プロジェクト報告書（最終）Project Final Report
提出日 (Date) 2014/01/15
複雑系の数理とシミュレーション
A mathmatical principle of complex systems and its simulation
1009060 水元健人 Kento Mizumoto
1 背景
本プロジェクトでは、複雑系を理解する手がかりと
の実験をすることで流れについての理解を深めた。そし
て、今後、流体の流れをプログラミングするための参考
した。
して流体の流れについての現象を取り上げている。流体
における自然現象によって引き起こされる問題を複雑
系・流体力学の観点から分析、解析し、その問題を視覚
化することでよりわかりやすくする。
2 課題の設定と到達目標
4 後期の活動
後期は前期の輪読で学んだ流体の基礎方程式の復習か
ら始めていき、拡散方程式、バーガース方程式の数値計
算とシミュレーションを行うことを決めた。
まずはこの二つの方程式についての自然現象や導入方
本プロジェクトの目標は、複雑系を理解するために自
法について調べた。どちらの方程式の現象は、拡散現象
然現象を取り上げ、シミュレーションすることである。
を表している方程式となっていることがわかった。そし
今回本プロジェクトが取り上げた下自然現象は、流体の
て、この二つの拡散方程式、バーガース方程式を数値計
流れのシミュレーションである。この流体の流れを数値
算するのために、差分法を大学の図書館を利用して勉強
計算して、シミュレーションすることが本プロジェクト
していった。この差分法にはいくつかの方法があり、わ
の最終目標である。また、本プロジェクトは今年度から
れわれが利用した差分法は陽解法という方法を用いた。
始まったプロジェクトのため流体力学や数値計算などの
この二つの方程式を数値計算したものをデータ化して
予備知識が必要であった。
シミュレーションを行った。シミュレーションにはプロ
3 前期の活動
セッシングというソフトを利用した。このプロセッシン
グを使うことでだたのデータを表示するだけではなく、
前期は、流体の基礎知識を学ぶために、担当教員から
指定されたテキスト「格子気体法・格子ボルツマン法―
新しい数値流体力学の手法」を用いて輪読を行った。こ
の輪読はメンバー全員で週に１回担当を決めて進めて
アニメーションとすることができるので、よりわかりや
すくシミュレーションをすることができた。最終発表で
は、前期の発表でのアンケートからの改善点を意識して
発表を行った。
いった。この輪読の作業は５月から７月まで行った。こ
のテキストを輪読していくために必要な予備知識がな
かったため、各自で大学の図書室の参考書などを利用し
て理解を深めていった。
5 ナビエ・ストークス方程式
ナビエ・ストークス方程式は流体の力学を支配する方
程式であり、その方程式は
輪読では、流体について基礎になる方程式について勉
強した。具体的には、連続の式、レイノルズ数、ナビエ・
ストークス方程式などである。また、これらを理解する
ρ[
∂u
+ (u・∇)u] = F − ∇p + µ∇2 u
∂t
ために必要になる計算方法のベクトル解析についても
となっている [?, p152]。新たな変数として F は重力な
勉強した。流体の流れを数値計算してシミュレーション
どの外力、p は密度、 μは粘性係数である。また密度一
するためには、流体の基礎方程式を理解しなければいけ
様な非圧縮流体に対して、この式の両辺をρで割ると、
ない。また、だた、テキストを輪読するだけではなく、
実際に流体の流れを知るために流れの実験を行った。こ
∂u
p
+ (u・∇)u = F − ∇ + ν∇2 u
∂t
ρ
となる。ここで
µ
ν=
ρ
元で解くことができ、シミュレーションできたため、拡
散現象をセル・オートマトンで表現できた。セル・オー
は動粘性係数である [1, p.5]。カルマン渦もこの方程式
トマトンとは、２次元に広がるフィールドを碁盤のよう
の解となっており、本プロジェクトではこの方程式を数
なマス目で区切り、そのマス目で展開される離散的な計
値解析することが課題となっている。この方程式を理解
算モデルのことである。ひとつのマスはセルと呼ばれ、
して使いこなせることができればさまざまな流体のシ
各セルには、その地点での流速 u の値が格納されてい
ミュレーションを行うことができる。しかし、見てのと
る。数値計算には陽解差分法を用い、境界条件には周
おり複雑な式となっており、またナビエ・ストークス方
期境界条件を用い、初期値には e−
程式を解くということも難しい。
リックをすると拡散物質、例えば赤インクが現れどんど
(x−50)2
200
を用いた。ク
ん拡がっていく様子を観察できる。また、拡散物質の中
6 バーガース方程式
バーガース方程式は、
∂u
+ (u・∇)u = ν∇2 u
∂t
心だけを見た時にセルの中に格納されている数値をグラ
フ化することで濃度の高い場所や低い場所を観察でき
る。
次にバーガース方程式について述べる。こちらは１次
という方程式で表される。
元で数値計算し、シミュレーションした。数値計算には
この方程式はナビエ・ストークス方程式を簡略化した
陽解差分法、境界条件には周期境界条件、初期値には
方程式となっている。具体的には、ナビエ・ストークス
sinπx、e−
方程式から外力 F と圧力 p に関する項を除外すること
には時間が経つにつれ、波が突っ立っていき、最後は鋸
で導出される方程式である。また、u は、流速、νは動粘
歯状になって止まることがわかった。これは波を立たせ
性係数、t は時間、x は位置という変数を意味している。
る慣性項と拡散させる粘性項が釣り合うことにより起こ
(x−50)2
200
を用いた。まず初期値が sinπx の時
る。次に初期値を e−
7 拡散方程式
(x−50)2
200
とした時、これは拡散方程
式と同時に表示されるように作った。拡散方程式はただ
拡散方程式は、
拡散していくだけに対し、バーガース方程式は拡散しつ
∂u
= ν∇2 u
∂t
という方程式で表される。この方程式は、拡散物質の時
つも波が突っ立っていく様子が観察できた。
9 格子気体法
間空間変化を記述する方程式である。私たちの身近な現
格子気体法は、数値流体力学の手法として発達してき
象でたとえると、水の中にインクをたらしたときのイン
た方法である。格子気体法は、計算で取り扱う変数が０
クの広がりを表しているものである。簡単に説明すると
と１の Bool 変数であるというのが大きな特徴である。
このインクは、次第に水の中で広がっていき、最終的に
実数を扱う他の数値計算法に比べ、この点に関しては記
は均一な濃度になる。
憶容量を小さくとれるし計算の高速化も図れる。その
この拡散方程式を導出するためには、ナビエ・ストー
上、計算に伴う丸め誤差および打ち切り誤差も、計算の
クス方程式から外力 F と圧力 p と慣性力に関する項を
過程では生じないなど大きな利点がある。
除外することで導出される。u は、流速、νは動粘性係
しかし、当然予想されるように、計算値は時間、空間
数、t は時間、x は位置という変数を意味している。
的にノイズがきわめて大きく、このままでは巨視的にみ
8 シミュレーションツール
て、どのような流れになっているかわからない。そこで
祖視化（平均化）を行う必要があり、そのために、非常
複雑な現象を理解するため、カルマン渦をシミュレー
ションすることを目的としていたが、これは実装できな
かった。しかし、バーガース方程式、拡散方程式を数値
計算しシミュレーションすることには成功した。
最初に拡散方程式について述べる。拡散方程式は２次
に多くの格子点をとることになって、全体として多くの
記憶容量を必要とする。したがって、計算時間も結局、
それほど短縮にはならないし、平均化を行うので、結果
の誤差結果の誤差評価は難しくなる。このモデルにより
計算される連続体としての流体の持つ保存則や、等方性
ミュレーションがありイメージしやすくよかった、発表
といった性質は、粒子の衝突則や格子の形状に依存して
する部分を棒で指しながら説明してわかりやすかった、
いる。
など前期に比べて良い評価が多くあった。これらは前期
10 格子ボルツマン法
の改善点の中に含まれるのでよかったと思う。
発表内容評価の項目では、専門用語が多くわかりにく
格子ボルツマン法は、流体運動の解析に、偏微分方程
いという意見が多く見られた。一方で流体力学について
式を離散化するのではなく、粒子の運動を考える点では
のイメージを持つことができたという意見もいくつか
格子気体法と同じであり、それゆえ、格子気体法から発
あった。
展した数値計算法であると考えられている。 格子気体
この発表内容評価については、スライドやプレゼン
法は、レイノルズ数が高い場合に衝突則が複雑になる
テーションの改善により見やすかったなどイメージしや
上、連続体としての流体の粘性がきわめて大きいため、
すいなどのいい評価もあったが、専門的な内容で難しい
高レイノルズ数流れに対する計算に不向きである。ま
印象を与えてしまったことを改善できなかった。よりわ
た、離散化された粒子の状態から、連続体である流体の
かりやすい説明と図解やシミュレーションの必要性をさ
状態（流速や密度）を知るために行う疎視化作業では、
らに実感することができた。
統計的平均をとるために多数の格子点を用意しなければ
全体の発表についてまとめると、最終発表では中間発
ならない。したがって、高精度の計算を行う際には、膨
表での反省点を意識して発表を行ったつもりだったが、
大なメモリや時間が必要になるが、コンピュータの能力
専門的な内容で難しい印象を与えてしまったことは、残
上、有限な個数の格子点しか利用できないため、ノイズ
念だった。しかし、声の大きさやスライドなど実際にシ
の完全な除去は不可能であり、計算精度の向上には困難
ミュレーションを見せたことで、流体についてイメージ
を伴う。 ができたなどの意見もあったので、良い結果になった。
11 発表について
12 成果の評価
中間発表については、平均発表技術評価 6.8、平均発
本プロジェクトの成果は、複雑系を理解するために自
表内容評価 6.6 となった。
然現象を取り上げ、その現象を科学的に解析・分析して
アンケートの発表技術の項目では、声が少し小さい、
シミュレーションを行うことが全体の成果となる。そし
数式をじっくりと説明する意味はあるのかなどの意見
て、今年度に複雑系を理解するために取り上げた自然現
があった。一方で質問への対応は良かったなどの意見も
象は、流体力学を取り上げた。
あった。また、実験の動画がありわかりやすいという意
この流体力学の分野を取り上げたのは、自分たちの身
見もいくつかあった。発表内容の項目については、難し
近にある現象を取り上げることで、複雑系を知らなくて
い内容なので理解しづらいという意見が目立った。一方
もイメージを持つことが簡単になるのではと考えたか
でわかりやすい説明で理解することができたという意見
らである。中間発表や最終発表で実験動画やシミュレー
もいくつかあった。他には、可視化がイメージしづらい
ションを見てもらったときには、実際に見れてイメージ
という意見もあった。良い意見では動画がありわかりや
がしやすいという方もいらっしゃったので、専門用語が
すかったというのがあった。
多くあるが数値計算、シミュレーションは成功し、プロ
最終発表では、前期のアンケートをもとに改善点を
ジェクトの目標が達成することができた。
意識して発表を行った。最終発表の平均発表技術評価
次に全体の進行について評価する。まず、本プロジェ
7.46、平均発表内容評価 6.56 という結果になった。平
クトは今年度から始まったプロジェクトであり、予備知
均発表技術評価は前期よりも良くなり、平均発表内容評
識などかまったくない状態であった。そのため、流体力
価は下がりはしたが前期とほぼ同じ評価点となった。
学のことを勉強する前に必要な予備知識をメンバー全員
具体的な評価の内容としては、発表技術評価の項目で
で勉強しなければならず、ここに時間がかかってしまっ
は声が大きく伝わりやすかった、具体的例の図形やシ
た。また、流体力学についても理解をするのがとても大
変で、担当教員から助言をいただきながら理解するよう
に努力した。この流体力学の輪読や予備知識を勉強する
ことに関しては、もっと計画的に行うべきだったと感じ
た。
次に数値計算、シミュレーションについて評価する。
数値計算については、流体力学を数値計算する方法はい
くつもあるのだが、本プロジェクトでは、差分法の陽解
法という数値計算を利用した。この方法は、拡散方程式
を数値計算するときに利用した。しかし、この方法だと
条件が限定されているのでさらに次元を増やそうとする
と他の計算方法を学ぶ必要があり、今回のプロジェクト
内では達成できなかった。
最後に、シミュレーションについて評価する。本プロ
ジェクトの最終目標は複雑系を理解するために自然現
象を科学的に解析・分析してシミュレーションすること
である。そして、先ほどの方法で流体について数値計算
したデータを下に、シミュレーションを行った。利用
したツールは、プロセッシングである。初めは gnuplot
を使いシミュレーションを行う予定で進行していたが、
gnuplot だとアニメーションにすることが困難であっ
たためにプロセッシングでのシミュレーションにした。
このプロセッシングを利用したことで、成果発表のと
きに実際にアニメーションでシミュレーションを見て
もらったときにイメージがしやすいという方が何人い
らっしゃったので, 良くシミュレーションができていた
と思う。
13 今後の課題
流体についての拡散方程式、バーガース方程式の数値
計算、シミュレーションを行うことはできた。しかし、
まだ初歩的な段階であるので最終的にはカルマン渦など
のシミュレーションをできるようにしたいと考えてい
る。そのためには、まだ偏微分方程式を連立して解く方
法を学習していかなければならない。
参考文献
つたはら みちひさ
かたおか たけし
たかだ なおき
[1] 蔦原 道久 , 片岡 武 , 高田 尚樹 , 格子気体法・格子ボ
ルツマン法―新しい数値流体力学の手法, コロナ社,
1999.
いしはらしげる
[2] 石原 繁 , ベクトル解析, 裳華房, 1985.
た け い まさひろ
[3] 武居 昌宏 . 単 位 が 取 れ る 流 体 力 学 ノ ー ト,
講談
社,2011.