Intuitive Guide to
Fourier Analysis
Charan Langton
Victor Levin
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Copyright 2016 Charan Langton and Victor Levin
ISBN- 13: 978-0-913063-26-2
All Rights reserved Printed in the United States of America. This publication is protected by
copyright and permission must be obtained from the Publisher prior to prohibited reproduction, storate in a retrieval system, recording. For information regarding permissions,
please contact the publisher.
Contents
Preface
ix
1 Trigonometric Representation
What is Fourier analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequency and time domain views of a signal . . . . . . .
Spectrum of a signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fundamental waves and their harmonics . . . . . . .
Harmonics as basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . .
Even and oddness of sinusoids . . . . . . . . . . . . .
Making waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Square waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gibbs phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Creating a sawtooth wave . . . . . . . . . . . . . . . .
Generalizing the Fourier series equation . . . . . . . . . .
Multiple ways of writing the Fourier series equation
Fourier series in the complex form . . . . . . . . . . .
The Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Computing a0 , the DC coefficient . . . . . . . . . . .
Computing bk , the coefficients of sine waves . . . .
Computing coefficient of cosine, ak . . . . . . . . . .
Coefficients are the spectrum . . . . . . . . . . . . . .
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22
25
2 Complex Representation
Euler’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The complex exponential . . . . . . . . .
Projections of the complex exponenetial
The sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CONTENTS
Fourier series representation using complex exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Appendix: A little bit about complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Discrete-time Signals
Discrete signals are different from analog signals . . . . . . . . .
Discrete vs. digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generating discrete signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sampling and interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ideal sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconstruction of the analog signal from discrete samples
Method 1: Zero-order hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Method 2: First order hold (linear interpolation) . . . . . .
Method 3: Sinc interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinc function detour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sampling rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Shannon’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aliasing of discrete signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bad sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Good sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discrete signal parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Digital frequency, only for discrete signals . . . . . . . . . .
Are discrete signals periodic? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discrete complex exponentials as basis of DT Fourier series . . .
Harmonics of a discrete fundamental CE . . . . . . . . . . .
Repeating Harmonics of a discrete signal . . . . . . . . . . .
Discrete-time Fourier Series (DTFS) representation . . . . . . . .
DTFS Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DTFSC of a repeating square pulse signal . . . . . . . . . .
Power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrix method for computing Fourier series coefficients . . . . .
4 Continuous-time Fourier Transform
Applying Fourier series to aperiodic signals . . . . . . . . . . . .
Extending the period to infinity . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuous-Time Fourier Transform (CTFT) . . . . . . . . .
Comparing Fourier series coefficients and the Fourier transform
iv
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. 108
. 110
. 113
CONTENTS
CTFT of important aperiodic functions . .
CTFT of an impulse function . . . . .
CTFT of a constant . . . . . . . . . . .
CTFT of a sinusoid . . . . . . . . . . .
CTFT of a complex exponential . . .
Time-shifting a function . . . . . . . .
Duality with frequency shift . . . . . .
Convolution property . . . . . . . . . .
CTFT of a Gaussian function . . . . .
CTFT of a square pulse . . . . . . . . .
Fourier transform of periodic signals . . . .
CTFT of a periodic square pulse train
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5 Discrete-time Fourier Transform
Discrete-time Fourier Transform (DTFT) . . . . . . . . . . .
DTFT is continuous and periodic with period of 2π . . . .
Comparing DTFT with CTFT . . . . . . . . . . . . . . .
Obtaining a DTFT from CTFT . . . . . . . . . . . . . . .
DTFT of a delayed impulse . . . . . . . . . . . . . . . .
DTFT of superposition of impulses . . . . . . . . . . . . . . .
DTFT of a square pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dirichlet detour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applying time-shift property to the DTFT of a square pulse
Time expansion property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DTFT of a triangular pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Computing the DTFT of a Raised-cosine pulse . . . . . . . .
DTFT of a Gaussian pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Now the DTFT of periodic signals . . . . . . . . . . . . . . .
DTFT of periodic signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Discrete Fourier Transform (DFT)
The four cases of Fourier transform . . .
The Discrete Fourier transform (DFT) . .
DFT from DTFT . . . . . . . . . . . .
DFT frequency resolution . . . . . .
Understanding the x-axis of a DFT .
Periodic signal assumption . . . . .
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. 174
CONTENTS
Computing DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Computing DFT, the hard way with integration . .
Computing DFT the easier way with matrix math
Computing DFT the easy way with Matlab . . . . . . . .
Zero-padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Better interpolation density vs. better resolution .
Fundamental functions and their DFT . . . . . . . . . . .
DFT of an impulse function . . . . . . . . . . . . . .
DFT of a delayed impulse . . . . . . . . . . . . . . .
DFT of a sinusoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DFT of a complex exponential . . . . . . . . . . . .
DFT of a square pulse . . . . . . . . . . . . . . . . .
DFT of a finite sinc function . . . . . . . . . . . . . .
DFT repeats with sampling frequency . . . . . . . .
DFT Periodicity and Leakage . . . . . . . . . . . . . . . .
Truncation effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Truncation causes leakage . . . . . . . . . . . . . . .
Reducing leakage by doing a longer DFT . . . . . .
Reducing leakage by windowing . . . . . . . . . . .
DFT and Multi-rate processing . . . . . . . . . . . . . . .
Up-sampling and seeing images . . . . . . . . . . .
Down-sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convolution by DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Short-Time Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . .
DFT in real-life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Signal Windowing
Smearing and leakage due to truncation .
The rectangular window is always present
Window Quality metrics . . . . . . . . . . .
Filtering with Windows . . . . . . . . . . . .
Spectral estimation . . . . . . . . . . . . . .
Comparing windows . . . . . . . . . . . . .
The flexible Kaiser window . . . . . . . . .
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CONTENTS
8 Fourier Analysis of Random Signals
Fourier analysis of deterministic vs. random signals
Conditions when Fourier analysis is valid . . .
Energy and Power signals . . . . . . . . . . . . .
Energy Spectral Density . . . . . . . . . . . . . .
Power Spectral Density (PSD) . . . . . . . . . .
Characteristics of Random Signals . . . . . . . . . . .
An ensemble and a realization . . . . . . . . . .
Measure of Randomness . . . . . . . . . . . . . .
Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strict and not so strict stationarity . . . . . . . .
Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Understanding properties of random signals . . . . .
Time average vs. Ensemble average . . . . . . .
Probability distribution . . . . . . . . . . . . . . .
Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Autocorrelation function . . . . . . . . . . . . . .
Ways of looking at ACF . . . . . . . . . . . . . .
Varieties of Autocorrelation Function . . . . . .
Properties of the ACF . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparing Auto-correlation with Convolution
Some interesting signals and their ACF . . . . . . . .
Barker Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chirp signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier transform of the ACF . . . . . . . . . . . . . .
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9 Power Spectrum of random signals
Power Spectrum of a deterministic signal . . . . . . . . . . .
Spectrum of a random signal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Non-parametric spectral estimation via Autopower . . . . .
Auto-correlation function bias caused by finite length
The measure of an estimate, MSE, bias and variance . . . .
The Autopower Method and its parameters . . . . . . . . .
What is a reasonable length for the signal? . . . . . .
Biased vs. unbiased ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Windowing the ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
How to choose a window . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CONTENTS
Shortening the ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Blackman-Tukey Algorithm to improve the Autopower . .
The second non-parametric method, the Periodogram . . . . . .
Periodogram vs. length of signal . . . . . . . . . . . . . . . .
Improving the Periodogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reducing Periodogram variance using the Bartlett Method
Reducing Periodogram variance with Welch Method . . . .
Bartlett method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Welch Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparing Autopower and Periodogram . . . . . . . . . . . . . .
Figure of Merit of a spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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