Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.5
Tracciare coniche: la geometria organica
Parabolografo di Cavalieri
Questa macchina incorpora, come propria legge, il “sintomo” di Menecmo:
ma ne altera profondamente la percezione teorica. Infatti la proporzione di
Menecmo perde qui il carattere di verità statica, da contemplare dentro a un
oggetto dato: diviene operativa, governa la macchina e permette di costruire
la conica. Inoltre è una proprietà attiva nel piano: ogni legame della curva
col cono di sostegno è eliminato (il lato retto è qui la distanza fissa tra due
punti del telaio mobile). Cavalieri elenca questa macchine nello “Specchio
Ustorio” fra i conicografi di invenzion piana. Strumenti di questo tipo (analoghe osservazioni valgono per gli ellissografi e gli iperbolografi del Cavalieri) mettono in evidenza come i diversi punti della curva devono essere
posizionati in un piano rispetto a un sistema di riferimento (parti fisse del
meccanismo) che può essere scelto ad arbitrio: producono quindi e rafforzano alcune schematizzazioni astratte necessarie alla costruzione futura della identità curva-equazione.
Figura 1: disegno di Cavalieri
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
2
Dimostrazione
y
V
K
H
C
x
Figura 2
Si consideri il triangolo rettangolo HVK; per il teorema di Euclide si
ha
HC : CV = CV : CK,
cioè
CV2 = HC · CK.
Posto
HC = x,
CV = y,
CK = p,
si può scrivere quindi :
y2 = 2px,
che corrisponde all’equazione caratteristica della parabola (coniugazione ortogonale) ove 2p è il lato retto della parabola. Inoltre, l’asse x
è asse della parabola e H è il suo vertice.