Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale
6.4 Pantografi in classe: le ricerche di M. Sangaré
Nel 1995 il Laboratorio delle Macchine Matematiche ha fornito una serie di
strumenti (curvigrafi e pantografi) all’Università di Grenoble J. Fourier,
dove Colette Laborde ha avviato alcune ricerche sul tema. Sotto la guida di
C. Laborde ha operato Mamadou S. Sangaré, che ha svolto una tesi con
sperimentazione didattica sulla rotazione (e sul pantografo di Sylvester) a
Grenoble (Francia) e a Bamako (Mali) con studenti di grado 9. Le consegne
dei due esperimenti sono costruite utilizzano lo schema della “scatola nera”.
“ L’idea di ‘scatola nera’ in geometria si fonda essenzialmente su situazioni problema nelle quali la consegna per lo studente è quella di trovare un
procedimento di costruzione di una figura data. Il tipo di problema rappresentato dallo schema che segue è tale che sono date la coppia delle figure
oggetto e immagine (Fo, Fi) omologhe della/delle trasformazione/i in gioco.
Ο→
Il tipo di consegna proposta agli studenti può essere dunque:
- La determinazione delle proprietà geometriche della/delle trasformazione/i in gioco; in particolare il riconoscimento e/o la caratterizzazione geometrica di una trasformazione obiettivo;
- La determinazione di un procedimento di costruzione della figura
immagine (Fi) a partire dalla figura oggetto (Fo). „
L’analisi a priori delle situazioni didattiche è realizzata facendo riferimento
alla teoria di Brousseau (1997). Gli esperimenti riguardano studenti di grado 9 (prima superiore) in entrambi gli esperimenti, anche se i programmi
scolastici dei due paesi non sono del tutto coincidenti.
Distinguiamo nel seguito i due esperimenti.
Esperimento di Grenoble
L’esperimento riguarda una macchina matematica particolare, il pantografo
di Sylvester, che realizza una rotazione ma non simula un movimento rotatorio. Lo studio della copia fisica del pantografo di Sylvester è in questo caso accompagnato dallo studio di una simulazione dello strumento in ambiente Cabri.
L’esperimento coinvolge 12 studenti, divisi in tre gruppi. Gli studenti
già conoscono Cabri da un anno, mentre non hanno mai utilizzato macchine
matematiche. Il dispositivo sperimentale è articolato in quattro fasi:
“ Fase 1. Il professore presenta brevemente agli studenti il pantografo di
Sylvester nel suo aspetto di scatola nera. A partire da una figura tracciata
dal “punto direttore P”, egli traccia la figura corrispondente per mezzo del
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“punto tracciatore P' ”. Alcuni studenti sono chiamati a caso per andare a
realizzare il disegno sulla macchina.
Fase 2. Si tratta di una consegna di previsione sulla trasformazione in gioco
nell’ambiente del pantografo di Sylvester. Un foglio da disegno su cui sono
tracciati due quadrati omologhi nella rotazione realizzata dalla macchina è
fissato sul piano di supporto dello strumento. I due quadrati stanno nella
corona circolare dei punti costruibili con la macchina, cioè nell’insieme
dei punti accessibili ai punti direttore e tracciatore P e P' (figura). Una copia del foglio installato sulla macchina è fissato sul tavolo di lavoro di ciascuno dei tre gruppi.
Consegne
Mentre il punto P descrive il quadrato (1), il punto P' descrive il quadrato (2). Il quadrato (2) è l’immagine del quadrato (1) in una certa
trasformazione quando voi fate funzionare la macchina.
- Trovate questa trasformazione. Potete andare a manipolare la macchina.
- Non potete disporre di strumenti di geometria. Ma un altro gruppo di
studenti dispone di questi strumenti. Scrivete un messaggio per questi studenti chiedendo loro di effettuare le verifiche che voi vorreste
fare per determinare la trasformazione (durata: 20 minuti).
Fase 3. È stata dedicata a una consegna di verifica nell’ambiente Cabri. A
questo scopo, ciascun gruppo si è diviso in due coppi. Ciascuna coppia ha
una postazione di lavoro con un computer su cui è installato Cabri nel quale è disponibile un modello simulato della macchina con i due quadrati
omologhi.
Consegne
Cercate il file Sylveste5.fig e apritelo.
In questa finestra del computer avete un pantografo di Sylvester simulato in Cabri, simile a quello che avete potuto manipolare e una figura
simile a quella che avete studiato nell’attività precedente.
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- Fate le verifiche che ritenete necessarie. Potete procedere anche ad
altre verifiche se le giudicate necessarie.
- Dopo che avete fatto queste verifiche, vi dovete riunire con gli altri
due compagni del vostro gruppo per redigere su un foglio una risposta definitiva del gruppo con giustificazione (durata: 30 minuti).
Fase 4. Un bilancio delle due attività è condotto dall’insegnante tenendo
conto del lavoro degli studenti. Riguarda:
- Le congetture prodotte dagli studenti a proposito della trasformazione in gioco.
- I diversi tipi di controllo messi in opera sulle congetture. „
Dall’analisi delle produzioni degli studenti emerge che essi hanno le seguenti concezioni sulle trasformazioni in generale e sulle rotazioni in particolare:
“ - C1: Ogni trasformazione è una isometria.
- C2: Se la trasformazione cercata non é né una simmetria ortogonale,
né una simmetria centrale, né una traslazione, allora è una rotazione.
- C3: Per trovare l’angolo di rotazione bisogna prima trovare il centro. „
Queste sono comuni sia all’ambiente della macchina sia all’ambiente
Cabri.
Esperimento di Bamako
In questo caso l’introduzione della rotazione avviene in due ambienti: quello definito dal pantografo di Sylvester e quello carta/matita con i soliti
strumenti geometrici. Gli obiettivi sono:
“ - Far scoprire le proprietà geometriche della rotazione a studenti che
non hanno ancora avuto insegnamento su questo argomento.
- Trovare un procedimento di costruzione dell’immagine di una figura
per mezzo della rotazione realizzata dalla macchina matematica. „
La sperimentazione è svolta con 16 studenti alla fine del grado 9. Gli
studenti non hanno mai usato macchine matematiche né software di geometria dinamica. Essi hanno familiarità con altre isometrie. Come nel caso
precedente, un foglio da disegno è fissato alla base della macchina con due
triangoli scaleni omologhi tracciati e un foglio identico è fissato al tavolo di
lavoro. Gli studenti lavorano divisi in gruppi di quattro.
“ Prima consegna
Il foglio fissato sul vostro tavolo è una copia identica di quello che è
sotto la macchina.
Conoscete una trasformazione piana che trasforma la figura Fo nella figura Fi?
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- Se si, quale? Spiegate la vostra risposta.
- Se no, dite perché.
- Potete citare qualche proprietà di questa trasformazione? Giustificate ogni volta la risposta.
- Potete andare alla macchina al più tre volte nel corso di questa seduta.
- Potete usare gli strumenti geometrici solo sul foglio fissato al vostro
tavolo.
- Tutte le vostre risposte devono essere scritte su questo foglio (durata
25 minuti).
Seconda consegna
Il foglio fissato sul vostro tavolo è una copia identica di quello che è
sotto la macchina.
- Trovate un procedimento di costruzione di Fi a partire da Fo.
- Scrivete la vostra soluzione su questo foglio scrivendo il procedimento di costruzione utilizzato.
- Potete andare alla macchina al più tre volte nel corso di questa seduta.
- Potete lavorare sul foglio installato sulla base della macchina dopo
la redazione della vostra soluzione (durata 25 minuti). „
Sangaré analizza nei dettagli l’emergere di concezioni sulla macchina mettendo in evidenza tre diverse procedure di costruzione, tutte basate
sull’identificazione di famiglie di triangoli isosceli POP', dove O è il centro
di rotazione e P' l’immagine di P.
La conclusione finale è che l’ambiente della macchina di Sylvester è favorevole per l’introduzione o l’approfondimento del concetto di rotazione
sia quando è abbinata all’ambiente Cabri sia quando è abbinata al tradizionale ambiente carta e matita (con strumenti geometrici).