Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
7.3 Il pantografo di Sylvester
Introduzione
Questo esperimento è stato realizzato in una classe terza del Liceo scientifico “A. Tassoni” di Modena (insegnante ricercatore: Marcello Pergola; osservatore: Claudia Cavani). L’esperimento, documentato nella tesi citata, è
durato oltre quattro mesi ha riguardato l’uso didattico di diverse macchine
matematiche. Nel corso dell’esperimento, alcune sessioni sono state dedicate al pantografo di Sylvester (vedi Capitolo 1 paragrafo 10):
Obiettivo
Modalità
Introduzione
Lezione frontale con uso di
Introduzione storica che
prende l’avvio dal compas- macchine matematiche
so;
Introduzione di un linguaggio condiviso sui sistemi articolati (es. la nozione di
grado di libertà); esempi di
sistemi articolati semplici
Studio di un
sistema
articolato
Esplorazione, produzione di Lavoro di piccolo gruppo
congetture e di dimostrazioni su un sistema articolato,
guidati da una scheda predisposta dall’insegnante
Lezione condotta
dall’insegnante con la partecipazione di studenti capogruppo
Condivisione e
istituzionalizzazione
Verifica
Redazione di testi di dimostrazione dei sistemi articolati studiati dalla classe
Problema individuale
Nella sessione di lavoro (due ore) dedicata al lavoro di gruppo, la classe è
stata suddivisa in 5 gruppi ciascuno dei quali ha studiato un sistema articolati:
- Un pantografo di Sylvester (due gruppi ciascuno con una copia dello
strumento).
- Un traslatore.
- Un sistema articolato per la simmetria assiale.
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- Un sistema articolato per la simmetria centrale.
Figura 1: traslatore
Figura 2: sistema articolato per la simmetria assiale
Figura 3: sistema articolato per la simmetria centrale
In questo paragrafo ci limitiamo a descrivere un momento particolarmente
significativo: lo studio condotto in piccolo gruppo di un pantografo di
Sylvester.
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3
Le otto domande che costituiscono la traccia di lavoro per gli studenti
sono qui si seguito riportate.
Figura 4: pantografo di Sylvester
“ Prima parte
1. Rappresentate il meccanismo che vedete sul tavolo con una figura
schematica e descrivetelo in modo che sia possibile costruirne uno
simile sulla sola base della vostra descrizione.
2. Quanti gradi di libertà possiede il punto P? Disegnate l’insieme R
descritto da P durante la deformazione del sistema meccanico. Scegliete i parametri che determinano la posizione di P.
3. Quanti gradi di libertà possiede il punto P'? Disegnate l’insieme R'
descritto da P durante la deformazione del sistema meccanico. R ed
R' hanno punti in comune? Scegliete i parametri che determinano la
posizione di P' (possono essere usati gli stessi del punto 2)?
4. Ci sono proprietà geometriche comuni a tutte le configurazioni che il
meccanismo assume durante il suo moto? Cercate di dimostrare le
vostre affermazioni.
Seconda parte
1. Si può dire che il meccanismo stabilisce una corrispondenza biunivoca R → R' (nel senso che ad ogni punto di R fa corrispondere
un punto di R' e viceversa)?
2. Supponendo che P e P' siano due punte scriventi, disegnate due figure che si corrispondono nella R → R'. Le due figure sono tracciate
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contemporaneamente? Le caratteristiche del movimento utilizzato –
velocità, accelerazione, ecc. – influiscono sul risultato finale?
3. Quali sono le proprietà comuni alle figure tracciate nel punto 6? Sono figure sovrapponibili? Esiste un movimento semplice che le sovrappone? Descrivetelo.
4. Il movimento da voi individuato sovrappone anche R ed R'? „
Nell’introdurre il lavoro di gruppo, l’insegnante precisa che si richiede di
rispondere ai quesiti della prima parte (in un ordine qualsiasi) prima di passare ai quesiti della seconda parte. Si richiede un unico testo scritto, concordato tra i diversi componenti del gruppo. Mentre rinviamo alla tesi o
all’articolo di Bartolini Bussi e Pergola (1996) per altri dettagli, descriviamo brevemente alcune caratteristiche del lavoro svolto per rispondere alla
prima parte dei quesiti.
La pianificazione del lavoro
Per mezzo degli otto quesiti, l’insegnante si propone di costruire una relazione dialettica tra l’oggetto fisico e l’oggetto ideale, cioè l’oggetto matematico di cui è una concretizzazione. Per forzare il passaggio dall’oggetto
fisico all’oggetto ideale, è necessario introdurre un contesto di natura teorica all’interno del quale dare senso all’esplorazione. Gli otto quesiti vogliono quindi indirizzare gli studenti verso un’esplorazione di natura teorica.
Il primo quesito stabilisce un collegamento tra l’esperienza fisica (realizzata con la manipolazione) e l’esperienza matematica. Gli studenti potrebbero rispondere che si tratta di un oggetto costituito da 8 aste con determinate lunghezze e collegate in un certo modo. Questa potrebbe essere la
risposta di studenti più giovani o anche di adulti non esperti. La natura del
contratto con l’insegnante induce, come vedremo, gli studenti ad utilizzare
un linguaggio “tecnico”, se pure ancora fortemente ancorato alla fisicità.
I due quesiti successivi forzano gli studenti ad applicare alcuni elementi
di teoria dei sistemi articolati (es. la nozione di grado di libertà), forniti
dall’insegnante nella lezione introduttiva.
Il quarto quesito determina il contesto (quello della geometria elementare) in cui collocare l’oggetto ideale.
Gli ultimi quattro quesiti – e specialmente il settimo – si propongono di
collegare l’idea di rotazione di un angolo qualsiasi alle proprietà geometriche di un sistema articolato, andando oltre la semplice esplorazione di un
oggetto dato ed aprendo la via alla costruzione di un sistema articolato che
realizza una rotazione con un angolo voluto.
Il funzionamento in classe
Per descrivere alcuni episodi del funzionamento facciamo riferimento alla
figura allegata dagli studenti al testo prodotto. Va detto tuttavia che prima
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della produzione del testo non sono usate lettere ma gesti deittici (questo,
quello, là, ecc.).
Il primo quesito determina un’attività piuttosto lunga (circa un’ora). Lo
schema del processo è il seguente. Gli studenti si convincono che:
1. Alcune aste sono di uguale lunghezza, misurandole direttamente.
2. C’è un parallelogramma deformabile e due triangoli rigidi.
3. C’è un punto (O) fisso.
4. I triangoli sono isosceli.
5. I triangoli sono simili.
6. È la stessa cosa fissare l’angolo PÂB o il rapporto di PB su PB';
7. Le aste che rappresentano le basi dei due triangoli devono essere tagliate in modo da stare nello stesso rapporto dei lati.
In particolare le proprietà 4 e 5 sono scoperte quando durante la deformazione il sistema articolato assume la configurazione 2a della figura che
segue (Fig. 5).
Figura 5
La risposta al quarto quesito ricalca fedelmente le fasi di discusse nel Capitolo 5 paragrafo 5:
1. Fase argomentativa della produzione della congettura.
2. Fase di stabilizzazione della formulazione della congettura.
3. Fase di costruzione della dimostrazione.
4. Fase di stabilizzazione della redazione della dimostrazione.
Osserviamo che la produzione della congettura avviene, inizialmente, da
parte di uno studente. La congettura è accettata dall’insegnante, ma respinta
dai compagni, che l’accettano solo dopo una verifica empirica sullo strumento nel corso del movimento. La costruzione della dimostrazione prende
circa un’ora. Essa è condotta senza l’intervento dell’insegnante. Il processo
può essere descritto come una sequenza di passi, ciascuno dei quali può essere codificato come E (empirico), quando si basa sull’evidenza percettiva
(tattile o visiva) o come L (logico) quando è dedotto da altri enunciati accettati (a loro volta costruiti in modo empirico o logico). I passi sono i seguenti (nell’ordine temporale in cui avvengono):
0. (E) Congettura: OP è uguale a OP' e l’angolo PÔP' è costante per
tutte le configurazioni del sistema articolato.
1. (L) Deduzione: se i triangoli OAP e OCP' sono congruenti (già dimostrato), allora OP è uguale a OP'.
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2. (E) Problema: c’è qualche relazione tra il moto di P e il moto di B?
La ricerca è interrotta quasi subito.
3. (E,L) Osservazione: la lunghezza di PP' non è costante. Questa osservazione è confermata dalla teoria, poiché non è sufficiente conoscere due lati per determinare un triangolo.
4. (E) Osservazione: anche se OP è uguale a OP', la lunghezza di OP
non è costante.
5. (L, (E,L)) Deduzione: se l’angolo PÔP' è costante (congetturato al
passo 0) e il triangolo POP’ è isoscele (dimostrato al passo 1) allora
tutti gli infiniti triangoli POP’ ottenuti durante la deformazione sono
simili.
6. Oroblema: c’è un rapporto costante (passo 5) tra PP' e OP (=OP'):
qual è il rapporto?
7. (L) Deduzione: per la configurazione 2a della Fig. 5 è dimostrato
che gli angoli PÔP', BĈP' e BÂP sono uguali.
8. (E) Congettura: i triangoli PBP', OAP e OCP' sono simili.
9. (L) Deduzione: poiché i triangoli BCP' e BAP sono simili
(dall’osservazione del sistema articolato) allora vale la proporzione:
CP' : AB = BP' : BP
e, poiché OC = AB,
CP' : OC = BP' : BP
10. (L (E)) Deduzione: se PBP' e OCP' sono simili (passo 8), il rapporto
di OP e OP' (uguale al rapporto di OP' e PP') è costante.
11. (L) Deduzione: tutti gli infiniti triangoli POP' ottenuti durante la deformazione sono simili [nota la differenza col passo 5].
12. (L) Deduzione: se tutti i triangoli POP' sono simili l’angolo PÔP' è
costante [inverso del passo 5].
13. (L) Deduzione: gli angoli P'BP, OĈP' e OÂP sono uguali [basato sulle proprietà angolari dei poligoni].
14. (L) Deduzione: i triangoli P'BP, OCP' e OAP sono simili [che dimostra la congettura 8].
Il funzionamento in classe evidenzia diverse fasi in cui l’insegnante
s’inserisce nell’attività del piccolo gruppo. Ad esempio, nella fase di congettura, per trattare il quesito 4, l’insegnante suggerisce di porre attenzione
sulle proprietà degli angoli individuati dal sistema articolato ed anche ad
angoli che non sono visibili nell’oggetto fisico (vedi ad esempio nel seguito
l’angolo PÔP'). Questo intervento è necessario per non disperdere le energie degli studenti in ricerche prive di risultato. Ci sono infatti proprietà (vere) che non sono significative per il problema. Ad esempio è vero, ma non
utile, osservare che il sistema articolato definisce un esagono che lo contiene tutto (OABPP'C) e che ha perimetro costante. Alla fine una congettura
corretta e significativa (che l’angolo PÔP' è costante) è formulata da uno
studente ed accettata dall’insegnante; tuttavia il clima di ricerca che si è
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creato fa sì che i compagni, nonostante l’avallo dell’insegnante, esprimano
esplicitamente i loro dubbi e sperimentino con le loro mani direttamente
muovendo le dita lungo i segmenti PO e OP'. Le loro espressioni cambiano
da “impossibile„ a “vero ma sorprendente„.
Sicuramente l’oggetto fisico (presente e non solo evocato) condiziona il
processo. All’inizio, per rispondere al quesito 1 gli studenti misurano le aste per essere certi che alcune tra esse sono “proprio uguali„, ma immediatamente dicono che le misure effettive non sono importanti (“noi scriviamo
come questo è stato costruito ma lui„ – l’interlocutore fittizio – “potrà costruirlo della misura che vuole„). Va detto che gli studenti non sono del tutto certi che la procedura empirica di misurazione sia adatta per l’ambiente
geometrico ideale in cui operano. Tuttavia i risultati della misurazione sono
immediatamente reinterpretati, trasformando il sistema articolato (oggetto
fisico) in una figura schematica, statica (oggetto ideale). Questo passaggio è
tipico dei processi di modellizzazione.
Anche dopo aver costruito la figura che rappresenta il sistema articolato,
l’oggetto fisico mantiene ancora il suo ruolo di protagonista
nell’esplorazione. Gli studenti osservano che il sistema articolato può assumere infinite configurazioni istantanee, di cui alcune sono “generiche„ e
altre “speciali” (sono indicate con i numeri 1 e 2 rispettivamente nella Fig.
5). Quelle speciali sono “casi limite intermedi„ che si incontrano durante il
movimento continuo per piccoli spostamenti.
A volte la relazione tra oggetto fisico e oggetto ideale non è di facile
realizzazione. Ad esempio, dopo essersi accorti che i triangoli PAB e P’CB
sono simili, gli studenti recitano alcuni teoremi sui lati e gli angoli dei
triangoli simili, senza accorgersi che conoscendo il rapporto tra i lati PB e
BP' si potrebbe risolvere il problema di descrivere le aste che consentono la
costruzione dell’oggetto. Il mondo fisico e quello geometrico restano cioè
separati e solo un breve episodio di interazione con l’insegnante li rende
consapevoli di questa possibilità.
In altri momenti emerge il tentativo di usare la geometria per comprendere meglio il funzionamento del sistema articolato (che è sollecitato
dall’insegnante nella seconda parte dei quesiti). Ad esempio, fin dall’inizio
uno studente dice:
“ se questo angolo [PÂB] fosse retto, questa [configurazione 2a della Fig.
5] sarebbe più schiacciata da questa parte [e segna verso sinistra]. „
Questa continua dialettica tra l’oggetto fisico e l’oggetto ideale è sostenuta
dall’insegnante nei suoi interventi. Quando gli studenti propongono congetture, l’insegnante li invita a verificarle sullo strumento. Quando gli studenti
si soffermano su enunciati ottenuti per via empirica, l’insegnante li invita a
dimostrare.
La configurazione 2a della Fig. 5 gioca un ruolo duplice: nel primo quesito, suggerisce la similitudine dei triangoli PAB e P'BC. Ma più tardi ri-
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schia di bloccare il processo dimostrativo. Quando uno studente muove il
sistema articolato che assume una configurazione molto vicina alla 2a, un
altro studente dice subito:
“Dai, muovilo subito, non capisco più niente. Non vedo più i lati OP e OP'„
e toglie lo strumento dalle mani del compagno rimettendolo in una configurazione “generica”.
Il prodotto finale, come vedremo anche dal testo, è una dimostrazione se
pure non del tutto completa (ad esempio il passo 10 non è ripreso nel testo
scritto, come se fosse del tutto ovvio). Essa inoltre si riferisce solo alla configurazione “generica 1 a” della Fig. 5 (gli altri casi avrebbero richiesto piccoli adattamenti). In realtà la modifica della configurazione è stata presa in
considerazione ma respinta come non necessaria:
“ S1 Dobbiamo considerare gli altri casi?
S2 No, abbiamo fatto una dimostrazione [con enfasi]. „
Questo per gli studenti è garanzia di validità generale.
Il prodotto finale
Riportiamo qui l’elaborato finale, limitatamente alla risposta al quesito 4.
Come si vede dalla colonna dei commenti (che contiene anche una copia
della figura allegata dagli studenti) l’ordine di redazione non è l’ordine
temporale del processo, ma risponde all’ordine di comunicazione ad un interlocutore fittizio.
“ Dimostrazione di una proprietà geometrica
Tesi P'ÔP è sempre uguale.
P'ÔP si mantiene costante perché i triangoli POP' ottenuti mediante varie deformazioni del meccanismo sono sempre simili qualunque sia la posizione di P e P’.
[vedi passo 12]
Infatti OP = OP' perché i triangoli OP'C e [vedi passo 2]
OAP sono congruenti, dato che
CP' = OA, CO = AP
e OĈP' = OÂP (BĈO = OÂB e P'ĈB =
PÂB)
I due triangoli sopra indicate sono anche
simili a un terzo triangolo P’BP perché,
[vedi passo 9]
essendo i triangoli CP'B e BAP simili si
[vedi passo 10]
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ottiene
BP' : BP = P'C : CO
E l’angolo P'BP = OĈP'
In quanto posto che:
CP'B = α = CBP'
CBA = β
Si ottiene che
PBP' = 360° - (2α + β)
P'CO = 360° - (2α + β)
Questo perché prolungando il segmento
BC dalla parte di C l’angolo supplementare a P'CB = 2α e l’angolo supplementare
a BCO = β. „
[vedi passo 13]