公立はこだて未来大学 2013 年度 システム情報科学実習
グループ報告書
Future University Hakodate 2013 System Information Science Practice
Group Report
プロジェクト名
教育・展示用二重振り子の制作
Project Name
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
グループ名
A
Group Name
A
プロジェクト番号/Project No.
20-A
プロジェクトリーダ/Project Leader
1011054
仲川知也
Tomoya Nakagawa
グループリーダ/Group Leader
1011054
仲川知也
Tomoya Nakagawa
グループメンバ/Group Member
1011054
仲川知也
1011124
山本仁
Hitoshi Yamamoto
1011159
高瀬開
Kai Takase
1011116
曽根智哉
Tomoya Nakagawa
Tomoya Sone
指導教員
沼田寛 由良文孝
Advisor
Hiroshi Numata Fumitaka Yura
提出日
2014 年 1 月 15 日
Date of Submission
January 15, 2014
概要
本プロジェクトの目的は、簡単な構造で複雑な動きを実現する二重振り子を理解して教育や展
示に活用することである。この目的を達成するために、活動を制作、計測、プログラミングの
３分野に分け、それぞれの分野で主に以下の内容に取り組んだ。
制作班の活動は実際に二重振り子を作成することと、そのための加工技術を習得することで
ある。振り子のデザインの考案から始まり、それを元に制作、加工を行った。また、制作に当
たって発生した問題についても、工夫をすることで改善することができた。プロトタイプとな
る二重振り子を４つ制作した後は、二重振り子制作と土台制作に取り組んだ。二重振り子制作
は二重振り子の材質を木材からアクリル板に変更することで動作時間も結果としてプロトタイ
プよりも長くなった。展示に必要な土台も揺れを抑える工夫を行った新しい土台を一から制作
し、以前のものよりも揺れが少ないものを作り上げた。プログラミング班・計測班は初めに単
振り子のでの動きをプロジェクトメンバー全員が理解することから始まり、振り子に関する運
動方程式から、運動エネルギー、位置エネルギー、ラグランジュ方程式の学習を行うことで、全
員が運動方程式を理解するに至った。プログラミング班は、シミュレータを作成するに当たっ
て、使用するのに最も慣れている Processing を利用し、学習した運動方程式をプログラムに
取り入れることで単振り子のシミュレータを制作し、その後に二重振り子の動きに必要なルン
ゲ・クッタ法を学習してプログラムに取り入れた結果、二重振り子のシミュレータを作り上げ
ることができた。計測班は二重振り子の速度、角速度を計測するために arduino を利用し、さ
まざまな計測方法を考案した結果、LED を取り付けた発振回路を制作し、それを二重振り子
に取り付けて稼動させたものを長期露光撮影することで得た光の軌跡を解析するとこで二重振
り子の速度と角速度を求めるための基盤を作った。
キーワード
キーワード 二重振り子、ユーモラスな動き、ラグランジュ方程式、ルンゲ・
クッタ法、発振回路
（※文責: 高瀬開）
-i-
Abstract
The purpose of this project is to understand the double pendulum which realizes a
complicated motion with an easy structure, and to utilize for education or exhibition.
In order to achieve this purpose, activity was divided into three fields of production,
measurement, and programming, and the following contents were mainly tackled in
each field. Activities of production group are actually creating a double pendulum and
mastering the processing technology for it. It began from the design of pendulums and
processing materials to complete pendulums based on our design.By using acrylic board
and laser cutter, we could improve processing accuracy significantly. As a result, operating time of the pendulum became much longer. We made a new suporting flame,
which can suppress fluctuation caused by movement of double pendulum much better
than the old one. As an activity of both the programming group and the measurement
group, all the project members learned basic of pendulum dynamics including concepts
of kinetic energy, potential energy and physics equations such as Lagrange equation.
Based on physics equations, we developed simulators of single pendulum and double
pendulum.Programming language Processing was employed for simulators because of
its usefulness for displaying moving images.Runge-Kutta method was used as neumerical method.The measurement group found two different methods to measure angular
velocity. One of them, the method using oscillating circuit and LED was implemented,
and used at the final presentantion.
Keyword A double pendulum, a humorous motion, the Lagrange equation, a RungeKutta method, oscillating circuit
（※文責: 高瀬開）
- ii -
目次
第1章
プロジェクトの目的
1
1.1
目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
二重振り子とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.4
最終目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
課題
2
2.1
各班の役割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
制作班の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.3
計測班の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.4
プログラミング班の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
課題解決のための方法
4
3.1
制作班 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
計測班 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3
プログラミング班
4
第2章
第3章
第4章
4.1
4.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
活動内容
制作班の活動内容
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.1
前期制作班の目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.2
加工技術の習得 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.3
前期二重振り子の制作準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.4
木を使った二重振り子制作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.1.5
前期の結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.1.6
後期の活動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.1.7
後期制作班の目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.1.8
後期活動の準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1.9
アクリル板使用のテスト
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.1.10 レーザーカッターの使用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.1.11 アクリル板での二重振り子制作開始
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1.12 土台の制作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.13 土台制作への準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.14 土台制作中での内容と問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.15 制作後の成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
計測班の活動内容
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2.1
前期の計測班の活動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2.2
単振り子の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2.3
二重振り子の計測方法の考案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
- iii -
4.3
4.4
第5章
5.1
4.2.4
方法１：受光時間差による測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.2.5
方法２：発振回路による測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2.6
計測班の活動のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
プログラミング班の活動内容
プログラミング班の活動
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.2
前期でのシミュレータの作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3.3
後期でのシミュレータの作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
科学祭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4.1
出展に向けた取り組み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4.2
当日までの下準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4.3
当日の活動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4.4
アンケート . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
発表会
32
発表会への準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.1
ポスター制作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.2
スライド制作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.3
発表までの準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
発表会当日の内容
5.3
中間発表の評価シートまとめ
第6章
22
4.3.1
5.2
5.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.1
アンケート枚数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.2
平均点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.3
発表技術まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3.4
発表内容まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.3.5
自己評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
最終発表の評価シートまとめ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.4.1
アンケート枚数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.4.2
平均点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.4.3
発表技術まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.4.4
発表内容まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.4.5
自己評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
まとめ、展望
37
6.1
前期の活動結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.2
前期の問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.3
後期の活動の明確化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.3.1
プログラミング班について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.3.2
制作班について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.3.3
計測班について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.3.4
教育、展示について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
後期への課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.4
6.4.1
プログラミング班の課題
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.4.2
制作班の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
- iv -
6.5
付録 A
6.4.3
計測班の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.4.4
教育・展示への課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.4.5
前期まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.5.1
今年度の成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.5.2
本プロジェクトまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
シミュレータのソースコード
42
参考文献
49
-v-
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
第1章
1.1
プロジェクトの目的
目的
本プロジェクトの目的は、「二重振り子という簡単な構造から生まれた不思議な動きを理解して
教育や展示に活用すること」である。
（※文責: 高瀬開）
1.2
背景
昨年度の本プロジェクトの二重振り子の教育・展示用の二重振り子を制作する、という目標を引
き継いで今回のプロジェクトは誕生した。昨年度のプロジェクトで不思議な動きが実現可能となっ
た二重振り子の複雑な動きを見て、我々は、形状や第二剛体の支点を変化させても複雑で予測がで
きない動きとなるかを考えた。今年度は、それを解明・応用し、教育や展示に活用できる二重振り
子を作成することにした。二重振り子が実際にどのような教育や展示に活用されているか調べたと
ころ、教育や展示への活動に関してはあまり研究されていない。ただし、カオスの教材として利用
されていることもあり、カオスの代表的なものである。
（※文責: 高瀬開）
1.3
二重振り子とは
二重振り子とは、単振り子の先端にもう一つ単振り子を取り付けたものである。上についている
ものを第一剛体、下についているものを第二剛体と呼ぶ。単振り子と比べて二重振り子が運動する
と、予測できない複雑な運動を行う。また、二重振り子の派生として、関節数を増やした振り子も
存在する。また、棒以外の形状の任意の点を支点とした振り子も存在するが今回のプロジェクトで
はこれも二重振り子として扱う。
（※文責: 高瀬開）
1.4
最終目標
本プロジェクトでは、さまざまな形状をした振り子の面白い動きを見つけ、それを活かした、子
供が興味を持つような二重振り子の教育活用法を考案することを目標とした。具体的には、課外授
業として気軽に持ち運びが可能な二重振り子を考えている。そのために実際に科学祭など出展し、
展示方法から学び、想定する学習者との相互作用を得て、教育のための教材としての利用や、科学
の楽しさを知れる場所での展示に向けての活動をする。そして、様々な見ていただいた人に二重振
り子を観察していただき、単純な構造体から生まれる不思議な動きを知っていただきたい。
（※文責: 高瀬開）
Group Report of 2013 SISP
-1-
Group Number 20-A
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
第 2 章 課題
プロジェクト当初、三次元に動く球面二重振り子の制作、さまざまな形をした二重振り子の２つ
の案がプロジェクトメンバーの間の話し合いで面白いのでは、と考察された。プロジェクト開始時
の段階では球面二重振り子を制作しようと話を進めていたが、球面二重振り子の機構部分が複雑で
それを理解する時間や機構部分に使われる材料が木材などで作る事が難しい点や、竹串やビー玉、
糸などを使ってサンプルを作り動きを見たところ、我々が想像した第１剛体と第２剛体が複雑に動
く振り子でなかったため、プロジェクト開始時に挙げられたもう１つの案であるさまざまな形をし
た二重振り子の制作に変更となった。
プロジェクトを進行するにあたって、さまざまな形をした二重振り子だけが持つ独特の軌跡や周
期をシミュレータで見つけ、その動きを再現する二重振り子を制作する方針となった。この二重振
り子を作ることで教育に活かす案のヒントを見つけたり、二重振り子の運動方程式の理解を深める
ためである。
これを解決するためには、さまざまな二重振り子の制作、シミュレータ構築に必要な運動方程式
の理解と制作した二重振り子の計測、制作した二重振り子のシミュレータの構築が挙げられたので
３つの班を作ることとなった。
それぞれの班の名前は制作班、計測班、プログラミング班と付けられた。我々のプロジェクトは
４人で活動しているため、進行状況に応じて四人を振り分け、各班の課題解決を行った。各班の課
題について、以下に述べる。
（※文責: 仲川知也）
2.1
各班の役割
制作班は計測用の二重振り子や展示用の二重振り子を制作する役割を主に担う班である。
計測班は二重振り子の運動方程式の理解、二重振り子の動きの撮影計測する役割を主に担う班で
ある。
プログラミング班は二重振り子のシミュレータの構築、二重振り子の軌跡と周期性が見られるな
らば周期性のグラフの作成をする役割を主に担う班である。
（※文責: 仲川知也）
2.2
制作班の課題
制作班は、最初に各自で面白い動きをすると考えた二重振り子を設計し制作する。
二重振り子の土台やジョイント部分の制作を行う。プログラミング班が構築したシミュレータを
活用し、それぞれの二重振り子で独特な動きをする軌跡、または周期性を見つけ、その動きを実現
する二重振り子を制作する。
（※文責: 仲川知也）
Group Report of 2013 SISP
-2-
Group Number 20-A
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
2.3
計測班の課題
計測班は、制作班で制作した二重振り子に蓄光テープかダイオードを使用してビデオ撮影やスト
ロボ撮影を行い動きを計測する。
ラグランジュ方程式などの二重振り子の運動方程式を学習し、それらの学習と計測データはプロ
グラミング班のシミュレータに活用する。
（※文責: 仲川知也）
2.4
プログラミング班の課題
プログラミング班は、二重振り子の物理方程式やルンゲクッタ法を使い、基本的な二重振り子の
シミュレータを構築する。
その後、計測班が計測した二重振り子のデータを活用し、制作したそれぞれの二重振り子のシ
ミュレータを構築する。
そのシミュレータを利用して軌跡と周期性が見られるなら周期性のグラフを作り、基本的な二重
振り子の動きと比較、それぞれの二重振り子だけが持つ独特な動きを見つけ出す。
（※文責: 仲川知也）
Group Report of 2013 SISP
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Group Number 20-A
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
第 3 章 課題解決のための方法
3.1
制作班
制作班の課題を解決には、二重振り子の第一剛体と第二剛体、及び軸部分の制作、計測に適した
振動を抑える土台の制作、この二点が制作班が行う目的となる。
我々は二重振り子について理解を深くするため、始まりは二重振り子に重点をおいて活動を
行う。
二重振り子の制作の流れについては、制作する二重振り子のデザインを考案し、設計図を作成す
る。設計図を作成後、木材を使用し実際の動きを確認するためにプロトタイプの制作を行う。木材
の加工技術については木材を切るために糸鋸、穴を開けるためにドリルの扱いを方を習得する。ま
た、プロトタイプを制作した後、計測用の二重振り子制作を行う時、高精度な加工が必要なため、
レーザーカッターの扱い方、レーザーカッターで加工するために必要な設計図を構築する Turbo
ＣＡＤの技術を習得する。
後期では、前期制作したプロタタイプのデータと習得した技術を使用して、計測用の二重振り子
の制作を行う。二重振り子の軸部分は、スペーサー、ベアリング、ワッシャ、ナット、鉄心を使用
して構築する。また、昨年度に制作された土台から改善点や改良点を見つけ出し、計測に適した振
動を抑える土台の制作も行う。
（※文責: 仲川知也）
3.2
計測班
計測班では実際に二重振り子の位置・速度・加速度・軌跡を計測・撮影すること、プログラミン
グ班で作成するプログラミングに使用する運動方程式の学習を行うことが目的である。
前期では、プログラミング班のシミュレータのソースを見やすく簡潔にするために、振り子の運
動である角速度を求めるラグランジュ方程式や近似解を求めるオイラー法やルンゲクッタ法の数
値解析法を学ぶ。また、二重振り子の軌跡を撮影するためにストロボを使用し、蓄光テープやダイ
オードで、光の軌跡を撮影を行う。
後期では、光センサーとマイコンを使用して、受光時間差を計測する方法と、発振回路を作り、
LED を二重振り子に取り付けて長期露光撮影で計測する方法を行う。
（※文責: 仲川知也）
3.3
プログラミング班
プログラミング班では計測班で理解した運動方程式からシミュレータを構築し、二重振り子の軌
跡や運動のグラフを作成することが目的である。
前期では、計測班で学習したラグランジュ方程式やオイラー法、ルンゲクッタ法の数値解析法を
使用して、二重振り子のシミュレータを構築する前に、単振り子のシミュレータを構築を行う。
Group Report of 2013 SISP
-4-
Group Number 20-A
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
後期では、前期で構築した単振り子のシミュレータを応用して、質点二重振り子のシミュレータ
を構築を行う。それらを踏まえ最終的に剛体二重振り子のシミュレータを構築する。その後、制作
した二重振り子だけが持つ動きを発見するために、軌跡周期性のグラフや計測班で計測したそれぞ
れの二重振り子の動きをシミュレータと照らし合わせる。
（※文責: 仲川知也）
Group Report of 2013 SISP
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Group Number 20-A
Construction of Double Pendulum for Physics Education and Scientific Exhibition
第 4 章 活動内容
4.1
制作班の活動内容
制作班の活動は実際に二重振り子とその土台を作成することと、そのための加工技術を習得する
ことだが、それより以前に 3 次元二重振り子の企画も立てていた。この 3 次元振り子とは、通常の
振り子とは違い、奥行きを含めた動きができる振り子である。この模型を竹串などでミニチュアの
模型を作り、糸とピンポン玉で作った剛体部分とつなぎ、動かしてみるなどをした。しかし軸部分
が複雑で、作成が我々の技術では難しく、また、糸がたるむ、ねじれるなどの問題も発生した上、
そこまで面白い動きとはいえないものであり、5 月のはじめで 3 次元二重振り子の案は除外、様々
な形の 2 次元二重振り子を作成することとした。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.1
前期制作班の目標
制作班は、プロジェクト通しての目標として様々な形の二重振り子とその土台を作成すること、
そのための加工技術の習得を掲げている。そのため、前期の目標として、いくつかの変わった形の
二重振り子のプロトタイプの形状や材料を考案、設計し、作成してユーモラスな動きの実現、確認
することと、それに伴う加工技術の習得という内容をを設定した。その後、新たに正式な計測用、
教育・展示用の二重振り子を制作することを後期の目標とした。
ここで、いくつかの変わった形の二重振り子を作る理由として、昨年度の本プロジェクトにて、
二重振り子の基礎となる形を作成していたため、基礎から離れた形を作成することで動きの変化や
それによるさらに面白いと思える動きを実現するため、また、展示用として目を引くような形にす
ることで展示効果を上げるためである。
また、それに伴い、昨年度の本プロジェクトの成果物である二重振り子の土台を新調し、持ち運
びやすくかつ二重振り子の動きによってゆれることがない頑丈な土台を制作することも必要であ
る。これは教育・展示用のために別の場所に持ち運ぶ機会が存在する可能性があるためである。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.2
加工技術の習得
まず、制作班は二重振り子の制作のための加工技術を習得した、習得した加工技術は大きく分け
て二つある。
一つ目は前期に作成するプロトタイプとして使用する材質の木を加工する加工技術で、木材を切
る糸鋸、木材に穴を開けるドリルの手順を習得した。この技術は工房で 5 月中に習得した。糸鋸は
木材を切ることができ、後述の設計図を書いた木を設計図どおりに切る技術を習得した。ドリルは
糸鋸で切った木の二重振り子のパーツに軸部分、接続部分のための穴を開けることができる。我々
は最終的にほとんどの二重振り子に 7.5mm のドリルを、第一剛体二つで第二剛体をはさむ形の二
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重振り子の第二剛体に 9.5mm のドリルを使用した。この寸法にした理由は、利用した材料のため
である。
二つ目は後期に行う本制作に必要な加工技術で、レーザで切断、彫刻を行うレーザーカッター、
レーザーカッターのための CAD（コンピュータによる設計支援ソフト）を習得した。レーザー
カッターは CAD などの図形作画ソフトを使い作成した図面データを読み込ませることで、木材や
アクリル板などをレーザーで切断、彫刻できる機械であり、6 月に行われたレーザーカッター講習
会に参加し、その技術を習得した。CAD はレーザーカッターによる作画のためのソフトのひとつ
であり、0.01mm までの精度で作画することができ、正確な図面の設計をすることができる。我々
は CAD でプロトタイプの振り子の一部の設計図を作画できるまで習得した。ただし、レーザー
カッターはレーザーで加工するため、設計図が正確でも多少のずれが発生してしまう。その誤差
を少しでも解消するために、二重振り子に組み込む軸部分の穴などは、軸部分に実際にはめ込む
スペーサーやベアリングがしっかりはまるちょうどいい大きさになるように円の大きさを調整し、
レーザーカッターを使ってアクリル板の短材に穴を開けていきはめる作業を行い、適正となる大き
さを計算した。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.3
前期二重振り子の制作準備
まず、二重振り子の形や材質、材料の案出しを 5 月に行った。ここではユーモラスな動きの実現
のため、面白い動きをしそうなデザイン、展示用として目を引くようなデザインの提案を行い、そ
の後、詳細な図面を作成した。まず、おのおのがユーモラスな動きをするかもしれないと思う二重
振り子の形を考案した。ここで出た案は、
「S 字」
「カウボーイの縄」
「時計」
「ゴルフ」
「鉄棒」の 5
つ、その段階では保留となった「イカの足」の合計 6 つであった。それぞれの振り子の案の理由は
以下の通りである。
• 「S 字」…シンプルな形の二重振り子の形を少しだけ変え、重心をずらすとどういう動きを
するのかが気になったため。
• 「カウボーイの縄」…振り子の第二剛体部分を輪にすることで、カウボーイが縄を投げてい
るようなイメージで、面白い動きをするのではないかと思ったため。原案ではカウボーイ本
人の人型も作成するつもりであったが、現時点では入れなかった
• 「時計」…第二剛体が 2 枚になることで、どのようになるかが気になったため。当初は円盤
も回転できるようにするつもりだったが、まったく回転しないため第一剛体と固定した現在
の形となった。
• 「ゴルフ」「鉄棒」…人型の二重振り子を作成することで、身近なところに二重振り子があ
るということが教育面で役に立つと思ったため。また、現実的なものを二重振り子にするこ
とで、面白い動きをしていると思えるかも知れないため。
• 「イカの足」は、函館の名物であるイカを模した振り子は、教育・展示用としてより親しみ
やすいと思ったため。
当初この振り子は、足をどういう構造にするか、何本第二剛体として回すかで議論していた
が、第二剛体部分を多くするとそれぞれがぶつかるという理由から、2 本の蝕腕部のみを第
二剛体に利用することにした
（※文責: 曽根智哉）
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二重振り子のプロトタイプの材質には木を利用することとした。その理由として、安価で、加工
がしやすいことが挙げられる。また、使用する材料は、軸部分や接続部分に埋め込み摩擦を減らす
スペーサー、二重振り子を組み立てるためのボルトととめるための冷間蝶ナット、隙間を埋め、回
転方向以外への運動を減らすワッシャーを利用することにした。使用した木は、5.5mm 厚のもの
を使用し、は、スペーサーが内径 6.2mm 外径 7.8mm のもので長さ 10mm と長さ 30mm のもの
と、内径 8.2mm 外径外径 9.8mm のもので長さ 10mm のものを使用した。また、長さ 40mm と
60mm で 6mm のボルトの全ねじ、長さ 60mm の半ねじ、6mm のナット、内径 6mm と 8mm の
ナットも使用した。加工のための道具はホームセンター『ホーマック スーパーデポ石川店』で 5
月中にプロジェクト予算で購入した。
上で挙げた材料は、木の加工、組み立てに必要な道具であり、昨年度のプロジェクトで作られた
木製の二重振り子にもこれらの道具が使われていたため、我々も使用した。また、買い付けでは、
加工のための鑢や道具を入れる道具箱や完成した二重振り子を塗装するための白と黒の塗料スプ
レー、CAD による作画のためのマウスもプロジェクト予算で購入した。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.4
木を使った二重振り子制作
その後、設計した二重振り子を実際に制作した。まずは前段階の案出しにて作画した設計図を
木に写し、工房にてその形に糸鋸を使って切り、ドリルを使って接続部分、軸部分の穴を空けた。
このとき使用したドリルの大きさは用意したスペーサーの大きさに合わせてすべて 7.5mm のもの
である。その後、接続部分、軸部分の穴にハンマーを使ってスペーサーを入れる作業を行った。
そして制作できた二重振り子を組み立てて昨年度のプロジェクトでの二重振り子を展示するた
めの土台に設置して動かし、観察、フィードバックと改善案の提示、その案からまた二重振り子を
制作した。
ここで出た問題点、改善点として、「ゴルフ」「鉄棒」は動きがほかのものに比べて通常の二重振
り子とまったく同じ動きをしており、昨年度の成果物の二重振り子と変わらないものとなったため
この段階では保留、ここで前述の案出し時に保留となっていた「イカの足」型の振り子を仮作成す
ることにした。作成後、運動させてみるととても独創的な動きをしたと思えたため、この形にシフ
トチェンジすることにした。
また、ハンマーでスペーサーを入れるという方法は精密さにかけ、スペーサーが斜めに入ってし
まい、運動エネルギーがうまく伝わらずにすぐ二重振り子が止まってしまったり、第一剛体と第二
剛体がぶつかってしまうということが発生した。ここでマイナスドライバーを使ってスペーサーを
入れるという案が出てきた。この方法でスペーサーを入れると、今までよりだいぶ垂直に入った上
に、今までハンマーを使うため工房で作業しなければいけなかったが、マイナスドライバーでねじ
込む方法なら工房でなくてもできるため、作業効率が上昇した。ただしこの二重振り子は木ででき
ているためどうしても二重振り子自体を傷つけてしまう。そのためハンマーでやったものよりはま
しではあるが二重振り子の耐久性が落ち、壊れやすくなってしまう。この問題の解決策として、後
期に木よりも丈夫な材質を使って二重振り子を製作するということとなった。
その後、中間発表展示用として、塗装や、蓄光テープによる仕上げを行った。この塗装は、スプ
レーを使った二重振り子の色付けであり、制作した二重振り子に合うと感じた黒と白を使った。ま
た、蓄光テープは二重振り子の第二剛体に張り、光を貯めた状態で周りを暗くし、運動させること
で軌道が光でわかるというものである。これは後期計測班の活動の元ともなった。まずは蓄光テー
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プの光を調べるために二重振り子につけて実際に暗い場所（学内トイレ）にて運動させ、その効果
を確認した。その後蓄光テープ中間発表にて実際に二重振り子を動かす際に使用した。
図 4.1: S 字
図 4.2: カウボーイ
図 4.3: 時計
図 4.4: イカの足
（※文責: 曽根智哉）
4.1.5
前期の結果
前期では、プロトタイプとなる二重振り子を 4 つ制作した。それぞれユーモラスな動きを実現で
きた。また、後期に使うレーザーカッターなどの技術も習得した。制作した二重振り子には、軸部
分の摩擦が大きく、動きが早くとまってしまうことや、接続部分などの加工精度の問題があったた
め、後期はそれも踏まえて本制作を行って行くことを目標とした。また、後期では制作した二重振
り子を展示するための土台の制作も行うこととした。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.6
後期の活動
後期では、前期に制作したプロトタイプとなる二重振り子を教育・展示用、計測用としてアクリ
ル板にて本制作し、それと同時に持ち運びのしやすく丈夫な新たな二重振り子の土台を制作した。
（※文責: 曽根智哉）
4.1.7
後期制作班の目標
制作班は、前期の目標であるユーモラスな動きをする二重振り子の考案、設計、プロトタイプの
制作とそれに伴う加工技術の習得を達成することが出来た。そのため後期では、前期の目標で掲げ
ていた正式な計測用、教育・展示用の二重振り子の制作を目標に設定して活動した。計測用の二重
振り子は振動が少なく、摩擦が限りなく少ない二重振り子を制作すること。これの実現にはアク
リル板を使用して二重振り子のボディーを制作し、軸部分にベアリングを使用することで実現さ
せた。
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また、前期では保留となっていた土台制作は、科学祭で生じた問題などを考慮して、持ち運びや
すくかつ二重振り子の動きの揺れを抑える頑丈な土台の制作も目標に含め活動した。この制作では
昨年度制作された土台を基に設計図を作成を行い、１０分の１のサイズで発泡スチロールを使用し
テストの土台制作を行う。その後、設計図を微調整して本格的に土台を制作を行う。
（※文責: 仲川知也）
4.1.8
後期活動の準備
前期で制作したプロトタイプの 4 つの二重振り子から得たデータを踏まえ、 計測用二重振り子
の制作を 9 月に開始した。 デザインは前期制作した 4 つのプロトタイプのデザインをそのまま使
用した。 しかし、前期制作した二重振り子はプロトタイプということで材質は簡単に加工するこ
とのできる木材を使用したため、 摩擦が大きく比較的短期間で止まってしまった。 そこで後期で
は、 硬い、 軽い、 変形しにくい点などからアクリル板を利用することとした。 また、 前期に使
用した材料のボルト、ナット、ワッシャーの他に、 前期使用したスペーサーよりも軸部分を滑ら
かで正確に回転させ、 摩擦を減らす材料としてベアリングを使用した。 ベアリングは内輪と外輪
が別々に回転するため、内輪内の変動体を受け支え、可能な限り摩擦を減らし振動を抑えることが
できる。
ボルト、ナット、ワッシャーは前期に購入したものあった、 アクリル板とベアリングは昨年度の
プロジェクトで制作した二重振り子にも使用されていったが、 新たに発注することになった。 ベ
アリングは内径 6 ｍｍ外径 15 ｍｍ長さ 5 ｍｍのものをプロジェクト予算で購入した。 アクリル板
は厚さ 10 ｍｍを主に使用することにしていたが、 厚さ 1 ｍｍ、3 ｍｍの 2 種類のアクリル板もプ
ロジェクト予算で購入した。
その後、 アクリル板の加工にレーザーカッターを使用するため、 前期に習得した CAD を使い、
「S 字」、
「カウボーイ」、「時計」、「イカの足」4 つの二重振り子の設計図を構築した。 このとき、
ベアリングを填める穴のサイズは直径 14 ｍｍボルトを通す穴のサイズは 6 ｍｍ、昨年度使用され
ていたベアリングから直径 14 ｍｍ、形状とサイズは前期制作で使用した図面を元に制作した。
図 4.5: CAD で制作した「イカの足」の設計図
（※文責: 仲川知也）
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4.1.9
アクリル板使用のテスト
次に、 完成した設計図と昨年度に残ったアクリル板を使用して、 レーザーカッターの実験テス
ト、 ベアリングを填める穴の調整、 アクリル板の二重振り子の動きの確認を行った。
レーザーカッターは本学の工房に設置されているものを使用した。 工房に設置されているレー
ザーカッターは縦 300 ｍｍ × 横 600 ｍｍ までの大きさを切ることが出来る。 残されていたアク
リル板は既に加工されていたため、 そのまま使用した。
図 4.6: 本学のレーザーカッターと接続されているノートパソコン
（※文責: 仲川知也）
4.1.10
レーザーカッターの使用
レーザーカッターを使用する環境の準備には、 アクリル板で加工すると煙が生じるため、 室内
にある換気扇を作動させ、 外への扉を開き作業を行う。 パソコン上では準備には最初、 レーザー
カッターと接続されているノートパソコンを起動させる。 起動後の認証コードや手順はノートパ
ソコンの横に置いてあるファイルを見ることで理解することが出来る。
ノードパソコン起動後は、CAD で構築した設計図のデータが入った USB フラッシュメモリー
を差込み、 読み込ませる。 その後、 CorelDRAW というソフトから設計図のデータを開くことが
出来る。 開いた後、 読み取ったデータは、 微調整することも可能である。 データが出来たらレー
ザーカッターに送信を行う。 この時、 印刷設定画面が表示される。 解像度は「1200」、 「600」、
「400」
、 「300」
、 「200」
、 「150」
、 「75」の 7 種類あり、 数字が大きくなるにつれて彫られる文
字の解像度の濃さが決定する。 オプションでは彫刻を開始する場所の設定が出来る。 ジョブの種
類は「彫刻」
、 「カット」
、 「彫刻＋カット」の 3 種類あり、 使い分けることが出来る。 材料サイ
ズは使用する材料を設定出来る。 彫刻設定とカット設定はレーザーで切るスピードやパワーなど
を調整する。 この調整によってアクリル板を綺麗に彫刻とカットをすることが出来る。
データを送信した前に、 レーザーカッター本体の準備も必要である。
レーザーカッター本体の設置作業は、液晶画面周りについているボタンを使用して行う。 まず、
アクリル板を入れやすいようにレーザーを出力する「ヘッド」を動かせるようにする。 これには
「X/Y Off」ボタンを押し、「Go」ボタンを押すことで自由に動かすことが出来る。 次にアクリル
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図 4.7: 印刷設定画面
板を左上に寄せて、中にある定規に縦と横を合わせる。 そして再び固定する。 固定するには「Set
Home」ボタンを押すことでヘッドを固定出来る。 この時、「Pointer」ボタンを押すことでヘッド
から赤い光がポインターで出るため、照準を合わせやすくなる。 これでアクリル板の設置準備は
終了である。
そして、レーザーカッターの電源を ON にし、ノートパソコンからデータを送信する。 レーザー
カッターの液晶画面に送信されたことを確認したら、
「Go」ボタンを押すと加工作業が始まる。 途
中で止めたい場合は「Stop」ボタンを押す。 データを一度消したい場合は「Reset」ボタンを押す。
図 4.8: レーザーカッターのボタン
レーザーカッターの作業が終了後は後片付けである。 加工すると煙が生じるため、 ヘッドに取
り付けられているレンズが汚れが付くので、洗浄液を含ませた綿棒で綺麗に磨く。 レーザーカッ
ター内部には加工した時にゴミが出るので内部の掃除も行う。 レーザーカッターの電源を OFF に
し、 ノートパソコンで開いたデータを消去を確認後、シャットダウンさせる。 換気扇、及び扉を
閉めたのち、最後に箒で周りを掃いて片付け終了である。
（※文責: 仲川知也）
4.1.11
アクリル板での二重振り子制作開始
これらの手順に従ってアクリル板で二重振り子を制作した。 制作中、アクリル板の残骸を利用
してベアリングを填める穴の調整を行った。 設計図に設定していた当初のベアリングを填める穴
は狭くベアリングが填まらなかったため 4 回の調整を行い、 填まるサイズに調整した。 このと
き調整した穴のサイズは直径 14.75 ｍｍであった。
このあと、 発注したアクリル板とベアリングが届き、 4 つの計測用の
二重振り子を制作を開始した。発注したアクリル板は本学の工房のレー
ザーカッターには収まらないため、縦 300 ｍｍ、横 600 ｍｍ以内になる
ように同じく工房にある鋸機を使用し加工した。 また、 発注したベアリ
ングと昨年度のベアリングはサイズが少し違っていたため、 再びベアリ
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ングを填める穴のサイズを変更した。 このとき調整した穴のサイズは直
径 14.85 ｍｍであった。
穴のサイズ変更後、4 つの二重振り子をアクリル板で制作し、 ベアリングを填め、ボルト、ナッ
ト、ワッシャーで固定した。これにより摩擦が少なく、 前期制作した木製の二重振り子よりも長
時間回る二重振り子を制作することができた。
「S 字」、
「カウボーイ」、「イカの足」の 3 つの二重振り子は前期と同じ取り付け方法をとった。
「時計」の二重振り子は第二剛体が 2 つ第一剛体に同じ方向に取り付ける前期の方法だと重心が前
に移動するため、 滑らかに回転しない。 そのため後期では第一剛体を挟むように第二剛体を取り
付ける方法を取り、 重心ができるだけ第一剛体の下に来るようにした。
図 4.9: 改善前の「時計」軸部分
図 4.10: 改善後の「時計」軸部分
計測中、 材質がアクリル板であるため、 二重振り子が割れることがあったが、 そのたびに作り
直した。 壊れた二重振り子の回数は 2 回でどちらも「イカの足」の二重振り子であった。 4 つの
二重振り子制作後は計測用の二重振り子の制作を行った。
最終発表前には制作した 4 つの二重振り子にアクリル用塗装スプレー（黒色と銀色）で塗装を
行った。 この塗装は、 前期と同じで二重振り子の色分けを行い、 回転中の動きの違いを確認しや
すくするための塗装である。 アクリル用塗装スプレーは前期と同じくホームセンター ホーマッ
クで 11 月中にプロジェクト予算で購入した。
図 4.11: イカの足
図 4.12: カウボーイ
図 4.13: S 字
図 4.14: 時計
（※文責: 仲川知也）
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4.1.12
土台の制作
前期までの活動は昨年のプロジェクトの作成した土台を使用してきたが、前後に対する揺れなど
まだ揺れを抑えるための改善点は多かった。また、昨年のプロジェクトの物を使い続けていると今
回のプロジェクトの取り組みが弱いという指摘も中間報告での意見で言われ、後期の課題の候補で
もあった。昨年のプロジェクトの土台は、他の場所への展示として利用したときに前後の揺れを抑
えるために、後方に対して土台の脚を追加した。これにより振動も小さくなり二重振り子の稼働時
間も長くなったが、見た目が悪いものとなり、持ち運びも大変不便なものとなってしまった。後期
では自分たちが設計した揺れを最小限に、また手軽に持ち運べるように組み立て式の新しい土台も
制作することにした。
（※文責: 高瀬開）
4.1.13
土台制作への準備
制作するに当たってわずかなズレも許されないため手書きの設計図から取り組んだ。サイズを以
前の土台を参考にして、細かいズレを何度も修正した。制作に必要な材料を購入した後は、すぐに
制作に取り組まずに発泡スチロールを利用して、1/10 の大きさで模型を制作して、設計図どおり
の形状の土台が制作できるかを確認した。
（※文責: 高瀬開）
4.1.14
土台制作中での内容と問題
図 4.15: 組み立てた柱
制作に使用する木材はホーマックであらかじめ必要な大きさに切ってもらった。初めに地面と土
台が接触する部分と土台の中心部分の固定からはじめた。ここで、打ちこんだネジがずれてしまう
ことを避けるため、ネジを打ちこむ場所にネジよりも小さい穴をあけた。こうすることでネジを
真っ直ぐに打ちこむことができた。次に土台からのびる柱を土台の中心とするため、土台の中心と
その部分と接触する柱にそれぞれ直径 8mm の穴を前後左右にあけてそれぞれに隙間なく差し込め
るネジを差し込んで組みたくるようにした。このときに問題が発生し、１つ目に空けた穴がネジが
ちょうどはいる大きさの穴を開けたが、土台が少しの負担で形状が変化する恐れがある木材であっ
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たことと、ネジと穴の間隔の空間がなかったため、ハンマーなどで無理やり押し込まなければ入ら
なくなってしまった。これを生かして２つ目の穴は直径 10mm のあけたところ軽い力でも入るよ
うになった。
次に、土台の中心から後ろにのびる土台を付け加えた後、柱の前後左右にかか
る力を抑えるために、柱の上から 100mm 下げた場所に土台の両端から柱をつな
げる金属を固定するための場所に、さらに 200mm 下げた場所に二重振り子の稼
動部分となる場所に、さらに 100mm 下げた場所に土台の後方から柱をつなげる
金属を固定するための場所に直径 6mm の穴を開けた。稼動部分となる場所より
下に固定するためのネジ穴は稼働中の二重振り子と接触しないように、上の 2 つ
の穴は前後からだったが、3 つ目は左右に穴を開けた。
そして、金属を必要な長さに切り分けたときに、購入時にあくまで必要な長さの金属をまとめて
買っていたので、4 本のうち 1 本は短い金属 2 本となった。これに関しては、元々穴が開いている
金属なのでネジでしっかりと固定した。実際に、取り付けてみたところ特に問題なく、取り付ける
前よりも揺れを減らせれたことが目に見えて分かった。最後に、稼動部分を含む全てのネジをしっ
かりと締めて、土台は完成した。
図 4.16: 制作した土台
試しに二重振り子を取り付けて動かしてみると、振動によって生じる音や目に見える振動が以前
のものよりも少なくなった。しかし、完成したものを工房から持ち帰り、違う場所で稼動させてみ
ると、以前の土台以上に振動してしまった。これは、地面と土台の接触面積が大きいことが原因で
ある。また、固定している土台の一部分の形状が変化してしまうと今まで安定していた場所でも安
定しなくなる恐れができてしまう。これでは展示用としての土台としては問題であるため、改善策
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として、カメラを固定する三脚のように土台の３点を少し浮かせることにより地面と接触する部分
を最小限にした。これによって、わざわざ土台を浮かせる手間がかかるが以前の土台と比べると格
段に振動を減らすことに成功した。
（※文責: 高瀬開）
制作後の成果
4.1.15
土台は以前のものよりも二重振り子の精度が高まったことにより計測班の測定の実験材料として
大いに役立った。また、昨年のプロジェクトの方からもこちらの方が安定して計測できるとも言わ
れた。そして、最終報告発表のときも問題なく稼動させることができた。
（※文責: 高瀬開）
4.2
4.2.1
計測班の活動内容
前期の計測班の活動
この計測班での前期の目標は単振り子での運動を全員が理解することである。そのために前期は
振り子に関する運動方程式の学習をしてきた。その内容として静力学、自由落下、ラグランジュ方
程式を学んだ。
（※文責: 山本仁）
後期の目標は実際に二重振り子の動きの測定をすることである。そのために、まずは二重振り子
の測定方法を考え、その方法を実際に制作、実装し計測することが後期の活動となった。
（※文責: 曽根智哉）
4.2.2
単振り子の運動方程式
まず最初に単振り子の運動について学習を始めた。単振り子の運動方程式を求めようとしたが、
どのような力が働いているのか、ということが理解できずにいた。そのためプロジェクト担当教員
の指導の下、まずは基礎の学習からすることにした。振り子の運動を理解する第一歩として物体を
引っ張った時の運動方程式の学習から始めた。
引っ張るとその物体には様々な力が働く。働く力には、水平方向に働く力、垂直方向に働く力、
摩擦力、垂直抗力、質量、重力加速度が挙げられた。紐を引っ張る水平方向に対する角度 θ を仮定
し、引っ張る力を F 、水平方向に働く力を Fx 、垂直方向に働く力を Fy 、質量を m、重力加速度を
g とすると、それらは F = ma より
Fx = mg · cosθ
(4.1)
Fy = mg · sinθ
(4.2)
と表せた。
これらの運動方程式を求めると、引っ張られた物体の加速度が求められ、その加速度を時間で積
分するとその物体の速度が求められた。これを振り子に当てはめてみると、水平方向、垂直方向に
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図 4.17: 静物運動
働く力は求められた。しかし、加速度や速度を求めることが出来ずに悩んだため、もう一度振り子
から離れて次の基礎の学習を始めた。
次に学んだのは自由落下に関するものであり、新しい要素として運動エネルギー、位置エネル
ギーを加え、運動方程式を求めた。
図 4.18: 自由落下
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速度を v 、物体の質量を m、移動した位置の差を x、時間を t、重力加速度を g 、高さを h とす
ると、移動した位置の差と速度は、
1
x = − gt2 + h
2
v(t) = −gt
(4.3)
(4.4)
と表せた。また運動エネルギーを T 、位置エネルギーを W とすると、
1
mv 2
2
W = mgh
T =
(4.5)
(4.6)
と表せた。
d
(T + W ) = 0
dt
d 1
( mv 2 + mgh) = 0
dt 2
dθ
d 1
( m(l )2 + mg(l − lcosθ)) = 0
dt 2
dt
dθ d2 θ
dθ
·
+ mglsinθ ·
=0
ml2
dt dt2
dt
d2 θ
l · 2 + gsinθ = 0
dt
gsinθ
d2 θ
=−
dt2
l
dθ
gcosθ
=
dt
l
(4.7)
そして運動エネルギー、位置エネルギーを振りこの運動方程式に組み込み、力学的エネルギー保
存の法則から角速度を導いた。振り子の長さをｌとすると、求められた角速度は以下のように表
せる。
またある点からある点までの角度で動いた振り子の距離を x とすると x = lθ と表すことができ、
時間で微分すると速度が求められることが分かった。速度をｖとして表すと、
v=
dx
dθ
=l·
dt
dt
(4.8)
これに先で求めた角速度を用いると
v = g · cosθ
(4.9)
となるので、速度を求めることが出来た。以上の過程を経て、単振り子の運動方程式を求めるのに
必要な角速度、角度、速度、移動した位置の差を求めることが出来た。
またシミュレータを製作する過程でラグランジュ方程式の学習を行った。ラグランジュ方程式とは
運動エネルギーとポテンシャルの差であるラグランジアンを用いて、振り子の運動を求める運動方
程式である。この学習だけは制作とは並行して行わずに全員での学習の時間を取り入れた。自由落
下で得た位置エネルギーからポテンシャルが求められ、運動エネルギーと位置エネルギーを時間で
微分することで振り子の角速度、角度を求めることが出来ると分かった。
（※文責: 山本仁）
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図 4.19: 単振り子
4.2.3
二重振り子の計測方法の考案
次に、実際に二重振り子の測定をするための方法を考えた。前期には蓄光テープを二重振り子の
第二剛体先端に貼り付けてその光の軌道を計測するという方法が挙げられ、実際に中間発表に展示
用として発表した。しかし、その方法では二重振り子の運動はわかっても、角速度や回転方向等の
計測ができず、正確で詳細なデータを得ることは難しく、また蓄光テープを使う関係上、光を貯め
る時間と環境が必要であり、また、長時間の発行ができないこともあり、計測には向いていないと
判断した。そのため我々はそれに代わる別の方法を考案することにした。そこに求められる条件と
「長時間継続的に計測することができる」
「計測を行う環境（明るさなど）に左右されにくい」
して、
「動きの軌跡だけではなく、その角速度も計測することができる」である。その後の考案により、
• 光センサ２つとマイコンを利用して、二重振り子につけた LED の光の受光時間差によって
計測する
• 発振回路を作り、LED を点滅させたものを二重振り子に取り付けて長期露光撮影し計測
する
という二つの方法を出し、実際に制作した。
（※文責: 曽根智哉）
4.2.4
方法１：受光時間差による測定
まず我々は、方法の一つ目である、光センサの受光時間差による測定を実際に考案、仮制作し
た。この方法は、フォトダイオードという光センサを利用したもので、これが二つついた回路を二
重振り子の第一剛体に取り付け、二重振り子の第二剛体に取り付けられた LED などの光源を感知
し、その受光時間差によって角速度と向きを測定するものである。ここで計測された情報は光セン
サを搭載した回路につながっているマイコンにより計測することとしている。この方法はマイコン
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を使うことで機械的に計測を行うことができるため、その解析が楽でありカメラなどで計測するも
のに比べて精度が高い。
この方法を実行するために、まずフォトダイオードを使用した回路をブレッドボード上に仮組み
した。ここでは単純に二つのフォトダイオードとそれぞれに直列に繋げた抵抗を二つ用意し、横に
並べて設置した。これによって実際に二重振り子に搭載することを想定すると、二重振り子の第二
剛体とともに回転する光源の円周上にフォトダイオードを並べたことになる。そのため光を円軌道
で当てると受光時間差が発生する形とした。また同時に、マイコンで作動するプログラムを作成し
た。今回使用したマイコンは Arduino というものであり、マイコン上で作動するプログラムを PC
上で組み立てることができる。実際にフォトダイオードの受光による値の変化によってその受光時
間差によって角速度と回転方向を計測できるプログラムを作成し、製作した回路と組み合わせて実
際に受光時間差と向きを仮段階で測定することに成功した。しかし、PC、Arduino とジャンパワ
イヤで接続したこの回路を実際に二重振り子に取り付けて作動させることが技術的にできず、この
方法での計測にはいたらなかった。
（※文責: 曽根智哉）
4.2.5
方法２：発振回路による測定
次に、方法の二つ目である、発振回路を利用した測定方法を考案した。この発振回路は、タイマ
IC という半導体を使用し、それに繋げた抵抗・コンデンサの値によって回路のオンオフする時間
が変わるもので、これの出力部分に LED を取り付ける抵抗値を調節することでことで LED を高
速で点滅させ、これを二重振り子の第二剛体先端に取り付け、その光の軌跡を長期露光撮影して点
滅によって光の途切れている点同士の距離から速度を計測する方法を考案した。この方法は回路と
その電源となるボタン電池を二重振り子に取り付けて撮影するだけのため、技術的に難しくなく二
重振り子に取り付けることも易い。
この方法を実行するために、まずは回路をブレッドボード上で制作した。今回、タイマー IC「５
５５」という半導体を利用した。これに抵抗とコンデンサ、出力用の LED をつけて回路を製作し
た。回路は参考文献 [6] のページを参考にした。ここでは抵抗はそれぞれ 1kΩ、10kΩ、コンデンサ
はそれぞれを 1µF 、0.01µF を使い、回路を以下の図のように作成した。
この回路の場合、タイマ IC の３ピン（実際のタイマ IC ５５５では 1 番ピンの位置にある目印
の位置から反時計回りに３つ目）に出力したいものを接続する。今回出力するものは LED のため
３ピンに LED を取り付ける。その他のピンの配置、コンデンサと抵抗の位置は図の通りである。
このような回路を組むと、３ピンの出力が H レベル、つまりオンの状態になっている時間を TH 、
L レベル、つまりオフの状態になっている時間を TL とすると、TH と TL の時間は、
TH = 0.693 · (R1 + R2 ) · C
(4.10)
TL = 0.693 · R2 · C
(4.11)
1.44
(R1 + 2R2 ) · C
(4.12)
となり、周波数 f は
f=
となる。
[6]
今回の回路の場合、R1 = 1kΩ、R2 = 10kΩ、C = 1µF であるため、TH = 7.62 · 10−3 、
TH = 6.93 · 10−3 、f = 68.57 となる。つまり、一秒間に約 69 回、回路のオンオフが切り替わるも
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図 4.20: LED を取り付けた発振回路の回路図
のとなっている。この速さは静止状態では点滅しているかどうかの判断が非常に難しいと感じる早
さである。
この回路を制作後、実際に二重振り子にとりつけるために、この回路を小さい基板上に作成し
た。この時に下図のような回路図を作成し、基板上でのタイマ IC、コンデンサ、抵抗、LED の大
きさを計算し、最小の大きさにする工夫をした。これは二重振り子に実際に取り付ける上で二重振
り子の大きさの問題や重さの問題、空気抵抗などの要因で小さくする必要があるためである。
図 4.21: 制作した基板
その後、基板をこの回路が収まるサイズに切断し、回路を基板上に半田付けした。これにより作
成した回路を実際にアクリル板で制作した二重振り子に取り付けテープなどで仮固定して動かし、
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その軌跡を確認した。この段階で点滅する LED の軌跡を観察することができたが、この時点では
計測用の二重振り子ではなく、仮固定されたもののため正確な計測はできなかった。そこで制作班
にて、計測用となるシンプルな長方形の二重振り子をアクリル板にて制作した。この二重振り子の
第二剛体に長方形の穴を開け、その穴と同じサイズの金属板の枠に基板を固定し、金属板を二重振
り子にはめ込んでこの二重振り子に取り付けた。そして実際に二重振り子を動かし、その動作を確
認した後、発振回路を取り付けた LED の光の軌跡をデジタルカメラでシャッター速度を落として
長期露光撮影した。今回は８秒間の撮影で、以下の写真のようになった。
図 4.22: 発信回路を取り付けた二重振り子
図 4.23: 発信回路を取り付けた二重振り子の軌跡
しかし、制作班の活動を同時期に行っており、計測班の活動に時間を費やすことができず、実際
に詳しい計測をすることはできなかった。
（※文責: 曽根智哉）
4.2.6
計測班の活動のまとめ
今回のプロジェクトで、計測班は二重振り子の動きの理論を理解し、実際に二重振り子の動きを
測定する方法を考案した。二重振り子の力学の理解は目標どおりだったものの、実際に二重振り子
の動きを測定することはできなかった。その理由として、このプロジェクトは人数の関係上複数の
班にまたがることがあり、制作班のアクリル板の二重振り子の制作と土台作りの時期にかぶってし
まったため、計測にかける時間を十分に取ることができなかった。ただし、実際に計測する方法と
その基盤があるため、もう少し時間があれば計測することができたであろう。
（※文責: 曽根智哉）
4.3
4.3.1
プログラミング班の活動内容
プログラミング班の活動
プログラミング班では前期の目標として単振り子シミュレータの構築を目標に活動してきた。
後期では二重振り子のシミュレータを構築し、それに使用した運動方程式、数値計算法を理解す
ることを目標として活動した。
（※文責: 山本仁）
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4.3.2
前期でのシミュレータの作成
プログラミング環境として、使用するのに最も慣れている Processing を使用した。最初は動作
確認のために振り子を円運動させるプログラムを作った。そこから振り子としての動作が示せるよ
うに、動作範囲の決定、初期の角度の設定を行った。計測班での学習過程で自由落下を学び、振り
子の速さが変わるように速度を使い、速度を求めるために加速度を、振り子の位置を求めるために
角度を用いてプログラミングを施した。しかし運動方程式を理解しておらず、間違った計算をして
いて上手くいかなかったためシミュレータ構築が停滞していたが、ラグランジュ方程式を学習した
後、振り子の運動を求めるためには、角度、その角度間で動いた距離が必要なのだと理解した。振
り子が動いた距離を表す変数を x1 、一般的な重力加速度を g 、垂直方向に対する角度を θ、振り子
の長さを L、シミュレータ構築時の画面の上方向を正とした上下をｘ軸方向、右方向を正とした左
右をｙ軸方向として振り子の速度を求める計算アルゴリズムは次のように構築した。
x1 n+1 = x1 n + g · cosθ
θn+1 = θn +
(4.13)
x1 n+1
L
(4.14)
またこのアルゴリズムではオイラー法による近似が使われている。オイラー法とは状態の時間変
化を順番に計算したもので、一次の精度を持つ数値解析法である。近似することでより実際の振り
子の運動に近いシミュレータを構築できた。
動作したシミュレータの周期を取得するプログラムを構築し、初期角度が 10 度と 160 度、別々の
角度で比較した。するとその周期は 10 度の方は 96∼98[s]、160 度では出力したほとんどが 100[s]
は超えていた。よって振り子の等時性、つまり周期が振幅の大小に関係ないということが成り立た
ない部分までシミュレート出来るシミュレータの構築が出来ていたことが分かった。またこのシ
ミュレータは最初から動くのではなく、初期角度を決めてから START ボタンと STOP ボタンで
動作の設定を行うようにした。また初期角度を 5 度ずつ変化できるようにボタンを配置し、初期角
度の変化はシミュレータ上の数値と振り子の位置にも変化をもたらすように構築した。
（※文責: 山本仁）
4.3.3
後期でのシミュレータの作成
後期では二重振り子のシミュレータの構築を目標として活動してきた。プログラミング環境は前
期と同じく processing を使用した。二重振り子の動きを理解するために前期に学んだ自由落下の
運動方程式、ラグランジュ方程式、数値計算法のオイラー法を活用し、新たにルンゲ・クッタ法と
いう数値計算法を学んだ。
最初は質点二重振り子のシミュレータ構築にあたった。ラグランジュ方程式で導いた角速度を時
間で微分したものから現在の角度、角速度を求め、オイラー法を使用して次の振り子の位置、動き
を計算するという手法をとって構築した。
二重振り子の運動を求めるためにまず位置エネルギーと運動エネルギーを求めた。第一剛体、第
二剛体の位置エネルギー、運動エネルギーをそれぞれ U1 、U2 、T1 、T2 として、全体の位置エネル
ギーと運動エネルギーを U 、T とする。また第一剛体、第二剛体それぞれの長さを l1 、l2 、重さを
m1 、m2 、速さを v1 、v2 、角度を θ1 、θ2 、高さを h1 ,h2 として、重力加速度を g とすると、
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図 4.24: シミュレータのアルゴリズム
位置エネルギーは
U1 = −m1 gh1
= −m1 gl1 cos θ1
U2 = −m2 gh2
= −m2 g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2 )
U = U1 + U2
= −m1 gl1 cos θ1 − m2 g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2 )
運動エネルギーは
1
m1 v12
2
1
= m1 (l1 θ˙1 )2
2
T1 =
1
m2 v22
2
1
= m2 {(l1 θ˙1 sin θ1 + l2 θ˙2 sin θ2 )2 + (l1 θ˙1 cos θ1 + l2 θ˙2 cos θ2 )2 }
2
2
2
1
= m2 {l12 θ˙1 + l22 θ˙2 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )}
2
T2 =
T = T1 + T2
2
2
1
1
= m1 (l1 θ˙1 )2 + m2 {l12 θ˙1 + l22 θ˙2 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )}
2
2
2
2
1
1
= (m1 + m2 )l12 θ˙1 + m2 l22 θ˙2 + m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )
2
2
と、表される。
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図 4.25: 二重振り子
次にラグランジアン L を求めた。ラグランジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差で表
すことができるため、
L=T −U
1
1
= (m1 + m2 )l12 θ12 + m2 l22 θ22 + m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )
2
2
−{−m1 gl1 cos θ1 − m2 g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2 )}
となる。
またラグランジュ方程式は
{
d
dt
d
dt
δL
δ θ˙1
δL
δ θ˙2
−
−
δL
δθ1
δL
δθ2
=0
=0
つまり、
{
2
(m1 + m2 )l12 θ¨1 + m2 l1 l2 θ¨2 cos(θ1 − θ2 ) + m2 l1 l2 θ˙2 sin(θ1 − θ2 ) + (m1 + m2 )gl1 sin θ1 = 0
2
m2 l1 l2 θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) + m2 l22 θ¨2 − m2 l1 l2 θ˙1 sin(θ1 − θ2 ) + m2 gl2 sin θ2 = 0
より、これを連立方程式で解く。これにより角速度を時間で微分したものを求めることが出来
る。
またここで、
M1,2 = m1 + m2
S = sin(θ1 − θ2 )
C = cos(θ1 − θ2 )
として、計算すると、

 θ¨ =
1
 θ¨2 =
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2
2
g(−M1,2 sin θ1 +m2 sin θ2 C)−m2 (l1 θ˙1 C+l2 θ˙2 )S
2
l1 {M1,2 −m2 C }
2
2
gM1,2 (sin θ1 C−sin θ2 )+(M1,2 l1 θ˙1 +m2 l2 θ˙2 C)S
2
l2 {M1,2 −m2 C }
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となり、角速度を時間で微分したものが求められた。
以上の式をオイラー法で計算し、角度 θ1 、θ2 、角速度 θ˙1 、θ˙2 を求めることが出来る。その計算式
は以下の通りとなる。
 ˙
θ1 n+1 = θ˙1 n + θ¨1 n+1


 ˙
θ2 n+1 = θ˙2 n + θ¨2 n+1

θ
= θ1 n + θ˙1 n+1

 1 n+1
θ2 n+1 = θ2 n + θ˙2 n+1
よって、オイラー法で二重振り子の角度、角速度を求めることができ、その運きを求めることが
出来た。これにより、質点二重振り子のシミュレータを構築することが出来た。
しかし、オイラー法では近似の精度が低いため、正確な角度や角速度を求めることは難しい。そこ
でより近似の精度が高いルンゲ・クッタ法を学習した。その中でも精度が高い４次のルンゲ・クッ
タ法を用いた。４次のルンゲ・クッタ法とはテーラー展開を４次の項まで計算したものを、ルン
ゲ・クッタ法で計算したもので、その式は以下の通りとなる。

k1



k2
k


 3
k4
yn+1
= hf (tn , yn )
= hf (tn + h2 , yn + k21 )
= hf (tn + h2 , yn + k22 )
= hf (tn + h, yn + k3 )
k1 + 2k2 + 2k3 + k4
= yn +
6
先ほど求めた θ¨1 、θ¨2 を使い、４次のルンゲ・クッタ法で角度と角速度を求める。時間 tn を含ま
ない微分方程式だから、h を刻み幅 dt とすると、fi (i = 1, 2, 3, 4) は、

f1 (yn ) = θ˙1 (θ1 , θ2 , θ˙1 , θ˙2 )



f2 (yn ) = θ˙2 (θ1 , θ2 , θ˙1 , θ˙2 )

f (y ) = θ¨1 (θ1 , θ2 , θ˙1 , θ˙2 )

 3 n
f4 (yn ) = θ¨2 (θ1 , θ2 , θ˙1 , θ˙2 )
と、表せる。よって、


θ1 n+1



θ2 n+1
 θ˙1 n+1


 ˙
θ2 n+1
= θ1 n +
= θ2 n +
= θ˙1 n +
= θ˙2 n +
k1,1 +2k2,1 +2k3,1 +k4,1
6
k1,2 +2k2,2 +2k3,2 +k4,2
6
k1,3 +2k2,3 +2k3,3 +k4,3
6
k1,4 +2k2,4 +2k3,4 +k4,4
6
これにより質点二重振り子の角度、角速度を求めることができ、求めた角度を振り子の位置を表
す式に代入することで、次の位置、動きを計算する 4 次のルンゲ・クッタ法による数値計算法での
シミュレータを構築することが出来た。
またシミュレータが正確に動いているのかを確かめるために位置エネルギーと運動エネルギーの和
が一定になる、力学的エネルギー保存の法則が働いていることの確認をとった。振り子の初期位置
（第一剛体、第二剛体それぞれの角度）を固定し、刻み幅 dt を変えながら総エネルギーの誤差を計
測した。この誤差が小さければシミュレータが正確な動作をしていることが分かる。またその時の
振り子の初期位置から求められる総エネルギーを基準として誤差がいつ、どれだけあるのかを軌跡
として描くプログラムを追加し、どのように総エネルギーが変動しているのかを目視できるように
した。計測した結果、その誤差は刻み幅を小さくするほど小さくなっていった。しかし processing
でシミュレータを構築しているためプログラムは double 型ではなく float 型を使用している。そ
のため丸め誤差もあり、刻み幅を十万分の一などと極端に小さくして角度などを求める精度を上げ
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ようとするとシミュレータとして機能しなくなった。丸め誤差を考慮して刻み幅を 1000 分の 1、
500 分の 1、300 分の 1 と調節し計測した。総エネルギーの誤差は十分に小さく、シミュレータが
正確に動いていることを確認することができた。
そして本プロジェクトで使用している剛体二重振り子のシミュレータの構築にかかった。剛体二
重振り子は質点二重振り子とは違い、振り子の先端に重りをつけたように重心が先端にあるのでは
なく、その剛体によって重心の位置が変わる。そのため位置エネルギー、運動エネルギーの値が変
わってしまうので、その点を踏まえて構築した。
まず最初は単純な棒状の剛体二重振り子を構築した。この剛体は質点振り子のときとは違い、剛
体の中心に重心があるので、
h1 =
1
l1 cos θ1
2
1
h2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2
2
となるため、位置エネルギーは、
1
U1 = − m1 gl1 cos θ1
2
1
U2 = −m1 gl1 cos θ1 − m2 gl2 cos θ2
2
U = U1 + U2
1
1
= −( m1 + m2 )gl1 cos θ1 − m2 gl2 cos θ2
2
2
となる。次に運動エネルギーだが、重心の位置が変わっているせいで剛体の位置によって速度が
違う。剛体の端を 0 としてそこからの任意の距離を x（x = 0, 1, 2, …, l1 ）とすると、任意の距離で
の第一剛体、第二剛体それぞれの速度は、
2
v12 = x2 θ˙1
v 2 = (l1 θ˙1 cos θ1 + xθ˙2 cos θ2 )2 + (l1 θ˙1 sin θ1 + xθ˙2 sin θ2 )2
2
と表すことができる。これを x で第一剛体は 0 から l1 まで、第二剛体は 0 から l2 までと範囲を
指定し、積分していくことでそれぞれの運動エネルギーを求めることが出来る。よって、
∫
l1
T1 =
0
m1 2 ˙ 2
x θ1 dx
2l1
2
1
= m1 l12 θ˙1
6
∫
l2
m2
{(l1 θ˙1 cos θ1 + xθ˙2 cos θ2 )2 + (l1 θ˙1 sin θ1 + xθ˙2 sin θ2 )2 }dx
2l
2
0
2
1
1
1
2 ˙ 2
= m2 l1 θ1 + m2 l22 θ˙2 + m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 C
2
6
2
T2 =
T = T1 + T2
2
2
1
1
1
1
= ( m1 + m2 )l12 θ˙1 + m2 l22 θ˙2 + m2 l1 l2 θ1 θ2 C
6
2
6
2
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となる。ここで
M1,2 (a) = m1 + 2m2
M1,2 (b) = m1 + 3m2
とすると、ラグランジュ方程式より角速度の時間微分を求めると、

 θ¨ =
1
 θ¨2 =
2
2
3g(−2M1,2 (a) sin θ1 +3m2 sin θ2 C)−3m2 (3l1 θ˙1 C+2l2 θ˙2 )S
l1 {4M1,2 (b)−9m2 C 2 }
2
2
3g(3M1,2 (a) sin θ1 C−2M1,2 (b) sin θ2 )+3(3M1,2 (b)l1 θ˙1 +2m2 l2 θ˙2 C)S
l2 {4M1,2 (b)−9m2 C 2 }
となる。
これを４次のルンゲ・クッタ法を使って角度、角速度を求めた。これにより、棒状の剛体二重振
り子のシミュレータを構築することが出来た。また第二剛体が輪っかになっている剛体二重振り子
もこの式で表すことができるため、結果として一般的な棒状のものと、第二剛体が輪っかになって
いるものと２種類の剛体二重振り子のシミュレータを構築することができた。
図 4.26: 剛体二重振り子のシミュレータ
またシミュレータは計測に使用することも考えて、シミュレータの機能に開始とリセットに加え
て一時停止の機能を加え、動かしている間の時間を取れるようにした。その理由として制作した二
重振り子の形状、重量などのパラメータをシミュレータに組み込み実物を動かしたときと比較でき
るようにするためと、10 秒後、20 秒後にはこれから制作する二重振り子がどのような動きをして
いるのか、どの位置にいるのかを計測するための２点があげられる。時間はシミュレータを開始す
ると同時に数え始める。一時停止の機能はその時の第一剛体、第二剛体の角度、角速度を計測し、
実物との比較をしたり、先に記述した力学的エネルギー保存の法則が成り立っているかをより精度
を上げて確認するためにも取り付けた。
（※文責: 山本仁）
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4.4
科学祭
前期には、二重振り子を木材で設計し、単振り子の運動方程式を全員で理解し、単振り子をプロ
グラミングで表示させることができるようになった。しかし、この段階だけではこれらの活動がど
のように目標に関連しているかを言うことができなかった。これらをふまえて考察したところ、本
プロジェクトメンバー自体が二重振り子のどのような点が教育や展示への活用になるかが具体的に
分かっていなかった。これでは、後期の活動の時にも目標どおりの活動ができるか不安になってし
まうため、二重振り子の面白さを伝えることと教育への活用の可能性を探ることを目的として、本
プロジェクトは８月２５日に行われたはこだて国際科学祭 2013 に出展することにした。
（※文責: 高瀬開）
4.4.1
出展に向けた取り組み
出展内容については科学祭より 1 ヶ月以上前から企画を始めた。
どのような工夫をすれば２重振り子をよく見てもらえるかを重点的に考えながら企画したとこ
ろ、複雑な動きを見てもらえるように第二剛体がわっかの振り子を使用して、その部分を狙っても
らう的当てという案が出た。試しに、柔らかいボールを使用して的当てを行ってみたところ、誰一
人としてうまく当てることができなかった。これでは子供たちだけでなく一般客も楽しむことがで
きず、また二重振り子の耐久を考えるとあまりよくない案だった。改善案を考えた結果、ボールで
はなく水鉄砲を利用した射的にすれば誰でも簡単に遊ぶことができるという結論に至った。第二剛
体のわっかの部分に破れやすい紙をはり、穴があくまで頑張ってもらう射的という形となった。
そして、科学祭までにそれらの道具の準備と問題の改善に取り組んだ。１つ目の問題として、二
重振り子の土台は大半が木材で設計されており、水を含んでしまうと形状が変化してしまうなど痛
んでしまう危険性があった。そこで市販の防水スプレーを使用したところ水をはじくようになり、
この問題は解決された。試しに習字などに使われる半紙をセロハンテープでわっかに貼り付けて実
際形式で射的を行ってみた。難易度は予想以上に高くて楽しめるものとなったが、次の半紙を貼る
ときに振り子や手が濡れたままだと動かす前に半紙がふやけてしまったり、水分が残ったことでセ
ロハンテープの粘着性の低下などで、動作途中ではがれてしまうときがあった。はがれないように
テープをさらに強力なものにするなどいろいろな試行錯誤がされたが、結局１回１回タオルでしっ
かりと水分をふき取ることが最も確実だった。
２つ目の問題として、昨年のプロジェクトから引き継いでいる土台は、左右へ
の揺れに対しては強いが、前後への揺れに対して弱かった。この揺れに関する原
因として、土台と地面と接する部分が土台の左右だけでありこれより少し前で二
重振り子が稼動するため、前後にも力が生じてしまうからである。よって、地面
との接触部分を土台の後ろ部分にも増やすことで前後に対する揺れを抑えるこ
とができた。しかし、既存のものに無理やり付け足したものとなりどこへでも展
示できるという展示用としての振り子の土台としては良くないものとなってし
まった。
（※文責: 高瀬開）
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4.4.2
当日までの下準備
大学は諸事情によって科学祭の３日前から入ることができな
くったため、土台と振り子を大学の外に出しておく必要があった。
しかし、その週は天候が悪く、屋外に出しっぱなしというわけには
いかなかった。そのため、４日前に土台と振り子を大学から借り
た車に詰め込むことにした。このときに、土台を改良したため分
解できなくなった土台がうまく車に詰め込むことができずに収ま
るまでに苦戦を強いられた。そのため、後期では取り外しが可能
で持ち運びがこの土台よりも容易な新たな土台を制作することも
活動内容として追加された。また、科学祭の前日の日に開催場所
である千代台公園陸上競技場へ行って場所の確認をした。
（※文責: 高瀬開）
4.4.3
当日の活動
展示が開催するのは１０時からだったが、１時間半まえから現地での準備を行った。当日での出
展場所での内容として、最初に二重振り子に関して簡単な説明、次に本プロジェクトがさまざまな
形状の二重振り子を制作し、教育・展示用の振り子として活用させることを目標としていることを
説明し、最後に二重振り子の射的を体験してもらい、最後にアンケートを書いてもらう。また、射
的に成功した人に関しては景品を出す形式となっている。
当日は天候が悪く、他のブースの数も多いため、本プロジェクトの話を聞いてくれる方々がいる
か不安ではあったが、景品があることのほかにも、インパクトのある土台であったからか、たくさ
んの方に話を聞いていただいた。二重振り子を実際に動かしてみると驚いている方が多かった。ま
た、高校の教師の方も拝見していただき、さまざまな意見をいただいた。
（※文責: 高瀬開）
4.4.4
アンケート
小学生３３人、中学生５人、高校生７人、教員５人、一般８人、、不明２人の総計６０人からア
ンケートを書いていただいた。アンケート内容としては、
１、発表は面白かったか。
２、二重振り子に興味を持った。
３、射的が難しかったか。
４、どの部分に興味を持った。
以上の 4 つを聞いた。
１の質問に対して全員が、２の質問には８割以上である 52 人が「はい」と答えてくれた。この
意見から、科学祭は大成功であったと分かった。また、３の質問に対しては 45 人が難しいと答え
たことから、二重振り子の動きは一般の人から見ると目で追うことが難しいことが分かる。そし
て、重要な質問である４の質問については、振り子の動きと答えた人が 54 人、振り子の形状が 2
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人・構造が 4 人だった。このことから、二重振り子を教育・展示用として活用していくためには振
り子の複雑な動きに重点をおくことが大切ということを理解した。そして、科学祭で新たに発見し
たことをアイデア、意見、課題を含めて、後期に生かしていくこととなった。
図 4.27: 当日の本プロジェクトのスペースの様子
（※文責: 高瀬開）
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第 5 章 発表会
5.1
5.1.1
発表会への準備
ポスター制作
発表するに当たって必要なポスターは制作班の作業の合間に取り組んだ。制作するためにイラス
トレータを使用し、基本的なデザインは去年のポスターを参考にして制作した。
ポスターは、プロジェクトメンバー以外にも分かるように専門用語を使用しないことや、プロ
ジェクトで一番伝えたいことを簡潔に分かりやすく示すなど、さまざまな工夫をこなした。完成し
たポスターは、ポスターに使用するための画像をそれほど作業の合間に撮っていなかったことや、
内容が内容なだけあって文章で書かれた部分が多くなってしまったが、全体的に見やすいものと
なった。プロジェクトメンバーの中にはデザインコースの人がいないためポスターのデザインに関
して苦戦を強いられたが、無事に形として完成させることができた。印刷する前に、文章に誤字脱
字はないか、メインポスター文章の英語の翻訳が文法的に間違っていないかなど念入りな点検を
行った。ポスターの印刷は前期と後期ともに余裕を持って発表の３∼４日前に問題なく印刷するこ
とができた。
（※文責: 高瀬開）
5.1.2
スライド制作
スライド制作にあたって注意した点は、発表に専門用語が多いと理解されないと思い、スライド
を見ただけでもなんとなく伝わるように簡潔で分かりやすいものを主軸とした。また、アンケート
集計結果なども数字だけでなくグラフにまとめた。その結果、文章をできる限り最小限に抑え、画
像やグラフを中心としたスライドが完成した。
（※文責: 高瀬開）
5.1.3
発表までの準備
発表場所を一般的な場所ではなく音響スタジオを使用した。理由として、我々が制作した二重振
り子の機能の中に加速度センサーを使用した点滅回路があり、二重振り子の軌道を見やすくする
ために回りを暗くする必要があった。そのため、いつでも明るさを変化させれる場所を選ぶ必要が
あったため、音響スタジオとなった。本プロジェクトは結果を出すための活動時間が足りず、発表
形式と内容は発表会の前日にようやくまとまった。なるべくスライドを読まないように発表セリフ
を各自暗記した。また、発表内で行われる、二重振り子の実演については、当日にうまく稼働する
という確信が持てないためセリフはアドリブになることが予想された。しかし、あらかじめいくつ
かのセリフを考えておくことで、当日での予期せぬ事態への対策をした。
（※文責: 高瀬開）
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5.2
発表会当日の内容
前期での中間発表の時は、何回もセリフを練習したためスライドを見ずに発表できた。しかし、
ただ覚えただけであってセリフをただしゃべっているだけとなり、相手に伝えたいという気持ち
が抜けていた。また、実演に関しては、木材の二重振り子であったため、うまく稼動しないときが
あった。その時に、うまく稼動しませんでしたと言って、実演を終わってしまい、内容よりも時
間のほうを考慮してしまった。そのため、複雑な動きを理解することができなかったという人が
いた。
最終発表ではこれらの課題を改善するために、相手に伝わるように発表することや、実演ではう
まく稼動しなくても二重振り子の複雑な動きを分かってもらうまでやり直すといった点を意識し
た。実際の発表では、実演に関してはアクリル板の二重振り子がひび割れが発生してしまったが、
最後まで稼動させることができた。そのため、実演に関しては、大成功だといえる。しかし、肝心
の発表に関しては、練習する時間が限られてしまったためにセリフを覚え切ることができず、スラ
イドを見て話すことが多かった。
また、中間と最終ともに相手からの質問に関しての回答をあらかじめ用意していなかったため、
回答するのに時間がかかったり回答できないという場面が発生してしまった。
（※文責: 高瀬開）
5.3
5.3.1
中間発表の評価シートまとめ
アンケート枚数
アンケート枚数総数：40 枚
5.3.2
平均点
発表技術平均点：6.1 点発表内容平均点：6.3 点
5.3.3
発表技術まとめ
良い評価については実物を使用したデモを行ったこと、シミュレータを入れたこと、発表すると
きの発言が聞き取りやすかったことのこの３つである。
悪かった評価は、大きく分けてスライドの内容、発表の仕方の二つに分けられる。まずスライド
の内容については、スライドに工夫がなく文字と写真が並べてあるだけ、文字が多い、画像をたく
さん入れるといい、スライドに色をつけるといい、ページ番号とプロジェクト名を全てに入れる、
重要な部分の強調などの評価を頂いた。
次に発表の仕方については立ち振る舞いが不適切だった、スライドを見て話すことが多かった、
スライドを読んでいただけ、発言につまる、質疑から応答までの間隔が長いなどが挙げられ、振り
子の実演時にはうまく回らなかったときにもう一度回して欲しかった、入り口のドアも閉めてさら
に暗くするといいといった評価を頂いた。
改善案としてスライドの内容については、発表内容と関連を持たせた画像を中心に作成するこ
と、ページ番号とプロジェクト名の挿入、テキストも少なくして班構成などのスライドは小分けに
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することで文字数を少なく見せること、また少なくしたテキストの中で重要な部分をより強調させ
ることが挙げられる。
発表の仕方については発表内容を完全に暗記し、スライドに文字がなくても聞き手を見て話せる
ようにすること、質疑応答をシミュレートしてすぐに答えることが出来るようにすること、この２
つを身につけることが重要だ。
（※文責: 仲川知也）
5.3.4
発表内容まとめ
良い評価のコメントとして、使用した言語を説明した点が良かった、写真を使ったのが良かっ
た、二重振り子を実際に 4 つ動き方を見せることでどのような動きかがわかりやすくて良かった。
様々な形の二重振り子があって面白かった、教育に活かしていくという姿勢は良かった、名称の募
集は予想外で良かった、科学際に参加する等目標に近づけて良いと思う、実際にいろいろな振り子
の動きの違いが見ていて楽しかった、明確な目標を設定しており活動成果も良かった、難しい言葉
は補足説明されておりわかりやすかった、これからに期待、二重振り子の動きを実演と説明を行っ
ていて引き付けられた、プログラミングが見やすかった、と言うのがあった。
悪い評価のコメントとして、教育への役立て方が分からない、難しい言葉が多く理解しずらい、
結局何がしたいのかが伝わってこない、動機や学んだ事が曖昧、子供が興味をもつということはど
ういうことか、装置が昨年度から進化していない、エネルギーロスの少ない装置が必要では、シ
ミュレータと模型の制作の関連が述べられていない、不思議さをまず見せる構成でないと人は見て
くれない、振り子の動きについてしか説明しておらず動かしたことによる成果が少し理解しづら
い、教育・展示への今後の発展についてがはっきりしていない、なぜこの形にしたのかの説明がほ
しかった、というのがあった。
アドバイス的なコメントとして、想定される質問項を増やすと良い、模型のつくりをもう少し改
良すべき、現実的な目標があるといい、何をやったのか写真や図などあれば、もっと分かりやすく
なる、振り子の形をシェイクアップすべき、ラグランジュ方程式や processing を使った理由をつ
けるとよい、二重振り子制作体験などを子供に向けて実施するとより楽しくなると思う、声をはっ
きりとしてしゃべったほうがいいと思う、というのがあった。
これらのコメントから、プロジェクト内容の面では目標・目的を明確にすること、どう教育に活
かすかの案の考案、制作内容の面では装置の制作、二重振り子の更なる改善、発表内容の面では質
問されるであろう問いの想定、発表態度の改め、聞き手に理解しやすい説明法や楽しんでもらう発
表方法の考案、などの改善点が見られた。
（※文責: 仲川知也）
5.3.5
自己評価
書いていただいた評価シートを客観的に見て、多い意見が「難しい単語が多い」だった。説明の
ための発言に関しては、聞き取りやすいという意見は多かったが、今回の発表を聞いても理解する
ための説明があまりされていないことが分かる。また、スライドには文章が多く見ていて飽きてし
まう人もいた。発表も含めて今回のプロジェクトの成果を 5 段階評価で表すと、聞く人のことを考
えて発表できなかったことや、それに関して取り組めることがまだまだあった点もあって評価は 2
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であると思う。
（※文責: 高瀬開）
5.4
5.4.1
最終発表の評価シートまとめ
アンケート枚数
アンケート枚数総数：36 枚
5.4.2
平均点
発表技術平均点：6.3 点発表内容平均点：6.5 点
5.4.3
発表技術まとめ
良い評価については新たな土台にしたことが良い、 画像・補足情報が話されていたため理解し
やすい、 始めに目的についての説明があったため行動の流れが理解しやすい、 スライドが見やす
い、 声が通っていて聞き取りやすい、 実演で木製とアクリル製の違いが分かりやすかった、 実演
があって二重振り子の動きについて理解しやすかった、 発表場所が良かった、 といった評価を頂
いた。
悪かった評価についてはプロジェクトの目的や目標、 何か課題・何を解決したかが分かりにく
い、展示で去年の台も展示するべきだった、 プレゼンが聞きづらい点があった、 成果が分かりに
くかった、 もっと元気に発表したらよい、 スライドの構成が甘い、 暗記している内容を話してい
る感じだった、 各班の説明と実演の順に違和感を感じた、 発表者は観客のほうを向いてしゃべる
とよし、 ゴシック体が見やすい、 スライドの図が小さくて見づらかった、 もっと落ち着いて発表
したほうが良い、 専門用語が多すぎてよくわからなかった、 質問に対する答えになってなかった、
といった評価を頂いた。
アドバイス的なものとしてもっと身振りをつけると良い、 発表をもっとすらすら話せるように
発表練習が必要では、 といった意見も頂いた。
改善案としてスライドについては、 デザインを深く考えてもっと印象強い図・文字・文字の色・
表現を扱うべきであった。 プロジェクトの目的・目標から何を解決し、 何を課題として動くのか
を明確にしそれに至る流れを図等で表現すること、 専門用語や部品名を理解しやすい表現又は補
足をするべきであった。
発表については発表内容を多くの練習を積み重ね、 発表会の時は必要なことは暗記し、 リラッ
クスした状態で発表を行えるようになっているべきであった。 また、 ジェスチャーなどの身振り
をして観客の人々をできるだけ見て発表するべきであった。 発表内容についてはスライドに書か
れていない事を話す場合は重要性が低いもの、 又は実物などを使用して説明を付けて発表するな
どの工夫を考えるべきであった。 質疑応答にしっかり答えられるように前もってチェックし確認
する必要もあった。
（※文責: 仲川知也）
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5.4.4
発表内容まとめ
良い評価のコメントとして、 聞き取りやすかった、 LED を用いた振り子の動きが面白かった、
人数の少なさを振り分けでカバーできていた、 実演で二重振り子のイメージが変わった、 昨年度
よりもいい成果物だと思う、 定義と合っていて理解できた、 目的達成への活動が図でわかりやす
かった、 作った二重振り子の仕組みが分かりやすかった、 写真を使ったのが良かった、様々な形
の二重振り子があって面白かった、教育に活かしたいという姿勢は良かった、実際にいろいろな振
り子の動きの違いが見ていて楽しかった、といった意見を頂いた。
悪い評価のコメントとして、 射的の映像がみたかった、 学びの具体性が足りない、 悩んだ点、
思い、 学びなども発表、 なぜ二重振り子なのか、 着眼やその背景について述べられていない、 何
を達成できたのか判断しかねる、 昨年からの積み重ねがない、 教育活用を定義するための実験や
結果に対する考察が少ない、 教育の応用について活動内容がなかった、 使用した、 習得した技術
の説明を詳しく、 専門用語があって難しかった、 発表していることがスライドになかったため頭
に入ってこなかった、 教育への役立て方が分からない、 子供が興味をもつということはどういう
ことか、 という意見を頂いた。
アドバイス的なコメントとして、 実演する時間をもっと入れるべき、 他の二重振り子も動かし
て見せれば良い、 という意見を頂いた。
これらのコメントから、 プロジェクト内容の面では目標・目的を明確にして、 なぜそのような
目標・目的を立てたのか背景や自分達の思惑を言葉にして発表する、 どう教育に活かすかの案の
考案と計画立て、 二重振り子を使う必要性について、 聞き手に理解しやすい説明法、 相手を楽し
む発表の工夫などの改善点が見られた。
（※文責: 仲川知也）
5.4.5
自己評価
書いていただいた評価シートを客観的に見て、 多い意見が「教育の活用についての考案」「専門
用語があって理解しにくかった」の 2 つであった。
前期のアンケートではスライドの文字が多すぎるとあったため、 スライドの文字を少なくし発
表する内容を多くしたのだが、 専門用語の解説や説明も少なくなってしまったため理解しにくい
スライドになってしまった。 また、 プロジェクトの目的・目標を説明するにあたっての背景が書
かれておらず、 昨年度からの引継ぎをしっかりしていないこと、 曖昧なものとなってしまった。
発表物としても、 音響スタジオという比較的大きなスペースを活かして昨年度に制作した土台や
科学祭で行った射的などを置くべきだった。
発表も含めて今回のプロジェクトの成果を 5 段階評価で表すと、 発表を聞いている人に理解し
にくかったことや、はっきりとした方針を決め切れていなかったなどの点から評価は 3 であると
思う。
（※文責: 高瀬開）
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第6章
6.1
まとめ、展望
前期の活動結果
前期の活動結果として、それぞれの班の前期目的を達成できた。
制作班は、ユーモラスな動きの実現、レーザーカッターなどの加工技術の習得ができた。
計測班は、単振り子の理論の理解ができた、プログラミング班は、単振り子のシミュレータの構
築ができた。
（※文責: 曽根智哉）
6.2
前期の問題点
前期の活動の問題点、反省点として以下の内容が挙げられた。まず、二重振り子の軸部分の摩擦
が大きかったこと、そのため二重振り子の運動が比較的短時間でとまってしまった。また、加工技
術の精度が不十分であったこと、それにより振り子の接続部分の角度が斜めになってしまった。さ
らに二重振り子の計測にかける時間がなかったことなどであった。
まず、軸部分の摩擦は、スペーサーを入れる角度が斜めになってしまっていたという理由が挙げ
られる。これは加工技術の精度が不十分だったためだと思われる。前期ではドリルで穴を空け、前
半はハンマーで、後半はマイナスドライバーでスペーサーを入れていたため、後期ではレーザー
カッターを使用して、かつ木よりも硬く、安定するアクリル板を使用して二重振り子を作成するこ
とにした。また後期では、スペーサーではなく、より摩擦を少なくすることができるベアリングを
利用することにした。
（※文責: 曽根智哉）
6.3
後期の活動の明確化
前期の活動を踏まえて、後期の活動のためにこれからの活動の明確化を行った
6.3.1
プログラミング班について
シミュレータの制作目的は、「二重振り子の基本の勉強、理解」、「現存している振り子のシミュ
レートで、理論的な問題と照らし合わせる」、「新しく振り子を作るときの指針」である。
これはこのプロジェクト全体に必要なことである。そのため後期も制作を続行することにした。
また、制作環境は前期と同じく Processing で、発生する誤差はルンゲ・クッタ法を学び、応用
させることとした。
（※文責: 曽根智哉）
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6.3.2
制作班について
制作班は、今回、浮かび上がった問題として、「摩擦の問題、どうすれば回転軸部分の摩擦を軽
減できるか」、
「アクリル板加工のためのレーザーカッターの誤差の問題」、
「材質による違い、重
さ、長さのパラメータだけなのか」、「形状の違い、形状による何の要素が軌道を変えるか」、「台の
問題、台をどう改良したらよいか」が挙げられた。
そのため、後期ではこの問題点の解決、解決策の提示をしていく。また、形状の違いに関しては、
プログラミング班と連携していくとした。
（※文責: 曽根智哉）
6.3.3
計測班について
計測班は後期、二重振り子の動きの測定を行う。そのために、光（ダイオード、蓄光テープなど）
を利用して軌道や角速度を測ることとした。
また、二重振り子の動きの測定には、「二重振り子がカオス性をもっている」と説明できる計算
精度が必要である。そこをプログラミング班と連携していくとした。。
（※文責: 曽根智哉）
6.3.4
教育、展示について
二重振り子の常設展示については、多くの人に触れてもらい、回してもらうため、二重振り子自
身や台の壊れにくさが重要である。そのための活動を後期に制作班が行っていく。
また、二重振り子の教育的利用について、まずは自分たちが二重振り子の物理方程式を理解する
こと、それを社会（人々）に教える、もしくは「物理（力学）が面白い」と感じてもらうが必要で
ある。そのため、二重振り子の理論を学び、加工精度を高めることで、よい教育用展示になる。
（※文責: 曽根智哉）
6.4
後期への課題
前期の活動、活動の明確化を踏まえ、それぞれの班の課題は以下の通りである。
6.4.1
プログラミング班の課題
• 誤差をどうやって少なくするか
• どうやって二重振り子のシミュレータを構築するか
（※文責: 曽根智哉）
6.4.2
制作班の課題
• 摩擦の問題をどう解消するか
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• 加工技術の誤差をどう解消するか
• 土台をどうするか
• 材質や形状の違いによって動きが変わるのか
（※文責: 曽根智哉）
6.4.3
計測班の課題
• 何を使って二重振り子の動きを測定するか
• どうやって二重振り子の測定し計算するか
（※文責: 曽根智哉）
6.4.4
教育・展示への課題
各班ごとの活動以外に、教育への活用方法の考案・試行が挙げられる。
そこで、教育に活用する方法のひとつとして、2013 年 8 月 25 日に行われるはこだて国際科学祭
2013 に我々の二重振り子を出展することとした。ここで一般の人の意見も取り入れ、教育活用方
法の考案や、二重振り子の更なる改良を行う。
そのために、科学祭用の二重振り子の制作と土台の強化、展示内容などを考察する必要がある。
（※文責: 曽根智哉）
6.4.5
前期まとめ
後期には今後の課題を解決するためにそれぞれの班で以下の内容を目標に活動することにした。
プログラミング班の目標は、ルンゲ・クッタ法などの数値計算方法を学び、それを利用して
Processing による二重振り子、さらには実物と同じ剛体二重振り子のシミュレータを構築するこ
とである。
制作班の目標は前期に作った４つの二重振り子を加工精度が高く、木よりも頑丈なアクリル板で
作成し、ベアリングなど摩擦を減らすための方法を使用する。また、様々な素材、形状の二重振り
子を作成し、計測班とともに基礎となる形の二重振り子との動きの差を計測する。さらに、教育・
展示用として持ち運びしやすく、壊れにくく、安定した台の制作を行うことである。
計測班の目標は、ビデオ撮影およびストロボによる運動の計測と、二重振り子の理論の理解のた
めの学習を行うことである。そのために二重振り子の計測方法を考察し、実際にその方法を製作す
ることも目標となる。
これらの班の連携により、制作班の制作した二重振り子を計測班が計測し、そのデータを元にプ
ログラミング班がシミュレータを構築、それによりユーモラスだと思える動きを見つけ、二重振り
子を改良させていき、展示用の二重振り子を制作することが全体の目標である。
これらの目標に向けて、後期は活動していくとした。
（※文責: 曽根智哉）
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6.5
6.5.1
まとめ
今年度の成果
一年間を通して、それぞれの班の活動としては、以下のことを達成した。
まず制作班については、前期には様々な形の二重振り子の考案、設計をし、木製のプロトタイプ
となる二重振り子を制作した。後期にはこの二重振り子の教育・展示用となる正式なものを本制作
し、アクリル板を使った二重振り子を制作するとともに、教育・展示用に持ち運びしやすく、かつ
頑丈な新しい土台の制作を行い、実際に制作することに成功した。
次に、計測班については、前期には二重振り子を力学的に理解し、ラグランジュ方程式や二重振
り子の運動方程式を理解した。後期には二重振り子を実際に計測するための方法を考案し、その方
法のひとつである発信回路とそれを繋げた LED を計測用二重振り子に搭載し、その軌道を長期露
光撮影して計測する方法を実際に行った。
最後にプログラミング班については、前期には基礎として単振り子のシミュレータを作るととも
に、そのためのプログラミング技術を学んだ。後期には実際に二重振り子のシミュレータを制作す
るためにルンゲ・クッタ法などの近似法を学び、それを利用して二重振り子のシミュレータを実際
に制作した。
また、それぞれの班の活動以外に対外活動として、はこだて国際科学祭 2013 に参加し、教育・
展示用に二重振り子をどう利用するかの糸口をつかめた。また、アンケートをとることで二重振り
子をどのように見てくれているかを幅広い年齢層に参考にさせてもらうことができた。
（※文責: 曽根智哉）
6.5.2
本プロジェクトまとめ
二重振り子は振り子を二つつなげただけという簡単な構造ながら、その動きにはカオス性があ
り、わずかな初期値のずれで動きが大きく変わるというように予測できない動きをする。我々は本
プロジェクトを通してその二重振り子の動きを理解するとともに、実際に二重振り子を制作し、そ
れを教育・展示用に利用するという目標を立てて活動した。
まず二重振り子の動きを理解するということについて、計測班は二重振り子の運動方程式と、そ
れに関係があるラグランジュ方程式を理解し、その後、二重振り子を実際に計測する方法を考案し
て実際に実行した。これによって二重振り子の動きを理論的・数値的に理解することができる。
それとともに、二重振り子の動きを視覚的に理解するためにプログラミング班は二重振り子のシ
ミュレータを制作した。まずは単振り子のシミュレータを制作し、運動方程式やプログラム技術を
学んだ。その後、二重振り子のシミュレータを作るために近似法であるルンゲ・クッタ法を学び、
二重振り子のシミュレータを制作した。これを使うことで二重振り子の初期値鋭敏性を視覚的に知
ることができるとともに、制作班の制作する二重振り子を前もってプログラムし、どのような動き
をするかを観察することができる。
また、二重振り子の制作については、制作班にてまず「教育・展示用」という観点から、様々な
面白い動きをすると考えられた形を考案し、加工しやすい木材と軸部分に利用する部品を使用して
実際にいくつかの形の二重振り子を制作し、その中から４つを選び、アクリル板を利用して正式な
二重振り子を制作した。また、教育・展示用に二重振り子を制作することに伴い、二重振り子を設
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置するための持ち運びしやすく頑丈な土台の制作を行った。これによって二重振り子を教育・展示
用に実際に二重振り子を使用することができる。
このそれぞれの班の活動によって本プロジェクトの目的である、「二重振り子という簡単な構造
から生まれた不思議な動きを理解して教育や展示に活用すること」を達成できる。
本プロジェクトでの反省点は、二重振り子の計測を詳しく行うことができず、また、土台は、持
ち運びのために分解できるのだがその分解がしづらく、また、設置面積が大きいため安定せず、場
所によってはゆれてしまうなどの難点があったことである。
本プロジェクトは二重振り子という簡単な構造から生まれる複雑な動きを理解するとともに、そ
れを教育・展示用に生かすということを目標に行ってきた。二重振り子の動きを理解してシミュ
レータを作り、それによって面白い動きを見つけて現実で作り、その二重振り子を計測してシミュ
レータと照らし合わせさらに改良していき、教育・展示用となる二重振り子を作ることでその目標
を達成するということが本プロジェクトの最終目標であり、そのための基盤となるものを今年度プ
ロジェクトで制作した。今後、これらのものを利用してさらに良い教育・展示用となる二重振り子
を作成し、それを活かして活動していく。
（※文責: 曽根智哉）
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付録 A
シミュレータのソースコード
void setup() {
background(255);
size(1000, 700);
frameRate(30);
}
float m1 = 0.02; //第１剛体の重さ (kg)
float m2 = 0.01; //第２剛体の重さ (kg)
float g = 9.8; //重力加速度
float L1 = 0.2; //第１剛体の長さ (m)
float L2 = 0.1; //第２剛体の長さ (m)
float L1_d = 150; //第１剛体の表示
float L2_d = 75; //第２剛体の表示
float dt = 0.001; //刻み幅
float t_d = 0; //時間（表示）
float t_s = 0; //時間
float mu = 0.0001; //減衰定数
float theta1; //第１剛体の角度
float theta2; //第２剛体の角度
float theta_d1; //第１剛体の角度（計算）
float theta_d2; //第２剛体の角度（計算）
float theta_v1; //第１剛体の角速度
float theta_v2; //第２剛体の角速度
float theta_vd1; //第１剛体の角速度の微分
float theta_vd2; //第２剛体の角速度の微分
float rad = PI / 180; //１度辺りの動き
int rad_r1 = 45; //第１剛体の角度（度）
int rad_r2 = 45; //第２剛体の角度（度）
float x1; //第１剛体の横の位置
float y1; //第１剛体の縦の位置
float x2; //第２剛体の横の位置
float y2; //第２剛体の縦の位置
int start = 0; //実行
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float S = sin(theta1 - theta2);
float C = cos(theta1 - theta2);
float M12 = m1 + m2;
float M12_a = m1 + (2.0 * m2);
float M12_b = m1 + (3.0 * m2);
float T, T1, T2, T2_x, T2_y, T2_z; //運動エネルギー
float U, U1, U2; //位置エネルギー
float E = 0; //総エネルギー
float E0 = 0;
float Eb = 0; //１秒前の総エネルギー
float Ed = 0; //１秒間のエネルギーの差
float[][] k = new float[4][4];
float r0, r1, r2, r3;
void draw() {
loop();
if (start == 0) {
background(255);
}
fill(255);
rect(0, 0, 1000, 525);
//
fill(0);
//
line(425, 250, 425 + x1, 250 + y1); //質点振り子の第１剛体
fill(255, 0, 0);
noStroke();
for (float a = L1_d; a > 0; a--) { //第１剛体の形状・位置
x1 = a * sin(theta1);
y1 = a * cos(theta1);
ellipse(425 + x1, 250 + y1, 20, 20);
}
x1 = L1_d * sin(theta1);
y1 = L1_d * cos(theta1);
//
line(425 + x1, 250 + y1, 425 + x1 + x2, 250 + y1 + y2); //質 点 振 り 子 の 第
２剛体
fill(0, 0, 255);
/*for(float b = L2_d; b > 0; b--){ //第２剛体の形状・位置（棒）
x2 = b * sin(theta2);
y2 = b * cos(theta2);
ellipse(425 + x1 + x2, 250 + y1 + y2, 20, 20);
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}*/
for (float b = 2*PI; b > 0; b = b-0.01) { //第２剛体の形状・位置（輪っか)
float x2_z = (L2_d)/2 * sin(b);
float y2_z = (L2_d)/2 * cos(b);
ellipse(425 + x1 + x2/2 + x2_z, 250 + y1 + y2/2 + y2_z, 20, 20);
}
x2 = L2_d * sin(theta2);
y2 = L2_d * cos(theta2);
fill(255);
stroke(0);
ellipse(t_s*100, 600-Ed*10, 5, 5); //エネルギーのグラフ
fill(255, 0, 0);
text("E=" + E, 10, 520); //エネルギーの表示
text("t=" + t_d, 670, 520); //シミュレータ稼働時間の表示
float s = second();
text("real_time =", 650, 455);
text(s, 680, 490); //実時間の表示
stroke(0, 0, 255);
line(0, 575, 1000, 575); //総エネルギー＋ 2.5
line(0, 600, 1000, 600); //総エネルギーの適切な位置
line(0, 625, 1000, 625); //総エネルギー− 2.5
stroke(0);
text("+2.5", 800, 570);
text("-2.5", 805, 650);
/*
T1 = m1 * L1 * L1 * theta_v1 * theta_v1 * 0.5;
T2_x = m2 * L1 * L1 * theta_v1 * theta_v1 * 0.5;
T2_y = m2 * L2 * L2 * theta_v2 * theta_v2 * 0.5;
T2_z = m2 * L1 * L2 * theta_v1 * theta_v2 * C;
T2 = T2_x + T2_y + T2_z;
T = T1 + T2;
U1 = m1*g*(L1 - L1 * cos(theta1));
U2 = m2*g*(L1 + L2 - L1*cos(theta1) - L2*cos(theta2));
U = U1 + U2;*/
T1 = (1.0 / 6.0) * m1 * L1 * L1* theta_v1 * theta_v1;
T2_x = (1.0 / (2.0 * L2)) * m2 * L1 * L1 * theta_v1 * theta_v1;
T2_y = (1.0 / 6.0) * m2 * L2 * L2 * theta_v2 * theta_v2;
T2_z = (1.0 / 2.0) * m2 * L1 * L2 * theta_v1 * theta_v2 * C;
T2 = T2_x + T2_y + T2_z;
T = T1 + T2;
U1 = m1 * g * (L1 - (1.0 / 2.0) * L1 *cos(theta1));
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U2 = m2 * g * (L1 + L2 - L1 * cos(theta1)
- (1.0 / 2.0) * L2 * cos(theta2));
U = U1 + U2;
E = T + U;
Ed = E - E0;
print(T);
print(" , ");
print(U);
print(" , ");
println(E);
if (start == 1) { //シミュレータの開始 (START)
for (int i = 0; i < 38; i++) {
r0 = theta1;
r1 = theta2;
r2 = theta_v1;
r3 = theta_v2;
for (int n = 0; n < 4; n++) {
S = sin(theta1 - theta2);
C = cos(theta1 - theta2);
theta_vd1 = (3.0*g*(-2.0*M12_a*sin(theta1) + 3.0*m2*sin(theta2)*C)
- 3.0*m2*(3.0*L1*theta_v1*theta_v1*C
+ 2.0*L2*theta_v2*theta_v2)*S)
/ (L1*(4.0*M12_b - 9.0*m2*C*C));
//剛体振り子の第１剛体の角速度の微分
theta_vd2 = (3.0*g*(3.0*M12_a*sin(theta1)*C - 2.0*M12_b*sin(theta2))
+ 3.0*(2.0*M12_b*L1*theta_v1*theta_v1
+ 3.0*m2*L2*theta_v2*theta_v2*C)*S)
/ (L2*(4.0*M12_b - 9.0*m2*C*C));
//剛体振り子の第２剛体の角速度の微分
k[n][0] = dt * theta_v1; // ルンゲ・クッタ法―１次
k[n][1] = dt * theta_v2;
k[n][2] = dt * theta_vd1;
k[n][3] = dt * theta_vd2;
if (n == 0 || n == 1) { //ルンゲ・クッタ法―２次、３次
theta1 = r0 + k[n][0] / 2.0;
theta2 = r1 + k[n][1] / 2.0;
theta_v1 = r2 + k[n][2] / 2.0;
theta_v2 = r3 + k[n][3] / 2.0;
}
else if (n == 2) { //ルンゲ・クッタ法―４次
theta1 = r0 + k[n][0];
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theta2 = r1 + k[n][1];
theta_v1 = r2 + k[n][2];
theta_v2 = r3 + k[n][3];
}
}
theta1 = r0 + (k[0][0] + (2.0 * k[1][0])
+ (2.0 * k[2][0]) + k[3][0]) / 6.0;
theta2 = r1 + (k[0][1] + (2.0 * k[1][1])
+ (2.0 * k[2][1]) + k[3][1]) / 6.0;
theta_v1 = (r2 + (k[0][2] + (2.0 * k[1][2])
+ (2.0 * k[2][2]) + k[3][2]) / 6.0) * (1 - mu);
theta_v2 = (r3 + (k[0][3] + (2.0 * k[1][3])
+ (2.0 * k[2][3]) + k[3][3]) / 6.0) * (1 - mu);
if (t_s*100 < width) { //時間の進行
t_d += dt;
t_s += dt;
}
else {
t_s = 0;
background(255);
}
}
}
else if (start == 0) { //初期化 (RESET)
theta1 = rad * rad_r1;
theta2 = rad * rad_r2;
theta_v1 = 0;
theta_v2 = 0;
theta_vd1 = 0;
theta_vd2 = 0;
t_d = 0;
t_s = 0;
E0 = E;
}
else if (start == 2) { //一時停止 (STOP)
}
line(850, 0, 850, 525);
line(0, 525, 1000, 525);
noFill();
text("START", 880, 55);
rect(870, 20, 110, 50);
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text("STOP", 885, 125);
rect(870, 90, 110, 50);
text("RESET", 880, 195);
rect(870, 160, 110, 50);
text(rad_r1, 910, 265);
rect(870, 230, 110, 50);
triangle(900, 300, 880, 330, 920, 330);
triangle(950, 330, 930, 300, 970, 300);
text(rad_r2, 910, 385);
rect(870, 350, 110, 50);
triangle(900, 420, 880, 450, 920, 450);
triangle(950, 450, 930, 420, 970, 420);
PFont font = createFont("MS ゴシック", 28, true);
textFont(font);
}
void mousePressed() {
if (mouseX>=870 && mouseX<=980 && mouseY>=20 && mouseY<=70) {
if (start==0 || start==2) {
start = 1;
}
}
else if (mouseX>=870 && mouseX<=980 && mouseY>=90 && mouseY<=140) {
if (start==1) {
start = 2;
}
}
else if (mouseX>=870 && mouseX<=980 && mouseY>=160 && mouseY<=210) {
if (start==1 || start==2) {
start = 0;
}
}
if (mouseX>=880 && mouseX<=920 && mouseY>=300 && mouseY<=330) {
if (rad_r1 < 180 && start==0) {
rad_r1 = rad_r1 + 5;
}
}
else if (mouseX>=930 && mouseX<=970 && mouseY>=300 && mouseY<=330) {
if (rad_r1 > 0 && start==0) {
rad_r1 = rad_r1 - 5;
}
}
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if (mouseX>=880 && mouseX<=920 && mouseY>=420 && mouseY<=450) {
if (rad_r2 < 180 && start==0) {
rad_r2 = rad_r2 + 5;
}
}
else if (mouseX>=930 && mouseX<=970 && mouseY>=420 && mouseY<=450) {
if (rad_r2 > 0 && start==0) {
rad_r2 = rad_r2 - 5;
}
}
}
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参考文献
[1] 園田久. 解析力学. 朝倉書店, 1982.
[2] 三澤良介ほか. システム情報科学実習グループ報告書、教育・展示用二重振り子の制作 . 公立
はこだて未来大学 , 2013.
[3] Kenji Masuda and Mitsuo Suzuki. Chaos using a Double Pendulum, http://wwweng.kek.jp/giken/procedng/paper/met005.pdf.
[4] 森正武. 数値解析, 共立出版会社, 2002.
[5] 武 蔵 野 電 波. タ イ マ ー IC を 使 っ て み よ う（ 最 終 ア ク セ ス：2014 年 1 月 ）,
http://pc.watch.impress.co.jp/docs/2008/1023/musashino015.htm.
[6] マ ス カ ッ ト. タ イ マ ー IC、555 発 振 回 路（ 最 終 ア ク セ ス：2014 年 1 月 ）,
http://www.zea.jp/audio/schematic/sc file/018.htm.
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