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x > 0,
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G(t) ∈ L2 (0, T )
ρ,
2
1
L ([0, T ], H (0, ∞))
kck =
Z
T
0
Z
∞
0
2
2
|c(x, t)| + |cx (x, t)| dx dt
!1/2
.
c̃
c̃
c(0)
c(0)
D(x)
c(x)
L1 u(x) ≡ −u00 (x) + p(x)u0 (x) + q(x)u(x) = f (x),
a
a<x<b
b
u
uA ≈ u
L 1 uA
D
−(D(x)cx (x))x
D(x)
a
b
"
D(x)
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L


sin(πz)
πz
z 6= 0
 1
®
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h
S(k, h)(x) = sinc
x − kh VU3.8XWK.YZ:<O:<[Q\E]T^ JS_ ^%`ba+cCd eÍ Ð Î ef ^ I
× ÒIŸ“ž*Ü
z∈C
h
z = 0.
k ∈ Z,
−∞ < x < ∞.
xk = kh g k = −M, . . . , N
(0)
δjk ≡ S(j, h)(x)|x=xk =
n
1,
@F
j=k
c
o
× ÒIŸeÒTÜ
@F
ÿ ±¹µ!¯~°?®·T³+³†®/­2Àƒ¸“ºÇ±T´(²Iªœ³+¬µ+®¯~®M³~ºI³n¯+®
­!³/ª|¯ªœ³5¬±¹«H¿¹®
«ƒª“®
«H¯%¯~±Ç²ƒ®Ê?«ƒ®M¯~°ƒ®´Š±¹¸|“±‡Ã,ª“«ƒÅ
­!·‡¯+µ~ªœ¬®*Q³ × ÒIŸ ¹Ü
(1)
δjk ≡ hS 0 (j, h)(x)|x=xk =
(l)
I (l) ≡ [δjk ],
h
n
0
l = 0, 1
j=k
o
É °ƒ®M­!·[¯~µ+ª‹Á ª“³!¯~°ƒ®
³~º_­—­%®
¯~µ+ª“¬ É ±H®/»ƒ¸“ª‹¯i­%·[¯~µ+ª‹Á
I (0)

I (1)
ªœ²I®/«¹¯+ª‹¯nºÄ­!·‡¯+µ~ª|Á Ÿ É °ƒ®M­!·[¯~µ+ª‹Á
m×m
0
1
2
−1


 1


=  −1
 2



ŸŸŸ
ŸŸ
(−1)m
m−1
···
ŸŸ
(−1)m−1
m−1
1
2
−1
I (1)
ªœ³%¯~°ƒ®c³†Ì¹®
Ã











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× ÒIŸ Ú Ü
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× ÒIŸ Ð Ü
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× ÒIŸ Ø Ü
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× ÒIŸ Ü
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NSB+w
U3.8XWK.Yp:q<r<[Q\E]T^ JK_ ^Q`tsucCdTv Í Ð Î ef ^ I
V
c f ^ I M ^ N/JKB ^Qx
/.103234657498+2j:<k<
D
a 6= b
− 12
···
1
0
D
D
w = u+iv
z = φ(w)
Dd ≡ {z ∈ C : z = x + iy, |y| < d}
φ(b) = ∞
w = ψ(z)
φ
φ(a) = −∞
Γ ≡ {w ∈ C : w = ψ(x), x ∈ R} = ψ(R).
B(D)
a ∈ [0, 1)
F
Z
Ψ(x+L)
D
|F (w)dw| = O(|x|a ), x → ±∞
L = {iy : |y| < d}
γ
N (F, D) ≡ lim
Z
γ→∂D
D
γ
|F (w)dw| < ∞
γ
wk = ψ(kh),
∂D
h>0
k = 0, ±1, ±2, . . . .
D = {w = reiθ ∈
z = φ(w) = ln w
C | |θ| < d}
ψ(z) = ez .
f
g
dxe
IyJ x JSB ^ DHJKB7F%JK_ ` NKn ` Niz)J{F#I ]T^ wuJ ` NK@CB
x.
D
φ0 F/g ∈ B(D)
}
JKBI|J
Dd
c f ^I
h>0
ψ=φ
−1
g
φ
wk = ψ(kh) g
NSB+w
× ÒIŸ Û Ü
Γ = ψ(R)
c~ >H>AG `m^ I ] NKI€I ]T^ _ ^^i @O>AI€DHJKBX>HIyNKBI9>
m
d
dξ m
NSB+w
× ÒIŸ Ü
F%JS_ƒNKnCn
NSB+w
>%J‚I ] NKIEF%JK_NSnCn
K
L
g(ξ) sin(πφ(ξ)/h) |x∈∂D ≤ Kh−m
2πi(φ(x) − φ(ξ)) m d
φ(ξ) − kh −m
g(ξ)
sinc
dξ m
≤ Lh
h
c„~ >H>AG `?^ I ] NKI…I ]T^ _ ^ NK_ ^ zTJK>H@CI@C† ^ DiJSBT>AIyNKBXIR>
m = 0, 1, . . . , n
F (ξ) g(ξ) ≤ K

 exp(−α|φ(ξ)|), ξ ∈ Γ
a
 exp(−β|φ(ξ)|), ξ ∈ Γb
‡ ]X^ _ ^ Γa ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ (−∞, 0)} NKBEw
ˆ N‰ ^ I ]X^ > ^ n ^ D%I@9JKBX>
× ÒIŸ“ž/Ù¹Ü
\E]T^ BF%JS_NKnCn
× ÒIŸ“žTž*Ü
α
N = d Me
β
ξ∈Γ
NSB+w
NKBEw
h=
α, β
ξ∈Γ
NKBEw
C
>QJVI ] NSI
Γb ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ [0, ∞)}
πd
αM
12
≤
c
2πd
.
ln(2)
m = 0, 1, . . . , n,
N
dm
X
F (wk ) dm
[g(ξ)S(k,
h)
◦
φ(ξ)]
m F (ξ) −
dξ
g(wk ) dξ m
≤ KM (m+1)/2 e−
√
πdαM
.
É °ƒ®S´Š±T¸“¸|±‡Ã,ª“«ƒÅ(¯~°?®
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±¹µ~®/­ Ú Ÿ Ú Î ~ >i>AG `m^ I ] NKIŒI ]X^ _ ^ NK_ ^ zXJ >A@CIR@C† ^ DiJSBT>AIyNKBXIR> g g NSB+w
k=−M
K
∞
αβ
>QJ‚I ] NKI
|F (ξ)| ≤ K

 exp(−α|φ(ξ)|), ξ ∈ Γ
a
 exp(−β|φ(ξ)|), ξ ∈ Γb
‡ X] ^ _ ^ Γa ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ (−∞, 0)} NKBEw Γb ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ [0, ∞)}
NSB+w
JK_ 0 f ^ I
b
F = upw
uφ w.
BT = (u0 [S(j, h) ◦ φ]w)(x) − (u([S(j, h) ◦ φ]w)0 )(x))|a .
 ^ n ^ DQI NSB+w N >Ž@CB
c
N
h
 NH f ^ I
F%JS_
JS_ c?\E]T^ B
Ý× ÒƒŸ|ž*Ù¹Ü
× ÒIŸ“ž*ÒTÜ
vw ∈ B(D)
v = f (x)
qu
Z
b
vw
(vw[S(j, h) ◦ φ](x)dx − h 0 (xj )) ≤ L0 M −1/2 exp(−(πdαM )1/2 )
a
φ
‡ X] ^ _ ^ L0 @O>N‘DHJKBX>HIyNKBI€w ^ z ^ BEwK@CBo/JSB v NKB+w
 M{ f ^ I
NKBEw
0
u(p[S(j, h) ◦ φ]w) ∈ B(D)
d
c
BT = 0.
\E]T^ B
Z
(1)
N
b
X
δjk
u(pw)0
0
+ h(
)(x
)
(upw)(xk )
(pu [S(j, h) ◦ φ]w)(x)dx + h
j a
h
φ0
k=−M
‡ ]X^ _ ^
L1
@O>N‘DHJKBX>HIyNKBI€w ^ z ^ BEwK@CBo/JSB
≤ L1 M 1/2 exp(−(πdαM )1/2 )
ug pg w g
’
NKBEw
d
c
ÿ ª|«G·[¸“¸|º¹ÂHÕ®S³~°?·[¸“¸:«ƒ®
®*²%¯~°ƒ®S´Š±T¸“¸|±‡Ã,ª“«ƒÅµ+®/³~¶ƒ¸|¯Ã,°ƒªœ¬l°5ªœ³³~¶ƒª|¯+·[À?¸|®S´Š±Tµ­%±¹µ~®Ź®
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I ]T^ _ ^ NS_ ^ zTJK>H@CI@C† ^ DiJSBT>AIyNKBXIR>
αg β g
NSB+w
K
>QJmI ] NSI

 exp(−α|φ(ξ)|), ξ ∈ Γ
a
 exp(−β|φ(ξ)|), ξ ∈ Γb
F (ξ) φ0 (ξ) ≤ K
‡ ]X^ _ ^ Γa ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ (−∞, 0)} NSB+w
ˆ N‰ ^ I X] ^ > ^ n ^ D%I@9JKBX>
NSB+w
α
N = d Me
β
\E]T^ B™I ]T^ _ ^ @O>šN‘DHJKBX>HIyNKBI
L
h=
w ^ z ^ B+wK@CBo›JKBXnœ‘JKB
Γb ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ [0, ∞)}.
2πd
αM
12
F, d, φ
≤
2πd
.
ln(2)
NKBEw
D
>AGXD ] I ] NKI
Z
N
b
X
F (xk ) F (x)dx − h
≤ L exp(−(2πdαM )1/2 ).
a
φ0 (xk ) —® ±¹À?³~®
µ+¿T®¯+°?·‡¯ É °ƒ®/±Tµ+®
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­!·[ª“«?³¿D·T¸|ªœ²cª‹´× ÒIŸ“ž/ÙHÜ ªœ³¶?³†®*²¯+±³~®
¸“®/¬¯ ·[«?²
Ó«ƒ®¬
·[«³~®
®´Šµ~±¹­Ñ¯+°ƒ®»ƒµ+±_±[´I±[´_¯+°ƒª“³w¯~°?®
±Tµ+®
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 ξ α−1 , ξ ∈ Γ
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 ξ −β−1 , ξ ∈ Γb
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Lc ≡ −(D(x)cx )x + (v(x)c)x + λ(x)c
= f (x),
Ac(0) + Bcx (0) = G,
c(∞)
x>0
B 6= 0
= 0
c = c(x).
A = v(0)
B = −D(0)
T (c, u) =
Z
∞
0
(Dcx ux − vcux + λcu)dx
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R(c, u) =
Z
∞
0
A
G
u(0).
f (x)udx + c(0) v(0) + D(0) − D(0)
B
B
u
Z
∞
0
(Dcx ux −vcux +λcu)dx =
Z
∞
f (x)udx+(−D(0)cx (0) + v(0)c(0)) u(0).
0
cx (0)
T (c, u) = R(c, u).
p(x)
limx→∞ p(x) = 0
p(0) = 1
c(x)
p
q0 (x) =
q0 (0) = 0
q00 (0) = G/B
q1 (x) =
q1 (0) = 1
(G/B)x
p(x)
x+1
q0
−(A/B + p0 (0) − 1)x + 1
p(x)
x+1
q10 (0) = −A/B
q1
Aq1 (0) + Bq10 (0) = 0.
c̃(x) ≡ c(x) − q0 (x) − c(0)q1 (x).
c̃
Ac̃(0) + Bc̃0 (0) = 0,
c̃(0) = 0
c̃0 (0) = 0
T (c̃, u) + T (q0 , u) + c(0)T (q1 , u) = R(c, u).
uj (x) = w(x)S(j, h)◦
φ(x)
w(x)
²
φ(x)
(0, ∞)
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(−∞, ∞)
φ(x) = ln(x)
φ(x)
c(0)
c(0)
c̃
c̃
c̃m (x) =
Nx
X
j=−Mx
dj
γ(x)S(j, h) ◦ φ(x)
γ(xj )
c̃0 (x)
γ
h Mx
xk = φ
−1
m = M x + Nx + 1
Nx
(kh) k = −Mx , . . . , Nx
c̃m (xk ) = dk .
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w(x) = γ(x)
w
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c̃0m (xk ) =
Nx
X
xk
dj
(γ(xk )S(j, h) ◦ φ(xk ))0
γ(xj )
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j=−Mx
(i)
δjk
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Nx
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dj
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γk δjk φ0k .
γk k h
γj
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º_ª“®
¸œ²ƒ³
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j=−Mx
k
xk
γk ≡ γ(xk )
T (c̃, uj )
Tquad (c̃, uj ) =
h
(Dk c̃0k (uj )0k − vk c̃k (uj )0k + λk c̃k (uj )k ) .
φ0k
³
É °_¶?³/Â
h
Tquad (c̃m , uj ) = 0
φk
Dk
±[¯~®¯+°?·‡¯,´Š±¹µ,±T¶ƒµ¬l°ƒ±¹ª“¬
®
®
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0
γk0 dk
dr
(1) φ
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γk
γr
h
uj = wS(j, h) ◦ φ
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(0)
(uj )k = wk δjk
Â
(0)
(u0j )k
vk dk (u0j )k
−
0
(1) φk
(u0j )k = wk0 δjk + wk δjk
h
+ λk dk (uj )k .
, (no sum on k)
0
0
γk0 dk
dr
(1) φk
(1) φk
0 (0)
wk δjk + wk δjk
+ γk δrk
Tquad (c̃m , uj ) =
γk
γr
h
h
0
(0)
(0)
(1) φ
= −vk dk wk0 δjk + wk δjk k + λk dk wk δjk ]
h
h
[Dk
φ0k
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µ~®
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(1)
(1)
δij = −δji
j
Tquad (c̃m , uj )
0
Dj wj0 γj0
(1) wk Dk γk
0 (1) 1
d
−
γ
D
w
δ
d
+
δ
dk
r
j
j
j
j
jr
jk
φ0j γj
γr
γk
vj wj0
h
1 (1)
(1) 1
(1)
δjk wk Dk γk φ0k δkr
dr − h 0 dj − δjk vk wk dk + 0 λj wj dj .
h
γr
φj
φj
−
I² ®
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¿‡·T¸|¶?·[¯~ª“±T«?³ Ÿ ¸œ³†±Gª“«šÅ¹®
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L
®
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= h
Diag(·)
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f (x)
j = −Mx , . . . , Nx .
xj ,
d(x) = c̃m (x).
Vec(d) =
x
{dj }N
j=−Mx .
j = −Mx , . . . , Nx
x
{Tquad (c̃m , uj )}N
j=−Mx = M · Vec(d)
M
Dγ 0 w0
Dγ 0 w
1
(1)
0 (1)
+
I
Diag
−
Diag(Dγw
)I
Diag
γφ0
γ
γ
0
1 (1)
vw
λw
1
(1)
0
(1)
−I Diag(Dγφ w) I Diag
− h Diag
− I Diag(vw) + h Diag
h
γ
φ0
φ0
M ≡ h Diag
·T«?²Ã,°?®
µ+®
·¹³,²I®ÊG«ƒ®/²ª“«™× ÒIŸ ¹ÜŸ É °ƒ®ª|«H¯+®
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µ~®
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À_º Â
$Â × ?Ÿ|ž Ú Ü
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(1)
(1)
Iij = δij
Tquad (qi , uj )
T (qi , wS(j, h) ◦ φ) i = 0, 1
qi
x
{T (qi , uj )}N
j=−Mx
Ti i = 0, 1
º_ª“®
¸œ²ƒ³•¯~°ƒ®¿¹®/¬¯~±Tµl³
Ti
= I (1) Diag(Dw) Vec(qi0 ) − I (1) Diag(vw) Vec(qi ) + h Diag(
+ h Diag(
λw
) Vec(qi )
φ0
Dw0
vw0
0
)
Vec(q
)
−
h
Diag(
) Vec(qi ).
i
φ0
φ0
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× ƒŸ“ž Û Ü
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±Tµ+µ~®*³†»:±T«?²ƒª|«ƒÅ¯+±M¯~°?®5¿‡·[µ+ª“·[¯~ª“±T«?·T¸R´Š±Tµ+­ × ƒŸ Ø Ü Ã,ª|¯~°
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ªœ³
× ƒŸ“ž Ü
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Źµ+·[¯~ª“«ƒÅ× ?Ÿ|žDÜ ´Šµ+±T­ ¯+±
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¸œ²ƒ³
× ƒŸeÒIžDÜ
u(0) = 0
R(c, uj ),
j = −Mx , . . . , Nx
Rdis ≡ h Diag(
c(0)
w
) Vec(f ).
φ0
uj =
wS(j, h) ◦ φ j = −Mx , . . . , Nx
M Vec(d) + T0 + c0 T1 = Rdis
w0 ≡ M −1 (Rdis − T0 )
c0 = c(0).
w1 ≡ M −1 T1
Vec(d) = w0 − c0 w1 .
c0
Z
∞
0
(f (x) − λ(x)c)dx
0
= D(0)cx (0) − v(0)c(0)
A
G
= D(0) − c0 v(0) + D(0)
B
B
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±
Z
∞
0
f (x)dx ≈ h
fk
φ0k
Z
∞
0
λ(x)c(x)dx ≈ h
λk c k
φ0k
fk
A
λk c k
G
h 0 − h 0 ≈ D(0) − c0 v(0) + D(0) .
φk
φk
B
B
ck = c̃k + (q0 )k + c(0)(q1 )k ,
k = −Mx , . . . , Nx
ck ≈ (w0 − c0 w1 )k + (q0 )k + c0 (q1 )k
∞
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ck
A
fk
λk
G
h 0 − h 0 {(w0 − c0 w1 )k + (q0 )k + c0 (q1 )k } ≈ D(0) − c0 v(0) + D(0) .
φk
φk
B
B
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c0
c0 =
M T0
G
+
D(0) B
v(0) +
h
φ0k
{λk ((w0 )k + (q0 )k ) − fk }
A
B D(0)
+ h λφk0 {(w1 )k − (q1 )k }
k
T1
w0 ≡ M −1 (R − T0 )
w1 ≡ M −1 T1
c0
Vec(d)
Vec(c)
D, v, λ
f
c
0
D
∞
φ
Dd ≡ {z ∈ C : z = x + iy, |y| < d}
0
D
φ(0) = −∞
0
φ(∞) = ∞.
0
q0 , q1 , Dc̃ (wS(k, h) ◦ φ) vc̃(wS(k, h) ◦ φ) λc̃, λc̃w, λc̃w ∈ B(D)
α, β
|F (ξ)| ≤ K

 exp(−α|φ(ξ)|), ξ ∈ Γ
a
 exp(−β|φ(ξ)|), ξ ∈ Γb
Ã,°ƒ®/µ~®
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Γa ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈ (−∞, 0)}
[0, ∞)}
Γb ≡ {ξ ∈ Γ : φ(ξ) = x ∈
F
Mx
α
Nx = d Mx + 1e
β
h=
πd
αMx
1/2
.
cm (x)
m = M x + Nx + 1
w(x)S(j, h) ◦ φ(x)
kc − cm k∞
w(x) ≡ γ(x) = x/(10 + x)
uj (x) =
2
¬
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µ—¬l°ƒ±Tªœ¬®*³·[µ+®!»G±H³~³~ª“Àƒ¸|® Ÿ ©_±T­%®Žn¶?³†¯~ª|ÊG¬/·‡¯~ª“±T«™´Š±¹µ¯+°ƒª“³2»?·[µ~¯~ªœ¬¶?¸“·Tµ
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T (c̃, u) = R(uj ) − GT (q0 , uj ) − c(0)T (q1 , uj ).
g
j
®²I®ÊG«ƒ®¯~°ƒ®‘wS@O>%DQ_ ^ IR@»¼7NSIR@9JSB
gj ≡ R(uj ) − GT (q0 , uj ) − c(0)T (q1 , uj ).
^ _A_½JK_Ž† ^ D%IyJK_
Ã,°ƒ®/µ~® ªœ³¯+°ƒ®®Áƒ·T¬¯$³~±T¸“¶I¯~ª“±T«5¯~±'× ƒŸ“ž*Ò¹Ü ÂIª Ÿ ® Ÿ Â
e1 ≡ Tquad (c̃, uj ) − T (c̃, uj )
c̃
>A@9w ^#^ _A_½JK_Ž† ^ D%IyJK_
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T (c̃, uj ) = gj
Ÿ ®²ƒ®Ê?«ƒ®¯+°ƒ®_A@o ] I xR] NSB+w
e2 ≡ gj − g̃j
Ÿ É °ƒ®
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g̃j ≡ Rdis (uj ) − GTquad (q0 , uj ) − c(0)Tquad (q1 , uj )
c̃m
Tquad (c̃m , uj ) = g̃j
Ÿ
Tquad (c̃ − c̃m , uj ) = T (c̃, uj ) + e1 − g̃j
= gj + e1 − (gj − e2 )
É °ƒµ+±T¶?ÅT°ƒ±¹¶I¯¯+°ƒªœ³³†®*¬z¯+ª|±¹«Ã•®³†°?·T¸|·TÀƒÀƒµ+®
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k·k∞ = k·k .
D, v, λ
f
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c
D ] J7J > ^
DHJKB7F%JK_ ` KN n ` NHzÄJ{F
KJ BI|J
cÇ @C† ^ B
Dw
DS
Mx g
α
Nx = d Mx + 1e
β
~ >i>AG `m^ NKn>QJ'I ] NSI
Dc̃0 (wS(k, h) ◦ φ)0 g
cm\E]T^ B
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min(Mx , Nx )
NKBEw
h=
πd
αMx
1/2
Dw
NKBEwÄI ]T^
c f ^ I M ^ I ]T^
φ
.
vc̃(wS(k, h) ◦ φ)0 g λc̃w ∈ B(D)
√
ke1 k∞ ≤ K(Mx1/2 + Mx2 + Nx3/4 ) exp(− πdαN ).
c f ^I
N =
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È _iJJ!F c K
Mx
ηm (x) =
Nx
X
k=−Mx
c̃(xk )
γ(x)S(k, h) ◦ φ(x).
γ(xk )
É °ƒ®/«
|Tquad (c̃, uj ) − T (c̃, uj )| ≤ |Tquad (c̃, uj ) − Tquad (ηm , uj )| + |Tquad (ηm , uj ) − T (ηm , uj )|
º É °ƒ®/±Tµ+®
­ ҃Ÿ Ð
±
±
+ |T (ηm , uj ) − T (c̃, uj )|.
|Tquad (ηm , uj ) − T (ηm , uj )| ≤ L2 Mx1/2 exp(−
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±¹µ~®/­ ÒIŸ Ú
|Tquad (c̃, uj )
©_ª“«?¬®
πdαMx ).
− Tquad (ηm , uj )|
Dk (u0j )k 0
v (u0 ) |(c̃ − η 0 )k | + k j k |(c̃ − ηm )k | + λk (uj )k |(c̃ − ηm )k |
≤ h m
φ0 φ0
φ0k k
k
√
Dk (u0j )k vk (u0j )k λk (uj )k +
+
≤ hKMx e− πdαMx φ0k φ0k φ0k −1/2
h ≤ KMx
·[«G²
1/2
|1/φ0k | ≤ KMx
|Tquad (ηm , uj ) − Tquad (c̃, uj )| ≤ KMx e(−
©_ª“«?¬® ·T«?² ·[µ+®%ÀG±¹¶ƒ«?²I®*²š·T«?²
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w
p
w0
KMx
Â?î(°?·D¿¹®
√
πdαMx )
(|Dk (u0j )k | + |vk (u0j )k | + |λk (uj )k |)
|S(k, h) ◦ φ(x)| ≤ 1
|Tquad (ηm , uj ) − Tquad (c̃, uj )| ≤ KMx e−
√
πdαMx
0
∞
0
|(S(k, h) ◦ φ)0 (x)| ≤
(K1 Mx + K2 Mx + K3 ).
|Tquad (ηm , uj ) − Tquad (c̃, uj )| ≤ KMx2 exp(−
|T (ηm , uj ) − T (c̃, uj )|
Z ∞
Z
0
≤ D(ηm
− c̃0 )u0j dx + ·[«?²
p
πdαMx ).
Z
v(ηm − c̃)u0j dx + ∞
0
λ(ηm − c̃)uj dx
0
≤ kDu0j k2 kηm
− c̃0 k2 + kvu0j k2 kηm − c̃k2 + kλuj k2 kηm − c̃k2
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µ,ÚGÂ”Í žDÒ*Î ±¹«ƒ®Ê?«?²ƒ³$¯+°ƒ®À:±T¶ƒ«?²
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þh
|
d
S(k, h) ◦ log(x)| ≤ Cπx−1 /h,
dx
γ = x/(10 + x)2
kDu0j k ≤ kDk∞ k
dγ
d
S(j, h) ◦ φ + γ S(j, h) ◦ φk2 < ∞.
dx
dx
©_ª“­%ª|¸œ·[µ+¸“ºTÂ
×iÚ Ÿ“ž/Ù¹Ü
×iÚ Ÿ“žTž*Ü
ÿ ª“«?·[¸“¸|º¹Âƒ³†ª“«?¬
®
kvu0j k < ∞
Ÿ ± º5®*½¹¶G·‡¯~ª“±T«™×ŠÚ Ÿ Ú Ÿ|ž7¹Ü Â”Í žDÒ*Î Â
0
kηm
− c̃0 k2
Ĕ(°?·D¿¹®
kηm − c̃k2
kuj k2 < ∞
≤ C1 Nx3/4 e(−
≤ C0 Nx1/4 e(−
É °ƒªœ³$»ƒµ+±‡¿T®*³¯+°ƒ®¸“®
­%­!· Ÿ
√
πdαNx )
√
πdαNx )
|T (ηm , uj ) − T (c̃, uj )| ≤ KNx3/4 e(−
Œ.1Y¾YÀ¿Ér<C:q<
È _iJJ!F c ± º É °ƒ®/±Tµ+®
­ ҃Ÿ Ð
√
πdαNx )
.
1/2
ke2 k∞ ≤ KMx
√
exp(− πdαMx )
|gj − g̃j | ≤ |R(uj ) − Rdis (uj )| + |G||T (q0 , uj ) − Tquad (q0 , uj )|
+ |c(0)||Tquad (q1 , uj ) − T (q1 , uj )|
p
p
≤ L0 Mx−1/2 exp(− πdαMx ) + |G|L2 Mx1/2 exp(− πdαMx )
p
+ |c(0)|L2 Mx1/2 exp(− πdαMx )
p
≤ K1 Mx1/2 exp(− πdαMx ).
É °ƒªœ³$»ƒµ+±‡¿T®*³¯+°ƒ®¸“®
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VU3.8XWK.YÊr-<k<)Ë
@CBEw ^ z ^ B+w ^ BI„J!F
Mx
Ì F C@ B)NuwwK@CI@9JKB
g
g
R∞
0
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1
φ0
k
K
√
kc̃ − c̃m k ≤ K M −1 Mx2 exp(− πdαN ).
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NSB+w
m
q1
∞
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È _iJJ!F c ®
A
B D(0),
@O>‘D ] J > ^ BÀ>AGXD ] I ] NKI
I ]T^ BÍI ]X^ _ ^^i @O>HIR>VN‘DHJKBX>HIyNKBI >AGXD ] I ] NKI
C
√
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kc(0) − c0 k ≤ C M Mx exp(− πdαN ).
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kc̃ − c̃m k ≤ M −1 (ke1 k + ke2 k) .
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× ƒŸeÒIž*Ü À:®/¬±¹­%®/³
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Nx
Mx ,
c(0),
Z
∞
0
(f − λ(c̃ + Gq0 + c(0)q1 ))dx.
H = v(0) +
= D(0) G
B − c(0)H
A
B D(0)
É °_¶?³$Õ®(°?·D¿T®
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©_±—¯+°ƒ®®
µ+µ~±¹µ
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µ+±Æ¬±¹«?³n¯l·[«H¯5À_ºÈ±¹¶ƒµ!°_ºH»:±[¯+°ƒ®/³~®/³ Ÿ ÿ ¶ƒµ~¯~°ƒ®/µ~­%±Tµ+®TÂ
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·T«?² ªœ³$À:±T¶ƒ«?²ƒ®/²ÀHº·
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−h
fk
λk
G
− h 0 (c̃ + Gq0 + c(0)q1 )k − e3 = D(0) − c(0)H
0
φk
φk
B
e3
c(0)
c0 c̃
c̃m ,
e3 ,
c0 .
−h
λk
((c̃ − c̃m ) + (c(0) − c0 )q1 )k − e3 = −(c(0) − c0 )H.
φ0k
e = c(0) − c0
R∞
0
(λq1 )k
H −h
φ0k
m → ∞, h φλ0k →
k
λ(x)q1 (x) dx,
e = −h
R∞
0
e3
M 1/2
λk
(c̃ − c̃m )k + e3 .
φ0k
e
λ(x) dx
√
exp(− πdαMx )
φ0 ,
H −
h φλ0k
k
h
λ(x)
e
C
Mx ,
|c(0) − c0 | ≤ CMx5/2 exp(−
p
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−1
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(1, 1)
B
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DI (1)
(1, 1)
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B
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Mx = b
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−1
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1, . . . , 320.
kM k
−1 M I (1)
M.
(1) −1 (I ) (1) −2 (I ) I (1)
−((1 − 0.5e−2x )cx )x + cx + c = f (x),
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c(∞) = 0.
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γ(x) =
x
.
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(γ(x)S(k, h)◦φ(x))0
γ
[0, ∞).
10
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(0, ∞)
−∞
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10
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Example 5.3
6
10
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5
10
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10
3
10
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10
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0
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Dimension
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G = 1.
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c = c(x, t).
∆t
t = k∆t
ρ
ck+1 − ck
+ Lck+1 = f,
∆t
f = fk
f = f k+1
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ρ
µ
ck+1 − ck
+ µLck+1 + (1 − µ)Lck = µf k+1 + (1 − µ)f k , 0 < µ ≤ 1.
∆t
(L +
1−µ
ρ
)ck+1 = f k+1 +
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µ
f k − (L −
ρ
)ck ,
(1 − µ)∆t
ρ k
∆t c
µ=1
L+
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ρ
µ∆t
ρ
(1 − µ)∆t
1−µ
ρ
f˜ = f k+1 +
f k − (L −
)ck
µ
(1 − µ)∆t
L−
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T +, T −
ck+1
k
L+ ck+1 = f˜
R, u
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T + (ck+1 , u) = R(f)
= R(f k+1 ) +
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(R(f k ) − T − (ck , u))
µ
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L
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Mx
T = 2
2+x
1+x
ct − ((1 − 0.5e−2x)cx )x + cx + c = f (x, t), t > 0, x > 0,
c(0, t) − 0.5cx (0, t) = 1 − cos(πt/4),
f (x, t)
c(∞, t) = 0,
t>0
c(x, 0) = 0,
x > 0.
c(x, t) = e−tx
T = 2
Mx = 32
p(x) = e
Mx = 64
2
/8
−x2
t>0
(1 − cos(πt/4))
α = 1, β = 1 d = π/3,
∆t = 1, 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05
µ = 0.5
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¸“ª“³†¯~®*²—ª|« É ·[Àƒ¸“® žT3Ÿ ¯ª“³³~±T­%®/Ã,°?·‡¯³~¶ƒµ~»?µ~ªœ³†ª“«ƒÅ¯~±³~®
®,·(³†¸“ª“ÅT°H¯~¸“º)³~­!·[¸“¸|®/µF®/µ~µ+±TµPÃ,°ƒ®/«—¯~ª“­—®
³†¯~®/»ƒ»ƒª“«ƒÅª“³¶?³~®/²%·T³R±¹»ƒ»:±¹³~®/²)¯~°ƒ®S¯~°ƒ®³n¯+®/·T²ƒº)³†¯+·‡¯+®,»ƒµ+±TÀƒ¸“®
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»ƒ»ƒª“«ƒÅ´Š±¹µR¯~°?ª“³»?·[µ~¯~ªœ¬¶ƒ¸œ·[µ»ƒµ~±¹Àƒ¸“®
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·T³~®±T´ÔRÁƒ·[­%»ƒ¸“®SÚ Ÿ ÚÕ®´Š±T¶?«?²%¯~°G·‡¯¯+°ƒ®·T»ƒ»ƒµ+±DÁIª|­!·‡¯+®³†±¹¸|¶ƒ¯~ª“±T«?³
×s·[«_º Ü ¶ƒ«?²I®/µ+³~°ƒ±[¯P¯+°ƒ®¬±¹µ~µ+®/¬¯P¿‡·T¸|¶ƒ® Ÿ Ó«)¯~°?®,±[¯~°?®
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