Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
7.4 Studio di ellissografi
Introduzione
Questo esperimento è stato realizzato in una classe terza del Liceo scientifico “G. Ferrari” di Torino (insegnante: Valeria Andriano; osservatori: Elisa
Postiglione e Federica Olivero). L’esperimento è stato ispirato dagli studi di
Arzarello e collaboratori (Arzarello et al., 1998), svolti in ambiente Cabri.
Nello studio sono stati usati due particolari curvigrafi (ellissografi a barra):
- l’ellissografo di Proclo (Fig. 1);
- l’ellissografo di van Schooten (Fig. 2).
Figura 1: ellissografo di Proclo
Figura 2: ellissografo di Van Schooten
La sessione di lavoro dura due ore. Due gruppi di studenti, ciascuno assegnato ad un osservatore, studiano le macchine portate dal laboratorio di
Modena, mentre il resto della classe, pure diviso a gruppi, studia copie in
cartone degli stessi strumenti realizzati dall’insegnante.
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
2
La consegna
Agli studenti è data la consegna:
“ La punta tracciante descrive un arco durante il movimento della macchina.
1. Di che curva si tratta? Fate una congettura fornendo elementi a sostegno di essa.
2. Siete in grado di dare una dimostrazione della vostra congettura?„
Le congetture prodotte possono essere più di una, ma ciascun gruppo deve
redigere un solo testo costruito collettivamente, in cui le congetture sono
presentate e argomentate (eventualmente dimostrate) anche con
l’accompagnamento di disegni se necessari.
Nel seguito analizziamo brevemente a titolo di esempio il processo del
gruppo che studia l’ellissografo di Proclo.
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
Lo studio dell’ellissografo di Proclo
Episodio
1. Genesi della congettura
Durata
0
–
1’ 20”
Breve descrizione
Incuriositi dal tipo di curva che può tracciare la macchina,
gli studenti eseguono una prima prova. Formulano immediatamente (40”) una congettura (“E’ un’ellisse, è un’ellisse!”),
scegliendo l’oggetto nel loro limitato patrimonio di conoscenze. Leggono poi la consegna.
Figura 3
2. Strategia per la dimostrazione
1’ 20” –
3’ 20”
Figura 4
Uno studente ripete la definizione metrica dell’ellisse come
aiuto. Tutti fanno ipotesi sulla posizione dei fuochi lasciandosi guidare dalla regolarità del movimento. Il punto direttore A assume due particolari posizioni (limite) sul semiasse
maggiore dell’ellisse quando il punto tracciatore P raggiunge
la massima distanza dal centro. La simmetria della macchina
suggerisce che questi siano i fuochi.
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4
3. Fase esplorativa
3’ 20” –
5’ 20”
Dopo avere riletto le domande, si ricomincia a muovere la
macchina. Gli studenti cercano un collegamento tra i punti
direttori A e B e di questi con P. Si ipotizza che ci sia una
relazione con l’intelaiatura a rombo che sostiene la macchina. Il movimento esplorativo è molto lento.
4. Disegno della curva
5’ 20” –
6’ 40”
I ragazzi tracciano con cura l’intera curva, sovrapponendosi
al tracciato iniziale.
5. Fase esplorativa
6’ 40” –
12’
12’ –
22’
[continua da 3]
Figura 5
6. Passaggio ad una situazione statica
Gli studenti abbandonano la macchina per riportare su un
foglio le varie posizioni assunte dai punti direttori. Osservando che la distanza tra A e B è costante, trovano che le posizioni limite assunte da A e B sono vicine ma non coincidono con i vertici del rombo che sostiene la macchina.
7.4 Studio di ellissografi
7. Controllo della congettura
22’
–
26’ 20”
Per dimostrare che si tratta di un’ellisse, gli studenti tornano
alla proprietà metrica. Misurano le distanze di vari punti
dell’ellisse dai punti limite di A. Restano perplessi perché la
somma non è costante.
26’ 20”
Uno studente propone di usare la formula che consente di
calcolare l’ascissa del fuoco a partire dai semiassi, misurati
sulla figura:
Figura 6
8. Calcolo dei fuochi
–
33’
c = a2 − b2 .
I fuochi sono poi disegnati sulla figura.
Figura 7
5
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6
9. Tre prove
33’
–
38’ 20”
Scelti tre punti “generici” sulla curva, gli studenti calcolano
la somma delle distanze di ciascuno, misurate col righello,
dai “nuovi” fuochi. I numeri trovati non sono identici, ma gli
studenti imputano la differenza ad imprecisione nel disegno.
Per loro questa è la dimostrazione.
Figura 8
10. Intervento dell’insegnante: dimostrare
38’ 20”
–
41’ 40”
11. Passaggio ad una situazione statica
41’ 40”
–
47’
L’insegnante si avvicina e fa il punto. Gli studenti espongono la loro congettura e il metodo algebrico di calcolo dei
fuochi. Dicono di avere verificato la proprietà su tre punti
ma esprimono dubbi sul fatto che si tratti davvero di una dimostrazione. L’insegnante suggerisce di spostare
l’attenzione sui semiassi della curva, cercando di collegarli
alla geometria della macchina.
Gli studenti si spostano sul foglio dove hanno disegnato la
macchina ed iniziano a ragionare.
7.4 Studio di ellissografi
12. Intervento dell’insegnante: sistema di riferi- 47’
mento
–
56’ 20”
Per sbloccare la situazione, l’insegnante suggerisce di introdurre un sistema di riferimento, per poter poi usare la conoscenza dell’equazione canonica dell’ellisse, noti i semiassi a
e b.
Figura 9
13. Verifica
56’ 20”
–
1h 3’ 20”
14. Intervento dell’insegnante: tutti i punti
1h 3’ 20”
–
1h 23’
Dopo avere tracciato sul piano della macchina un sistema di
riferimento cartesiano con una unità di misura scelta col righello e gli assi coincidenti con gli assi di simmetria della
curva disegnata, gli studenti considerano un punto della curva. Ne calcolano le coordinate numeriche e le sostituiscono
nell’equazione canonica. I conti tornano (con approssimazione).
L’insegnante ricorda che la proprietà deve essere soddisfatta
da tutti i punti. Suggerisce quindi di fissare l’attenzione su
alcuni triangoli [PAH e BAO]
7
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
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15. Costruzione della dimostrazione
11h 23’
–
Gli studenti trovano che i triangoli PAH e BAO sono sempre
simili. Usando le proporzioni scrivono che:
1h 46’
y : b = (a2- x2)½ : a
da cui elevando al quadrato passano rapidamente
all’equazione canonica di un’ellisse con semiassi a e b.
Figura 10
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Commento
Anche il gruppo incaricato di studiare l’ellissografo di van Schooten opera
in modo analogo, inserendo spontaneamente un sistema di riferimento
(quindi senza la sollecitazione dell’insegnante qui all’episodio 12). Il loro
lavoro è però più lento e, nelle due ore previste per il completamento del
compito, non completano i calcoli algebrici che portano all’equazione
dell’ellisse in forma canonica.
Questa breve sintesi (il protocollo completo è nella tesi citata) mostra
che la genesi della congettura è immediata, forse troppo veloce per consentire una adeguata fase argomentativa (vedi Capitolo 5). Del resto, nel patrimonio di conoscenze degli studenti, piuttosto limitato, solo l’ellisse può
essere la soluzione.
Nel processo si assiste ad un’alternanza di fasi di controllo ascendente e
discendente1 strettamente concatenati.
Così una volta generata la congettura (controllo ascendente), gli studenti
cercano la definizione metrica (controllo discendente). Per usare la definizione metrica è però necessario trovare la posizione dei fuochi (controllo
ascendente) che viene sottoposta a verifica per alcuni punti della curva
(controllo discendente). Quando la verifica fallisce, di nuovo la teoria conosciuta è messa in pratica per costruire l’ascissa dei fuochi (controllo discendente), che è poi di nuovo sottoposta a verifica.
Naturalmente la verifica eseguita su 3 punti non è sufficiente a “dimostrare”. Qui è essenziale il ruolo dell’insegnante che ricorda il significato di
dimostrazione e poi suggerisce un cambiamento di quadro (da sintetico ad
analitico), per favorire la messa in opera delle conoscenze degli studenti (equazione in forma canonica). Il sistema di riferimento non è “generico”, ma
vincolato allo strumento e alle sue simmetrie (come del resto accadeva in
Descartes, vedi Capitolo 1).
Per concludere, osserviamo che il processo messo in opera da questi studenti non è molto diverso da quello documentato da Dennis (vedi Capitolo
6 paragrafo 3). Questo mostra che l’esplorazione nella situazione della coppia (adulto / studente) è riproducibile nel piccolo gruppo con solo occasionali interventi dell’insegnante.
1
Il controllo ascendente è la modalità in cui il risolutore, guardando una figura o uno strumento, cerca fra le sue conoscenze quella che può essere utilizzata in quel caso e produce una
congettura.
Il controllo discendente è la modalità in cui il risolutore, avendo già prodotto una congettura,
usa le sue conoscenze per validarla. È una “discesa” dalla teoria alla pratica.