Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
3 Un primo bilancio
3.1 Due stili a confronto
La macchina per lenti iperboliche di Descartes
Nelle opere matematiche di Descartes prevalgono le macchine “mentali”,
destinate ad un uso concettuale, inserite nel discorso teorico con funzioni
del tutto indipendenti da un’eventuale esistenza fisica: è evidente che l'autore non ha mai pensato alla loro concreta realizzazione, che risulterebbe comunque in molti casi difficoltosa o impossibile. Nel discorso X della Dioptrique (e in un carteggio del 1629 con Ferrier, celebre tecnico parigino costruttore di strumenti matematici), Descartes descrive invece una vera e
propria macchina utensile, pensata e progettata per un uso pratico: la costruzione di lenti iperboliche (le quali, impiegate in apparecchiature ottiche,
avrebbero evitato le aberrazioni di sfericità). Inoltre, poiché giudica imprecise le costruzioni per punti effettuate con riga e compasso, gli serve una
macchina che descriva iperboli “d'un sol tratto” (Fig. 1 e Fig. 2).
Figura 1
Figura 2
3 Un primo bilancio
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Presso il Laboratorio delle Macchine Matematiche, si trova riprodotto il
“pezzo” centrale, che muove le lame destinate al taglio delle sagome di legno, con profilo iperbolico, necessarie per levigare i vetri. Come nel compasso perfetto, viene utilizzata e “meccanizzata” la definizione di conica
secondo Apollonio nel caso particolare di un cono retto e del piano secante
parallelo all’asse del cono. Nello strumento, la curva è ottenuta intersecando due rette che si muovono nello spazio: una descrive la superficie conica,
l’altra il piano secante. La traiettoria del punto d’incontro viene trasmessa
alle lame (o, come nel modello realizzato, a un tracciatore).
Figura 3: modello di macchina per lenti iperboliche
3.1 Due stili a confronto
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Nel modello realizzato, due sbarre rigide (Fig. 4) VS, VQ sono saldate in V
e formano un angolo α prefissato. VS ruota in modo che VQ descriva un
cono di asse VS (sezione assiale di ampiezza 2α). VQ spinge un cursore
posto in P: questo fa scorrere una terza sbarra LI lungo guide rettilinee che
la mantengono su un piano orizzontale parallelo ad LI (a distanza prefissata). Quindi P descrive un’iperbole, e l'asta LI pilota una lama che incide la
sagoma iperbolica.
Figura 4