PERTEMUAN - 4
DETERMINAN DARI MATRIKS
Minor dan Kofaktor
Bila matriks Aij adalah matriks A yang dibuang baris ke i dan kolom ke j,
maka  Aij  di sebut minor ke ij dari A atau : Mij =  Aij  dan
kofaktor ke ij dari A adalah : (-1)i+j .  Aij 
disingkat :
Kij = (-1)i+j . Mij
Contoh :
A 3x3
1 2 3
= 4 5 6 
7 8 7 
1
4
7
2
5
8
K
23
3
6
7
= (-1 ) 2 + 3 . M
= ( −1) .
5
1 2
7 8
23
= −1(1x8 − 2 x7)
= -1(8 - 14) = -1(-6) = 6
Mencari Determinan
a. Cara Sarrus (khusus ordo 3 x 3)
b. Cara Kofaktor (ordo n x n)
c. Diubah terlebih dahulu menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga
bawah , kemudian menggunakan sifat determinan dari matriks segitiga atas atau
matriks segitiga bawah, di mana determinannya adalah hasil kali semua elemen
pada diagonal utumanya.
Contoh :
Diketahui :
1 2 3   a 11 a 12
A =  4 1 5  =  a 21 a 22
3 2 4   a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
Cara Sarrus
1 2 3 1 2
 A  = 4 1 5 4 1
3 2 4 3 2
- - - + + +
A= [(1.1.4)+(2.5.3)+(3.4.2)] - [(3.1.3)+(1.5.2)+(2.4.4)]
A = (4+30+24)-(9+10+32)
= 58-51=7
Cara Kofaktor
a12 
a
Diketahui matriks A =  11
 , tentukan determinan matriks A !
a21 a22 
a11 a12
K11 = (−1)1+1 a22 = a22 ,
a21 a22
a11
a21
a12
K12 = (−1)1+ 2 a21 = − a21 ,
a22
a11
a21
a12
K 21 = (−1) 2+1 a12 = − a12 ,
a22
a11
a21
a12
K 21 = (−1) 2+1 a12 = − a12
a22
.
1. Matriks diekspansi pada baris –1 :
A = a11 ⋅ K11 + a12 ⋅ K12
A = a11 ⋅ a22 + a12 ⋅ (−a21 )
A = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
2. Matriks diekspansi pada baris –2 :
A = a21 ⋅ K 21 + a22 ⋅ K 22
A = a21 ⋅ (−a12 ) + a22 ⋅ a11
A = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
3. Matriks diekspansi pada kolom –1 :
A = a11 ⋅ K11 + a21 ⋅ K 21
A = a11 ⋅ a22 + a21 ⋅ (−a12 )
A = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
4. Matriks diekspansi pada kolom –2 :
A = a12 ⋅ K12 + a22 ⋅ K 22
A = a12 ⋅ (−a21 ) + a22 ⋅ a11
A = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
Dapat disimpulkan , bahwa :
Determinan A dari ordo 2x2 = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
1 2 3 
A = 4 1 5 
3 2 4
, tentukan determinan A = ?
Matriks diekspansi pada baris pertama :
K 11 = ( −1) 1+1
K12 = ( −1)1+2
1 5
2 4
4
3
K 13 = ( −1) 1+ 3
= +1( 4 − 10) = −6
5
= −1(16 − 15) = −1
4
4
3
1
= +1(8 − 3) = 5
2
A= a11.K11+a12.K12+a13.K13
= (1)(-6)+(2)(-1)+(3)(5)
= -6-2+15 = -8+15 = 7
Contoh : Tentukan determinan dari
1
A = 
3
∗
2
a 11 a 12 
=
a a 
4 
 21 22 
Matriks A diekspansi pada baris ke 1
K11 = (-1)1+1 4 =+1(4)=4
K12 = (-1)1+2 3 =-1(3)=-3
A= a11.k11+a12.k12
= (1).(4)+(2).(-3)
= 4-6 = -2
∗
Matriks A diekspansi pada kolom ke 1
K11 = (-1)1+1 4 =+1(4)=4
K21 = (-1)2+1 2=-1(2)=-2
A= a11.K11+a21.K21
= (1).(4)+(3).(-2)
= 4-6 = -2
Mencari determinan dengan cara kofaktor dari matriks n x n, banyak-nya = (n + n) cara
jadi untuk matriks 3 x 3 , ada (3 + 3) cara = 6 cara
Contoh :
A 3x3
a 11 a 12 a 13 
= a 21 a 22 a 23 
a 31 a 32 a 33 
Matriks A diekspansi pada baris ke 1 :
A = a11 ⋅ K11 + a12 ⋅ K12 + a13 ⋅ K13
Matriks A diekspansi pada baris ke 2 :
A = a21 ⋅ K 21 + a 22 ⋅ K 22 + a 23 ⋅ K 23
Matriks A diekspansi pada baris ke 3 :
A = a31 ⋅ K 31 + a 32 ⋅ K 32 + a 33 ⋅ K 33
Matriks A diekspansi pada kolom ke 1 :
A = a11 ⋅ K11 + a21 ⋅ K 21 + a31 ⋅ K 31
Matriks A diekspansi pada kolom ke 2 :
A = a12 ⋅ K12 + a 22 ⋅ K 22 + a 32 ⋅ K 32
Matriks A diekspansi pada kolom ke 3 :
A = a13 ⋅ K13 + a23 ⋅ K 23 + a33 ⋅ K 33