Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale
6.3 Esplorazione di ellissografi: le ricerche di D. Dennis
Introduzione
In questo paragrafo si presenteranno i principali risultati della tesi di dottorato di David Dennis (1995; vedi anche Dennis & Confrey, 1998) discussa
sotto la direzione di Jere Confrey nel 1995.
Gli obiettivi della tesi, inserita nel dibattito sulla riforma dei curricoli
negli Stati Uniti, sono i seguenti:
1. Stabilire il ruolo storico fondamentale e l'importanza concettuale dei
curvigrafi nello sviluppo della geometria analitica, del simbolismo
algebrico, dell'analisi (calculus) e della nozione di funzione;
2. Mostrare come due studenti di matematica di scuola secondaria hanno tratto beneficio dalla esperienza con curvigrafi fisici;
3. Mostrare che l'analisi geometrica ed algebrica di tali curvigrafi ha
sollevato per loro questioni epistemologiche cruciali, la considerazione delle quali li ha portati ad un più bilanciato dialogo tra il mondo fisico e i linguaggi simbolici;
4. Mostrare che la discussione delle tangenti, delle aree e delle lunghezze degli archi associata a molte curve non deve necessariamente essere proposta dopo l'analisi, ma, al contrario, la comprensione dell'importanza semiotica dell'analisi dipende dalla capacità di correlare il
suo simbolismo con esperienze geometriche che possono essere verificate indipendentemente. Tali esperienze comprendono l'uso dei
curvigrafi e di loro simulazioni con software geometrici dinamici (ad
esempio, Geometer's Sketchpad o Cabri).
Dopo un capitolo introduttivo, è proposta un’ampia rassegna storica di
curvigrafi, che discute lavori di Descartes, Van Schooten, Newton ecc.
L’ampiezza della rassegna vuole mostrare le potenzialità di tale campo di
esperienza nella didattica della geometria. L’attenzione è poi portata su alcuni curvigrafi particolari: l’ellissografo a filo (Fig. 1) e l’ellissografo con
barra scorrevole in guide ortogonali (Fig. 2 e Fig. 3).
In relazione a tali ellissografi, sono discusse nei dettagli due interviste di
studenti di scuola secondaria (11° e 12° grado rispettivamente, cioè 17-18
anni), che hanno reazioni molto diverse, legate alle diverse concezioni dei
rapporti tra geometrica e simbolismo algebrico.
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Figura 1: ellissografo a filo
Figura 2
Figura 3
ellissografo a barra e curve tracciate da un punto
Copie dei due ellissografi sono stati costruiti dall’autore su grandi lastre di
plexiglas (oltre 1 m2 ciascuna), con la possibilità di modificare i parametri
di controllo:
1. nell’ellissografo a filo si può cambiare la distanza tra i punti fissi
(fuochi) e la lunghezza del filo;
2. nell’ellissografo a barra si può cambiare la distanza tra i due perni
scorrevoli nelle guide e la distanza del punto tracciatore da essi (Fig.
4).
Il disegno viene eseguito con pennarelli.
La scelta degli ellissografi è giustificata dall’autore con le seguenti considerazioni. L’ellisse è una curva comune nell'esperienza visiva, nell’arte, nella
scienza, esteticamente piacevole per l’alto grado di simmetria. Gli ellisso-
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grafi scelti sono facili da costruire e da usare. Le azioni richieste sono percepite in modo diretto ed intuitivo; anche se entrambi possono disegnare
“tutte” le ellissi (almeno in una regione limitata del piano), essi appaiono
molto diversi: le modifiche necessarie per cambiare i parametri si apportano
in modo diverso e producono quindi inizialmente relazioni algebriche di
forma diversa. Si osserva un elemento immediato di sorpresa, quando si
vede che azioni così diverse producono “le stesse” curve: questa sorpresa è
di per sé un forte elemento di motivazione per lo studente, che vuole riconciliare l’impressione di diversità delle esperienze fisiche attraverso una rappresentazione matematica.
Figura 4
La struttura dell’intervista clinica (la stessa per i due studenti) è basata sulle
seguenti domande:
“ 1) Questi curvigrafi disegnano le stesse curve?
2) C’è qualche curva che può essere disegnata con uno di essi e non
con l'altro?
3) Come puoi predisporre un curvigrafo per disegnare proprio una
curva che hai disegnato con l’altro?
4) Riesci a trovare un’equazione della curva disegnata direttamente
dalle azioni che hai fatto sul curvigrafo?
5) Che cosa ti convince che hai trovato l’equazione giusta e come riesci
a giustificarlo? „
L’intervista individuale si sviluppa in due incontri di due ore ciascuno, tra i
quali lo studente è lasciato libero di continuare a riflettere a casa, ma senza
discuterne con altri. L’intervista è videoregistrata ed accuratamente analizzata.
L’intervista di Jim (12° grado equivalente alla nostra quarta superiore) è
particolarmente interessante (Dennis & Confrey, 1998). L'indagine di Jim si
sviluppa in sette punti, che sono presentati qui di seguito.
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Prima intervista
1) Esplorazione dell'ellissografo a filo e dei suoi parametri di controllo.
Jim si rende conto che con il filo di lunghezza fissata (vedi Fig. 1), aumentare la distanza tra i punti fissi (H, I) significa “schiacciare” l’ellisse, allontanandola sempre di più dall’essere un cerchio (concetto “visivo” di eccentricità). Jim ritiene che i dati essenziali siano la distanza tra i punti fissi (H e
I) e il perimetro del triangolo mobile (2L uguale alla lunghezza del filo
chiuso ad anello): sulla base di questi dati si dovrebbe poter costruire
un’equazione, anche se non ricorda il metodo.
2) Esplorazione dell'ellissografo a barra e dei suoi parametri di controllo.
Jim non è convinto che le curve siano sempre dello stesso tipo e fa molti
esperimenti. Predice subito che si ottiene un’ellisse quando la penna E è esterna al segmento congiungente i due perni scorrevoli C, D (vedi Fig. 3),
ma ipotizza un asteroide con quattro cuspidi (Fig. 5) nel caso che la penna
sia interna (vedi Fig. 2). Con esperimenti si convince che si traccia sempre
un’ellisse.
Figura 5
Il rapporto tra le distanze della penna da ciascuno dei perni (CE, DE) attira
l'attenzione di Jim, che lo mette in relazione con le velocità relative dei due
perni scorrevoli. Questo rapporto guiderà poi Jim nella scrittura dell’equazione (vedi n. 6).
Jim cerca anche di “gonfiare” l’ellisse, cioè di farla diventare più vicina
a un cerchio. “Gonfia” l’ellisse avvicinando molto i due perni ed allontanando la penna. Mette in relazione questo fatto con l’avvicinamento dei due
fuochi nell’ellissografo a filo. Solo più tardi si accorgerà che una soluzione
si ha mettendo la penna nel punto medio dei due perni.
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3) Sviluppo di un metodo sistematico per copiare con l'ellissografo a barra
un'ellisse disegnata con l'ellissografo a filo.
All’inizio Jim congettura che la distanza tra i fuochi nell’ellissografo a filo
(HI) debba essere uguale alla distanza tra i perni nell’ellissografo a barra
(Fig. 2, CD) e che la penna sia posta ad una distanza da uno dei perni uguale alla metà del filo (L). L'esperimento lo delude e allora prova a mettere la
penna tra i due perni. Per caso la mette nel punto medio e si accorge che
viene tracciato un cerchio. Jim si accorge che i due segmenti EC ed ED sono uguali: la loro lunghezza ci dà la distanza massima del punto E dalle due
guide scorrevoli (riga verticale o orizzontale). Jim inizi a chiamare le due
guide asse x e asse y e si accorge che anche nel caso in cui E non è nel punto medio, EC ed ED danno i due semiassi dell’ellisse. Calcola poi (Fig. 6)
la lunghezza del semiasse maggiore e con il teorema di Pitagora la lunghezza del semiasse minore dell’ellisse disegnata con l’ellissografo a filo. A
questo punto può predisporre l’ellissografo a barra per ottenere la stessa ellisse.
Figura 6
Seconda intervista
4) Rappresentazione dell'azione sull'ellissografo a filo per mezzo di una equazione algebrica.
Jim dice di avere riguardato i suoi appunti e di avere visto che i parametri
che controllano l’ellissografo a filo possono essere usati per scrivere
un’equazione. Definisce le costanti a e c sull’ellissografo (Fig. 7) e poi
scrive:
(x + c) 2 + y 2 + (x − c) 2 + y 2 = 2a ,
dicendo che questa equazione può essere ridotta alla forma standard.
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5) Sviluppo di un metodo sistematico per copiare con l'ellissografo a filo un'ellisse disegnata con l'ellissografo a barra.
A questo punto Jim è convinto che i due curvigrafi disegnino lo stesso insieme di curve. Per predisporre l’ellissografo a filo in modo da copiare una
ellisse già disegnata con l’ellissografo a barra, Jim propone un metodo che
è l’inverso di quello da lui proposto al punto 3. Detto d il semiasse minore,
Jim osserva che:
d2 + c2 = a2
e che questa relazione lega tra loro i parametri dei due ellissografi.
Poi Jim si accorge che, usando la riga come un compasso centrato nel
vertice superiore dell’ellisse con raggio a, i due punti intercettati sull’asse
maggiore sono proprio i fuochi. Questa è una seconda procedura utilizzabile.
Figura 7
6) Rappresentazione dell'azione sull'ellissografo a barra per mezzo di una
equazione algebrica.
Dopo avere disegnato sul plexiglas la Fig. 8, Jim si accorge che ci sono due
triangoli simili e scrive la proporzione:
a
x
.
=
2
2
d
d −y
Solo con l'aiuto dell'intervistatore Jim riesce a riportare quest’equazione alla forma standard. All’inizio rifiuta addirittura di riconoscerla come un'equazione della curva.
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Figura 8
Figura 9
7) Considerazioni sulle relazioni tra geometria fisica e rappresentazione algebrica.
Dopo aver verificato che la stessa equazione può essere ottenuta dai due
curvigrafi, Jim discute il suo punto di vista sulle relazioni tra geometria e
algebra. Per lui le equazioni algebriche non sono tanto una dimostrazione
che le curve sono le stesse, ma piuttosto una prova che rappresentazioni algebriche delle curve sono consistenti con l’esperienza geometrica fisica. In
questo Jim si comporta come i matematici del ‘600.