PERTEMUAN – 10,11&12
VEKTOR dalam R3
•
R3 = {(x,y,z) │ x,y,z, ∈ R}
0 = (o , o , o )
• a = (x 1 , y 1 , z 1 )
}
b = (x 2 , y 2 , z 2 )
}
a + b = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
a - b = (x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 )
• a = (x 1 , y 1 , z 1 ) → -a = - (x 1 , y 1 , z 1 )
= (-x 1 ,-y 1 ,-z 1 )
a - b = a + (-b )
•
Sudut-sudut arah : α , ß, ∂
z
(x,y,z)
y1
y
2
2
2
x1 + y1 + z1 = a
x1
2
•
vektor nol : 0 = (0,0,0)
•
vektor satuan pada arah x,y,z :
•
Perkalian skalar dengan vektor :
i, j, k
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , c bilangan nyata
c a = (cx 1 , cy 1 , cz 1 )
•
Panjang, jumlah dan selisih vektor :
a = (x 1 , y 1 , z 1 ), b = (x 2 , y 2 , z 2 )
( i) a
=
x 12 + y 12 + z12
( ii) a + b = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
(iii) - a
= (-x1 ,-y 1 ,-z1 )
(iv) a - b = (x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 )
•
Hukum-hukum penjumlahan Vektor dan perkalian dengan skalar
a , b, c vek tor - vek tor di R 3
p , q bilangan nyata
•
Vektor Satuan
Vektor satuan searah a : u =
•
a /
a
Kesamaan Dua Vektor
a = (x 1 , y 1 , z1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
a = b ↔ x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z1 = z 2
•
Sudut Antara Dua Vektor
⊗ sudut antara a dan b
cos ⊗ =
•
a. b
a . b
Perkalian Titik (Dot Vector)
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
a.b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
Hukum-hukum :
a, b,c di R 3 ; p bilangan nyata
( i) a.b = b.a
( ii) a.(b + c) = a.b + a.c
(iii) (p a).b
= a.(pb)
(iv) 0.a
= 0
( v) a.a
= a , jika a ≠ 0
2
•
Perkalian Silang (Cross Vector)
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
i
axb =
j
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
Hukum-hukum :
a, b,c di R 3 ; p bilangan nyata
( i) (axb) ⊥ a , (axb) ⊥ b ;
a dan b tak segaris
( ii) axb = - bxa
(iii) a x a
= 0
(iv) 0 x a
=
-a x 0 = 0
( v) a x (b + c) = axb + axc
(vi) (pa) x b
= a x (pb) = p(axb)
(vii) axb = a . b sin θ ;
θ sudut antara a dan b
(ix) a .( bxc) = (axb).c
•
Persamaan Garis Lurus dalam Ruang
∗
Garis melalui suatu titik dan // garis lain I garis lurus dalam R3
Vektor arah I :
a = (x1,y1,z1) // l
P0 (x0,y0,z0) pada l
Vektor penyangga I :
P0 =
O P0
X(x,y,z) pada I
x =
ox
Persamaan untuk I :
• Persamaan vektor
x =
P0 + ta
t bilangan nyata
(parameter persamaan)
•
Persamaan parameter
x = x0 + tx1
y = y0 + ty1
z = z0 + tz1
•
Persamaan koordinat
(x-x0)/x1 = (y-y0)y1 = (z-z0)/z1
•
Garis melalui dua titik
I garis lurus dalam R3
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
X(x ,y ,z )
A , B , X pada I
a = OA
b = OB
x = OX
( i) a + b = b + a
( ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (-a) = 0
( v) pq(a) = p(qa)
(vi) p(a + b) = pa + pb
( vii) (p + q)a = pa + qa
(viii) 1.a = a
•
Sudut Arah Vektor
a = (x 1 , y 1 , z 1 )
a
sudut antara sumbu y positif dan a
sudut antara sumbu z positif dan a
α sudut antara sumbu x positif dan
ß
y
a│
/│a│
/│a│
( i) cos α = x1 / │
cos ß = y1
cos y = z1
( ii)
cos2 α + cos2 ß + cos2 ∂ = 1
Persamaan untuk I :
•
Persamaan vektor
x = a + t(b - a) ;
t bilangan nyata
( parameter persamaan )
•
Persamaan parameter
x = x 1 + t(x 2 - x 1 )

y = y 1 + t(y 2 - y 1 )
 z = z + t(z - z )
1
2
1

•
Persamaan koordinat
x - x1
x 2 − x1
=
y - y1
z - z1
=
y 2 − y1
z 2 − z1
•
Garis perpotongan dua bidang
∗
Dua bidang tak sejajar
∗
Penentuan garis potong
- Membentuk SPL
- Mencari jawab SPL
- Menentukan parameter
∗
Merumuskan persamaan garis
- Persamaan parameter
- Persamaan koordinat
•
Persamaan Bidang Dtar dalam Ruang
∗
Bidang melalui suatu titik dan I suatu garis s bidang data di R3 :
n(n 1 , n 2 , n 3 ) vektor normal S(n ⊥ S)
X 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) dan X(x, y, z) pada S
x 0 = OX 0 dan x = OX
Persamaan untuk S :
•
Persamaan vektor
( x - x0 ) . n = 0
•
Persamaan koordinat
n1 (x- x0 ) + n2 (y- y0 ) + n3 (z- z0 ) = 0
∗
Bidang melalui dua garis
• Persamaan kedua garis
• Titik potong kedua garis
• Vektor pada masing - masing garis; berpangkal di titik potong
• Kros vektor dari vektor - vektor pada di atas
• vektor bidang
• Persamaan bidang ;
- Persamaan Vektor
- Persamaan koordiant
∗
Bidang melalui tiga titik
• Pemeriksaan bahwa ketiga titik tidak segaris
• Vektor posisi dari ketiga titik
• Kros vektor dari selisih vektor-vektor posisi
• Vektor normal bidang yang melalui ketiga titik
• persamaan bidang
- Persamaan vektor
- Persamaan koordinat
∗
Bidang melalui suatu titik dan tegak lurus dua bidang
• Batasan dua bidang saling tegak lurus
• Bidang S melalui titik A dan tegak lurus bidang ß dan ∂
• Koordinat A
• Persamaan ß dan ∂
• Vektor normal ß dan ∂
• Vektor normal S tegak lurus Vektor normal ß dan ∂
• SPL homogen dari komponen - komponen vektor normal S
• Vektor normal S (jawab SPL)
• Persamaan bisang S :
- Persamaan vektor
- Persamaan koordinat
∗
Bidang melalui suatu titik dan sejajar suatu bidang
• Batasan dua bidang sejajar
• Bidang S melalui titik A & sejajar bidang α
• Koordinat A
• Persamaan koordinat dari α
• Persamaan vektor dari α
• Persamaan vektor dari S
• Persamaan parameter dari S
Soal-soal Persamaan Bidang :
1. Tentukan persamaan bidang α yang melalui A(3,2,1) , B(1,1,−2) , dan
C (2,−1,3) !
2. Tentukan persamaan bidang α yang melalui T(2,3,1) dan sejajar dengan
bidang β :
4 x –5 y + 3 z = 8 !
3. Tentukan persamaan bidang α yang melalui P(3,−1,2 ) dan sejajar dengan
bidang β :
2 x –7 y + 3 z = 8 !
4. Tentukan persamaan bidang α yang melalui A (3,2,1) , B(1,−2,1) , dan
C (−2,1,3) !
5. Tentukan persamaan bidang α yang melalui A (1,2,3) , B(3,2,1) , dan
C (2,1,3) !
6. Tentukan persamaan bidang α yang melalui P(3,2,1) dan sejajar dengan
bidang β :
3 x –4 y + 5 z = 0 !