Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
7 Didattica nel laboratorio delle macchine matematiche
7.1 Sistemi articolati e trasformazioni
Introduzione
Questo esperimento è stato svolto in una classe prima del liceo scientifico
“Aldo Moro” di Reggio Emilia, durante la preparazione della tesi di laurea
(laureanda Cinzia Villani). In questo caso, lo studio dei sistemi articolari a
due gradi di libertà che permettono di realizzare isometrie è stato preceduto
da una raccolta di informazioni sulle conoscenze che gli studenti avevano
relativamente a:
- Sistemi articolati.
- Isometrie.
L’esperimento si è articolato in tre parti:
Obiettivo
Modalità
Prima parte
Risposta ad un questionario
Raccolta di informazioni
dato da compilare a casa
sulle conoscenze relative
alle isometrie in geometria e
ai sistemi articolati nella vita quotidiana
Seconda parte
Studio di sistemi articolati
1. Lezione frontale
(macchine matematiche) che 2. Lavoro di gruppo su una
realizzano isometrie
macchina matematica
Terza parte
Verifica:
Risoluzione individuale
Problema su un oggetto della vita reale
Prima parte
È stato chiesto agli studenti di dichiarare se già conoscevano i concetti di:
- Trasformazione geometrica;
- Isometria;
- Traslazione;
- Simmetria assiale;
- Simmetria centrale;
- Rotazione;
- Similitudine;
riportando anche per ciascuna di esse la definizione ripresa dal libro di testo
o dal quaderno usato nella scuola media.
Sono state poi proposte nove fotografie di oggetti quali un metro snodabile, un carrello elevatore, un crick per auto, una poltrona a sdraio, ecc.,
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chiedendo di produrre altri esempi di sistemi articolati ripresi dalla vita
quotidiana.
Infine si è chiesto di spiegare il funzionamento di due oggetti:
- Un sottopentola;
- Un cestino da cucito;
che nascondono precise proprietà geometriche legate al parallelismo. Le consegna per questi oggetti sono riportate qui sotto:
“ Osserva il cestino da cucito e spiega perché
i cassetti non si rovesciano mentre vengono aperti
Osserva il sottopentola e prova a spiegare perché
i due manici AB e CD rimangono sempre paralleli
durante il movimento. „
Seconda parte
L’intervento nella classe si è svolto in due tempi:
- Una lezione in cui si sono introdotti i concetti di trasformazione geometrica e di isometria (1 ora);
- Un lavoro di gruppo su una macchina matematica che realizza una
particolare isometria (2 ore);
Nella prima lezione, dopo avere ripreso dal libro di testo le definizioni
di trasformazione geometrica e di isometria, si è introdotta la definizione di
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simmetria assiale, fornendo la procedura per costruire su un foglio il punto
simmetrico di un punto dato rispetto ad un asse dato, utilizzando strumenti
comuni, come la squadra e la riga graduata. È stato poi chiesto agli studenti
di applicare questo procedimento su una scheda fornita in cui si chiedeva di
costruire il simmetrico di un trapezio rispetto ad un asse non parallelo ai
bordi del foglio. Dopo avere verificato che questa consegna provocava incertezze ed errori, è stato fornito uno strumento a ciascuno studente per risolvere il problema (un foglio di acetato con una riproduzione parziale della
squadretta per la simmetria).
Figura 1: fogli di acetato
Figura 2: squadretta
Lo strumento è correttamente usato anche con assi di simmetria non paralleli ai bordi del foglio.
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È poi presentato il sistema articolato per la simmetria assiale (vedi Capitolo 1 paragrafo 10), illustrandone il funzionamento agli studenti e incoraggiandone la manipolazione diretta.
Figura 3: sistema articolato per la simmetria assiale
Nell’incontro successivo, sono state illustrate le definizioni di traslazione e
di simmetria centrale. Successivamente i diciassette studenti presenti sono
stati suddivisi in quattro gruppi (4 – 4 – 4 – 5), facendo in modo di distribuire i maschi e le femmine e gli individui più brillanti. Ad ogni gruppo sono state consegnate una macchina matematica e una sequenza di quattro
domande, scritte ciascuna su un foglio separato, per poter raccogliere la risposta (una per gruppo) sullo stesso foglio. Le macchine sono:
- Due traslatori (Fig. 4).
Figura 4
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- Due simmetrizzatori (per la simmetria centrale, vedi Capitolo 1 paragrafo 10).
Figura 5
Le domande poste sono state le seguenti:
“ Osservate lo strumento che vi è stato consegnato.
1. Descrivetelo per iscritto qui sotto, in modo che sia possibile costruirne uno simile unicamente sulla base della vostra descrizione. Potete
usare disegni e/o parole.
2. Quando lo strumento si deforma si ha una corrispondenza tra i punti
P e P' (segnati sullo strumento). Provate a descrivere tale corrispondenza usando, se vi servono, i concetti di simmetria assiale, simmetria centrale e traslazione e quanto altro avete studiato in geometria.
3. Giustificate quanto avete detto al punto 2, usando le proprietà dei
quadrilateri che avete già studiato in geometria.
4. Esaminate i casi limite e descrivete le configurazioni che li realizzano. „
Alcune osservazioni “dal vivo” hanno mostrato un’esplorazione molto ricca, che non trova corrispondenza nella redazione scarna delle risposte scritte. La maggior parte del tempo è stato dedicata alle prime due domande. In
accordo con le fasi descritte da Pedemonte (vedi Capitolo 5 paragrafo 5), le
argomentazioni implicitamente usate per difendere la congettura prodotta
per rispondere alla domanda 2 sono poi utilizzate per costruire la dimostrazione (domanda 3).
Contrariamente alle previsioni, lo studio del simmetrizzatore per la simmetria centrale è risultato più facile dello studio del traslatore. Le congettu-
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re prodotte sono corrette come pure le dimostrazioni. Corretta è anche
l’analisi dei casi limite.
Terza parte
Nella parte conclusiva dell’esperimento si è proposto il seguente problema:
“ Considera il dispositivo descritto nella figura in cui il sostegno di sinistra
è fissato verticalmente a sostenere il contenitore sulla destra. Come giustificheresti il fatto che il contenitore, comunque venga allontanato dal sostegno, si mantiene verticale? „
Figura 6
In questo problema si è notato un notevole aumento degli studenti che provano a produrre una giustificazione rispetto a quelli del questionario iniziale (16 su 18, rispetto ai 7 su 18 del problema del cestino da lavoro e agli 11
su 18 del problema del sottopentola). In questo problema, inoltre,
l’argomento fornito ha il formato della dimostrazione, come richiesto. Metà
degli studenti sono in grado di produrre una dimostrazione pressoché completa della proprietà, seguendo copioni dimostrativi, che articolano in modi
diversi le proprietà dei parallelogrammi. Sembra quindi che l’esperienza
maturata nel lavoro di gruppo abbia risvolti positivi, se pure limitati dalla
breve durata dell’esperimento.