! "#
$%&')(*
+',& & -.&/0
1,&32546)789&
:<;=*+,&
>?'@'?A@CBEDGFIHKJ
LNMOEPGO JIQRTSUSGV
∗
YW X[Z]\)^I_`a\
nqz}yjhxxlubpyxIcmce'
dglgfhxiIceljq}yfqi=fh}scmljhp=c]k]icmtIjhloxnqx
ps}srul~nnqtgc]cmcovwcmdKxpylgiIxnqcz{}yxc]tlgtN}s
f|~cmnh}sxlglgfqkfh}yxx"lKpsvwiIiIcpypAcmjqiek]x}szKloliIvwjc]
iIkm
nqcm}ynqxcmglnhxcmtj+t}{}ytxdgcmj+fql~}ynqnqx}glNKcek)c]iIfhonqxdK}ypsxdi,l
nqfq}y}slxladp¤iI !jq}snq}y}yfc]f
}scml¥nqgnqx~gt=c}yk]f¢x~¡Ec¦YcmpskmpC}ycmfhdl~nh}snhf)c]§tif0x¡Ej¢c¨dlo}sps{psdgxdfqnqlgjtiInhc]ctotr©x
YfcmiIvw}slgcmjf£iIiIp!lgct=ªgiIk]
+cmjqznpyiIc]}sf)l
«5tcmjniiIkm}snqp¬}y k)iIpifhz%c]kmnhfxI}s
+zpycm
cml~niInq}yxlxInq}yf¢
cmnqgxt=iIjhck]xlgfq}ytcmjhc]t}sl
¯®¨°e±C²³°´±µ
¶ ·,¸G¹aºw»5¼½E¾¹a¿»U¸
À Á3¬ûUºo¿¹wÄÅ Æ»ºÇ¹aÄÈu¼¿¬ºoÈK¾¹eɺw»UÊE¬ÈËÅ
ÍËÎ¤Ï ÐKÑÒ{Ó+ÔTÕ~Ó]ÖKרÙÚ{Ò%ÛÎYΨÎYÎYÎYÎYÎYΨÎYΨÎYÎYΨÎYÎΨÎYΨÎYÎYΨÎYΨÎYÎÎ
ÍËÎÝÍ ÞAÕ~ØÑÕoßmÑÙÒTÕàGÕÒ{ÛÒgÚ{áÇâ,ØÑãÓÕà[ä~ÕØåÑÕ~ßÑÙÒ{ÕàUæ¬ÙØáç ÎYΨÎYÎYΨÎYΨÎYÎÎ
Ì Á3¬ûUºo¿¹wÄÅ Æ»ºÇ¹aÄÈu¿¸GéUÈgºoêIÈɺw»Ê#¬ÈKÅ
ì í0îðïTÅNÉEÂÈKê
ë ò¨»U¸E¾Â½ê¿»U¸ê
ôEõöw÷åøgùú)÷ûwõåüú)÷ýþÿ oý ,õ ÿý ÷ õ ú9ÿ ]ú gý oþ Aø ø Aø
∗
9;: &<7=2> 9
Ï
À
Ì
ë
¶gó
è
Ü
ñ
"!#%$'&'()+*,(.-0/%)132%-'45!.#'(6/87
e° ± E® 1± 9®¨°
ÐËÑÒ{Ó©áâ,ß %ÙËÛ{çeæ¬ÙØeß {â©ÒgÚ{áâIØÑãÓÕà³çåÙàÚ%ßÑÙÒ Ùæ0ÙØÛ{ÑãÒTÕØ 8Û{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕà"â gÚTÕ~ßÑÙÒ%ç
TÕäâÔGâ,âIÒ æ¬ÙÚ{Ò{ÛußmÙ©ÔGâeÕ3äâ,Ø *â [â,Ó,ßmѤäâ´ßmâ,Ó {Ò{Ñ KÚ%â {ÕØåßÑÓIÚ%àÕØåà æ¬ÙØ {ØåÙÔ{àâ,áÇç
Ñãß ¥çÑÒ%×Ú{àÕ~ØçåÙàÚ%ßÑÙÒ%ç0ÕÒ%Û¥ß {ÙçâÙÒ¥Ú{ÒgÔGÙÚ%Ò{Û{âIÛ*Û{ÙáÕÑãÒ{çIÎ qÒß %Ñç {Õ Gâ,Ø â
ÓIÙÒ{çåÑÛ{â,ØÕÒ¥ÑÒäâ,Øçâ {ØÙÔ%àâIáÕ~ççÙKÓIÑÕ~ßmâ,Û Ñ¤ß ß {âÛ%ÑØâ,Ó,ß {ØÙÔ%àâIá Ù~æçÙà¤äKÑÒ{×ÇÕ
çåßmâIÕÛ çß]Õ~ßâYÓ,ÙÒäâ,Ó,ßmÑãÙÒ Û{Ñ GÚ{çÑãÙÒç KçåßâIá ÑãÒ©ÙÒ{âç TÕÓ,â¨Û%ÑáâIÒ{çåÑÙÒ3×Ѥäâ,Ò©Ô
?
BA DCFEHG I
@
0J
0J
K
J
K
0J
S
'L
J
MN
0J
5J
ML
.OQP
MK
0J
ZY
RP
UT
WP
XK
6N
ML
S
K
0J
VP .P
S
VP
5P
[K
Lc ≡ −(D(x)cx )x + (v(x)c)x + λ(x)c = f (x), x > 0
Ac(0) + Bcx (0) = G, B 6= 0
c(∞) = 0.
\
Ï
]
{âÑÒäâIØçåâ {ØåÙÔ{àâ,á ÑçCß TÕoß#Ùæ{Û{â,ßâIØáÑÒ%ÑÒ{×³ß {â1Û{Ñ GÚ{çåÑÙÒYÓIÙKâ ÓIÑãâIÒß æ¬ØÙá
áÇâIÕçÚ{ØåâIáâIÒßmç¢Ùæðß %â0çÙàÚ%ßÑÙÒ c(x) Î %ÑçAÛ{ÑØåâIÓ,ß {ØÙÔ{àâ,á ÑçAçÑÒ%×Ú{àÕ~ØAD(x)
çåÑÒ{Ó,â0ѤߢÑãç
Û{â TÒ%âIÛNÙÒNÕ3çâ,áÇÑ qÑãÒ TÒ{ѤßmâÑãÒßmâIØä~ÕàÎ ©ÙØâ,ÙwäâIØ âÕ~ààÙ ÓIâ,ØåßmÕÑÒ*çÑãÒ{×Ú{àÕØÑ¤ßmÑãâIç
ÑÒß {âÓ,ÙËâ ÓIÑâ,Òßmç λ(x) Õ~ß£ß {â¨âIÒ{Û GÙÑãÒßmçIÎ âáÇÕÖâÕççåÚ{á %ßmÑãÙÒ{çÕÔGÙÚ%ß
ß {âeÓIÙKâ Ó,ÑâIÒßçÕÒ%Û*v(x),
ß {âeçÙàãÚ%ßmÑãÙÒuÕç âIàãàÎ qÒ TÕØßmÑÓ,Ú{àÕ~Ø âÕççåÚ{áÇâ´ß TÕ~ß+ß %â
Û{Ñç Gâ,ØçÑãÙÒ*ÓIÙKâ ÓIÑãâIÒß D(x) ÑãçÓIÙÒßmÑãÒgÚ{ÙÚ{ç ÔUÙÚ{Ò%Û{âIÛNÕÒ{Û*ßmâIÒ%Û{çYßÙ©ÕÓ,ÙÒ{çß]ÕÒß
Õç x → ∞. %âIçâ©ÓIÙÒ{Û{ÑãßÑÙÒ%çâIÒ{çåÚ{Øâ âIàà UÙçâ,Û{Ò{â,ççeÙæ£ß {â3Û{ÑãØâ,Ó,ß {ØåÙÔ{àâ,áÎ
Û{Û{ÑãßÑÙÒ{ÕàðÓIÙÒ{Û{ÑãßÑÙÒ%ç³ÕØâØâ gÚ{ÑØåâIÛæ¬ÙØ£ÐËÑÒ{Óáâ,ß {ÙËÛ%ç³ßÙ ÙØåÖÕÒ{Û âYÛ{ÑçåÓIÚ{çåç
ß {â,çâYÑÒÐËâIÓ9ßmÑãÙÒ©Ü%Î
{â,Øâ³ÕØåâáÇÕÒ ´ÐËÑãÒ{ÓÕ {ØÙÕÓ {âIç!ßÙ+çÙà¤äKÑÒ{×çåâIÓ,ÙÒ{ÛeÙØÛ%âIØ!Û{Ñ [â,Øâ,ÒgßÑÕàKâ gÚTÕ
ßmÑÙÒ{ç çåâIâ 5âÎ ×{Î è !æ¬ÙØÓIÙá {Øåâ {â,Ò{çѤäâ´çÚ%Øåäâ KçIÎ {âIçåâeß {ÑãÓÕàãà ©Øâ gÚ{ÑØåâ´Õ
Ú{Ò{ÑãßÓIÙKâ Ó,ÑâIÒßæ¬ÙØ"ß {â¨çâIÓ,ÙÒ{ÛuÙØåÛ{âIسßmâ,ØáÙæEß {â¨Û{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕà5â gÚTÕ~ßÑÙÒ {ÑãÓ
ÙÚ%àÛÒ{âIÓ,âIççåÑãßmÕ~ßmâÛ{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕ~ßmÑãÙÒuÙæ1ß {âeÛ{Ñ [Ú{çåÑÙÒ*Ó,ÙËâ ÇÓ,Ñâ,Ògß D(x) Î â9ß {ÙKÛ{ç
ß TÕ~ßÕäÙÑãÛ ß {ÑçeÛ{Ñ [â,ØâIÒßÑÕ~ßÑÙÒ âIØâÛ{â,äâIàãÙ Gâ,Û ÑÒ Í çâ,âÕàãçÙ è ðÎ Ï
æ¬ÙØçâIà¤æÕÛ åÙÑãÒß %ØÙÔ{àãâIáç+ÙÒ Õ TÒ{ѤßmâÑÒßmâ,Øåä~Õà Ñ¤ß 0ÑØåÑÓ {àãâ,ßÔUÙÚ{Ò{ÛTÕ~Ø *ÓIÙÒ{Û{Ñ
ßmÑÙÒ{çIÎ {âÇÛ%ÑØâ,Ó,ßYçÙàãäâ,ØYß TÕ~ß ââIá {àãÙ Õ~çÛ{â9äâIàãÙ UâIÛNÑãÒ 'ßÙ¥ÕàãçÙ©ÕäÙÑãÛ
Û{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕ~ßmÑãÙÒ*Ùæß %âÇÛ{Ñ [Ú%çÑÙÒ Ó,ÙËâ ÇÓ,Ñâ,Ògß D(x) Õ~Ò{Û ßÙ TÕÒ%Û{àâeß {âÓÕ~çâÙ~æ"Õ
Ò{ÙÒ çâIà¤æÕÛ åÙÑãÒß {ØÙÔ%àâIá Ñãß áÑ ËâIÛÔGÙÚ{Ò{ÛTÕØ uÓIÙÒ{Û{ÑãßÑÙÒ%çÕç âIàãàÎ Nâç {Õàà
ç {Ù ß TÕoß %âIÒ {ØåÙ Gâ,Øà ßmÚ{Ò%âIÛ ËÑãß KÑâIàãÛ{ç1ÕYØåÙÔ{Ú{çß"ÕÒ{ÛÇâ GâIÓ9ßmÑãäâßÙËÙà{æ¬ÙØ1ÑãÛ{âIÒ
ßmÑ {ÓÕ~ßÑÙÒÙæ D(x) Î àâ,Ó,ßmØåÙÒ{ÑãÓÓIÙ {Ñâ,ç0Ùæß {â {ØåÙרmÕ~áÇçÚ{çâ,ÛÑãÒß {Ñç {Õ Gâ,ØÕØåâ
Õaä~ÕÑãàÕÔ%àâ³Ú UÙÒ=Øâ gÚ{âIçß"æ¬ØÙá ß {â+ÕÚ%ß {ÙØ,Î {âIçåâ {ØÙרmÕáç â,Øâ ØÑ¤ßßâIÒÑãÒß %â
àÕÒ{×ÚTÕ×â Ó,ßmÕäâ çâ,â ¤Ï Ô{Ú%ߣըåââÕçåÑà GÙØåßmâ,Û3ßmÙ
Î
^ J
_P
0J
0J
b
cY Xb
5J
0J
`
P
O S
gf
XP
5J
DP
6O S
O
^ J
cYjP
S
k
S
hT iP
S
`
`
aP
ed
'`
0J
ML
^ J
0J
0J
N
5J
[K
\
"O
"PlP
MOon XO8p%q
`
DP
mL
6J
'K
5J
%v
0J
mL
wP
^ J
5J
ML
0J
ZY
5J
Mb
S
%v
0J
~P
S J
lP
S
xP
P
DP
K
8O
O S J
rd
0J
J
N
3u.u"q]
K
mY
{n|q
0J
ef
S
oK
Y
tn XOaP
}J
K
5J
L
.P
5J
\
J
P
S
'`
m
mK
N
\
S
0J
~
sn %q
0Jzy
6N
MK
6N
'`
P
S
mL
jKP
ML
mL
S
xb
^ J
]
0J
ML
S
0J
S
J
0J
0J
eP
S
0J
^ J
5J
5J hP
^ J
5J
Dn 6q,]
Í
MKP
ZY
5J
RP
rd
S
k ^
k
S
P .P
0J
® )±
AI F
g
~® ± 3²
~A
#² A± #® ²
CxIA
G xA
gVoXg ¢¡l£o¤¥V¦
â,ÓÕàãà[ß TÕoß£ß {â
§
0J
Ñãç"Û{â {Ò{âIÛ©æ¬ÙسÕàà z ∈ C Ô
5J h¨'©ª«¢¬ª«'®©°¯%ª
b
sinc(z) =
±K
sin(πz)
πz
z 6= 0
z = 0.
1
â,ß h ÔGâYÕ GÙçÑãßÑãäâ+ÓIÙÒ{çß]ÕÒßIÎ â Ñàãà[Û{â,Ò{Ùßmâß %â
²P
of
S(k, h)(x) = sinc
YÔ
0J ²¨'©ª«³´%¨'©µ¨¢¬Zª«'®=©°¯%ªX¨
S
x − kh k ∈ Z,
[K
−∞ < x < ∞.
{â*çÑÒ%hÓÛ{Ñ iGâIØåâIÒßmÑÕ~ßmÑãÙÒ Ù UâIØÕ~ßmÙØ=áÕoßmØÑ ÙæYÛ{ÑáâIÒ%çÑÙÒ m + 1 £Ñç=×Ñãäâ,ÒÔ
%âIØâ δ ≡ hS (j, h)(x) | ÕÒ%Û çÑãáÇÑãàÕØåà I = I =
I
= δ
Î
[δ ] = [S(k, h)(jh)]
â,ß ÔUâ3Õ¥Ó,ÙÒ%æ¬ÙØåáÕà'áÇÕ %ÑÓ áÇÕ {ç¨ß {â {ÙØÑ ,ÙÒß]Õà'çßmØÑ Ùæ³ØÕÛ{ÑÚ%ç
ÕÔGÙÚ%ßß %φâ xhÕ ËÑãçÙÒßmÙß {â=Û{ÙáÕÑãÒ D Ñ¤ß ÔUÙÚ{Ò{Û{ÕØ Γ Õ~Ò{Û ÑÒäâ,Øçåâ3áÕ ψd
ÕÒ{Û F (z) ÕÒâIàãâIáâIÒß£Ùæ
Z
Ñ
³
ç
Õ
{
Ò
Õ
à
g
m
ß
ã
Ñ
Ó
Ù
Ò
B (D) = F (z) | F
D,
|F (w)dw| < ∞
ççåÚ{áâ ÑçeØâIÕà£ä~ÕàãÚ{âIÛ ÙÒ (0, ∞ γ ÑãçÕ~ÒTÕà gßÑÓ φ F/γ ∈ B (D) ÕÒ{Û
çÚ UÙçåâYßF{(x)
âIØåâ¨Õ~Øâ GÙçÑãßÑãäâ+ÓIÙÒ{çß]ÕÒßç α, β ÕÒ%Û C çÙeß TÕ~ß
^ J
ML
(1)
jk
(1)
jk
P
m
O S J
h
(1)
jk
j,k=0
Y %
O
MK
0
.P
0J
c
S J
x=xk
J
.P
5J
S
5J ¶J
µ·
0J
[K
(0)
MP
K
.P
MK
Γ
k
]O
lPlP
5J
{âIØåâ
S J
MK
~P
Î
ÄÈg»ºwÈËÅ À ¶
ÕÒ{Û
Γb ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈
B¹ º¹g» ¨¨'¼½Uª¯%®¾´.®=©°¯%ªH´%¨¥´[³'¯%¿.½¥´.ª+À¼D´%Á[½ÃÂX´.Ä´.¼½'®½'Äa¨3½'ŵ½«'®=©°¯%ªX¨
α
N = d Me
β
Æ ½'®Q¨3½'®
0
F (ξ) exp(−α|φ(ξ)|), ξ ∈ Γa
γ(ξ) ≤ C
exp(−β|φ(ξ)|), ξ ∈ Γb
Γa ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ (−∞, 0)}
[0, ∞)}
¸
.O
0J
½'ªF®
´.ª+À
h=
πd
αM
21
½'Ä0½W½Ê©µ¨'®¨«¯%ªX¨'®¾´.ªº®¨
≤
2πd
.
ln(2)
©ª+À½jº½'ª+À½'ªº®Ë¯¬
´.ª+À
É
wk = ψ(kh) ÇDÈ8É
K, L
M
¨'<«
® ´.®Ì¬;¯%Ä´.ÅÅ
É
É
m = 0, 1, . . . , n,
ξ∈Γ
N
dm
√
X
F (wk ) dm
(m+1)/2 − πdαM
γ(ξ)S(k,
h)
◦
φ(ξ)
≤
KM
e
m F (ξ) −
dξ
g(wk ) dξ m
k=−M
Ü
∞
´.ª+À
Z b
√
vw
≤ LM e− πdαM .
(vw[S(j,
h)
◦
φ])
(x)dx
−
h
(x
)
j
φ0
ØÙKÙæ¬çÙ~æ£ß {âIçåâ3æÕÓ,ßç´ÓÕÒ8ÔUâæ¬ÙÚ{Ò{Û8ÑãÒ ß {â©ÐKßâIÒ{×âIØßmâ Kß ÙØß %â Ú%Ò{Û
ÕÒ{Û Ù âIØçßâ Kß è Î {ÑçAæÕÓ,ß"â {ÑÔ{ѤßmçAß {ââ GÙÒ%âIÒßmÑÕàðÕÓ,ÓIÚ{ØÕÓ ÇÙæCÓ,ÙØØåâIÓ,ßà
ßmÚ{Ò{â,Û çåÑÒ{ÓeÕ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßÑÙÒ{ç,Î ßYÕàçåÙ3Ú{Ò{Û{â,ØçÓ,ÙØâ,çYß {â´Ò{â,âIÛ*ßmÙÚ{Ò{Û{â,Øçß]ÕÒ{Û*ß %â
Õç Ká %ßmÙßÑÓÒ{Õ~ßmÚ{Øåâ³Ùæß {âæ¬Ú{Ò%Ó,ßmÑãÙÒßmÙÔUâ³Õ {ØåÙ %ÑãáÕoßmâIÛ[Î KßmâIÒ%çÑãäâÛ%ÑçÓ,Ú{ççåÑÙÒ%ç
ÙæEß {âIçåâ¨áÇÕ~ßåßmâIØåç"ÓÕÒ©ÔUâæ¬ÙÚ{Ò{Û©ÑÒ=ß %âßâ Kßmç£ÓIѤßmâ,ÛðÎ
a
Í
5J
0J
^ J
' ~n .q
S
"PlP
ZJ
;
0J
ZP
0J
K
~T
K DP
MK
5J
0J
.PlP
5J
0J
g°
Fnp"q
0J
;
ÃQ
'
ÎÏ¢¡lÃÐZ£o¥ËÑeoV¦Ò_¤VÓÕÔ8¡loѲÖQ¢¡XÃÐZ£oVoÑe×£o¡lÓÕØ
Ù ààÙ ÑãÒ{× âáÚ%àãßmÑ {à ´ß {âÛ{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕàUâ gÚTÕ~ßÑÙÒÙæç KçßmâIá Ï 1Ô 3çåÚ{ÑãßmÕÔ{àâ
ßmâIçß³æ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒ%ç {ÑãÓ ©ä~ÕÒ%Ñç Õoß"ß {â+â,Ò{Û UÙÑÒßmç ÕÒ{ÛÚ{çåâYÑãÒßmâIרmÕ~ßÑÙÒ=Ô {ÕØåßç
ßmÙÙÔ%ß]Õ~ÑÒ uZ
Z
Ù
¶n|%qO S
S
MP MK
S J
5J
J
∞
ML
6N
5J
0J
K
lP
\
O
∞
(Dcx ux − vcux + λcu)dx =
] [K
[KxP
f (x)udx.
NâÓÕ~Òâ %ØâIçåçß {Ñçä~ÕØåÑÕ~ßÑÙÒTÕ~àUæ¬ÙØåáÕç T (c, u) = R(u). Ù Û%â TÒ{â
f
0
XP
5J
0
b
S
Ú
c̃(x) ≡ c(x) − c0 (0)q0 (x) − c(0)q1 (x)
æ¬ÙØ"çÚ{Ѥß]ÕÔ%àâ+ÓÕ~ØÛ{ÑãÒTÕà[æ¬Ú{Ò%Ó,ßmÑãÙÒ{ç q (x), q (x) çÕ~ßmÑãçåæ KÑÒ{×
K
0
1
q0 (0) = 0, q1 (0) = 1, q00 (0) = 1, q10 (0) = 0
Õ Ò{Û ´â ÙÔ%ß]ÕÑãÒ¥ß {Õ~ß c̃(0) = 0 ÕÒ{Û c̃ (0) = 0 ΨÐËÑãÒ{Ó´Õ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßmÑãÙÒß {â,ÙØ ¥ÓÕÒ
ÔGâYÕ %à Ñâ,Û=ßmÙeß {Ñãçæ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑÙÒÕ~Ò{ÛÑãß KÑâ,àÛ{çß {â
0J
S
.PlP
0J
.PXP
0
gK
;
0J
K
5J eªºZ¼½'Ä©°«5´.Å8¿%´.Ä©=´.®=©°¯%ª+´.Å.¬;¯%ļ
T (c̃, u) + cx (0)T (q0 , u) + c(0)T (q1 , u) = R(u).
Ù Ø¥Õ ÐKÑÒ{Ó Õàâ,ØÖgÑÒ Õ {ØåÙ ËÑãáÕ~ßÑÙÒ â8Ó {ÙKÙçåâ ßmâIçßuæ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑÙÒ{ç u (x) =
%âIØâ γ(x) ÑçYÕ â,Ñ× ßæ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑãÙÒNÕ~Ò{Û φ(x) ÑçÕÓIÙÒ%æ¬ÙØáÇÕà
γ(x)S(j, h) ◦ φ(x)
áÕ æ¬ØÙá (0, ∞) ßmÙ (−∞, ∞) #çÚ%Ó 8Õç φ(x) = ln(x) Î NâÕççåÚ{áÇâß TÕoßß %â
ÓIÙKâ ÓIÑãâIÒßmç³ÙæCß %â {ØÙÔ%àâIá Ï 1ÕÒ{Û3ß {â+Ó %ÙÑÓ,â+ÙæÓÕØåÛ{ÑÒTÕ~àGæ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑãÙÒ{ç q ÕÒ%Û q
ÕØâ"çåÚ{Ó Çß TÕ~ß!ß {â³çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ c̃(x) çÕ~ßmÑãç Tâ,ç'ß {â"Øâ,çåߨÑÓ9ßmÑãÙÒ{çÙæ {â,ÙØâ,á.ÍËΤÏÎ gÚ{ç
âYÓÕÒÕ %ØÙ ËÑáÇÕ~ßmâ c̃ â GÙÒ{âIÒßmÑÕàà âIàãà5Ô
Ù
YÛ
.P
3
0J RP
J
5J
.PlP
\
5J
;
0J
mK
c̃m (x) =
Ff
0J
0J
J
b
Nx
X
j
J
]
'ZP
J
S
J
S
O
`
S
.PlP
S J
0
^ J
5J
^ J
1
[K
S
dj
γ(x)S(j, h) ◦ φ(x)
γ(wj )
{âIØåâ Ñãç³ÕÒÕ {ØåÙ {ØÑÕ~ßmâ,à Ó {Ùçâ,ÒçÙeß {Õ~ß Ñç£ÕÓ,ÓIÚ{ØÕ~ßmâ,à Õ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßmâ,Û
Ô 3ß {âYγÛ{âIØåÑãä~Õ~ßmѤäâÙæEß {âÓÕ~ØÛ{ÑãÒTÕà5çÚ%áÕÒ{Û mc̃ =(x)M + N + 1 {ß {âYÒgÚ{áÔUâIØ£Ùæ
è
j=−Mx
S J
±K 5J
.PlP
P
MK
0J
J
0J
MK
0
.PXP
O 0J
x
x
;
çÑÒ%ÓÇÒ{ÙKÛ{â,çIÎ ÙØâÑá GÙØß]ÕÒßà ðß {Ñç+æ¬ÙØåáÚ{àÕÓIÕÒNÔUâÛ{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕ~ßmâ,ÛßÙÙÔËß]ÕÑãÒ
ÕÒ â GÙÒ%âIÒßmÑÕàà uÕÓ,ÓIÚ{ØÕ~ßmâ´æ¬ÙØåáÚ{àÕæ¬ÙØß {âÛ{âIØåÑãä~Õ~ßÑãäâ´Ù~æ c̃ (x) Î {Ñç+æ¬ÙØåáÚ{àÕ
ÓÕÒ©ÔGâÑãÒ{çâ,Øåßmâ,ÛÑãÒßmÙ´ß {âÒgÚ{áâIØåÑÓÕ~à[ä~ÕØÑÕ~ßmÑãÙÒTÕàæ¬ÙØá æ¬ÙØß %âYÛ%ÑØâ,Ó,ß {ØåÙÔ{àãâIá©Î
â,ß
ÔGâAß {â1ß {â¢äâIÓ9ßmÙØ!Ù~æTçÑãÒ{ÓÒ{ÙKÛ{â1ä~ÕàãÚ{âIçEÙæ
{âÛ{ÑãçÓ,Øâ,ßâ
ç KçåßâIá6dÓ,Ù=ØØå[dâIç U]ÙÒ{Û%ÑÒ{×=ßÙß {â´ÒgÚ{áâIØåÑÓIÕàä~ÕØåÑÕ~ßÑÙÒ{Õàðæ¬ÙØáÓc̃Õ~Ò (x).
5Õ~æßâIØ0áÚ{Ó Õà
×âIÔ{ØÕÑÓ"áÇÕÒ{Ñ {Ú{àÕ~ßmÑãÙÒ ÔUâ"â {ØåâIçåçâIÛÕ~ç'ÕYàãÑÒ{âIÕØ!ç KçßmâIá Ñ¤ß ÓIÙKâ ÓIÑãâIÒßAáÕoßmØÑ
ÒTÕáâIà
M
{âIØåâ c = c(0) ÕÒ{Û c =M dc +(0)c Î T +â,ß cwT == MR ,R w ≡ M (T ) Õ~Ò{Û
Õ~Ò{Û âYáÕ ØÑãßâß {Ñãç³â gÚTÕ~ßÑÙÒÑÒ3ß {â+æ¬ÙØá
w ≡M T
Hd
DP
ZP
MKO 5J
ML
mK
0J
0J
0J
0J
m
^ J
m
0J
MP
O
P
0J
j
5P j=1
K
^ J
0
8O
8O
'ZP
K
0J
S
J
mY
`
c
MK
0
0 0
S J
0
−1
1
0
0;K
S
1
0 1
dis
s
−1
x
S
0J
6N
5J
O
dis
−1
0
d = ws − c00 w0 − c0 w1 .
0
ç Ó %âIáâæ¬ÙØ3Ó,Ùá {Ú%ßmÑãÒ{× c ÕÒ{Û c IÓ ÕÒ ÔUâ*Û{âIØåÑãäâIÛ Ô ÑãÒgßâIרÕ~ßmÑãÒ{× ß %â
Û{Ñ GâIØåâIÒßmÑÕàðâ gÚTÕoßmÑÙÒ©Ù~æEß {â {ØÙÔ%àâIáæ¬ØÙá 0 mß Ù ∞ ßÙÇÙÔ%ß]ÕÑãÒ
k
J
DP
ML
6N
0
0
5J ~P
Z
∞
[K
0J
0
(f (x) − λ(x)c)dx = D(0)cx (0) − v(0)c(0).
{Ñçâ gÚTÕ~ßÑÙÒÓÕÒÔUâÛ%ÑçÓ,Øâ9ßmÑ ,âIÛ¥ßÙ×ѤäâYÙÒ{â¨áÇÙØåâ¨àãÑÒ{âIÕØ³â gÚTÕ~ßÑÙÒÑÒ c Õ~Ò{Û
ÑÒ©ÕÛ{Û%ÑãßmÑãÙÒ=ßmÙ´ß {âàâ,æß³ÔUÙÚ{Ò%ÛTÕØ ÓIÙÒ%Û{ÑãßÑÙÒ
c
^ J
0
6N
µ·
6N
5J
K
0
0
8O
0
Ac0 + Bc00 = G.
ÙØ"Û{â,ßmÕÑàãç Yâ Øâ9æ¬âIØ"ß %âYØåâÕÛ%âIØ"ßmÙ Î
® )± ~® ± 3² ,° ² #µC² #® ²
{â {ØåÙÔ{àâ,á âÓIÙÒ%çÑÛ%âIØ¢Ñãç¢Õ~ç1æ¬ÙàãàÙ ç Ѥäâ,Ò3Õ¨çÕá %àÑÒ%×YÙ~æðß {âçÙàãÚ%ßmÑãÙÒ c(x)
ÙæGß {â"ç KçßmâIá Ï !Õ~ß n ä~ÕØåÑÙÚ%ç GÙÑÒßmç GÙçåçÑãÔ{à Ñãß Ò%ÙÑçåâ #ÕÒ%ÛÇÕ~àà {ÕØmÕáâ,ßâIØåç
â ËÓIâ %ß D(x) {ßmÙeØâ,ÓIÙaäâ,ØÕÒ©Õ %ØÙ ËÑáÇÕ~ßmÑãÙÒßmÙ D(x) Î
ÐËÚ GÙçâß TÕ~ß c(x) çÙàãäâ,ç£ß {âYç KçåßâIá Lc = f ßÙ×â,ß {âIØ Ñ¤ß ß {âYÔGÙÚ{Ò{ÛTÕØ
ÓIÙÒ{Û%ÑãßmÑãÙÒ{ç,Î qÒ ß {â=çåâ,ßåßmÑÒ%×ÙæÕÒ ÑãÒgäâIØåçâ {ØÙÔ{àâ,á âÕØåâ=Ú{çåÚTÕàà ×ÑãäâIÒ ß %â
çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ c(x) Ô UÙÑÒß ÑçåâáâÕçåÚ{Øâ,áÇâ,Ògßç d {ÑÓ *áÇÕ TÕäâeÒ{ÙÑçâeÕ~ç â,ààÎ
æß {â+Ù UâIØÕ~ßmÙØ H Øâ {Øâ,çâIÒßç UÙÑÒß Ñçåâ0â9äÕ~àÚTÕ~ßÑÙÒ gß {âIÒ3ß {âÕ {ØåÙ {ØåÑÕ~ßâ0Ù
âIØmÕoßmÙØ"æ¬ÙØ"ÑãÒgäâIØåçÑÙÒ©Ñãç
Ù
0J
S
Ü
AI F
^ J P
5J
'
S
K
P
\
O
XPlP
~A
]
ÝI ²Þ
;
5J
ÝxA
MK
S
HP
O S J
¥P
0J
5J
3]
5J
Y S
P
rP
K
0J
P
_A
S 6ßQÛ
P
\
ÃP
.PlP
[KàP
5J
0J
àT
T
Fn|%q
Y S
áO S
J
XP
S
0J
0J
K
mK
0J
3KáJ
O 5J
S
5J
.PlP
P
PZY
F (D) = d = Hc = HL−1 (f )
ÕÒ{Û â Õ~ÒgߣßmÙeçåÙàãäâ = d æ¬ÙØß {â TÕØÕáâ,ßmâ,Ø D Î NâYÕçåçÚ{áâ+ß {âÛ{ÑãØâ,Ó,ß
{ØÙÔ%àâIáÑç âIàà GÙçåâIÛ Fç(D)
Ù3ß TÕ~ß Ñç âIàà#Û{â TÒ%âIÛðÎ çÚ{çåÚTÕà qÑÒäâ,ØåßÑÒ{× F Ñç
S
P
0J ~P
S
S
QP
8O
5J
Ù
¢f
S
b
|
k
0J
°OÌâ
"ã
ÕÒ Ñãàà UÙçâ,Û {ØÙÔ{àâ,á 5çåÙ âeØâIçåÙØåßßÙ©ß {âeçåß]Õ~Ò{ÛTÕØåÛ ÑãÖ %ÙÒ{ÙaäuØâ,×Ú{àÕØÑ Õ~ßÑÙÒ
ßmâIÓ %Ò{Ñ gÚ{â¨ÕÒ{Û©ÓÕçß³ß {â {ØåÙÔ{àâ,á ÑãÒß {â+æ¬ÙØá
ÑãÒ{ÑáÑ ,âß {â+æ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒ{Õà
cYjP
J
ÏP
áO
µN
0J ~P
d
µ·
^
5J
S
5J
J
M·
Fß
5J
Tα (D) =
1
kF (D) − dk2 + α kP (D)k2 .
2
0â Ò{Ù {ØåÙËÓ,âIâ,Û=ßmÙÛ{ÑãçÓ,Øâ,ßÑ ,â£ß {Ñç1Ù Gâ,ØmÕ~ßÙØ T {âçâ,áÇÑ qÑãÒ TÒ{Ѥßmâ³ÑÒßmâ,Øåä~Õà
GÙçâIç³ç Gâ,ÓIÑÕ~à[Û{Ñ ÇÓ,Ú{àãßÑâ,ç %çåÑÒ{Ó,âß {â+Ó,ÙËÙØÛ{ÑãÒTÕ~ßâIç"ÙæCß %â TØçߣÕÒ{Ûçâ,ÓIÙÒ{Û
(0, ∞)
ßmâIØåáÙæß {â ÑãÖ %ÙÒ{Ùaä3æ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑÙÒTÕàðÕ~Øâ gÚ{Ñãßâ+Û{Ñ GâIØåâIÒߣÑÒÒTÕ~ßÚ{Øâ~Î
ÈK¸CïT¹ Ègº~Å P (D) â"Ó {ÙËÙçâ³ßmÙÛ{â {Ò{â"ß {â UâIÒTÕà¤ß æ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑãÙÒeÑÒßmâ,Øáç
Ùæ[ß {âÛ%â TÒ{ÑãÒ{×YÓIÙÒ{çßmѤßmÚ{â,Ògßç1Ù~æ5ÕçÙàãÚ%ßmÑãÙÒ´Ùæ[ß {â£Û{ÑØåâIÓ,ß {ØåÙÔ{àãâIá ÕÒ%ÛÕ GÙççÑãÔ{àâ
Ò{ÙÒ ,âIØÙeä~ÕàÚ%â+Õ~ß"ÑãÒ TÒ{Ñ¤ß Î gÚ{ç³ÙÚ{Øæ¬Ú{àãà[áÙËÛ%âIàGæ¬ÙØ D(x) ÑÒÕ~ÒTÕàÙ× Ñãß 3ß {â
çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ c(x) Ùæß {âÛ{ÑãØâIÓ9ß {ØÙÔ%àâIá 1Ñãç
f
P
S
P
P
m`
^
0J
ä
5J
¹ ^ J
P
6O
~N
f
æ
b
l·
Xb
0J b
ML
J
b
0J
P
5J
jK
ËP
~P
^ J
jK
0J
cY Xb
α
0J
J
¸
'å
5J
µ·
UP
.K
\
]
e
D(x) = D(x)
+ D 0 (0)q0 (x) + D(0)q1 (x) + D(∞)q2 (x),
0J
S
5J
{âIØåâ ÕØåâeÕçÕÔUÙwäâ CÕÒ%Û
Î ç+ÑÒÐËâ,Ó
ßmÑÙÒÍËÎÍq ð,ß q{â´ÓIÕØÛ{ÑãÒTÕàæ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒ%ç+qÕØ(0)â´Ó %=Ùç0,â,Ò q ÑãÒu(0)çÚ{=Ó N0,Õ q (∞)
Õ ß T=Õ~ß 1 {â,ÙØâ,á ÍËΤÏ
Õ {àãÑâIçßÙß {âØåâIÛ{Ú{Ó,âIÛ æ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒ e Î {ÑçeÕáÙÚ{ÒßçßmÙÕÒ ÕÒTÕà gßmÑÓ,Ñãß Øâ
çåßmØåÑÓ9ßmÑÙÒ ÙÒ D(z) ÑÒ ß %â3Û{ÙáÇÕÑÒ D(x)
{ÑÓ 8ÑÒ%ÓIàÚ%Û{âIçß {â GÙçÑãßÑãäâ xhÕ ËÑãç Ùæ
D
{âIÙØåâIáÍËΤÏÎ £âIÒ{Ó,â â¨Û%â TÒ{â+ß {â Gâ,ÒTÕàãß æ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒ
S J
.O
0
O 0J
.PlP
1
2
0
2
J
S ;K
^ J
0J
0J
^ J
2
J
oç
b
S
\
S J
5J ~P
J
k
'Y
^ J
5J
mK
jK
Y %
5J xP
Y
]
jK
2
2
e
e 0
P (D) = a1 |D (0)| + a2 |D(0)| + a3 |D(∞)| + a4 D + a5 D
.
2
2
0
2
2
{ÑçAæ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒÛ{ÑãçÓIØåâ,ßÑ Iâ,ç1äâIØ ÇÒ{ÑãÓIâIà ÕÒ{Û=ÐËÑÒ{Ó³ß %âIÙØ ÇÓIÕÒÔUâ0Ú%çâIÛÇßmÙÕ {ØÙ ËÑ
áÕ~ßâ£ß {â£àÕçßAß ÙßâIØáçAâ GÙÒ{âIÒßmÑÕàà ´ÕÓ,ÓIÚ{ØÕ~ßmâ,à Kß TÕÒ{Ögç1ßÙÙÚ%Ø1Õ~ççÚ%á %ßÑÙÒ%ç
ÕÔGÙÚ%ß D Î qÒ {ØÕÓ,ßÑÓIâ %ß %â+ÓIÙKâ ÓIÑãâIÒß£Ùæ D(∞) ßmâIÒ%Û{çßmÙeÔUâ+Ú{Ò{Ñá UÙØåßmÕÒߨâ,àÕ
ßmÑãäâ1ßÙ£ß {â¢Ùß {âIØåç ~â ËÓIâ %ß!æ¬ÙØ5ß %â1æÕÓ9ßEß TÕ~ßÑãßCßmâ,Ò{Û{ç#ßÙÙaäâIØà YÛTÕá Yß {â¢çåÙàÚ%ßÑÙÒ
{âIÒàÕØå×âIØ¢ä~ÕàãÚ{âIç"Ù~æß {âØâ,×Ú{àÕ~ØÑ IÕ~ßmÑãÙÒ {ÕØmÕáâ,ßâIØ Î âIÒ%ÓIâ ÑãÒ=ß {âYÕÔ{çåâIÒ{Ó,â
ÙæÕÛ{Û{ѤßmÑãÙÒTÕàTÑãÒ%æ¬ÙØáÇÕ~ßÑÙÒ â0ß {ÑãÓÕàãà ´ß]Õ~Öâ+ÕàãàÓIÙKâ αÓIÑãâIÒßmç¢ßÙÔUâ 1 â ËÓIâ Ëß a
{ÑÓ ©Ñç"Ó {ÙçâIÒßmÙeÔGâçåáÕàãà KçmÕ a = 0.001 Î
½¸E¾¹w¿¬»U¸ï{ ÈgºoÅ {âßmâ,Øá kF (D) − dk ÑãçáÇÙØâ %ØÙÔ{àãâIáÇÕ~ßmÑãÓçåÑÒ{Ó,â
ß {âçmÕ~á {àãâIÛ3ä~ÕàÚ%âIç
ÕØâÒ{ÙߨÒ{âIÓ,âIçåçmÕØåÑà Õ~ßß {âçåÑÒ{ÓdÒ{ÙK≈Û{âI[c(x
ç ÑãÒ )]æÕÓ9ß EÕàáÙçåßÓ,âIØß]ÕÑãÒ{à uÒ%Ùß â9ßÑãÒ
ß {â©àÑãáÇÑ¤ß¨ß {Ñç´ßmâ,Øá ç {ÙÚ{àãÛ {ØåÙaäËÑãÛ{â×àÙÔTÕàÑãÒ%æ¬ÙØáÇÕ~ßÑÙÒ Õ~ÔGÙÚËß D Ѥßmçâ,àãæhÎ â
Ó {ÙËÙçâß {âçåÑá {àâ,çåß GÙçåçÑãÔ{àâYÑÒßmâ,Ø {Øåâ,ßmÕ~ßmÑãÙÒ 1ß TÕ~ß F (D) − d Ñç0Õ √ ËâIÛäâIÓ9ßmÙØ
Ùæ'äÕ~àÚ{â,ç+ÕÒ{Û â´çÑá {à Ú%çâß %â 'Ú%ÓIàÑãÛ{âÕ~ÒuÒ{ÙØá çåÓÕàãâIÛuÔ
{âIØåâ
Ñçß {âÛ%ÑáâIÒ{çåÑÙÒ©Ùæ!ß {â¨äâIÓ,ßÙØçåÙ3ÕçßÙ=Õ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßmâYÑÒßâIרÕàç³1/ÑÒ©ß n{âàÑáÑãßÙnæ
ÙÒ3ß {Ñãç TÕØåß³Ù~æEß {â ÑÖ {ÙÒ{Ùaä=æ¬Ú%Ò{Ó,ßÑÙÒTÕ~àÎ
n
^ J
µ·
5J
5J
5J
mK
'ZP
S
ÃT HP
K
mK
"O 0J
`
P
0J
6O '
S J
J
J
0J
¸
æ
rP
mK
P
MK
J
5J
J
DP
]
3
P
5J
n
k=1
;O
\
5P
6P
O
MK
8ß 5J
0J e
±J
p
]OK
éf
.PXP
^
WP
2
1
2
5J
0J
0J
;K
tP
DP mK
S
5J
5J
3
^ J
¥P
.O
%Y
`
5J
5J
DP
oç
MK
k
0J
; mY
rP
5J
jKP
°O
è
"PlP
MK.O 5J
µ·
8O S
K
DP
5J
S J
0J
;
\
DbX
[K
O S J
0J
O
α = 1, β = 1 d = π/3
h
|e(0)|
ke(xk )k∞
Ï ÍmÍ %Î è ÏÎ ~â Ü Ü%Î Ü â Ü
ÜÍ è %Î ÜÍ è{Î â è ËÎ èâ è
~è
%ÎÝÍÍ ÍËÎÝÍ ~â ÍËÎ â
ÏwÍ Ïè %Î¤Ï ÏÎ â ÏÎÝÍ â
ÕÔ{àãâ´Ï ÓIÓ,Ú{ØmÕÓ Ùæ'ÐKÑÒ{ÓÕ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßmÑãÙÒæ¬ÙØ %Õá {àâ´ÏÎ
0ÑãçÓ,Øâ,ßÑ IÕ~ßmÑãÙÒ Ñç3Ò%Ù äâ,Ø çßmØmÕ~Ñ× ßæ¬ÙØ ÕØÛ {ØåÙ %ÑãáÕoßmâ L (f ) ÙÒ Õ
çÑÒ%ӴרÑãÛ Gß {âIÒ*Ú{çåâeÕ {ØÙ åâ,Ó,ßÑÙÒuáÇÕ~ßmØåÑ H ßmÙâ,ä~ÕàÚ{Õ~ßmâß {âeÕ %ØÙ ËÑáÇÕ~ßmâ¨çÑÒ%Ó
çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ Õoß©ß {âçmÕá {àÑãÒ{× Ò{ÙKÛ{âIç,Î gÚ{ç Ñãæ¨ß {â,Øâ ÕØâ m çåÑÒ{ÓÒ{ÙKÛ{âIçÕÒ{Û n
çmÕá {àÑãÒ{×Ò{ÙKÛ{âIç L (f ) ÑçAÛ{ÑçåÓIØâ9ßmÑ IâIÛßmÙ¨ÕYäâIÓ,ßÙØ v = [v ] ÕÒ%ÛÇß %â0Û{ÑãçÓIØåâ,ßâ
äâIØåçÑãÙÒÙ~æ F (D) − d Ñãç
Mx
;p
ê
p
"u
y
ë.u
ê
[u
ß k
^
ê
8O 5J
3p
pì Yêu
.u Yêp
;
Q
k PlP
8ß
S
^ J
5J
6O
.PlP
−1
;
0J
M·
−1
DP
;
m
DP
O
Yê
ë.u Yê[|
J
%v
| ê
ë Yê[|
.PXP
K
¶P
ì Yê
uì Yê
ê
S
DP
ë| Yê
'K
µ·
5J
±|
[ê
0J
m
j j=1
Fn (D) − d = Hv − d.
³² µ
Nâuç TÕàà£ÑàãàÚ{çßmØÕ~ßmâß {â¥áÇâ9ß {ÙKÛ Ô çåâ,äâ,ØmÕà0â %Õá {àâ,çIÎ {âIçåâuâ %Õá {àâ,ç3ÕØåâ
çÙáâ TÕoßYÕØåßÑ TÓ,ÑÕàCÑÒß {â´çâ,Ò{çâ´ß TÕ~ßß {â´â %ÕÓ9ßYÕÒ{ç âIØÑãçÖgÒ{Ù Ò ÑãÒ*ÕÛ%ä~ÕÒ{Ó,â
ÕÒ{ÛuÑç0â,äâ,Ò Ú%çâIÛußÙ=×âIÒ%âIØmÕoßmâ TÕØÕáâ,ßmâ,ØçÙ~æAß {â {ØåÙÔ{àãâIá©Î ÙÒ{â9ß {â,àâ,çç 5çåÚ{Ó
ÕÒ=Õ {ØÙÕ~Ó Ñç'Ò{â,âIÛ{â,ÛßmÙYçÑãáÚ{àÕ~ßmâß {â×âIÒ{â,ØmÕ~ßÑÙÒÙæðÛ{Õ~ß]ÕYÕÒ{ÛßmÙYâ,ä~ÕàÚ{Õ~ßmâ"ß %â
ÕÓIÓ,Ú{ØmÕÓ Ùæß {âYÕàã×ÙØÑ¤ß {á©Î
í0îðïTÅNÉEÂÈ ¶ {â´Û{ÑãØâ,Ó,ßÕàã×ÙØåÑãß %áÑçÑãààãÚ{çåߨmÕ~ßâIÛ¥Ô ©ß {âæ¬ÙààÙ ÑãÒ{×Çâ %Õá
{àâ {ÑÓ *Ñçß]ÕÖ~âIÒ*æ¬ØÙá Î ¢ÙÒ{çÑãÛ{âIØß {â´çåßâÕÛ çåßmÕ~ßmâeÓIÙÒgäâIÓ9ßmÑÙÒ qÛ{Ñ [Ú%çÑÙÒ
{ØÙÔ%àâIá
í
îðïxñ
f
J
0J
S J
0J
Mb
[K
5J
'
5J
5J
'
²P
.PXP
"O S J
0J
Ú
6O
J
0J
0J
º¹
P
DP
S
5J
0J
'
S
5J hP
J
'K
^ J
DP
^ J
J
0J
[K
Ýn|q hò
5J
0J
S
ZK±Y
ZY
eY
mL
P
−((1 − 0.5e−2x )cx )x + cx + c = f (x),
c(0) − 0.5cx (0) = 1
c(∞) = 0.
x>0
âIØåâYß {âYçÙàãÚ%ßmÑãÙÒ=ß TÕoß×âIÒ{â,ØmÕ~ßâIÛß {â {ØÙÔ{àâ,áÑç c(x) = e ΢ÐËÙáâYØåâIçåÚ{àãßç
ÕØâ©ß]ÕÔ{Ú%àÕ~ßâIÛ ÔUâIàãÙ Î<ÐËÑãáÇÑãàÕØØâIçåÚ{àãßç=ÕØåâæ¬ÙÚ%Ò{Û Ùaäâ,Ø3Õ ØÕÒ{×âÙæ+â %Õá {àãâIçIÎ
{â TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØåç α, β, d {àÕ ß %â+çmÕáâ+ØÙàãâ+Õç {â,ÙØâ,áÍËΤÏÎ ÙØáÙçåß³ÑãÒgäâIØåçâ
{ØÙÔ%àâIáç'ß TÕ~ß â TÕäâ0ÓIÙÒ{çåÑÛ{â,Øâ,Û {ÕYçÑÒ%Óç Ëçßmâ,áÙæðÙØÛ{â,Ø m ÔUâ,ß âIâ,Ò m = 40
ÕÒ{Û m = 80 çÚ ÓIâ,çIÎ
í0îðïTÅNÉEÂÈ*À ¢ÙÒ{çÑãÛ{âIØ³ß %â¨Û{ÑãØâ,Ó,ß {ØÙÔ%àâIá {ÑÓ Ó,ÙÒ{çßmÑãßÚ%ßmâ,ç %Õá {àâeÏÎ
ÐËÚ UÙçâß TÕ~ß â³ÕØåâ×ÑãäâIÒeÕçÕá %àÑÒ%×Ùæß {â¢ßmØåÚ{âçåÙàÚ%ßÑÙÒÕ~ß â KÚ{Õàà ¨ç TÕÓ,âIÛ
Ò{ÙËÛ%âIç â gÚTÕàç {ÕÓIÑãÒ{×ÑãçÒ{Ù~ßÕØâ gÚ{ÑãØâ,áÇâ,ÒgßÔ{Ú%ß0ÕÇÓ,ÙÒäâ,Ò{Ñâ,Ò{ÓInâ {â,Øâ 9Î Õ~ÖâÕ~ç
ç
5J
0J
S
5J ~P
^ J ~P
P
0J
\
5J
6N
;K
^ J
0J
S VJ
X`
8¹ ò
lPlP
P
S
5P
−x2 /4
8O
0J
'
K
¥P
rP
S
S J
J
VQ
5J
6N
N
²J
ë
DP
Ù
DP
mK
;]
P
^
n
4
20
40
ØØÙØ
α
0.01 0.00048
0.0047 0.00022
0.0047 0.00022
óôËõDö
95
113
108
Ò%ÙÑçåâ
3]
m \ 10 ÷
'ØåØÙØ
óôËõrö
4
20
40
74
96
90
α
0.00083
0.001
0.00083
0.02
0.014
0.038
Õ Ô{àâ¨Í ¢Ùá {ÚËß]Õ~ßÑÙÒ{ç1æ¬ÙØ {Õ~á {àãâYÍËÎ
çåß]Õ~ØåßmÑãÒ{× GÙÑãÒß¨ß {âÇÓ,ÙÒ{çß]ÕÒßæ¬Ú%Ò{Ó,ßÑÙÒ
ÕÒ{ÛNçåÑÒ{Óç KçßmâIá çÑ Iâ
Î
Nâ´çÕá %àâß {âßmØåÚ{â´çÙàãÚ%ßmÑãÙÒuÔUÙß Ñ¤ßD*Õ=Ò{Û 2 Ñ¤ß {ÙÚËß+Ò{ÙÑãçâeÕ~ß+â9äâ,Ò{à umç T=ÕÓ,40âIÛ
GÙÑãÒßmçAÕÓIØåÙççAß {â£ÑÒßâIØåä~Õà 2.4] Î {â0ØåâÕçåÙÒÇæ¬ÙØß {Ñç'Ó {ÙÑãÓIâ£Ñçß {Õ~ßAÙÒ{â£ÓÕÒ
çâIâÙÒ â %ÕáÑÒTÕ~ßÑÙÒ Ù~æÓIÙ[0.2,
á {ÚËßmâIÛ çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ{çß TÕ~ßeß {â©çÙàÚ%ßÑÙÒ ä~ÕÒ{Ñãç {â,çäâIØ
ØmÕ {ÑãÛ{à Î qÒ {ØmÕ~Ó,ßmÑãÓÕà'áâÕçåÚ{Øâ,áÇâ,ÒßmçÙÒ{â ÙÚ{àãÛ â UâIÓ,ßâIØØåÙØßmÙç Õá NäâIØ
çáÇÕàà!ä~ÕàãÚ{âIç {âIÒ%ÓIâ=ѤߨÑãç %Øâ,æ¬â,ØmÕÔ%àâeßmÙ©çmÕá {àâeÑãÒNØâ,×ÑÙÒ{ç {âIØåâß {âeæ¬ÙØ ÕØåÛ
çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ=Ñç¢ÓIàâIÕØà Ò{ÙÒ ,âIØÙ%Î qÒß {âÓIÕçâ+ÙæÒ{ÙÑçâ âÕçåçÚ{áâ+ÕØåâIàÕoßmÑãäââIØåØÙØ¢Ùæ
Õ~ߣáÇÙçß 10 Û{Ú{â+ßmÙÕeÚ{Ò{Ѥæ¬ÙØá Û{ÑçßmØåÑÔ{Ú%ßÑÙÒ[Î
{âÒgÚ{áÔUâIØeÙæ£ä~ÕØÑÕÔ{àãâIçÑãÒ ß {â ÑÖ {ÙÒ{Ùaä æ¬Ú{Ò{Ó9ßmÑÙÒTÕà¢ä~ÕØåÑâIÛ æ¬ØåÙá 87 ßÙ
ÑÒ ß {Ñç¨â %Õá {àâ~Î áÇÙKÛ{Ñ {âIÛ â ßÙÒ
áÇâ9ß {ÙKÛ Ñ¤ß ØáÑ åÙàÑÒ%â
123
çâÕ~ØÓ *Õ %àÑâ,ÛßÙÇß %â ÑÖ {ÙÒ{Ùa䩿¬Ú%Ò{Ó,ßÑÙÒTÕ~à %ØÙaäâ,ÛßmÙ=ÔUâØåâÕçåÙÒTÕÔ{à â GâIÓ9ßmÑãäâ
ÕÒ{Û ÕaäÙÑÛ%âIÛß {â*â UâIÒ%çâNÙ~æYæ¬Ú%àà £âIççåÑÕÒ ÓÕ~àÓIÚ%àÕ~ßÑÙÒ{ç,Î {â*ØåâIçÚ%àãßmç3Ù~æÙÚ%Ø
ÓÕàãÓIÚ{àÕ~ßmÑãÙÒ{çAÕØâ£Û{Ñãç {àÕ âIÛ=ÑãÒ ÕÔ{àãâÍ+æ¬ÙØ1ÓIÕçâ,çÙæ5â %ÕÓ,ß"Û{Õ~ß]Õ¨ÕÒ{ÛÛ{Õ~ß]Õ Ñ¤ß ÇÙæ
ÕYÚ{Ò%Ñãæ¬ÙØåáÇà Û{ÑãçåߨÑÔ%Ú%ßmâ,ÛØÕÒ{Û{Ùá ØåâIàÕoßmÑãäâ !âIØåØÙØÙ~æ5Õ~ßAáÙçåß Î {â£ÒKÚ%áÔGâ,Ø
ÙæÑãßâIØÕ~ßmÑãÙÒ{ç"Ñç³àãÑçåßâIÛÑÒß %â YЩÓ,ÙàÚ{áÒðÎ {ââ,ØØåÙØ³Û{Ñç {10àÕ â,Û¥Ñãç³ß {â
ÑÎ â~Î Aß {â©Õ %ØÙ ËÑáÇÕ~ßmâ Ò{ÙØá Ùæ − c (x) %âIØâ c (x)
Ñçß {âçåÙàÚ%ßÑÙÒßmÙÇß {âÛ%ÑØâ,Ó,ß {LØÙÔ%àâIá ÙÔ%ß]Õc(x)
ÑãÒ{âIÛ¥Ô Ú{çåÑÒ{×ß {âÓ,Ùá {Ú%ßmâ,Ûä~ÕàÚ{â
Ùæ!ß %â TÕØÕáâ,ßmâ,Ø D(x) ÑÒß {âYÛ{ÑØåâIÓ,ß {ØÙÔ{àâ,áÕÒ{Û c(x) Ñç³ß %ââ %ÕÓ9ß+çÙàÚ%ßÑÙÒðÎ
ÐËÑÒ{Ó gÚTÕÛ{ØÕ~ßmÚ%ØâÑãçÚ{çâ,ÛNßmÙâIçåßÑáÇÕ~ßmâ´ß {ÑçYÒ{ÙØåáÎ àçåÙàãÑçåßâIÛÑçß {âÓ {ÙÑãÓIâÇÙæ
ØâI×Ú{àÕØåÑ IÕ~ßmÑãÙÒ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØ'çåÚ{××â,çåßmâ,Û3Ô LÓIÚ{ØäâÕ~ÒTÕà KçåÑçIÎ Ùßâ£ß TÕ~ß c (x)
ÑçØåâÕçåÙÒTÕÔ%à ÓIàÙçâßÙ c(x) Î 0æ³Ó,ÙÚ{Øçåâ 'ÓIàãÙçâ,Ò{âIçåç´Ùæ c (x) ßÙ c(x) Ñç¨Ò{Ù
×ÚTÕØÕÒßmâIâß TÕ~ßß {â´ÓIÙá {ÚËßmâIÛä~ÕàãÚ{â D (x) ÑààÔUâçÑãáÇÑãàÕØåà 3Ó,àÙçåâßmÙ=ß {â
â %ÕÓ,ßÛ{Ñ GÚ{çÑãÙÒNÓ,ÙËâ ÓIÑâ,Òß D(x) Î ØÕ {ç¨Ùæ³â %ÕÓ9ßeÕÒ{Û Ó,Ùá {Ú%ßmâ,ÛNä~ÕàÚ%âIç¨æ¬ÙØ
ß {â TÕØÕáâ,ßmâ,Ø D(x) Õ~Øâ {ØåâIçâ,ÒßmâIÛ¥ÑÒ Ñ×Ú{ØâÏÎ
{âÓ {ÙÑãÓIâ*ÙæØâI×Ú{àÕØåÑ IÕ~ßmÑãÙÒ TÕØÕáâ,ßmâ,Ø α Ñç©Õ Ó,Ùá {àâ ÑçåçÚ{â {ÑãÓ Ñç
ÓIÙá {àÑãÓÕ~ßâIÛ´Ô ß {â"æÕÓ,ßß TÕ~ßÙÚ{Ø {ØÙÔ{àâ,á Ñç#Ò{ÙÒ àÑÒ%âÕØ,Î qÒ´ß %âIçâ³â {Õ~á {àãâIç â
Ú{çâ,Û©ß {â LqÓ,Ú{Øåäâ¨Õ {ØÙÕÓ ðÎ Ù â,äâIØ âÚ{çâß {â UâIÒTÕà¤ß æ¬Ú{Ò%Ó,ßmÑãÙÒTÕà J(D) ÑãÒ
{àÕÓ,â"Ùæ kDk çÑãÒ{ÓIâß {â"àÕoßßmâ,Ø#ßmâ,Øá¯Ñç!Ò{Ù~ß'â,äâ,ÒÇÛ%â TÒ{â,ÛÇÑãÒß {âߨmÕÛ%ÑãßmÑãÙÒTÕàgçåâIÒ{çåâ
{Ñàãâ çâ,ØåäâIçÕ~çÕçåÚ{Ô{çßmÑãßÚ%ßmâæ¬ÙØÕÒ%ÙØá©Î ßÑãç â,ààÖgÒ{Ù Ò*ß TÕ~ß+ß {â L
ÓIÚ{Øäâ³çJ(D)
â,àâIÓ9ßmÑãÙÒ´áÇâ9ß {ÙKÛÒ{â,âIÛeÒ{Ùß!ÔGâ³Õ0Ó,ÙÒäâ,Ø×â,Ògß1çåߨmÕ~ßâI× çåâIâ"Þ'Ù×â,à #â,äâIÒ
æ¬ÙØ'àÑÒ%âÕØ!ÑãÒäâIØåçâ {ØÙÔ{àâ,áÇç,Î Nâ³Ú{çåâ£ß {â LqÓIÚ%Øåäâ0ÕçAÕßmÙKÙà{ßmÙ {â,à Ú{çAÕÓ {Ñâ9äâÕ
ÔTÕàÕ~Ò{ÓIâ¨ÔGâ9ß â,âIÒ*Øâ,×Ú{àÕ~ØÑ IÕ~ßmÑãÙÒ©ÕÒ{ÛØåâIçåÑÛ{ÚTÕ~àEßmâ,ØáçIÎ {âIØåâ,æ¬ÙØåâ ðÑãØØåâI×Ú{àÕØÑ¤ßmÑãâIç
ÑÒß {â'ÔUâ TÕäKÑÙØCÙæËß {â LqÓ,Ú{ØåäâÕØåâ'Ò{ÙßEÕ£áÇÕ~ßåßmâIØ5Ù~æ%ç Gâ,ÓIÑÕ~àÓIÙÒ{Ó,âIØåÒðÎ qÒ {ØmÕÓ9ßmÑãÓIâ
^
FP
f
ZßËò
rP
Q
5J
rP
K
5J
P
0J
S
0J
'
.P
0J
0
^ J
5J
wP
mK
l·
'
k
DP
.PlP
Mb
^
0J
0J
±J
MO 0J
.PlP
P
VP
0J WP
^ J
P
2
Y
approx
}Û
.PlJ
J
µ·
DP
[K
5J
5J
Y
P
S
ZY
6O S
WT
5J
Y
^ J
µ·
0J
Y
P
u
S
.O
S
0J
S
.K
Qf
J
0J
0J
S
0J
S J
rP
jK
b
S J
6J
5J
T
5J P
5J
0J
MK
DP
DP
¢P
J oç
UP
approx
approx
ðP
5J
"PlP
J
5J
Ù
RP
^ J
'
Ú
S
'
approx
DP
0J
MK
rP
0J ~P
5J
.O
'`
5J À.©Ä½«'®
0J
i
ML
÷
0J
S
^ J
k
5J
'
;K
VP
[K
5J
L
O S J
approx
±K
eP
5J
úv
mK
3]
DN
MK
k
0J
S
^ J
\
5J
µ·
0J
óôËõDö
;
0J
S
Ù Û
0J
5J
S
^
3K
K
±J
Rç
mK
½'Ä'Ä0¯%ÄO
^
Ú
XP
5P
DP
S
0J
S J
K
S
0J
5J
5J
'ZP
5J
P
0J
DP
¢T
÷
^ J
J
0J
S
ùÃJ
MK
5J
rP
M·
0J
S
MK HT øP
J
rP
\
5J
Y
8nëq,]
~J
µP
J
.O
ÃT P
.O
Exact D(x)
Initial Estimate
Final Estimate (m = 4)
Final Estimate (m = 20)
Final Estimate (m = 40)
2
Exact D(x)
Initial Estimate
Final Estimate (m = 4)
Final Estimate (m = 20)
Final Estimate (m = 40)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
Ñ ×Ú{ØåâÏ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßÑÙÒ{ç1ßmÙ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØ D(x) ÑãÒ %Õá {àâYÍKÎ
ß {â LqÓIÚ%ØåäâAçâ,âIáçßÙ³ÔGâAÕ"äâIØ â GâIÓ9ßmÑãäâAßÙËÙàÎ ÙØCÕ³Û{â,ßmÕÑàãâIÛYÕÒTÕà KçÑç5Ù~æËä~ÕØåÑÙÚ{ç
çåßmØÕ~ßmâ,×Ñâ,çæ¬ÙØÓ {ÙÑãÓIâÙæYÕ ØâI×Ú{àÕØåÑ IÕ~ßmÑãÙÒ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØÇçâ,â £âÎ<×{Î +ÑàãáÇâ,ØÇÕ~Ò{Û
âÕØ Ü CÙØ"ß {â+ßmâ Kß CÔ 3Þ'Ù×â,àÎ NâÓ,ÙÒ{çâ,Øåä~Õ~ßÑãäâ,à Ó {ÙKÙçåâYß {âàÕØå×âIçß α
Õ~ß {ÑãÓ eÕçåÑ×Ò{Ñ TÓÕ~Ògß#ÓIÙØåÒ{âIØEÙËÓ,ÓIÚ{ØåçIÎ qÒáÇÙçß!ÓIÕçâ,ç#ß {Ñãç#ÑãçE×ØÕ {ÑãÓÕàãà +ÙÔgäKÑãÙÚ{ç
Õàãß {ÙÚ{× ÑãÒ¨Õæ¬â ÓÕ~çâIçCß %â ÓIÚ{Øäâ ÕçCçåÙçåáÇÙKÙß +ß TÕ~ßÕ hÓ,ÙØÒ{â,Ø ÕçCÛ{Ñ ÇÓ,Ú{àãß
ßmÙuÑÛ%âIÒßmѤæ Î qÒ çåÚ{Ó ÓIÕçâ,ç L âÕ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßâIÛNß {â=ÓIÚ%Øåä~Õ~ßmÚ%Øâ=ÒgÚ{áâIØåÑÓÕ~àà Õ~Ò{Û
çâIàãâIÓ9ßmâIÛÇß {â UÙÑÒß'Ùæ[áÕ ËÑãáÚ{á ÒgÚ{áâIØåÑÓIÕà{ÓIÚ%Øåä~Õ~ßmÚ%ØâÎ qÒÇÕ+æ¬â Ùß {âIØ'ÓIÕçâ,ç1ß %â
ÓIÚ{Øäâ Õ~çâ,ØØmÕoßmÑÓÕ~Ò{Ûçâ,äâIØÕàCÓ {ÙÑÓ,âIç³æ¬ÙØ³Õ hÓ,ÙØÒ{â,Ø â,Øâ GÙçåçÑãÔ{àâ~Î
L
í0îðïTÅNÉEÂÈÌ Ú{Ø {ÒTÕàKçåßmâIÕÛ qçß]Õ~ßâÓIÙÒgäâIÓ9ßmÑÙÒ qÛ{Ñ [Ú%çÑÙÒ {ØåÙÔ{àâ,á â {ÑãÔ{Ñãßç
çÑÒ%×Ú{àÕ~ØÑãßÑâ,çÑÒÔUÙß ß {âÓIÙKâ ÓIÑãâIÒßmçÕÒ{Ûß {â0çåÙàÚ%ßÑÙÒ c(x) = x e %ÑÓ 3Ñç
Ú{çâ,ÛßmÙe×â,Ò{âIØÕ~ßmâ+ß {âØÑ× gß {ÕÒ{Û©çÑÛ%âæ¬Ú{Ò{Ó,ßÑÙÒÑãÒß {âç KçåßâIá
0
1
2
3
4
5
ß k l
P P
Ù
6
8
;
K
S J
5J
Kin %q
0J
J
mb
J
1
0J
0J
P
ûP
MK
S
0J
;
B¹
5J
0J
5J
wâ
6O
ã S
m`
`
5J
S
P
ã S
ZY mL
5J
3
c = f (x),
4x2
c(0) − cx (0) = 0
c(∞) = 0.
0J
WP
'ZJ
5J
.J
J
−cxx + cx +
3/2 −x S
K
J
J
x>0
{â çåÑÒ{×Ú{àÕØåÑãßÑâIçáÕÖ~âuß {â {ØåÙÔ{àâ,á çÙáÇâ TÕ~ß©áÇÙØâ*ÑÒßmØÕÓ,ßmÕÔ{àãâß TÕÒ ß %â
{Øâ9äËÑãÙÚ{ç³â %Õá {àãâÎ qÒ3ß {Ñãç {ØÙÔ{àâ,á æÕÑãØà Ó,ÙÒ{çâ,Øåä~Õ~ßÑãäâÓ {ÙÑÓIâ,ç³ÙæCß {âçÑãÒ{Ó TÕ
ØmÕáâ,ßâIØç α = 1 β = 1 d = π/3 ß {âçÕáâ0Õç1ÑÒ {Õ~á {àãâ¨Ï ÙØåÖØåâÕçåÙÒTÕÔ%à
â,ààÎ +Ú%Ø1ØåâIçÚ%àãßmç¢ÕØâçÚ{ááÇÕØÑ IâIÛÑÒ Õ~Ô{àâÜÕÒ%Û Ñã×Ú{Øâ0Íæ¬ÙØAß {â0çÕáÇâ³ß Gâ,ç
Ùæ#â,ØØåÙØ£ÕÒ{ÛáÇâIÕçÚ%ØâIáâIÒßç0Õç³ÑãÒ %Õá {àãâYÍËÎ
ÒTÕ~ßmÚ%ØmÕàKç UâIÓ,Ú{àÕ~ßÑÙÒÕÔGÙÚ%ß#ß {âIçåââ %Õá {àâ,ç!Ñçß TÕoß!çÑãÒ{Ó¢Ò%ÙËÛ{â,ç!áÑ× ß ËÑãâIàãÛ
ÔGâ9ßßmâ,ØØâ,çÚ{à¤ßmç£ß TÕÒß {â¨â gÚTÕàãà ©ç TÕ~ÓIâIÛuÒ%ÙËÛ{â,çÚ{çåâIÛuÑÒ {Õ~á {àãâIçÍÕÒ{ÛuÜËÎ Ù
ÓIÙá TÕØåâØåâIçåÚ{àãßç âÇØåâ,äKÑçåÑãß %Õá %àâÇÍ©Õ~Ò{ÛNØåâ {àÕÓIâeâ gÚTÕ~àà ç TÕÓ,âIÛ Ò{ÙËÛ%âIçYÔ
çÑÒ%ÓYÒ%ÙËÛ{â,çIÎ qÒ¥ÙØåÛ{âIØ"æ¬ÙØß {â¨Ó,Ùá TÕØÑãçÙÒ3ßÙÔUâæÕÑØ âáÚ{çߣçmÕá {àâ+Ò%ÙÇáÙØâ
Ò{ÙËÛ%âIç'ß TÕÒ â£Û%Ù¨ÑãÒeß {â³â gÚTÕàãà ´ç TÕÓ,âIÛÓIÕçâ~Î {â£ÒgÚ{áÔUâIØ'ÙæðçÕá {àâ UÙÑÒßç n
ÑçAçâ,ßâ gÚTÕàßmÙYß {âÒKÚ%áÔGâ,Ø¢ÙæðçÑÒ%Ó0Ò{ÙKÛ{âIç m {ÑãÓ =ÓIÙÒ{çåߨmÕÑãÒ{çAß {â UÙçåçÑÔ%ÑàѤßmÑãâIç
^ J
0J
P
'
DP
¢T
0J
O
S
ÿâ
MK
MK
XK[Y
5J
5J
.PlJ
¢T
b
7
mO
ü
5J
J
S
6
DP
J
0J
S
"PlP
5
.O
¢f
Y
%
4
mK
ÃT
J
3
áQ
µ·
S
2
Ù
hnþu"q [K
K ÏT
Y
0
L
J
²ý
9
DP
Y
0J
7
P
S J
gP
mK
O
¢
M·
k
5P
0J
DP
0J
S
6N
MK
6N
rQ
^
rP
Ù
HÃ
DP
5J
'
DP
MK
O S
^ J
P
O S J
ì
jKP
J K
6N
DP
^
rP
MK
5P
±K
DP
DP
J
RP %Y
MK
0J
6P
0J
0J
0J
3] S
5J
}Q
rP
5J
5J
\
J
5J
5P
wQ
S
ÿT
6N
0J
0J
5J VP
gP
8
9
m
4
20
40
ØØÙØ
α
0.12 0.00022
0.0024 0.00022
0.0028 0.00022
óôËõDö
93
103
95
Ò%ÙÑçåâ
3]
m \ 10 ÷
'ØåØÙØ
óôËõrö
4
20
40
115
118
85
0.13
0.013
0.035
ÕÔ{àâYÜ ¢Ùá {ÚËß]Õ~ßÑÙÒ{ç1æ¬ÙØ {Õ~á {àãâÜ%Î
^
XßËò
rP
Q
Exact D(x)
Initial Estimate
Final Estimate (m = 4)
Final Estimate (m = 20)
Final Estimate (m = 40)
2
α
0.00022
0.0004
0.00091
rP
Exact D(x)
Initial Estimate
Final Estimate (m = 4)
Final Estimate (m = 20)
Final Estimate (m = 40)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
Ñ ×Ú{ØåâÍ {ØÙ ËÑáÇÕ~ßÑÙÒ{ç1ßmÙ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØ D(x) ÑãÒ %Õá {àâÜËÎ
æ¬ÙØ n Î {âÓ {ÙÑÓ,âIç n = m = 20 Õ~Ò{Û n = m = 40 ÓIÕÒÔUâY×âIÒ{â,ØmÕ~ßâIÛ©Ô 3ß]ÕÖgÑÒ%×
ÕÒ{Û
KØâIç Gâ,Ó,ßÑãäâ,à Î ßmÕÔ{àâ£ÙæGß {âØâIçåÚ{àãßÑÒ{×YÓÕ~àÓIÚ%àÕ~ßÑÙÒ{ç'Õ~Øâ
M = 15
×ÑãäâIÒNÑãÒ ÕÔ{àãâÇMè%Î = 32Ó,Ùá TÕØÑãçÙÒ*Ùæ ÕÔ%àâIç¨Ü©ÕÒ{ÛNèç {Ù çYß TÕ~ߨçmÕ~á {àãÑÒ{שÕ~ß
ß {âçÑãÒ{ÓÒ{ÙKÛ{âIç³Ò{â,âIÛ¥Ò%Ùß³ÔGâYÕÒÙ ËßmÑáÇÕàGçåßmØÕ~ßmâ,× Î
®° µ 9®¨°©µ
{âYæ¬ÙØâI×ÙÑÒ{×eÕ~à×ÙØåÑãß {á ÕÒ{Û©â Gâ,ØÑãáÇâ,Ògßç³çÚ{××âIçåߣçåâ,äâ,ØmÕàCÓ,ÙÒ{ÓIàãÚ{çÑãÙÒ{ç
ÏΣÐËÑÒ%ÓÇáâ,ß {ÙËÛ%ç {ØåÙwäKÑãÛ{âÕ©Ú{çâ9æ¬Ú{à1ßÙËÙà'æ¬ÙØYçåÙàãäKÑãÒ{×¥Ó,âIØåßmÕÑÒ Û{ÑØåâIÓ9ßçåÑÒ{×Ú%àÕØ
{ØÙÔ{àâ,áÇç Ñ¤ß {Ñã× ÕÓ,ÓIÚ{ØÕÓ Î {â,çâçÙàÚ%ßÑÙÒ{ç¨ÓÕÒ â9äâ,Ò â %ÑÔ{ѤߴáÇÑãàÛ
Û{âIØåÑãä~Õ~ßÑãäâçÑÒ%×Ú{àÕ~ØÑãßÑâ,çÕ~ßß {â´âIÒ%Û GÙÑÒßmç+ÙæAß %â´Û{ÙáÇÕÑÒÙ~æAß {âæ¬ÙØ ÕØåÛ
çÙàãÚ%ßmÑãÙÒ çÚ%Ó Õç c(x) = x e ÙØ TÕäâ©çÑãÒ{×Ú{àÕØÓ,ÙËâ ÇÓ,Ñâ,ÒgßçÇçåÚ{Ó Õ~ç
Î
λ(x) = 3/4x
ØØÙØ α m 10 Ò%ÙÑçåâ
'ØåØÙØ α
m
0
2
4
6
8
10
Zß k PlP
Ù
^ J
14
16
18
0
2
4
DP
6
8
áQ
DP
10
J
12
14
[K
O
x
12
;
x
^
k
P
0J
k
MK
0J
^
DP
5J
P
HG E
S
0J
rP
.K
I
^ J
5J
5J
'ZP
ß
WP
P
0JéJ
S
J
^ J
K
5J
J
XJ
lP
0J
5J
1/2 −x
²J
'`
S
J
2
óôËõDö
20
40
^
103
97
\
3]
÷
0.0095 0.00022
0.0138 0.00022
20
40
óôËõrö
108
111
0.027
0.060
0.0005
0.00083
ÕÔ{àãâ+è ¢Ùá {Ú%ß]ÕoßmÑÙÒ{çæ¬ÙØ %Õá %àâÜ Ñãß ©çÕá {àÑãÒ{×´Õ~ߣçÑãÒ{Ó+Ò{ÙKÛ{âIç,Î
Ï
lßËò
DP
Q
rP
;ê
S
5J
DP
16
18
ÍËΣÐËÑÒ%ÓIâ {Ñã× ÕÓ,ÓIÚ{ØÕÓ Ñç¥ÙÔ%ß]ÕÑãÒ{âIÛ Ñ¤ß <ØåâIàÕ~ßmѤäâIà çáÇÕààYÛ{ÑçåÓIØåâ,ßmÑ Õ~ßÑÙÒ
ÒgÚ{áÔUâIØç ³áÇÑãÒ{ÑáÑ ,âIØçÚ{çâ,ÛÑÒ çåÙàãäKÑãÒ{× ÑãÒäâIØåçâ %ØÙÔ{àãâIáçÇâ,Ò{Û Ú ÙØåÖ
ÑÒ{× Ñ¤ß Øâ,àÕ~ßÑãäâ,à ÇàÙ Û{ÑáâIÒ{çåÑÙÒ{Õà[ç Ëçßmâ,áÇç,Î
Ü%Î {â3áâ,ß %ÙËÛ Ñç¨æÕ~ÑØà *ØÙÔ%Ú{çåß Ñãß NØâIç Gâ,Ó,ß´ßÙÒ{ÙÑãçâ {ØÙaäKÑÛ{â,Û ß TÕoßß %â
çÑãÒ{Ó TÕ~ØmÕáâ,ßâIØç TÕäâÔUâIâ,ÒÓÕ~Øâ,æ¬Ú%àà Ó %Ùçâ,Ò*æ¬ÙØ£ß {â¨æ¬ÙØ Õ~ØÛçåÙàãäâIØÕ~Ò{Û
ÕçåÚ{ÑãßmÕÔ{àãâÓ {ÙÑãÓIâÙæEØâI×Ú{àÕØåÑ IÕ~ßmÑãÙÒ TÕØÕáâ,ßmâ,Ø α Ñç"áÇÕÛ{â~Î
è{Î {âÕ~à×ÙØåÑãß {áÇç â TÕäâ¨ÙÚ%ßàÑÒ%âIÛáÕ %ØÙaäâYßmÙÔGâÚ{çåâ,æ¬Ú{àÑÒ3ß %â¨Û{â,çÑã×Ò
Ùæ'ØâIÕàâ Gâ,ØÑãáÇâ,ÒgßçIÎ ÙØâ {Õ~á {àãâ â´çÕ ß TÕ~ß {àÕ~ÓIâIáâIÒß0ÙæçmÕ~á {àãÑÒ{×
Ò{ÙKÛ{âIç´Ñãá TÕ~Ó,ßmç gÚTÕàÑ¤ß Ùæ£ØâIçåÚ{àãßçIÎ Ú{Øåß {âIØÑÒäâ,çåßmÑã×Õ~ßÑÙÒ{ç¨áÕ çÚ%××âIçß
Ù %ßÑáÇÕà %àÕÓ,âIáâIÒßmç,Î àãçÙ "ß {âuÑçåçÚ{âuÙæ¨Ú{Ò{Ó,âIØß]ÕÑãÒgß ÑÒáâÕçåÚ{Øâ,áÇâ,Òß
Õ~ØØmÕ~Ògßçæ¬Ú{Øåß {âIØ'çåßÚ{Û Î +Ú%Øâ %Õá {àâ,ççÚ{××âIçåß'ß TÕ~ßAáÇÙØâÛTÕoß]Õ GÙÑÒßmçÑãÒ
ß {â {ØåâIçâ,Ò{ÓIâ¨Ùæ!áâÕ~çÚ{ØåâIáâIÒß0â,ØØåÙØ³áÕ 3Ò{Ù~ßÔUâYÔGâ9ßßmâ,ØIÎ +Ò%â UÙçåçÑÔ%ÑàѤß
ÑçßÙÇÚ{çåâ+æ¬â âIØ£Ò{ÙËÛ%âIç Ñãß ©Øåâ UâÕ~ßâIÛ©áÇâIÕçÚ%ØâIáâIÒßç0Õ~ß³âIÕÓ ©Ò{ÙËÛ%âÎ
øJ
J
K
O
0J
S
MK
^ J
mK
S
0J
P
MK
J
µ·
5J
S J
P
wN
k
¥P
S
rP
.O S
0J
5J
Ù
0J
0J
5J
S
VP
rP
;K
jK
'
DP
5J
RP
;K
S
5J
S
0J
S
lO 5J
XK Ë
0J P
Y
S
¶P
jK
5J
.OQP
J
;KxP
Ù
'ZP
rP
M·
lP
K
¥J
^ J
mK
ÏP
S
0J
WP
0J
S
µ·
_
6P
P
jK
J
² ~² E²³° ¢²³µ
¤Ï Ù %Ò Î 'Õ~ßÙÒðÎ
sÎ â9ß ÙØÖ {â,ÙØ ÑáÑãßâIÛ {Í ÍKÎ
ÝÍ %Î Ú{Ò{Û ´Î Î Ó Øß gÚ{Ø Î 0΢ÐËáÑãß ÕÒ%Û ´Î Î Ù â,ØçIÎ {âçÑãÒ{Ó
×Õ~àâIØåÖgÑÒáÇâ9ß {ÙKÛæ¬ÙØ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIسÛ{â Gâ,Ò{Û{â,Ògß0çâ,àãæ hÕ~Û åÙÑÒß {ØåÙÔ{àãâIáçIÎ
ÝÍ ËÍËÏ GÏ %Î
Ü Î +ÑàãáÇâ,Ø´ÕÒ{Û Î âÕ~Ø Î {ÙËÙçÑÒ%× ØåâI×Ú{àÕØÑ Õ~ßÑÙÒ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØåçÇÑãÒ Ñ¤ß
â,ØmÕ~ßÑãäâáÇâ9ß {ÙKÛ{çæ¬ÙØÑàà UÙçâ,Û {ØåÙÔ{àãâIáçIÎ ÍÍ ¤ÏwÍ ~è UÏwÍÍKÏ {Í %ÏÎ
è %Î Ú{Ò{Û ÕÒ%Û ´Î Ù âIØåçIÎ 9ÎAÐ
{ÑàÕÛ{âIà {ÑÕ Ï ÍËÎ
%Î Î ©Ú{âIàãàâIØðÕÒ{Û ÎwÐGÎwÐ {ÙØâ,çIÎ Ò%â çÑÒ%Ó q×Õàâ,ØÖgÑÒáâ,ß {ÙKÛæ¬ÙØ5ÓIÙÒäâIÓ,ßÑÙÒ
Û{Ñ [Ú%çÑÙÒ â gÚTÕoßmÑÙÒ{ç Ñ¤ß áÑ Ëâ,Û ÔUÙÚ{Ò{ÛTÕ~Ø ÓIÙÒ%Û{ÑãßÑÙÒ{ç,Î
Í Ü%Î!ßmÙÕ UâÕ~ØIÎ
ÎÐgßmâIÒ%×âIØ,Î!
"
$#
&% $'
9Î
Ð %ØÑÒ%×âIØ Þ'âIØåàÕ× â )( ÙØåÖ 5Ï Ü%Î
0Î{Þ'Ù×âIàÎ ÙÒ qÓIÙÒgäâIØå×âIÒ{Ó,â¨Ù~æß {âà ÓIÚ{Øäâ+Øâ,×Ú{àÕØÑ Õ~ßÑÙÒ TÕØmÕ~áÇâ9ßmâIØ¢çâIàãâIÓ
ßÑÙÒáâ,ß %ÙËÛð*Î [ÏaÜ ÝÍ ËÜ Ü GÏ KÎ
0ÎÞ'Ù×â,àÎ
+
9Î[Ð
{ÑàÕÛ{â,à
%ÑÕ Í ÍËÎ
ÏÏ
g _A
HG
n 6q
J Ff
<
n %q
ü
¥«'®°´.¿.½
ad
k
gd
0J
Ëü
X´.®©°¯%ªX¨
ZT k dzO Í J
S
.PlP
Y
0J
nu"qWò
PlJ
Ú
XO
Ú
k
0J
S
%v
8O .êê
^ J
S
'Y
P
ªº¿.½'Ä0¨3½
P
»
Ç
¯6À%¨U¬;¯%Ä
S
É
¯%ª
¯6À%¨
U´%¨3½5À
_X´[À.Ä´.®Ä0½H´.ª+À
'Y
¯%ª
Y
´.®=Ä©cÊ
» ª+´.Å
Ç
´.ª+À
~© ½'Ä0½'ªº®=©=´.Å
5J
Y
K
ÿ¯%¼VÂ+Z®
Æ ©ª«r´.ª+À
» ª+´.Å %®©°«
Ç
´.®
ÉXÇ
ª«'®©°¯%ªX¨
<O 3ìì
Y
'ªº¿.½'Ä0¨3½
É
m
5J
Ä0¯.³6ŵ½'¼W¨'O
ÿ¯%¼VÂ+Z®°´.®=©°¯%ª+´.Å z½'®
XO "êê
XO 3ìì
J
6N
në%qWò
Æ
z½'®
MPlJ
VZ¼½'Ä©°«5´.Å i½'®
ZP
M·
P
S
^
Ù
òaJ
Æ ©ª«
øü
» Â[Â+Å O .êê
Ç
np"q
,Y
K
ü
O "êê
mL
K
cYjP
Zß .ê
d
n|%q
5J
P
ÿhý
0J
n .q
_ò
^ J
S
Ú
ëZO 3ììê
{y
» Â[Â+Å ©°« O
Ç
6O §
0J
P
Ä0¯.³6ŵ½'¼W¨'OºpXß .ê[|
n "qWd
´.ªºX´.Å
É
mY
Xß .uì
M·
rP
Y
ê XO 3ìì[ë
¯6À%¨¬;¯%Ä ªº¿.½'Ĩ3½
Ä0¯.³6ŵ½'¼W¨
ZT k
dzO Í J
mY
© Copyright 2026 Paperzz