insegnante richiama il legame tra la proporzione e
l’equazione. In questo modo si sottolinea il legame tra la genesi spaziale
della parabola e la sua equazione,
solitamente introdotta per mezzo
delle proprietà focali nel piano.
Naturalmente la sostituzione proposta fa passare da segmenti fissati sul
modello (VK e PS) a variabili. Questa sostituzione si giustifica immaginando di muovere (traslare) il piano
della base del modello.
L’altro segmento in gioco (VA = k) è
costante, poiché una parte della configurazione non è modificata quando
il piano di base trasla.
Il movimento del piano è descritto
da gesti iconici, che simulano il moto traslatorio.
Un altro gesto iconico simula la sezione con un piano (parallelo) diverso, che può essere più vicino o più
lontano dal vertice. Il modello suggerisce l’interpretazione qualitativa:
più vicino ↔ parabola più stretta
più lontano ↔ parabola più larga
che potrà poi essere quantificata in
riferimento al parametro.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
8
come diventa la parabola?
Ss: Si allarga.
Insegnante: Si allarga.
La relazione scritta
La relazione scritta è prodotta come compito a casa dal piccolo gruppo, sulla base degli schizzi e degli appunti personali. La redazione avviene quindi
in assenza del modello. Nel seguito il testo prodotto dagli studenti (e non
ancora corretto dall’insegnante) è presentato nella colonna di sinistra. Nella
colonna di destra ci sono alcuni commenti ed una proposta di divisione in
parti, che mette in evidenza la struttura logica del testo. L’ordine presente
nel testo non rispecchia l’ordine dell’esplorazione: ciò indica che la redazione non è semplicemente un racconto dell’esplorazione ma una riformulazione della dimostrazione costruita nel lavoro di gruppo.
Sezione piana di un cono rettangolo.
Occorre distinguere tra cono RETTO e cono RETTANGOLO. Un cono
retto si ha quando la perpendicolare, condotta dal vertice del cono, al
piano della circonferenza (curva direttrice del cono) cade nel centro
della circonferenza stessa. Un cono
rettangolo si ha invece quando il cono è generato dalla rotazione di un
triangolo rettangolo isoscele attorno
ad un suo cateto. In questo caso il
cono è detto rettangolo in quanto
l’angolo formato dalle due generatrici opposte è di 90°. Se invece tale
angolo fosse acuto si avrebbe un cono acutangolo, se ottuso un cono ottusangolo.
1. Definizione di cono retto rettangolo
Gli studenti iniziano dando le definizioni di alcuni oggetti in gioco. Essi
fanno probabilmente riferimento a
un problema personale, per la possibile confusione tra cono retto e cono
rettangolo. Correttamente essi fanno
riferimento alla definizione dei coni
in Euclide. La distinzione tra il cono
retto rettangolo e gli altri tipi di coni
retti consente di distinguere i tre tipi
di coniche.
Essi si pongono consapevolmente in
un ambiente tridimensionale.
Descrizione.
Il modello riproduce un cono RETTANGOLO, generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo isoscele, intersecato da un piano perpendicolare alla generatrice AH e parallelo alla generatrice opposta AK.
Il modello consta di due piani: il
piano t su cui giace la circonferenza
direttrice del cono, e il piano t’ ME-
2. Descrizione del modello
L’oggetto fisico è descritto con cura.
Sono nominati espressamente due
piani: il primo [t] è un piano realizzato fisicamente da una base di legno; il secondo [t’] è un piano ideale, determinato solo da una cornice
di legno. Il piano secante, che crea
l’ortotome, è di plexiglas.
Gli studenti fanno esplicito riferi-
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
9
mento alla storia.
RIDIANO, ossia quello contenente
l’asse AO del cono stesso. Tali piani
sono tra loro perpendicolari. Il primo contiene tutti i punti di intersezione tra il piano secante e la circonferenza, mentre il secondo contiene il segmento VS, che congiunge
il vertice della curva prodotta dalla
sezione (ORTOTOME) e il punto S
(punto di intersezione tra il diametro
HK della circonferenza giacente sul
piano t e la retta PM originata dal
piano secante).
La sezione del cono rettangolo produce una curva che gli antichi geometri anteriori ad Apollonio chiamavano ORTOTOME o SEZIONE
DI UN CONO RETTANGOLO, curva non piana ma solida in quanto
giacente su un cono retto.
Figura 4: il primo disegno della relazione finale
La proprietà o SINTOMO (valida
per tutti i punti della curva) che
permette di riconoscere il tipo di sezione piana del cono si basa sulla
uguaglianza di due4 relazione che
collega i segmenti PS e VS, ossia
sulla uguaglianza di due equivalenza
di due figure geometriche che individuano la posizione del punto P.
3. Il compito
Gli studenti ricordano il compito e le
regole fissate dall’insegnante. Essi
devono comportarsi come geometri
greci e usare le proporzioni e
l’equivalenza di aree. Un termine
impreciso è corretto spontaneamente.
Il ragionamento con cui si ricava
Generalizzazione a tutti i punti
4
Cancellature presenti nel testo degli studenti
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
10
tale proprietà, valida non per un
punto particolare ma generico
dell’ortotome, posto che il piano secante mantenga sempre la stessa distanza dal vertice del cono e la stessa inclinazione, è il seguente: applichiamo il ragionamento prima sul
piano t su cui è la circonferenza.
dell’ortotome
Gli studenti anticipano che, anche se
il ragionamento è costruito su un
punto particolare del modello, è valido per ogni punto dell’ortotome.
Questo argomento sarà ripreso più
oltre (vedi il punto 9).
Considerando il punto P
dell’ortotome si osserva che esso,
ottenuto dalla intersezione tra il
piano secante e la curva direttrice
del cono, scorre, qualunque sia la
distanza AV del vertice del cono dal
piano di sezione, sulla circonferenza. Poiché, come ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza ha
un angolo di 90°, essendo HPK inscritto nella semicircf. di diametro K
esso è un triangolo rettangolo con
HPK = 90° (TEOREMA).
E’ dunque applicabile il II teorema
di Euclide sui triangoli rettangoli,
per cui l’altezza PS, condotta mandando la perpendicolare da P al
diametro HK, è media proporzionale
tra le proiezioni dei cateti del triangolo sull’ipotenusa, ossia sul diametro HK. Imposto la proporzione:
4. Il ragionamento nel piano t
Gli studenti usano il teorema di Euclide per i triangoli rettangoli. Dalla
proporzione, come i geometri greci,
ricavano un’equivalenza di aree.
HPK = 90°
HS : PS = PS : SK da cui
PS2 = HS SK.
Abbiamo dimostrato che l’area del
quadrato costruito sul segmento PS
è uguale all’area del rettangolo avente come dimensioni KS e HS (interpretazione geometrica).
Considerando ora il piano MERIDIANO t’ perpendicolare al primo,
si cerca di scrivere una proporzione
tale da mettere in relazione PS e VS.
Sul piano meridiano otterremo che
ci sono due triangoli RETTANGOLI
5. Il ragionamento nel piano t’
Tra i molti triangoli e le varie proporzioni che si possono stabilire a
partire dal modello, gli studenti dichiarano di fissare l’attenzione su
una relazione tra PS e VS. Mostrano
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
11
SIMILI. Uno è HVS, avente come
ipotenusa la proiezione del cateto
PH sul diametro HK, come cateto la
distanza dal vertice dell’ortotome al
punto d’incontro della generatrice
AH con la circonferenza. I due cateti
VS e VH sono uguali in quanto
l’angolo VSZ = 45° (il piano secante
è perpendicolare alla generatrice
AH) e VHZ = 45°(AHO è un triangolo rettangolo isoscele) VZH =
90°. Si ottiene che i due triangoli
VZH e VZS sono uguali e di conseguenza VS = VH.
L’altro triangolo rettangolo da prendere in considerazione è invece AVT,
formato dalla retta VM parallela al
diametro HK e dall’asse AO del cono.
Poiché TAM = VAT = 45°, essendo
l’angolo HAK = 90°; ed avendo entrambi un angolo di 90°, allora anche AVT = AMT = 45° e VT = AT. Il
triangolo AVT, essendo isoscele rettangolo, è simile al triangolo HVS.
Possiamo perciò impostare una proporzione: AVT ~ HSV
HS : VH = AV : VT
Ipotenusa : cateto = ipotenusa : cateto
Ossia AV VH = HS VT.
così di avere un chiaro controllo della strategia. Nel lavoro di gruppo, di
fatto, erano state considerate molte
altre possibilità, non tutte utili per la
ricerca del sintomo.
Si identificano due triangoli isosceli
e si scrive la proporzione, poi tradotta nell’equivalenza di aree.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
12
Figura 5: il secondo disegno della relazione finale
Confrontando tale proporzione con
la relazione precedente:
PS PS = HS SK
Si nota che HS = 2 VT in quanto VS
// NK ossia VMSK è un parallelogramma e AVT = ATM.
Ottengo
SH = 2 VT
PS PS = HS SK Dato che sia nella
prima che nella seconda equazione
[sic!] compaiono sia HS che SK:
2 AV VH = 2 HS VT moltiplico entrambi i membri per due in modo da
ottenere
2 VT = SK
Da cui
PS2 = 2 AV VH
L’area del quadrato costruito
sull’altezza PS è uguale al doppio
dell’area del rettangolo avente per
dimensioni il segmento VH = VS e
AV.
6. Il collegamento dei due piani
Fino ad ora, sono stati illustrati due
relazioni trovate operando su piani
diversi: il piano di base t e il piano
meridiano t’.
Dal loro confronto si ricava il sintomo.
Introducendo poi un sistema cartesiano in x e y e considerando come
piano di riferimento il piano MERIDIANO SECANTE, le coordinate di
7. Dal sintomo all’equazione
S’introduce, con un anacronismo
consapevole, un sistema di coordinate che consente di passare
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
13
P sono individuate da x = VS e y =
PS. Da cui, sostituendo alla relazione ottenuta:
y2 = 2 AV x
Poiché durante il ragionamento la
distanza tra il vertice del cono e il
vertice dell’ortotome è COSTANTE,
AV si pone uguale a k.
y2 = 2 k x
x = 1/2k y2.
dall’ambiente della geometria sintetica tridimensionale all’ambiente
della geometria analitica piana. La
costante k è introdotta ripetendo le
parole usate dall’insegnante.
Al crescere di k, ossia quando il piano secante trasla parallelamente a
se stesso mantenendo la medesima
GIACITURA, l’ampiezza
dell’ortotome aumenta. Quando invece k diminuisce l’ortotome diminuisce in ampiezza, fino a quando
per k tendente a zero si ottiene la
ORTOTOME degenere coincidente
con la generatrice AK , ossia
l’ortotome di equazione y = 0.
8. Il significato di k
Il significato di k è costruito, variando intenzionalmente il suo valore. E’
esplorato in modo corretto anche il
caso limite (k = 0).
Il sintomo trovato caratterizza un
punto generico della sezione in
quanto mantenendo costante la distanza AV = k e traslando parallelamente a se stesso il piano t su cui
giace la circonferenza direttrice la
dimostrazione è valida per un qualsiasi altro punto della sezione contenuto sulla superficie del cono. Ciò
che varierà sarà invece la lunghezza
dell’arco di curva considerata.
9. Generalizzazione a tutti i punti
dell’ortotome
Il ragionamento è generalizzato a un
punto qualsiasi dell’ortotome, muovendo (traslando) uno dei piani, il
piano di base t. Durante il movimento molti dei segmenti osservati non
cambiano. Gli studenti mostrano di
saper controllare varianti e invarianti
in modo corretto.
Tale sezione veniva considerata come curva solida, in tre dimensioni,
in quanto l’ortotome giace su un cono rettangolo e la sua proprietà si
ricava mediante un ragionamento su
due piani distinti perpendicolari
(nello spazio).
10. Commenti finali
Al termine gli studenti mostrano di
essersi distaccati in modo conscio
dall’approccio secondo la geometria
classica. La sezione era considerata
una curva solida.
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
14
Discussione
È opportuno rivisitare l’esperimento prendendo due punti di vista diversi:
- quello dell’insegnante (che ha maturato alcuni motivi generali
dell’attività, strutturato sessioni di lavoro con obiettivi definiti, gestito le fasi di interazioni con operazioni dipendenti dalle specifiche
condizioni di lavoro)
- quello degli studenti (che hanno in alcuni casi prodotto tracce
dell’interazione con l’insegnante).
Un breve riassunto è contenuto nella tabella 1, sicuramente incompleta
poiché limitata quasi esclusivamente ai pochi estratti dei protocolli del lavoro di piccolo gruppo qui citati e alla relazione finale.
Nella prima colonna della tabella sono ripresi i motivi illustrati
all’inizio:
1. culturale;
2. storico;
3. epistemologico;
4. cognitivo.
In definitiva, l’esperimento qui presentato favorisce:
- L’appropriazione di atteggiamenti verso la matematica in cui le componenti storico-culturali giocano un ruolo essenziale.
- La costruzione di significati complessi dell’oggetto parabola, con
spostamenti continui tra i quadri sintetico e analitico, che consentono
di interpretare geometricamente anche il caso del valore limite del
parametro (k = 0).
- Il ricorso sistematico all’oggetto fisico, alla sua manipolazione reale
e alla gestualità che suggerisce cambiamenti e movimenti
sull’oggetto mentale.
L’esperimento può essere letto quindi con i diversi strumenti di analisi che
sono stati ricordati nei Capitoli 4 e 5.
Il modello di ortotome è un artefatto, i cui schemi d’uso sono costruiti
nel corso dell’interazione tra insegnante e studenti. L’oggetto media significati diversi, pertinenti sia alla teoria più antica delle sezioni coniche che
alle sistemazioni successive (la rappresentazione algebrica di Descartes, il
disegno meccanico di L’Hôspital). I processi cognitivi hanno una forte
componente “empracticed” (Capitolo 4 paragrafo 4). Le metafore costruite
accompagnano in modo funzionale la costruzione del significato.
Se ci proponiamo di leggere questo esperimento come costruzione non
solo di significati ma anche di dimostrazioni, vediamo che delle quattro fasi
previste (Capitolo 5 paragrafo 5):
1. Fase argomentativa della produzione della congettura.
2. Fase di stabilizzazione della formulazione della congettura.
3. Fase di costruzione della dimostrazione.
4. Fase di stabilizzazione della redazione della dimostrazione.
8.3 Macchine mentali: l’ortotome
15
Solo le ultime due sono presenti: in effetti, la congettura (la sezione è una
parabola) è già data per scontata. Piuttosto l’esplorazione del modello mira
a ricostruire il senso di questo enunciato e il suo collegamento con la definizione di parabola come sezione di un cono circolare retto e rettangolo.
Non va sottovalutato questo aspetto. Come mostrerà l’esempio successivo,
non sempre gli enunciati dati per scontati dagli insegnanti sono interiorizzati in modo profondo dagli studenti, che possono mostrarsi confusi di fronte
a una provocazione che li mette in crisi.
Insegnante
Studenti
Motivi
/ attività
Esempi di
azioni
Esempi di
operazioni
Tracce nel
lavoro di
gruppo
Tracce nel- Cenno
ai
la relazione significati
finale
costruiti
Culturale
Introduzione storica
Non dettagliato
Non dettagliato
Non dettagliato
Storico
Definizione Episodi
delle regole
1, 2, 5
Non dettagliato
Sezioni
CollegaEpisodi
mento con1, 2, 5
tinuo tra i
quadri sintetico e analitico
Non dettagliato
Sezioni
Epistemologico
1, 2, 3, 7,
10
7, 8, 10
Sezione 9
Cognitivo
Ricorso al
modello
fisico con
forte gestualità
(deittica e
iconica)
Episodi
Episodio 4
2, 3, 5
Tabella 1
Sezione 8
Contestualizzazione
storica di
problemi
concetti e
procedure
Collegamento tra
quadri ed
interpretazioni incrociate
Casi limite