プロジェクト報告書 Project Report
提出日 (Date) 2011/01/19
室内音響シミュレーションと音響空間の設計
Simulation of room acousitics and Design of acoustic environment
b1008244 吉田理貴 Riki Yoshida
1 背景
強し使用した。このソフトは建築物をモデリングし、そ
の建築物の残響時間や音の可視化をすることができるた
現在の未来大学内の音響空間は良いものとはいえな
め、その建築物の音響空間の問題点や改善方法を知るこ
い。この大学の理念とも言える「オープンスペース、
とが出来る。また、モデリングした室内に吸音材を設置
オープンマインド」という考えに基づいて、壁を取り払
したときの音響空間の特性も計算可能なため、改善策を
い大きな空間で構成するとともに、講義室や教員の研究
提案するのに適していると判断した。
室の壁は透明にして、誰でもいつでも外から中の様子が
シミュレーションソフトを使って中講義室をモデリン
分かるように大学を設計している。しかし、このような
グしたとしても、そのデータに信憑性がない。そこで、
構造上、作業スペースは人の声が聞こえてうるさい、講
実際の中講義室で音響測定を行い、残響時間を調べる。
義室は先生の声が聞こえにくいなどの音響空間を作り
その残響時間とモデリングした残響時間を比較すること
出してしまっている。しかしながら、このような状況で
により、データの妥当性を検証する。データの妥当性を
も、音響空間を改善する方法はある。壁や天井、机など
確認し、モデリングしたデータが正しいものとして、中
の反射特性、吸音率などを調整することで、人の声のざ
講義室の改善案の作成を行うことを目標とする。
わつきを軽減したり、先生の声を聞きやすくすることは
可能となる。
2 課題の設定と到達目標
3 音響理論
3.1 フーリエ変換
ここで、フーリエ変換とは、時間領域における関数を
本プロジェクトの最終目標は、本学の中講義室の音響
周波数領域における関数に計算し直すための変換を行う
空間の改善策を提案することである。中講義室の音響空
作業のことである。h(t) を時間領域関数とすると、これ
間が改善されたかどうかの基準として、残響時間に注目
をフーリエ変換すると、H(f ) となる。フーリエ変換は
する。残響時間とは室内の音響空間を評価する基本的な
以下の式で定義される。
∫
概念であり、反響の長さを表す量である。どのくらいの
残響時間が最適であるかは、
「最適残響時間」という概念
がある。参考としてイギリスの建築音響基準で示された
教室の残響時間は、0.4∼0.6 秒となっている。そこで、
∞
H(f ) =
h(t)e−j2πf t dt
−∞
フーリエ変換は一般的に複素数となるので、
H(f ) = R(f ) + jI(f ) = |H(f )|ejθ(f )
本学の中講義室の残響時間をこの基準に近づけるために
は、どのようにすれば良いかを考える。
音響空間の改善策を提案するにあたり、まず始めに音
に関する理論や知識を習得した。その理由としては、音
に関する理論や知識がなくては、音響空間を改善策を提
案しようとしても、それが本当に理論的に正しいことな
と表現できる。ここで、R(f ) はフーリエ変換の実数部
I(f ) は虚数部であり、|H(f )| は振幅で、θ(f ) は位相角
と呼ばれ、以下の式である。
|H(f )| =
√
R2 (f ) + I 2 (f )
θ(f ) = tan−1 [I(f )/R(f )]
のかが判断できないためである。その後、中講義室の残
また、フーリエ変換の逆の作業として逆フーリエ変換が
響時間の測定とシミュレーションを行った。
ある。逆フーリエ変換とは、フーリエ変換の時間領域関
シミュレーションを行うために、まず、市販されてい
数と周波数領域関数の変換を逆に行う作業である。すな
る Catt-Acoustic というシミュレーション用ソフトを勉
わち、時間領域から周波数領域への変換がフーリエ変換
なのに対し、周波数領域から時間領域への変換を行うの
対称が求まるのであれば、この逆変換によって時間信号
が逆フーリエ変換である。逆フーリエ変換は以下の式で
f (n) が正確に離散信号として求まることを意味してい
定義される。
る。また、そのような対称性を持たなければ、元の信号
∫
∞
h(t) =
に戻らないことになる。(参考:[1] 2 章 フーリエ変換, [3]
H(f )ej2πf t df
6 節 Fourier 級数の複素関数表現)
−∞
逆フーリエ変換を用いると、フーリエ変換 H(f ) からも
今回の測定では重要となる畳み込み積分というものが
との時間関数 h(t) を求めることができる。フーリエ変
ある。畳み込みは 2 つの関数から、他の関数を作り出す
換の条件として、h(t) が可積分 (積分しても発散しない)
操作で、多くの分野できわめて重要な働きをしている。
であるときにフーリエ変換、逆フーリエ変換の対が存在
畳み込みは次の畳み込み積分で定義される。
する。計算機上でフーリエ変換するには、時間区間を無
∫
∞
y(t) =
−∞
限には取れなく、信号は連続時間関数にはできない。時
h(τ )x(t − τ )dτ = h(t) ∗ x(t)
間区間は有限の区間に設定するが、このとき分析したい
こ こ で 、関 数 y(t) を 、h(τ ) と x(t − τ ) の 畳 み 込 み
信号の周波数成分のうち、最低周波数を f0 とするとこ
と呼び、この式の積分を畳み込み積分とする。この
の周波数の整数倍の周波数成分があると仮定したことに
畳み込み積分をフーリエ変換すると、以下の式が得
なり、積分区間 T0 は T0 = 1/f0 を取り、フーリエ級数
ら れ る 。こ こ で 、y(t), h(t), x(t) の フ ー リ エ 変 換 を 、
に展開することになる。
Y (jω), H(jω), X(jω) とする。
∫
ここで、信号は T ごとにサンプルされると仮定する。
時刻 t = kT でサンプルされた離散信号 f (kT ) を f (k)
{h(t) ∗ x(t)} e−jωt dt
−∞
}
∫ ∞ {∫ ∞
=
h(τ )x(t − τ )dτ e−jωt dt
−∞
−∞
{∫ ∞
}
∫ ∞
=
h(τ )
x(t − τ )e−jωt dt dτ
−∞
−∞
{∫ ∞
}
∫ ∞
−jω(T +τ )
=
h(τ )
x(T )e
dT dτ
−∞
−∞
{∫ ∞
}
∫ ∞
−jω(T )
=
h(τ )
x(T )e
dT e−jωτ dτ
−∞
−∞
∫ ∞
∫ ∞
−jωτ
=
h(τ )e
dτ
x(T )e−jωT dT
と表せば、離散化されたフーリエ変換は、
F (m) =
N
∑
f (k)e−j
∞
Y (jω) =
nπ
N mk
k=0
となる。ただし、N は正規化された時間区間 (1 周期)
である [0 − 2π] を N 分割でサンプルするときの整数と
する。また、整数 m は基本周波数の m 倍の周波数を
表す。
−∞
離散周波数での F (m) の性質として、以下の式を挙
−∞
= H(jω)X(jω)
げる。
F (N − m) =
N
∑
したがって、畳み込み積分のフーリエ変換は、それぞ
f (k)e−j
2π
N (N −m)k
f (k)e+j
2π
N (m)k
れの変数のフーリエ変換を掛け算するのと同等である。
k=0
=
N
∑
(参考:[1]4 章 畳み込み積分)
e−j
2π
N (N )k
k=0
=
N
∑
シミュレーションを行う上で 3 次元の波のふるまいを
+j 2π
N (m)k
知る必要がある。そのために、波動方程式 (Helmholtz
f (k)e
k=0
方程式)
∗
= {F (m)}
ここで、*印は複素共役をとることを意味している。し
たがって、上式から離散変換では、0 から
の係数と
N
n
3.2 波動方程式
N
2
∇2 φ ≡
∂2φ ∂2φ ∂2φ
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
(1)
1 ∂2φ
c2 ∂t2
(2)
− 1 まで
+ 1 から N までの係数は互いに協約対象
になっていることが判明した。このことは、離散信号を
有限個の長さフーリエ変換すると、周波数軸で共役対称
の形に必然的になってしまうことを意味する。この共役
∇2 φ =
この式を用いて波のふるまいを調べる。またこの式を
座標と時間に関して変数分離を行うと、
(∇2 + k 2 )A = 0
(3)
座標と時間を変数分離したことで振動する波を表現す
ることができる。
4 測定
測定を行う目的として、現在の中講義室の音響空間
測定場所
後方
周波数 [Hz]
音圧レベル [dB]
残響時間 [sec]
250
100
1.75
500
106
1.5
1000
102
1.2
2000
99
1.14
表2
教室後方の残響時間
を測定することによって、中講義室の特性や残響が
起こっている場所、最後に中講義室の残響時間を求め
シュミレーション上で求めた中講義室との結果の妥当
性を示すことである。まず、中講義室の特性つまりイ
ンパルス応答を TSP 信号というインパルス応答を求
めることができる音源を用いて求める。次に、中講義
室で正弦波を発し残響時間を求める。この時、音源は
250,500,1000,2000Hz の 4 つの周波数の正弦波を使用
し、測定する場所は下図のようにする。
時の測定条件やその詳細については、ここでは書ききれ
ないので省略する。
5 シミュレーション
シミュレーションを行う目的としては、現実にそれが
実現できるかを示すことにある。また、現実で音響空間
の問題点や解決案を考えると膨大なコストがかかってし
まう。そこで、シミュレーションを行うことで具体的な
音響空間の問題点を挙げ解決案を検討するれば、大きな
コストダウンになる。
シミュレーションでは、中講義室をモデリングした。
モデリングした中講義室は下図のようになる。
図1
測定位置
実際に求められた残響時間は下表のようになる。
測定場所
前方
周波数 [Hz]
音圧レベル [dB]
残響時間 [sec]
250
97
1.9
500
101
1.64
1000
99
1.54
2000
100
1.35
表 1 教室前方の残響時間
図2
中講義室のモデリング
中講義室をモデリングする際には、未来大学の竣工図
を参考にし、机や照明などの竣工図に載っていないオブ
以上の結果から、中講義室の残響時間は推奨されてい
ジェクトについては、自分達で計測した。中講義室のモ
る残響時間と比べると約 3∼4 倍もあることが分かり、
デリング方法については、ここでは書ききれないので省
教室の前方の方が後方よりも全体的に残響時間が長いこ
略する。このモデリングした中講義室で残響時間は表 3
とは前方の方で音や多く反響していることを示している
のようになった。
ことが分かる。この結果から、シミュレーションとの妥
当性を検証する。インパルス応答や残響時間を測定した
この結果と中講義室で実際に測定したデータを比較し
妥当性を確認する。比較した結果が図 3 である。
周波数 [Hz]
残響時間 [sec]
250
2.01
500
1.87
1000
1.59
2000
1.25
表3
時間がどれだけ減少するかは図 5 ののようになる。
シミュレーションの残響時間
図5
吸音材を設置したことによる残響時間の減少
これからもわかるように、目標としていた 0.4 秒から
0.6 秒にまで残響時間を減少させることはできなかった
が、高い周波数においては 0.6 秒に近い値を得ることが
出来た。この結果を私達のプロジェクトの最終提案とし
図3
測定とシミュレーションの残響時間の比較
て発表した。
参考文献
これより、モデリングした中講義室のデータが妥当で
あるとして中講義室の改善案の検討に入る。
[1] E.Oran Brighan. The fast fourier transform.
Prentice-Hall, 1974. （訳 宮川洋 今井秀樹. 高
6 実験及びシミュレーション結果
中講義室では、照明や換気口などの設備の干渉、可燃
性の物質を使ってはならないなどの制約があり、その制
約を守った上で吸音材を設置しなくてはならない。従っ
て、今回提案する吸音材はグラスウールを使うことを想
定し、設置したイメージ図は図 4 のようになる。
速フーリエ変換. 科学技術出版社,1985）
[2] 三木信弘.Fourier 係数と Fourier 変換-V.2.0. プロ
ジェクト学習講義ノート,2010.
[3] 三木信弘. 離散 Fourier 変換-その 2. プロジェクト
学習講義ノート,2010.
[4] CATT. CATT-Acoustic v8 User’s Manual.
Gothenburg Sweeden, 2007.
[5] 久野和弘 他 8 名. 音響学 ABC-音・振動との出会
い-. 技報堂出版 (株), 2009.
[6] 櫻井鉄也. MATLAB/Scilab で理解する数値計算.
東京大学出版会, 2003.
[7] 木村 翔. 建築音響と騒音防止計画 第 3 版. 彰国社,
1999.
[8] 前川 純一. 建築・環境音響学 初版. 共立出版 (株),
図4
吸音材の設置イメージ図
1999.
[9] Trevor J. Cox and Peter D’Antonio Second edi-
このようにする利点としては、吸音材を棒状にするこ
とにより、照明や換気口などの設備のある場所を避けら
れるようにしたこである。また、今回は吸音材を中講義
室の前に固めて設置したが、吊るすだけなのでその場所
に合せて設置が可能という利点もある。中講義室の残響
tion. Acoustic Absorbers and Diffusers:Theory,
design and application. Taylor & Francis, 2009.