SUMAR – CONTENTS – Vol. XXV (CIV), nr. 2, 2007
1. Interviu cu profesorul Dorin P. Popescu, Preşedintele S.S.M.R., cu ocazia
ı̂mplinirii vârstei de 60 de ani, consemnat de Mircea Trifu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2. Metoda funcţiilor generatoare (I), de Liviu I. Nicolaescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Une nouvelle inégalité qui simplifie essentiellement la démonstration
de la formule de Stirling, par Andrei Vernescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Angle Bisectors in a Triangle: A problem Solving Approach, by Nathaniel Hall,
Bogdan Suceavă and Kim Uyen Truong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5. Asupra structurii grupurilor abeliene finite, de Nicolae Anghel. . . . . . . . . . . . . . . . 121
EXAMENE ŞI CONCURSURI
6. Examenul pentru obţinerea gradului didactic II – sesiunea august 2006 –
Universitatea Transilvania din Braşov de Eugen Păltănea şi Emil Stoica . . . . 124
NOTE MATEMATICE
7. Subalgebre nilpotente din L(Kn ) de Adrian Reisner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
PROBLEME PROPUSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
SOLUŢIILE PROBLEMELOR PROPUSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
MANIFESTĂRI ŞTIINŢIFICE
8. Conferinţa internaţională de Algebră comutativă Constanţa, 29-31 martie 2007 . 146
9. Laudatio cu ocazia conferirii titlului de Doctor Honoris Causa al Universităţii
Ovidius din Constanţa profesorului universitar dr. Dorin-Mihail Popescu,
de la Universitatea din Bucureşti şi de la Institutul de Matematică Simion Stoilow
al Academiei Romne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10. Şcoala de vară de Criptografie de la Vatra Dornei, 20-25 august 2006 . . . . . . . . . . . 150
DIN VIAŢA SOCIETĂŢII
11. Academicianul Profesor Dimitrie D. Stancu la 80 de ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
REVISTA REVISTELOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
RECENZII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
POŞTA REDACŢIEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
c
Materialele primite la redacţie (probleme, note, articole etc.) se publică
cu acordul implicit al autorului care, odată cu transmiterea spre publicare,
cedează S.S.M.R. dreptul de proprietate intelectuală asupra acestora.
Copyright-ul aparţine editorului (S.S.M.R).
Toate drepturile privind reproducerea, parţială sau totală, sub orice
formă a materialelor publicate ı̂n Gazeta Matematică, sunt rezervate
Societăţii de Ştiinţe Matematice din România.
ISSN 1584-9325
6 lei
Asupra structurii grupurilor abeliene nite
de Nicolae Anghel
Abstract
In this note we present a direct elementary proof to a classical result regarding
the structure of nite abelian groups as products of descending cyclic groups.
Key words: nite groups, abelian groups, cyclic groups, classication theorem.
M.S.C.: 20K01, 20K25
Un rezultat clasic în teoria grupurilor abeliene nite arm c , pân la un
izomorsm, orice grup abelian nit netrivial este caracterizat în mod unic de un ³ir
de numere naturale
m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mp ≥ 2, cu proprietatea mp mp−1 . . . m2 m1 .
În general exist dou nivele de demonstraµie pentru acest rezultat [1, 2]:
1) Teoria elementar a grupurilor.
Demonstraµiile uzuale în acest context,
de³i elementare, par ocolitoare datorit folosirii descompunerii în factori primi a
numerelor naturale.
2) Teoria avansat a algebrelor comutative. Demonstraµiile de acest tip sunt
o consecinµ a teoremei factorilor invarianµi ³i ca atare devin inaccesibile matematicianului încep tor.
O nou demonstraµie, în spiritul punctului
2),
dar la nivelul punctului
1),
poate ap rea deci interesant . Scopul acestui articol este de a prezenta o astfel de
demonstraµie. Se poate spune chiar c dup însu³irea câtorva concepte de baz din
teoria grupurilor privitoare la ordinul unui element, grupuri ciclice, grupuri factor ³i
sume directe interne, demonstraµia propus va pe înµelesul liceanului pasionat de
matematic .
Fie
G
un grup abelian nit. Conform uzanµelor, operaµia de grup în
G
va iar elementul neutru prin 0. Dac n este un num r natural,
n
n
subgrupul n-anulator al lui G, notat G, se dene³te prin G := {g ∈ G|ng = 0}.
notat aditiv prin
+,
Exponentul e(G) al lui G este atunci cel mai mic num r natural cu proprietatea
n
G = G. Este u³or de v zut c ordinul ec rui element din G este un divizor al
lui
e(G)
³i c exist elemente de ordin
divizor al ordinului lui
Subgrupurile
e(G)
în
G.
Rezult a³adar c e(G)
este un
G, |G|.
n-anulatorii
au dou propriet µi simplu de demonstrat ³i care
vor juca un rol major în cele ce urmeaz .
n-anulatori izomor.
n-anulatorul unei sume directe de grupuri abeliene nite este egal cu suma
direct a n-anulatorilor respectivelor grupuri.
Pentru a termina aceast introducere vom nota prin g subgrupul ciclic al
lui G generat de g ∈ G ³i prin |g| ordinul acestui subgrup. O submulµime F ⊆ G se
f e o sum direct va numi n-direct dac toate elementele lui F au ordin n ³i
a) Grupurile abeliene nite izomorfe au
b)
f ∈F
intern în
G.
|f |-direct .
De exemplu, orice submulµime cu un singur element
Evident orice submulµime
Submulµimile
n-direct F = {f }
este
poate extins la una maximal .
e(G)-directe maximale vor inspectate mai atent în urm toarele dou leme.
121
Lema A. O
nent
e(G)
e(G)-direct F a unui grup abelian nit G
³i numai dac e G/ ⊕ f < e(G).
submulµime
este maximal dac de expo-
f ∈F
Demonstraµia Lemei A decurge imediat
simpla observaµie c pentru un
din element
h∈G
de ordin
e(G),
dac ³i numai dac clasa lui
suma
h
h +
⊕ f f ∈F
în grupul factor
G/ ⊕ f f ∈F
Lema B.
submulµime
este una direct intern în
Dac G este un grup abelian
e(G)-direct maximal F exist un
are ordinul
G
e(G).
nit netrivial, atunci pentru orice
al lui
G, e(H) < e(G),
Vom face demonstraµia prin inducµie dup |G|. Pentru valori
G este un grup
subgrup
H
cu proprietatea
G = ⊕ f ⊕ H.
f ∈F
Demonstraµie.
|G|, |G| = 2, 3,
automat H = 0.
mici ale lui
ciclic ³i
armaµia este evident pentru c atunci
N ≥ 4, armaµia este adev rat G este un grup abelian de ordin
N . Fie F o submulµime e(G)-direct maximal în G. Pentru simplitate s not m
prin n exponentul grupului factor G/ ⊕ f . Atunci n este un divizor al lui e(G)
f ∈F
e(G) f f ∈ F este o
³i, conform Lemei A, n < e(G). Este evident c mulµimea
n n
n
submulµime n-direct a grupului G ³i, prin urmare, e ( G) = n. Vom extinde acum
e(G) f f ∈ F pân la o submulµime n-direct maximal în nG, prin ad ugarea,
n n
n
s spunem, unei mulµimi D ⊆ G. Cum | G| < |G|, conform ipotezei de inducµie
n
n
exist un subgrup L ⊂ G, e(L) < e( G) = n, cu proprietatea:
e(G)
n
f ⊕ ⊕ d ⊕ L.
G= ⊕
(3)
n
f ∈F
d∈D
S presupunem acum c pentru un
N
pentru grupuri de ordin strict mai mic decât
xat,
N
³i c Demonstraµia va complet dac ar t m c G = ⊕ f ⊕
f ∈F
Fie
p trate
[·]
g ∈ G.
Cum
numere naturale
⊕ d ⊕ L .
d∈D
e G/ ⊕ f = n,
reprezint clase în
exist un element
f ∈F
G/ ⊕ f .
v ∈ ⊕ f f ∈F
f ∈F
avem
n[g] = [0],
În consecinµ ,
ng ∈ ⊕ f .
f ∈F
astfel
f ∈F
0 = e(G)g =
e(G) e(G)
(ng) =
λf f,
n
n
f ∈F
122
Arm m c n(g − v) = 0. Într-adev r,
încît ng =
λf f . Deci
cu proprietatea
0 ≤ λf < e(G), f ∈ F ,
unde parantezele
exist ³i cum suma
Dar
⊕ f f ∈F
|f | = e(G)
este una direct , pentru ecare
e(G)
λf
n
f = 0.
e(G)
λf , ceea ce este
e(G) este un divizor al lui
n
orice f ∈ F , n este un divizor al lui λf . Deci
λf
f . Cu alte cuvinte g − v ∈nG. Conform egalit µii
n
f ∈F
e(G)
f , t ∈ ⊕ d ³i l ∈ L, cu proprietatea
w∈ ⊕
n
f ∈F
d∈D
unde
exist elemente
avem
³i, prin urmare,
echivalent cu faptul c pentru
n(g − v) = 0,
f ∈ F,
v=
(3),
g − v = w + t + l.
Din moment ce
⊕
f ∈F
e(G)
f
n
⊂ ⊕ f , g = (w + v) + (t + l)
ne arat c f ∈F
G = ⊕ f +
f ∈F
⊕ d ⊕ L .
(4)
d∈D
R mâne de ar tat c membrul drept al egalit µii (4) este o sum direct intern în
G.
v + (t + l) = 0.
S presupunem c pentru
Atunci,
n(t + l) = 0,
v ∈ ⊕ f , t ∈ ⊕ d
deoarece
f ∈F
t+l ∈ G
mai înainte, se vede c acest fapt este echivalent cu
(3) implic deci c ³i
d∈D
l ∈ L,
f ∈F
e(G)
f
n
nv = 0.
Ca
. Egalitatea
În orice grup abelian nit netrivial
g 1 , g2 , . . . , gp de ordine respective m1 , m2 , . . . , mp ≥ 2,
mp mp−1 . . . m2 m1 ³i G = g1 ⊕ g2 ⊕ · · · ⊕ gp .
exist elemente
etatea c avem
³i, prin urmare,
v∈ ⊕
v = 0, t = 0, l = 0. Teorema de Clasicare Existenµa.
G
n
cu propri-
G, apoi în
g1 , g2 , . . . , gp sunt
Demonstraµia const într-o folosire repetat a lemei B, mai întâi în
subgrupul asociat
H
etc., pân când se obµine
H = 0.
Elementele
pur ³i simplu o indexare progresiv a elementelor aparµinând tuturor submulµimilor
directe maximale care apar pe parcurs. Este clar c ordinele lor,
e(G), e(H)
etc.,
repetate corespunz tor, satisfac condiµia de divizibilitate cerut .
Teorema de Clasicare Unicitatea.
Dac elementele g1 , g2 , . . . , gp , cu
m1 , m2 , . . . , mp ³i h1 , h2 , . . . , hq , cu ordine respective n1 , n2 , . . . , nq ,
satisfac simultan condiµiile teoremei de existenµ , atunci p = q ³i m1 = n1 , m2 = n2 ,
. . . , mp = n p .
ordine respective
Demonstraµie.
Prin reducere la absurd, s presupunem c cele dou ³iruri
r cel mai mic num r natural cu proprietatea
r > 1, deoarece m1 = n1 = e(G). Teorema de
existenµ garanteaz atunci existenµa unor subgrupuri G1 , G2 ³i H1 , H2 cu propriet µile G = G1 ⊕ G2 = H1 ⊕ H2 , G1 este izomorf cu H1 , e(G2 ) = mr ³i e(H2 ) = nr .
nr
În consecinµ ,
G =nr G1 ⊕nrG2 =nr H1 ⊕nrH2 , |G2 | = |H2 | ³i |nr G2 | = |nrH2 |.
n
Ultimele dou egalit µi sînt îns contradictorii, deoarece rH2 = H2 , dar cum
e(G2 ) = mr > nr , nrG2 G2 . de ordine nu sunt identice. Fie atunci
mr = nr ,
s zicem
mr > n r .
Avem
123
Bibliograe
[1] I. D. Ion, N. Radu
(1991).
[2] S. Lang,
Algebra
Algebr Ediµia a IV-a, Editura Didactic ³i Pedagogic , Bucure³ti,
3rd Edition, Springer, NewYork, (2002).
Departamentul de Matematic Universitatea Texasului de Nord
Denton, TX 76203, S.U.A.
e-mail: [email protected]
EXAMENE “I CONCURSURI
Examenul pentru obµinerea gradului didactic II
sesiunea august 2006 Universitatea Transilvania din Bra³ov
de Eugen P lt nea ³i Emil Stoica
În vederea test rii nivelului de preg tire al candidaµilor la disciplina matematic , precum ³i a cuno³tinµelor de metodica pred rii specialit µii, comisia a optat
pentru o proba scris cu un conµinut clasic.
Au fost propuse trei subiecte:
un
subiect de algebr (teorie ³i metodica pred rii specialit µii), un subiect de analiz matematic ³i respectiv un subiect de geometrie. S-a urm rit ca rezolv rile itemilor
propu³i s necesite cuno³tinµe matematice variate din programele de gimnaziu (aritmetica numerelor întregi, elemente de geometrie sintetic ) ³i respectiv liceu (clasele
de resturi, studiul variaµiei funcµiilor reale, convergenµa ³irurilor, limitele de funcµii,
calculul integral). Au fost testate ³i alte cuno³tinµe, specice programei examenului
de gradul II (relaµia de echivalenµ , convergenµa seriilor numerice ³i transform rile
geometrice).
Structurarea subiectelor a fost realizat cu respectarea principiului
grad rii dicult µii. S-a urm rit de asemenea o repartizare adecvat a punctajului.
În urma veric rii lucr rilor, s-au consemnat rezultate sensibil superioare celor
înregistrate în anii precedenµi la aceea³i prob , în centrul universitar Bra³ov. Aceasta
se datoreaz în principal dicult µii matematice moderate a probei propuse în acest
an, precum ³i amelior rii nivelului de preg tire al candidaµilor.
Un factor indis-
cutabil pozitiv îl constituie publicarea consecvent a subiectelor propuse la diverse
concursuri sau examene ale profesorilor de matematic în paginile revistei Gazeta
Matematic Seria A. Candidaµii au avut astfel la dispoziµie modele recente utile de
enunµuri ³i rezolv ri.
Cele 21 de cadre didactice prezente în examen au obµinut medii cuprinse
între 7 ³i 9,33. Situaµia statistic a rezultatelor înregistrate este ilustrat de tabelul
urm tor:
124