Macchine matematiche: dalla storia alla scuola 6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale 6.4 Pantografi in classe: le ricerche di M. Sangaré Nel 1995 il Laboratorio delle Macchine Matematiche ha fornito una serie di strumenti (curvigrafi e pantografi) all’Università di Grenoble J. Fourier, dove Colette Laborde ha avviato alcune ricerche sul tema. Sotto la guida di C. Laborde ha operato Mamadou S. Sangaré, che ha svolto una tesi con sperimentazione didattica sulla rotazione (e sul pantografo di Sylvester) a Grenoble (Francia) e a Bamako (Mali) con studenti di grado 9. Le consegne dei due esperimenti sono costruite utilizzano lo schema della “scatola nera”. “ L’idea di ‘scatola nera’ in geometria si fonda essenzialmente su situazioni problema nelle quali la consegna per lo studente è quella di trovare un procedimento di costruzione di una figura data. Il tipo di problema rappresentato dallo schema che segue è tale che sono date la coppia delle figure oggetto e immagine (Fo, Fi) omologhe della/delle trasformazione/i in gioco. Ο→ Il tipo di consegna proposta agli studenti può essere dunque: - La determinazione delle proprietà geometriche della/delle trasformazione/i in gioco; in particolare il riconoscimento e/o la caratterizzazione geometrica di una trasformazione obiettivo; - La determinazione di un procedimento di costruzione della figura immagine (Fi) a partire dalla figura oggetto (Fo). „ L’analisi a priori delle situazioni didattiche è realizzata facendo riferimento alla teoria di Brousseau (1997). Gli esperimenti riguardano studenti di grado 9 (prima superiore) in entrambi gli esperimenti, anche se i programmi scolastici dei due paesi non sono del tutto coincidenti. Distinguiamo nel seguito i due esperimenti. Esperimento di Grenoble L’esperimento riguarda una macchina matematica particolare, il pantografo di Sylvester, che realizza una rotazione ma non simula un movimento rotatorio. Lo studio della copia fisica del pantografo di Sylvester è in questo caso accompagnato dallo studio di una simulazione dello strumento in ambiente Cabri. L’esperimento coinvolge 12 studenti, divisi in tre gruppi. Gli studenti già conoscono Cabri da un anno, mentre non hanno mai utilizzato macchine matematiche. Il dispositivo sperimentale è articolato in quattro fasi: “ Fase 1. Il professore presenta brevemente agli studenti il pantografo di Sylvester nel suo aspetto di scatola nera. A partire da una figura tracciata dal “punto direttore P”, egli traccia la figura corrispondente per mezzo del 6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale 2 “punto tracciatore P' ”. Alcuni studenti sono chiamati a caso per andare a realizzare il disegno sulla macchina. Fase 2. Si tratta di una consegna di previsione sulla trasformazione in gioco nell’ambiente del pantografo di Sylvester. Un foglio da disegno su cui sono tracciati due quadrati omologhi nella rotazione realizzata dalla macchina è fissato sul piano di supporto dello strumento. I due quadrati stanno nella corona circolare dei punti costruibili con la macchina, cioè nell’insieme dei punti accessibili ai punti direttore e tracciatore P e P' (figura). Una copia del foglio installato sulla macchina è fissato sul tavolo di lavoro di ciascuno dei tre gruppi. Consegne Mentre il punto P descrive il quadrato (1), il punto P' descrive il quadrato (2). Il quadrato (2) è l’immagine del quadrato (1) in una certa trasformazione quando voi fate funzionare la macchina. - Trovate questa trasformazione. Potete andare a manipolare la macchina. - Non potete disporre di strumenti di geometria. Ma un altro gruppo di studenti dispone di questi strumenti. Scrivete un messaggio per questi studenti chiedendo loro di effettuare le verifiche che voi vorreste fare per determinare la trasformazione (durata: 20 minuti). Fase 3. È stata dedicata a una consegna di verifica nell’ambiente Cabri. A questo scopo, ciascun gruppo si è diviso in due coppi. Ciascuna coppia ha una postazione di lavoro con un computer su cui è installato Cabri nel quale è disponibile un modello simulato della macchina con i due quadrati omologhi. Consegne Cercate il file Sylveste5.fig e apritelo. In questa finestra del computer avete un pantografo di Sylvester simulato in Cabri, simile a quello che avete potuto manipolare e una figura simile a quella che avete studiato nell’attività precedente. 6.4 Pantografi in classe: le ricerche di M. Sangaré 3 - Fate le verifiche che ritenete necessarie. Potete procedere anche ad altre verifiche se le giudicate necessarie. - Dopo che avete fatto queste verifiche, vi dovete riunire con gli altri due compagni del vostro gruppo per redigere su un foglio una risposta definitiva del gruppo con giustificazione (durata: 30 minuti). Fase 4. Un bilancio delle due attività è condotto dall’insegnante tenendo conto del lavoro degli studenti. Riguarda: - Le congetture prodotte dagli studenti a proposito della trasformazione in gioco. - I diversi tipi di controllo messi in opera sulle congetture. „ Dall’analisi delle produzioni degli studenti emerge che essi hanno le seguenti concezioni sulle trasformazioni in generale e sulle rotazioni in particolare: “ - C1: Ogni trasformazione è una isometria. - C2: Se la trasformazione cercata non é né una simmetria ortogonale, né una simmetria centrale, né una traslazione, allora è una rotazione. - C3: Per trovare l’angolo di rotazione bisogna prima trovare il centro. „ Queste sono comuni sia all’ambiente della macchina sia all’ambiente Cabri. Esperimento di Bamako In questo caso l’introduzione della rotazione avviene in due ambienti: quello definito dal pantografo di Sylvester e quello carta/matita con i soliti strumenti geometrici. Gli obiettivi sono: “ - Far scoprire le proprietà geometriche della rotazione a studenti che non hanno ancora avuto insegnamento su questo argomento. - Trovare un procedimento di costruzione dell’immagine di una figura per mezzo della rotazione realizzata dalla macchina matematica. „ La sperimentazione è svolta con 16 studenti alla fine del grado 9. Gli studenti non hanno mai usato macchine matematiche né software di geometria dinamica. Essi hanno familiarità con altre isometrie. Come nel caso precedente, un foglio da disegno è fissato alla base della macchina con due triangoli scaleni omologhi tracciati e un foglio identico è fissato al tavolo di lavoro. Gli studenti lavorano divisi in gruppi di quattro. “ Prima consegna Il foglio fissato sul vostro tavolo è una copia identica di quello che è sotto la macchina. Conoscete una trasformazione piana che trasforma la figura Fo nella figura Fi? 6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale 4 - Se si, quale? Spiegate la vostra risposta. - Se no, dite perché. - Potete citare qualche proprietà di questa trasformazione? Giustificate ogni volta la risposta. - Potete andare alla macchina al più tre volte nel corso di questa seduta. - Potete usare gli strumenti geometrici solo sul foglio fissato al vostro tavolo. - Tutte le vostre risposte devono essere scritte su questo foglio (durata 25 minuti). Seconda consegna Il foglio fissato sul vostro tavolo è una copia identica di quello che è sotto la macchina. - Trovate un procedimento di costruzione di Fi a partire da Fo. - Scrivete la vostra soluzione su questo foglio scrivendo il procedimento di costruzione utilizzato. - Potete andare alla macchina al più tre volte nel corso di questa seduta. - Potete lavorare sul foglio installato sulla base della macchina dopo la redazione della vostra soluzione (durata 25 minuti). „ Sangaré analizza nei dettagli l’emergere di concezioni sulla macchina mettendo in evidenza tre diverse procedure di costruzione, tutte basate sull’identificazione di famiglie di triangoli isosceli POP', dove O è il centro di rotazione e P' l’immagine di P. La conclusione finale è che l’ambiente della macchina di Sylvester è favorevole per l’introduzione o l’approfondimento del concetto di rotazione sia quando è abbinata all’ambiente Cabri sia quando è abbinata al tradizionale ambiente carta e matita (con strumenti geometrici).
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