"!#$%&()' * !+"+,
-./ 0 1/2 1' -3!+"54
6 ) ' -3!7 6 82 - "9:,;0 83<,=83
>@?BADCFEHG"IJADK ADLNM(OQPSRTUIWVX=CXYVZVT1RZG"IJADK [QA;\ M
]_^_`bYa cdfehgib
jDk#lJmFnFo/pqm
r:sutvsxwzy3{Wtv|~}€v‚„ƒ†…‚‡†ˆŠ‰Œ‹ˆŽ/…’‘‘“Ž”‡†•J–Jˆ…’–—x˜‰Œ‹:–Jˆz™qš‚š’š~›œ:•‡Ÿž {¡„sh¢†tŒ£3}#v‚„ƒ†…‚‡†ˆŠ‰Œ‹ˆŽ¤‰vƒ†…+ƒ†…’v‘¦¥
ˆŽ”‡†ˆ§3š
¨‰(–:ˆ¦©F…‚ƒª…’‹i‡Ž”‡†•:–JˆŠ…’Ž-‰v«_…‚¬v‰Œ‘•‡†ˆŠ‰Œ‹­‰v«fŽ”®W¯…‚ƒªˆ‚v‘“v‚„ƒ†…‚‡†ˆ‰Œ‹­°J‰±Ž3ƒ†…7®:ƒ†…’Ž”…’‹²‡”…’–“³
´ š7œ²¨¶$¯…ŸŽ”‰Œ®J‘Š¬ ƒª‰µˆ‹„¸¹…’Ž†‡†Ž¯‰v…«_®:v3‚ƒª„‡†ƒªˆv…‚‡†‘ ˆŠ–J‰Œˆ¦‹©º…‚‰vƒ†«_…’ˆ‹i‹J‡†ˆˆ§‡†vˆ‘ v…’‘‘Š»²¶·•J¯J3‰Œ‡†ˆ¤‰Œ‹J‰vŽ_¸v…’‰v‹«W…‚°W‰Œ•J•JˆŽ±–€¸Œ–v¶µŽ‹:‰Œv‹²¤(‡”‰1ˆ‚Ž¼(ˆŽ”‹€‰Œ¬3‘§ˆ3–8ƒªˆŠœ:‰Œv•J‘Ž_‘z™ƒ†Ž”…‚‡†¸Œ•:ˆ§¤–JˆŠ…’…’Ž‚– ™
‰vœJ‡†vˆ‹Jˆ§‹¸³/—xˆ½›¾v‹(ˆ§‹JˆŠ‡†ˆv‘“¢†¿²tŒÀ’sJŽ†‰Œ‘•‡†ˆŠ‰Œ‹“™:—xˆ§ˆ½›¾Ÿ„ƒ†‰ŒŽ†Ž”‰¬v…‚ƒÁœº…‚‡h/…‚…’‹(‡Â‰+ˆ§‹i‡”…‚ƒª¤(…’–Jˆ3‡”…
vŽ”¶ ¤®J‡”‰v‡†ˆ7Žªˆ¤(ˆ‘3ƒ~ˆŠ‡h¶ƒ†…‚¸Œˆ§¤…’Ž‚™:v‹J–×xˆˆˆ½›
‡†¯…7Ä:‹:v‘“Ž”‡†3‡†ˆ7Ž”‡†3‡”…vš
Å š7‡†¨¯¯…’…ˆŠƒv…‚‹J¬vv‰Œ‘Š¶µ‘•J‡†‡†ˆ‚ˆŠ‰Œv‹“‘Jš Ž†‡†•J–¶7‰v«º‡†¯…v„‰Œ•JŽ†‡†ˆ-®º…‚ƒ†‡†•ƒ†œ:3‡†ˆ‰Œ‹JŽf‰v«FŽ”…’‘«§¥hŽ†ˆ§¤(ˆ‘3ƒ_˜/‰Œ‹J–Jˆµ°J‰Æv‹J–
ÇµÈ ™WÉ È
Ê̈Í
Î ‹JˆŠ‡†ˆ§v‘F„‰Œ‹:–JˆŠ‡†ˆŠ‰Œ‹JŽ-«Ï‰vƒ®Jƒª‰vœ:‘Š…’¤Ð— ´ ›~š
Ñ ¯‰ †Òv…’–v‚„ƒ†…‚‡†ˆŠ‰Œ‹“š
ÓÃÔ¹Õ o
mWֆ×Ø#lBoØ$ÙÚlFp¼o/ۆÜÝl
Þ ß v –Jˆ§v‘º°:•Jˆ–"…’»µ•J3‡†ˆŠ‰Œ‹JŽ‚³
—xà‰vƒ¹®F‰Œ‘¶²‡”ƒ†‰v®Wˆ±°:‰ÆáÉDâ nj㠛
ä Ç ä — Ç²ç › Å — Çiç ›
—x¤·vŽ†Ž„‰Œ‹JŽ”…‚ƒª¬3‡†ˆŠ‰Œ‹F› Ë
J
ä
$
å
æ
:
ä
è
æ
è
ë
é
ê
ä ç ç ä ç — è › ´ ä É —x¤‰Œ¤…’‹²‡†•J¤S„‰Œ‹JŽ”…‚ƒª¬3‡†ˆŠ‰Œ‹F› Ë
ä:å æ ä:è éDì-í ì Ç ä:è
Ë
ä É çä É
Ï
—
’
…

‹
‚
…
†
ƒ
v
¸
U
¶
„

Œ
‰
J
‹
†
Ž
‚
…
†
ƒ
¬
3

†
‡

ˆ
Œ
‰
W
‹
›
äJå Ç ã æ äJè Ç ã éëê
Ç ¸Œ¸ŒvvŽîŽ–¬v…’…’‘Š‹J‰ Ž†‚ˆˆŠ‡h‡h¶ ¶
çÉ ¸ŒvŽ±®Jƒ†…’Ž†Ž†•Jƒ†…
—í è › éÌï Êëð èWñ ¸vƒ~’¬ ˆŠ‡†3‡†ˆŠ‰Œ‹Jv‘¾v‚„…’‘Š…‚ƒª3‡†ˆŠ‰Œ‹
ò ®º‰Œ‘Š¶µ‡”ƒ†‰v®:ˆ§¹„‰Œ‹:Ž”‡†v‹i‡
Þ ßÍ$’… ªË ‘ŠÊ̅‚¬3Ë v‹²‡±Ë Ž†‚vË ‘Š…’Ž
É È Ç È <ï ó
ð3÷ ›ùø ͟ú — Ç²È ð„Ê ›-ƒª3‡†ˆ‰‰v«_–J…’‹JŽ†ˆŠ‡†ˆŠ…’Ž
Ï
—
ö
Å Ž†¤·v‘‘ –Jˆ§¤…’‹JŽ†ˆŠ‰Œ‹:‘Š…’Ž†Ž=‹µ•J¤+œº…‚ƒªŽõô û:üÂþý ƒª3‡†ˆŠ‰(‰v«f‡†¯…‚ƒª¤(v‘q‡”‰(®º‰v‡”…’‹i‡†ˆv‘q…’‹…‚ƒ†¸v¶
ÿ
—xŽ”‰Œ•J‹J–Ž”®º…‚…’– È é ò É È ð Ç²È ›
Í ÊYð ñÈ — ÊYð ÇµÈ ›
ú –…‚ÄW‹… ÊYð ñÈ
…’‹¸v‡†¯Ž†‚v‘Š…’Ž‚³
ï
ó
éÌï
Ê ÊYð úÈ ´ ð DzÈ
¨ˆ¤…ŸŽ†‚v‘…’Ž‚³ ͟ú ñ ð ï ï
ï
Ž†¶µ¤®:‡”‰v‡†ˆ‚
Ž þ Ë ÿ ü þ þ !
ó !" ‹‰·Ž”…’‘Š«½¥u¸vƒªƬµˆŠ‡Â¶
#
؀ÖùmWÖ oÛ­lJmqo%$±Ü¾l
Þ & ‚… ƒªˆŠ¬33‡†ˆŠ‰Œ‹U‰v«_…(' v„‡îŽ”‰Œ‘•‡†ˆŠ‰Œ‹— è ì Í Í$Ë í(é ÿû ý „‰Œ‹JŽ”‡†v‹²‡~›
à_‘•Jˆ–"…’»µ•J3‡†ˆŠ‰Œ‹JŽˆ§‹U–JˆŠ¬v…‚ƒ†¸v…’‹J„…+«½‰vƒª¤­³
Ë
*ä )
*ä + — ) ›
) ›
—
äJå æ ä:è é-,
Ë
Ë
ð
Ë
)
é › . Ç ÇiçÇiç 1Ç Ë 0Çið ç æ ñ Ë Çiç Éñ Ë 3Å ð — 21Ç 0 Dzç ñ ð ÅË É#› ç 2 Ë ð ð
+ — )/
—, ) › é é . . Å Çiç è æŠDzç ñ è ìæ í — è › Ç ì æ Å — 4Ç 0 æ Çiç ñ Å æ É#› è ìí — è › Çiç 2
— 0 é ã 6 5 ˆŽ-‡†¯…+…’‹…‚ƒ†¸v¶8–…’‹JŽ†ˆŠ‡Â¶›~š
Ñ <>‰Œ= ‘Š¬v…7ˆ‹8«xv‘‘ˆ§‹<>¸$= «½ƒªv¤(…7‹…’3ƒ±Ž†•ƒª«Ïv„…1— , — ) 8› 7 ê ›vŽ‡†¯…+»µ•JvŽ†ˆ‘§ˆ‹…’3ƒ:9 &;
› B <ED é=ê ™Jœ²¶8–…‚Ä:‹:ˆ‹¸ª¯J3ƒ~v„‡”…‚ƒªˆŽ”‡†ˆ‚Žîv‹J– ß ˆ…’¤(v‹J‹­ˆ‹²¬33ƒªˆv‹²‡†Ž‚š
<>? æA@ — ) C
Ϋ½‰v‹:ƒ~ˆŠ‡†¤ ˆv‡†‘±¯À~…Ÿy3{¸v¡ƒ†‰Œsutv•J{:‹:sŸ–W¡„›~suGš tvFsh¢ ’"¬v…#«½«Ïƒª‰v‰Œƒ†‹i-‡±3ƒª3–‡ Iè Ž†ˆH ¤®W‘Š…å/Ƭv…Zå ñ—Ï®J³ƒ†‰v®:3¸Œ3‡†ˆ§‹¸•J®²-3ƒª–JŽ‚™ è ¯…’ˆŠ¸Œ¯²‡
é È Kì Jñ
Ë Qè P È å å ñ
L
å
Ë
ç — è å › é MON ì-ì í ü þ ì ãñ 6 í å æKRì S Jñ T ü þ æ ãñ 6 í åVU ñ ì ñ J è Ë èXW È å ìKJñ å ñ Ë
ã ã
ã ã Ë ã
ý
Ç — è Ë å › é DzÈZY ´ æ ò ìÅ ´ ç — è å › È æ.í å [ \(] 8^
Þ Ñ ¯‰ †Ò"/Ƭv…v³ «Ï‰vƒ _å P Å È 4ð ` — ò æ ´ › í3a“ó ç ¤€•J‘Š‡†ˆŠ¬3v‘•…’– " –Jˆ§Ž†„‰Œ‹i‡†ˆ§‹²•Jˆ‡h¶vš
9
ƒ†‰v®W3¸Œ3‡†ˆŠ‰Œ‹ ‰v«-Ž†¯‰ †Ò/Ƭv…
v‹Òµˆ§‹…„¥ bî•J¸v‰Œ‹JˆŠ‰v‡Ÿ„‰Œ‹JŽ”…‚ƒ†¬33‡†ˆŠ‰Œ‹ ƒª…’‘3‡†ˆŠ‰Œ‹JŽŸv„ƒ†‰ŒŽªŽ
ß
ó
‡†¯…+–Jˆ§Ž†„‰Œ‹i‡†ˆ§‹²•Jˆ‡h¶vš
t
2
1.5
0
v -0.5
-1
1
0
0.25
0.5
-¯J3ƒªv„‡”…‚ƒªˆ§Ž”‡†ˆ‚Žˆ‹8‡†¯…+«Ïv‘‘§ˆ‹¸€«½ƒªv¤(…vš
c
0.5
1
1.5
2
2.5
x’
1
0.5t
0.5
x 0.75
1 0
à‰vƒª¤(3‡†ˆŠ‰Œ‹­‰v«f‡†¯J…+Ž†¯‰ †Ò"/Ƭv…vš
Ö Ö”Û o/nÖùmhg lW×Û Õ mWֆ×Ø#l
d fe
Þ Ñ—kj ˆ ¤(ˆ§‘3› ƒªˆŠ³‡Â¶.…’»µ•J3‡†ˆŠ‰Œ‹:Ž— í „‰Œ‹JŽ”‡†v‹²‡‚™ È ó ê ›~™¹±ˆŠ‡†¯ y3{F¢Uˆ‹J–…‚®º…’‹J–…’‹²‡(¬33ƒªˆ3œ:‘…Xi
&;
Î ‹²‡”…‚ƒª¤…’–:ˆ3‡”…+vŽ”¶ ¤®J‡”‰v‡†ˆ‚Žl ñÈ ð í è Í š
n
` m*n
m
i
—æ ì Å ›po aæ m éëê n Ë
— m ì Å h› i m n æ m ñ ì m éDì i´ oì Årq æ i q Ë
— m ì Å h› i ` ‘‹ q ã a n æ Å — m ì ´ o› éëê Ë
o
±¯…‚ƒ†…
è Ë ç è mÝË Ç ÇµÈ Ë É èWñ Ç²È q ^
i
é í åñ é å é o é åñ
Ñ ¯‰ †Ò"/Ƭv…v³ 3ç s é Å è s ð å é Å i s í å š
Ñ …’‘Š«½¥hŽ†ˆ¤(ˆ§‘3ƒ¬v…’‘‰µ‚ˆŠ‡Â¶8®:‘Š‰v‡‚š
Þ ÎÑ ‹²ˆ¤(‡”…‚ˆ§ƒª‘¤3ƒª…’ˆŠ–:‡Â¶ˆ3…’‡”»²…+•Jv3Ž”‡†¶ ˆ‰Œ¤‹J®JŽ#‡”‰v— í ‡†ˆ— ‚è Ž › éÌï Êëð èWñ ™ è ðÍ ó! ›~³
Í è i è úÆð — Ê åùñ ›~š
ó é ï
n
` t÷ m*n
t÷ m
i
—æ ì Å p› o aµæ ÷tm éëê Ë
— t÷ m ì Å ›hi m n æ t÷ m m ñ ì m é` ì i ð 6 ì n o 6 o — mÅrq æ ÷ i q n › Ë
— ì Å h› i ‘‹Ý— q o 㠛 a æ Å — ì ´ › éëê ^
Ñ ¯‰ †Ò"/Ƭv…v³ 3ç s é Å ð3÷ — è s ð å › é Å ð3÷ — ï Ê i s › ú å 6 ú š
6.5
6
ln t
5.5
5
0
-50
-100 v
-150
7
8
9
ln x
2
-200
10
static solution
(ρ / ρ0) (γ-1) / 2
1.8
(P* γ / ρ) 1/2
1.6
-v*
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
•:¤…‚ƒªˆ‚v‘“ˆ‹²‡”…‚¸vƒª3‡†ˆŠ‰Œ‹±ˆŠ‡†¯ Íwv éRx 3‡ å v éKy —Ïœµ¶{z3ƒ~ˆ|9_~}ZF‰vƒf}’v‹‰™:±ˆŠ‡†¯
t '²k¥ F …’‹J–Jƒ†‰3©Z¤…‚‡†¯‰ –Uv‹J–­•J‹:ˆŠ‡†Ž: È
éíé ´ ›
u
0
0
5
10
15
20
25
x*
30
35
40
45
50
d
mqo
mFֆp lmÝo
mFÜ
¨ ¯…1Ž†¯‰ †Ò –JˆŽ†3®:®F…’3ƒ~Ž ±¯…’‹ wå € ï Êëð úÈ v‹J– è s‚ éSï Êëð ñÈ œº…’‚v•JŽ”…1ˆ‡†ŽŸ¬v…’‘Š‰ ‚ˆŠ‡h¶
œº…’„‰Œ¤…’Ž±Žª•œ:Ž”‰Œ‹Jˆ§ ó Ž”‡†3‡†ˆ7Ž”‡†3‡”…vš
ƒ
Þ ˜-3ƒ†‰Œ¤…‚‡”ƒªˆ7«½‰vƒª¤€•J‘ ³ ƒ…„
„
É
Ë É<â Ç ã
è
è
—
›
"
Ç éDì í Ê
† Ç ã 6 ´ Ç È ï ´ —ò ´ › ^
ò
ì
´
Dz4È ‡ é æ ò É È è é æ ì è
Þ (¥hŽ”®W¯…‚ƒ†…Ÿ‰v«f¸vƒª’¬ ˆŠ‡†3‡†ˆŠ‰Œ‹Jv‘§‘Š¶1œº‰Œ•J‹:–8¸ŒvŽ‚³
ˆŠ‰Œ‹
Î ‹:ˆŠ‡†ˆv‘‘Š¶v™
ö÷ ø ú Ç²È ^
ƒ
ƒ
à_ˆ‹Jv‘‘Š¶v™
„
„
ˆ
†
\(] ñ
H
è
è
è
—
²
›
Œ
ö
ø
Œ
ö
ø
—
›
´
´
Ç
µ
Ç
È
ò
é û
éˆ
û æ ì è ‡ èñ è
~ð Ž
Ž
‚„ƒª…‚‡”…’–¤(vŽªŽ+— ò
~
›
³
š
Å
é x y š
K

Üfnµm Õ nk·o
mWֆ×؀lá×_m’‘$Ü lFÜÝÛV”“Œl:Öfe Ö”Û o-n–•;×؀Ù#֘—€×C™
;
Þ Ñ …’‘Š«½¥hŽ†ˆ¤(ˆ§‘3ƒ/˜/‰Œ‹J–:ˆº°J‰Æ7³ ŽŒð3÷
ú ñ ™ çvÈ 6 ñ ™| È 6 ñ —žzvª¯
9f‰Æ/…‚ƒ”¥h‘’ Ž”‰Œð ‘•‡†ˆ‰Œ‹.— ò
~
›
³
µ
Ç
È
6
雚 o
閜 o
雝 o
‹²•:¤+œº…‚ƒ 韜  ›~š é
Þ „‰Œ•:Ž”‡†ˆŸ®º…‚ƒ†‡†•ƒªœ:3‡†ˆŠ‰Œ‹J:Ž ’ç ¡ éK¢¤£ ³ ‰ª©
—£ o fË ¥JrË ¦
Ë å › é Í 0w§¨0 ?«~¬ — o ›1­ ¬¯® — ¥Ër¦ ›° ^
Ñ ‰Œ‘•‡†ˆ‰Œ‹8±ˆŠ‡†¯8¬3v‹JˆŽ†ˆ¯:ˆ‹¸+°:‰ÆÌœº‰Œ•J‹J–:3ƒ†¶1„‰Œ‹J–:ˆŠ‡†ˆŠ‰Œ‹JŽ3‡ o éëê Ë†Í —x˜/‰Œ‹J–:ˆ“ƒªv–Jˆ•:Ž~›~³
—´ ´ —
”
›
›
Ë
Ë
8
Á
Ë
´
Å
ñ
ñ
«~¬ — › 0 >ý ±²kký ] tý ³ ³hVý ´ · ¸º
÷
æ
Ã
y
Â
:
Â
æ

Ä
ì
œ
—
k
½
›
½
¿

¾
¼
¹
»
ý
ñ
o é µO¶
o
o
é —  ñ ìÀœ ñ › é
ñ
y  ìÀœ
Ž†•J~¯U‡†¯J3Ň ½ ¬ÇÆ Í ý ‡†3Òv…’Žî(Žª•J‚„…’Ž†ˆŠ‰Œ‹U‰v«f¬3v‘•…’Ž+ž— È é ´ Ë Å Ë ^E^E^ ›«Ï‰vƒ…‚¬v…‚ƒ†¶  š
¬v‰Œ‘§•‡†ˆŠ‰Œ‹U‰v«_(–…’‹JŽªˆŠ‡h¶1®F…‚ƒª‡†•ƒ†œ:3‡†ˆŠ‰Œ‹—ϐ-’¬v…‚®Wv†Òv…‚‡~›~³
Ç
éDì Dz ñÈÈ — ä ? £Zæ çvÈ ä3É £ › ^
^ Ž ™:•:‹JˆŠ‡†Ž Í
ž— zvª¯‹²•:¤+œº…‚ƒ
éëê
韜é ´ ›
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
d
Õ
eÊe
o/n4g
´ š ‚ „ƒª…‚‡†ˆŠ‰Œ‹­‰v«_ˆ‹JˆŠ‡†ˆ§v‘‘Š¶(¯‰Œ¤‰v¸v…’‹J…‚‰Œ•JŽ¸ŒvŽ‚³
Þ ƒª¨ˆŽ”¯… …±‡”ˆ§‰·‹JˆŠ·‡†ˆvŽ†¯‘¾‰ ¢ª¿i†Ò"tŒÀƐ/s:Æv¬v‹J…vvš ‘¶²‡†ˆ‚v‘FŽ”‰Œ‘•J‡†ˆŠ‰Œ‹(Ž”‰µ‰Œ‹·œº…’„‰Œ¤…’Ž/–JˆŽª„‰Œ‹i‡†ˆ‹µ•‰Œ•JŽv‹J–(¸Œˆ¬v…’Ž
Þ ‡†c/¯ƒ†…+‰ŒŽ†Ž†Ž†¯J‰Æ‰µ¬vª…‚Ò1ƒ-œº…‚’‡h¬v/…€…‚®J…’ƒ†‹­‰v®:‡Â3¸Œ‰"3ˆ‡”‹²…’‡”Ž¹…‚ƒªv¤‚„…’‰v–Jƒªˆ–J3ˆ§‡”‹…Ÿ¸v‡”Ž”‰·¶ ¤‡Â®J‰"‡”‰vŽ”‡†…’ˆ§7‘Š«½¥hŽ†Ž†ˆˆ¤(¤(ˆ§ˆ‘‘§33ƒªƒ-ˆŠ‡Â‘§¶’±ƒ†…‚Ž‚¸Œ™Jˆˆ§¤‹JˆŠ…’‡†Ž‚ˆv™‘î‘¶·¯…‚vƒ† … ¥
„…’‘Š…‚ƒª3‡†ˆ‹J¸(v‹J–U…‚¬v…’‹²‡†•Jv‘‘Š¶8–…’„…’‘Š…‚ƒª3‡†ˆ§‹¸(v‹J–U¬3v‹JˆŽ†¯:ˆ‹¸š
Þ à_ˆ‹Jv‘“¯²¶µ–ƒª‰ŒŽ”‡†3‡†ˆŸŽ”‡†3‡”…v™W±ˆŠ‡†¯U‘3ƒ†¸v…#v‚„ƒ†…‚‡”…’–¤·vŽ†Ž‚š
Å wš ®º9f…‚…‚ƒ†ƒ†‡†‡†••ƒ†ƒ†œ:œ:33‡†‡†ˆˆ‰Œ‰Œ‹J‹JŽ-Žv‰v‘« ‘Š‰ÆŽ”î…’Ž‘Š«½¥h‰ŒŽ†‹ˆ¤(…7ˆ‡”‘§‰·3ƒ$‚3˜/ƒª‰Œƒ†¶1‹J–:‰Œˆ•J°J‡±‰Æ+–³…‚‡†¨v¯ˆ‘Š…­…’–v‹JŽ”‡†v•J‘¶²–‡†¶1ˆ‚‰vv«f‘±‡†Ž”¯J‰Œ…’‘ˆŠ•ƒ‡†…‚ˆŠ‰Œ¬v‹‰Œ‘•«Ï‰v‡†ƒ·ˆŠ‰Œv‹q„š ‰Œ•JŽ†‡†ˆ