Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
7.6 Simulazione Cabri
GUIDA alla COSTRUZIONE (per l'insegnante)
Il segmento O*A* è fissato inizialmente come unità di misura. Esso assegna la lunghezza delle aste OA = BA = AR.
L'ordine di costruzione è il seguente :
- Retta g (guida).
- Punto O sulla retta g.
- Cerchio di centro O e raggio O*A*.
- Semicerchio nel semipiano sopra g.
- Punto A sul semicerchio (direttore)
- Retta r per A perpendicolare a g.
- Punto B simmetrico di O rispetto a r.
- Retta s per B e A.
- Punto R simmetrico di B rispetto ad A
- Punto P sulla retta AB (tracciatore)
Vengono poi nascosti alcuni oggetti e costruiti i segmenti OA, BA, AR,
AP.
Nella figura è tracciato il luogo descritto da P quando A varia.
In files successivi sono realizzate altre costruzioni descritte nel seguito.
GUIDA all' ESPLORAZIONE (per lo studente)
Apri il file: sim1.fig
“ Sullo schermo vedi la simulazione di una macchina che ricorda quello
reale. La macchina si mette in moto catturando con il mouse e trascinando
il punto A. Mentre il punto A si muove, P percorre la traiettoria tracciata in
rosso.
Lo scopo di questa attività è lo studio di alcune proprietà geometriche della
curva così tracciata. Queste domande possono aiutare l'esplorazione.
1) Che cosa succede se afferri e trascini con il mouse il punto A del
segmento unità ? Dovresti vedere che tutta la macchina è ingrandita,
ma la forma è conservata. E' come se noi costruissimo un'altra macchina fisica con aste tutte con lunghezza doppia, tripla (o comunque
in un rapporto costante) rispetto alle aste corrispondenti della macchina iniziale.
Ora scegli una lunghezza per il segmento unità OA che ti faccia stare la
macchina tutta dentro allo schermo. Non cambiare più questa lunghezza
nel seguito dell'esplorazione.
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
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2) La curva tracciata da P presenta simmetrie evidenti ? [asse di simmetria verticale]
3) Prova a catturare e a trascinare con il mouse il punto P. Naturalmente questa operazione non sarebbe possibile nella macchina di legno (dove al massimo possiamo avere alcuni fori, per la penna che
traccia, in posizioni particolari). Mentre trascini P vedrai che il luogo si modifica.
- Fissa l'attenzione sul luogo e guarda se, nel corso della trasformazione, il luogo diventa una curva che conosci già (ad esempio un arco di circonferenza o un segmento). Se individui questi casi (li chiamiamo casi limite intermedi) cerca se questi corrispondono a posizioni particolari di P sulla retta AB. Quando pensi di avere trovato
una risposta, prova a giustificarla con una dimostrazione, in modo
da essere certo che sia valida per tutte le macchine simili a questa
che è possibile costruire
- Adesso ferma invece l'attenzione sulle posizioni generiche di P.
Annota tutto quello che hai osservato nella tabella che segue :
P precede (sta sopra a) R
P=R
P sta nel segmento RA
P=A
P sta nel segmento AB
P=B
P segue (sta sotto a) B
Ora passa al file successivo: sim2.fig
Il luogo di P è stato completato eseguendo una simmetria rispetto alla retta
orizzontale.
4) La curva così ottenuta ti ricorda qualcosa ? Sai come si chiama ?
Puoi rifare le stesse esplorazioni di prima guardando come si modifica la nuova curva ottenuta.
La curva si chiama ellisse. Questa curva ha due assi di simmetria. Adesso
vediamo qualche altra proprietà.
Passa al file successivo: sim3.fig
È stato segnato il punto Q simmetrico di P rispetto ad A ed è stata tracciata la curva individuata da Q.
7.6 Simulazione Cabri - Guida alla costruzione e all’esplorazione
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5) C’è qualche relazione evidente tra l'ellisse individuata da P e l'ellisse individuata da Q ?
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Quando pensi di avere trovato una risposta, prova a controllare se è valida
anche per altre ellissi ottenute trascinando P.
Passa al file successivo: sim4.fig
Sono state tratteggiate due circonferenze di centro O, una inscritta e una
circoscritta all’ellisse individuata da P. I diametri delle due circonferenze
ti danno la lunghezza minima m e la lunghezza massima M per le corde
tracciate unendo due punti dell’ellisse e passanti per il centro. Le due corde si chiamano anche asse minore ed asse maggiore dell'ellisse.
6) Verifica che la curva è tutta contenuta in un rettangolo di centro O i
cui lati sono paralleli ed hanno lunghezza uguale rispettivamente ad
m ed M. I lati del rettangolo sono tangenti alla ellisse.
7) Che cosa succede se muovi A ?
8) Che cosa capita se muovi P ? Prova ad organizzare ancora le tue osservazioni come nel caso della questione n. 3.
9) C’è qualche relazione tra l'asse minore e l'asse maggiore della ellisse
e le lunghezze delle aste che costituiscono la macchina ? Quando avrai trovato questa relazione, sarai in grado di modificare la macchina (agendo sul segmento unità e sulla distanza di P da A) in modo
da disegnare proprio l'ellisse che vuoi tu. Più precisamente, potrai
disegnare una ellisse con asse minore ed asse maggiore assegnati.
Naturalmente l'ellisse ha anche molte altre proprietà interessanti.
Di solito viene definita per mezzo di una proprietà metrica come luogo
dei punti aventi costante la somma delle distanze da due punti dati (fuochi).
„
A questo punto l’insegnante può ricavare l'equazione canonica dell’ellisse e
mettere in relazione fuochi e semiassi (eventualmente utilizzando la simulazione sim5.fig).