公立はこだて未来大学 2012 年度 システム情報科学実習
グループ報告書
Future University Hakodate 2012 System Information Science Practice
Group Report
プロジェクト名
教育・展示用二重振り子の制作
Project Name
Construction of Double pendulum for Physics Education and Exhibition
グループ名
二重振り子グループ
Group Name
Double Pendulum Group
プロジェクト番号/Project No.
21
プロジェクトリーダ/Project Leader
1010207
三澤良介
Ryosuke Misawa
グループリーダ/Group Leader
1010207
三澤良介
Ryosuke Misawa
グループメンバ/Group Member
1010021
山本泰毅
Yasutaka Yamamoto
1010054
飛田有輝
Yuki Tobita
1010195
川村元太郎
1010201
田場盛大
Gentaro Kawamura
Seidai Taba
指導教員
沼田寛
齊藤郁夫
Advisor
Hiroshi Numata Ikuo Saito
提出日
2013 年 1 月 16 日
Date of Submission
Janualy 16, 2013
概要
本プロジェクトの目的は、簡単な構造で複雑な動きを実現する二重振り子を教育・展示用に
活用することである。この目的を達成するため、活動を理論、計測、製作の 3 分野に分け、そ
れぞれの分野で主に以下の活動を行った。
理論分野では、単振り子の運動方程式の学習から始め、二重振り子の数理モデルを理解し、
数値計算の方法としてラグランジュ方程式やルンゲ・クッタ法も学習した。また、学習した知
識を基に、二重振り子の動きをコンピュータ上で再現することができるシミュレータを C 言語
を用いて製作した。このシミュレータにより空気抵抗や摩擦を考慮しない二重振り子の先端の
動きをプロットし、計測分野で得られた実測データとの比較に役立てることができた。
計測分野では、寸法の異なる複数の二重振り子をビデオ撮影し、動作時間を比較することか
ら始め、ストロボスコープを用いての露光撮影や、発光ダイオードを二重振り子の先端に取り
付けて暗室で露光撮影を行うことで、二重振り子の軌跡の計測も行った。その結果、ストロボ
スコープを用いての撮影から二重振り子の角速度が得られた。また、暗闇の中で発光ダイオー
ドが描く軌跡の画像を撮影することができた。
製作分野では、正確な測定を行うために、横揺れを起こさず二重振り子の挙動に影響を与え
ない土台の製作を行った。二重振り子の材料は初め、加工しやすい木材を使用し、加工技術が
ある程度習熟した段階でアクリルを使用した。
回転部分の構造については、ワッシャーやスペーサーなどを組み合わせたものを使用してい
たが、レーザーカッターによって材料を精巧に加工する技術を取得した後、ベアリングへと変
更した。その結果、動作時間を約 2 倍にすることができた。
また、計測分野で得られた実測データと理論分野のシミュレータの挙動との比較も試みた。
そこで得られた結果は、今後の二重振り子の設計・製作に活用可能である。
キーワード
二重振り子, ジョイント, 軌跡, シミュレータ
（※文責: 三澤良介）
-i-
Abstract
The purpose of this project is to utilize double pendulum for physics education and
scientific exhibition by showing complex movement generated by its simple structure.
We carried out the following activities in order to achieve the purpose in three area; theory, measurement and production.As theory-related activities, we learned the equation
of motion of the simple pendulum at first. Next, we understood mathematical model
of double pendulum, and we learned Lagrange eguation and Runge-Kuttamethod for
numerical computation. Based on these, we produced a simulator that can calculate
the movement of the double pendulum using C programming. We could compare the
output of the simulator with the measured data. As measurement-related activities,
firstly we took the of some double pendulums with different sizes. We compared the
operating time to find a suitable size of the pendulum. In the second semester, we
recorded the trajectory of double pendulum by exposure-photographing using stroboscope to obtain measured data. As a result, we obtained the angular velocity of double
pendulum. Also, in dark room, we were able to photograph image of trajectory drawn
by light-emitting diode equipped at the end of the pendulum. As production-related
activities, we produced double pendulums made of wood in the first semester, because
wood ca be shoped easily. After aeguiring the needed processing thchniques, we produced double pendulums made of acrilic boards. We also produced wooden props strong
enough to support the pendulum without causing rolling harmful for measurement. As
for the rotating structure, we used a washer and spacers at the beginning. In the secound semester, we could use beanings for the rotating part. As a result, we could reduce
frictions significantly.
Keyword
Double pendulum, Joint, Trajectory, Simulator
（※文責: 飛田有輝）
- ii -
目次
プロジェクトの目的
1
1.1
目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
二重振り子とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
第2章
最終目標
2
第3章
課題
3
3.1
製作分野の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.2
計測分野の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3
理論分野の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
課題解決のための方法
5
4.1
理論分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2
計測分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.3
製作分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
活動内容
9
5.1
前期の目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.2
前期の活動内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.2.1
理論分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.2.2
計測分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.2.3
製作分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.2.4
製作技術の習得 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.2.5
回転部分の構造の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.2.6
材料の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2.7
寸法の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2.8
土台の製作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
第1章
第4章
第5章
第6章
後期の活動
16
6.1
後期の目標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6.2
後期の活動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6.2.1
製作分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6.2.2
理論分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.2.3
計測分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
発表及び評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.3.1
シミュレータとの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.3.2
アカデミックリンク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.3.3
アカデミックリンクアンケート結果
44
6.3
- iii -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第7章
6.3.4
発表方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.3.5
最終発表アンケート結果
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
48
7.1
今年度の成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.2
今後の展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
付録 A
シミュレータのソースコード
51
付録 B
CAD で作図した二重振り子の設計図
57
参考文献
58
- iv -
Construction of Double pendulum for Physics Education and Exhibition
第1章
1.1
プロジェクトの目的
目的
このプロジェクトの目的は、「二重振り子という簡単な構造から生まれる不思議な動きを理解し
て、教育や展示に活用すること」と定めた。
1.2
背景
このプロジェクトを立ち上げるきっかけとなった背景は、公立はこだて未来大学の昨年度卒業生
の飛島佑野氏のこの二重振り子を題材とした卒業研究を行なっていたことに起因する。
飛島氏は、ホームセンターで金属プレートや金属部品を購入し二重振り子を制作し、それを用い
て二重振り子の動きがカオスであるかどうかを研究していた。氏の研究内容を見た我々は、簡単な
構造物である二重振り子の複雑な動きに興味を持ち、これを教育の題材として利用したり、科学博
物館などに展示し、様々な人に二重振り子の構造やその動きを見て興味を持ってもらえればと考え
た。我々も、二重振り子を知るために、山本製作所が製作した 10 分以上複雑な動きをする二重振
り子の動画を見た。この動画は大学教育など幅広いところで活用されている。
我々もこのような教育用・科学博物館での展示に活用することにした。しかし、飛島氏の制作し
た二重振り子をこのプロジェクトで活用するには全般的に不十分であるため、我々はこのプロジェ
クトを立ち上げた。材質や構造の検討を一から初め、製作した二重振り子の運動を計測し、その動
きが本当に複雑で予測ができないものとなるかを解析し、教育や展示に活用できる二重振り子を制
作することとした。
1.3
二重振り子とは
二重振り子とは、単振り子の先端にもうひとつ単振り子を取りつけたものである。上についてい
るものを上部振り子、下についているものを下部振り子と呼ぶ。この二つの単振り子はベアリング
で接続されており、なめらかに動くようになっている。
文献やインターネットを用いて調べたところ、二重振り子を作る際には金属などの剛体を材質と
して用いるのが一般的であることがわかった。
二重振り子に力を加え運動させることで、下部振り子が予測できない複雑な運動を行う。
二重振り子の派生として、棒の両端に単振り子をつけたもの、三重振り子などがあり、これらも
予測できない複雑な運動を行う。
（※文責: 川村元太郎）
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-1-
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第 2 章 最終目標
このプロジェクトでは、最終的に製作した二重振り子を基にして、教育・展示用の二重振り子を
製作する。具体的には、教育現場での活用として、二重振り子を作るキットを製作し、物理の授業
の際に発展学習として取り入れることを考えている。展示での活用としては、最終版の二重振り子
をスケールアップしたものを製作し、科学館等に展示し、様々な来場客に二重振り子を観察してい
ただき、この単純な構造体から生まれる複雑な動きを知っていただきたいと考えている。
（※文責: 川村元太郎）
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第3章
課題
プロジェクトを進めていくにあたって、いくつかの課題に直面した。それぞれの分野の課題につ
いて、以下に述べる。
3.1
製作分野の課題
まずは、プロジェクト立ち上げの段階では、メンバー全員が二重振り子がどういうものかをほぼ
何も知らない状態であったため、何から始めてよいかわからなかった。
よって、まずは身近にある材料で二重振り子を１人１機製作するということにした。実際に作っ
て持ち寄り動かしてみることで、二重振り子の材質やジョイント部分の作り方によって、動きや動
作時間に大きな差が出ることがわかった。
そこで、メンバー全員でホームセンターに行き、アルミ板、アクリル板、塩ビ板、木板、ベアリ
ング、二重振り子を支えるための金属棒、その他二重振り子を製作する際に使用できそうな部品を
数点購入し、製作を試みようとした。しかし、アドバイザーの朝倉俊雄さんから、金属での加工は
とても難しく、現段階では不可能といわれた。アクリル板については、非常に割れやすく、かつ厚
みのないものだと運動時に横揺れを起こしてしまうため、現段階では難しく、塩ビ板については加
工は容易だが、重みがなく運動時にかかる抵抗が大きいため不向きであるという指摘を受けた。
ジョイント部分に関しては、ベアリングが使われている例が多かったため、ベアリングを用いる
予定だったが、コンマ数ミリの誤差でベアリングはジョイントとしての役目を果たさなくなってし
まうため、やはり現在の加工技術では不可能という結論に達した。そのため、ベアリングの代わり
となるものを、様々な部品の組み合わせから製作することを試みた。
前期では、木材を使用したプロトタイプを作ることができたので後期には、アクリルを材料とし
た二重振り子を作ることを課題として活動した。アクリルを、切ったり穴を開けたりする技術がま
だ備わっていなかったので、アクリルを簡単に加工することができる、レーザーカッターの使い方
を習得することを課題と設定した。レーザーカッターが使えると、ベアリングをジョイント部分と
して使えるようになる。ベアリングの使用も課題とした。
二重振り子のプロトタイプ製作に伴い、専用の土台の製作が必要となった。後期で製作する二重
振り子は前期で作ったものよりも運動時の揺れが少なく頑丈であるが、運動エネルギーが大きくな
るため万力では確実に固定できなくなってしまった。このままでは安定した運動ができず、測定に
悪影響をおよぼす可能性がでてきたため、支持軸周りの揺れを最小限にするために土台の製作を行
うこととした。二重振り子の運動にはある程度の空間が必要であり、縦揺れと横揺れを最小限にと
どめ、展示や計測に適した土台の設計を行わなければならない。そのため、前期の展示で用いた、
パーテーションに組み込むタイプの土台を、上記で挙げた点に沿うように改良することを試みた。
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3.2
計測分野の課題
製作分野の課題が解決したのち、計測を行う。
計測分野は、製作した二重振り子の運動と、理論分野が求めたシミュレータの結果とを比較する
ために、運動の様子を計測する。よって、二重振り子を専用の土台に固定し運動させ、その運動の
様子をビデオ撮影およびストロボスコープの光を照射した状態でデジタル一眼レフカメラを用いて
露光撮影し、そこから各時刻における運動の様子を計測することを目標とした。製作分野の中でも
述べたが、複雑な動きの定義が決まっていないため、その定義から行うことにした。
軌跡の撮影を行うため、カメラやストロボスコープの設定、撮影に適した撮影場所を決定しなけ
ば、軌跡がはっきりと記録されないことがわかったため、まずはカメラやストロボスコープの使い
方、カメラとストロボスコープの兼ね合いを考えた設定方法の研究、撮影場所の確保から行うこと
とした。
また、二重振り子の運動を撮影するためには、二重振り子をどういう位置から運動させればよい
かを考える必要があった。二重振り子には初期値鋭敏性があり、初期値がわずかに違うだけでその
後の結果が異なってしまうため、初期値鋭敏性に影響されないような、常に一定に運動させること
のできる初期値を見つけることにした。
3.3
理論分野の課題
目標を達成するために以下の課題を設定した。二重振り子の質点にかかる力、二重振り子の理解
に必要な二重振り子の運動方程式の学習。その基礎となる単振子の運動方程式の学習。二重振り子
の軌跡をコンピュータでシミュレーションするのに必要な、高精度の近似解を求めれる数値解析の
方法の学習。原点を支点とした剛体棒の二重振り子のシミュレータの製作を課題として設定した。
これらの課題をすべて解決していかなければ、プロジェクトの目的は達成できない。これらを中
間発表会までにどこまでをどのように解決しようとしたか、最終発表会までにはどのような方法で
解決しようとしたかをこれから説明する。
（※文責: 川村元太郎）
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第4章
課題解決のための方法
先に述べた最終目標を達成するために、我々は目標実現のための流れをフローチャートで表し
た。さらに、プロジェクト内のそれぞれの活動内容が互いにどういうかかわりを持っているかを把
握するために、活動内容を「理論」分野、「計測」分野、「製作」分野の３分野に分割した。
図 4.1 フローチャート
このフローチャートでは、最終目標までの流れを以下のように表している。
「理論」分野では、シミュレータを作成し二重振り子のシミュレーションを行い、その結果を
出力。「計測」分野では、実際に二重振り子の運動を計測する。その結果と先に述べたシミュレー
ションが出力した結果を比較し、対応していればそれを基に設計することが可能だと考えた。「製
作」分野ではそのデータを基に最終的な二重振り子の制作を行う。完成版ができた後、現役の教員
と連携して教育用に活用したり、科学館への展示に活用する。
以上の流れを確認したうえで、それぞれの分野での問題解決方法のより細かい説明を以下に述
べる。
4.1
理論分野
ここでの最終的な目標は、二重振り子のシミュレーションを行うことである。
シミュレーションにあたっては、シミュレータを作らなくてはならない。そこで必要となるのが
二重振り子の運動方程式である。しかし、いきなり二重振り子の運動方程式を導くことはできない
ため、まずは基礎となる単振り子の運動方程式の学習から始める。そこから、二重振り子の運動
方程式の学習に進む。そして、数値計算アルゴリズムを用いてシミュレータのプログラムを設計
する。
4.2
計測分野
計測分野では、実際に二重振り子の位置・速度・加速度を計測することが目標となる。二重振り
子に発光ダイオードを埋め込み、暗室にて軌跡を撮影を行う。
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まずは寸法の異なる二重振り子を何機か制作し、その運動の様子をビデオで撮影する。撮影した
動画を見比べ、どの二重振り子が一番長く、かつ複雑な動きを行うのかを検証し、二重振り子を選
定する。
選定した二重振り子を用いて、ストロボを照射した状態で露光撮影を行い、運動の様子がきちん
と撮影できるかどうかの確認を行う。ここでは発光ダイオードを埋め込んでいないため、各時刻ご
との振り子の位置と形状を重ね撮りしたものが得られる。これが成功した後、二重振り子に発光ダ
イオードを埋め込み発光させ、運動の様子を露光撮影することで二重振り子の軌跡を撮影すること
ができ、シミュレータの結果と比較ができるようになる。
4.3
製作分野
製作分野は、理論分野のところで説明したシミュレータからの出力結果と、計測分野のところで
説明した実測の結果を比較し、そのデータを基にして二重振り子の最終版を製作することが目的と
なる。
我々が持ちうる加工精度を考えると、高精度な加工はまだできないので、考慮したうえで製作を
行う必要がある。よって、ここでは加工のしやすい素材を選び、かつその材料の特性をどう二重振
り子に活用するかを考える必要がある。材料の特性を知ることで、摩擦や横ぶれを防ぐ設計ができ
るようになるからである。
最終的にはこれらを考慮して製作した二重振り子の運動について実測し、このデータを基に最終
的な二重振り子を設計して製作を行う。
（※文責: 川村元太郎）
図 4.2 ダンボール製の二重振り子
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図 4.3
ボール盤
製作方法
まず、我々は二重振り子の製作を行おうにも、プロジェクト活動が始まるまで、二重振り子自体
を見たことがなかったので、それらを製作を行うにあたって、どのような材質、部品、構造にすれ
ば良いかわからなかった。そこで我々は、とりあえず各メンバー一人ごとに手持ちの日常的な素材
を用いて二重振り子の製作を行い、どのような課題、問題点があったかをまとめることにした。そ
の時に作られた二重振り子は、クリップを連続して繋げたものや、発泡スチロールやダンボールで
作られた剛体のものや、上部振り子が剛体で、下部振り子が単振子でできたものがあった。そこで
わかったのが、上部振り子と下部振り子を繋げるジョイント部分がしっかりしているものでない
と、下部振り子が上部振り子にぶつかってしまったり、また、材質はより硬い素材でなければ、運
動中に形が変化してしまう等の原因から、運動が安定しないことがわかった。
それを踏まえて、文献やインターネット上から二重振り子がどのような構造をしているのかを調
査したところ、一般的には剛体を用い、且つジョイント部分にはベアリングを使用していること、
材質に関しては、金属、アクリル、木材等様々なものがあるということがわかった。それらの材料
を加工するには、工房にある、ボール盤（図 2 参照）等の器具が必要になるということを考慮に入
れて、工房の責任者且つ我々のプロジェクトのアドバイザーである朝倉さんと相談する機会を持っ
た。朝倉さんのアドバイスを参考に協議した結果、いきなり金属を用いて二重振り子の製作を行う
のは、当時、加工技術が何も備わっていなかった我々にとっては困難であるため、比較的加工が容
易である木材を用いることにした。
また木材は、金属やアクリルと比べ安価であるため、より多くの試作品の製作を行うことも出
来るというのも利点の一つである。更に、ジョイントとなるベアリングの埋め込みには、ベアリン
グの外径と全く同じサイズの穴を正確に材料に空けなければいけないという高い加工技術が必要な
ため、その代替を様々な部品を組み合わせで行うこととした。プロトタイプとなる二重振り子は、
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初期段階で製作した二重振り子の中で、一番稼働時間の長かったものを参考に進めることにした。
その二重振り子のジョイント部分には、6mm と 8mm のスペーサーを組み合わせていたから、そ
れを元にジョイント部分の確立を試みる。
作業は朝倉さんの指導の下で工房で行い、基礎的な製作技術を修得するというところから始め
る。木材で正確に加工ができるようになった段階で、材料にアクリルを用いた二重振り子の製作を
行う。そのためには、アクリルを加工する技術を身につける必要があり、本学の工房にあるレー
ザーカッターを自由に使用出来るようにするためにも、レーザーカッターの使い方を熟知している
方から教授してもらう。レーザーカッターを自在に扱えるようになったなら、ベアリングや発光ダ
イオード等を用いた二重振り子の設計を考える。
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第5章
活動内容
前期の目標
5.1
先ほどの目標を実現するための方法のフローチャートから、中間発表に向けての目標として我々
は以下のように設定した。理論分野では、単振り子の運動方程式を学ぶことを中間発表に向けての
目標とした。これは、最終的には数値計算プログラムによるシミュレーションを行うにあたって、
二重振り子の基礎となる単振り子の運動方程式の基礎を学ぶためである。計測分野では、ストロボ
による振り子運動を撮影することと、ビデオ撮影をすることである。これは、ストロボによる二重
振り子の運動を計測するためのビデオ撮影の技術を身につけるためである。製作分野では、必要な
加工技術を習得し、プロトタイプとなる二重振り子を製作することである。これはまず、我々独自
の方法で二重振り子を製作して、二重振り子の構造を詳しく知るためである。これらの成果と活動
内容は、次の章で詳細に説明する。
（※文責: 飛田有輝）
前期の活動内容
5.2
5.2.1
理論分野
理論の分野での前期の活動内容はまず、後期までに学習するべきことをメンバーと議論し合い、
次の５つを定めた。単振り子の運動方程式、二重振り子の運動方程式、数値計算法、プログラミン
グ、シミュレーションである。このような学習をする理由は単振子、二重振り子の運動方程式を学
習することにより、我々が製作している二重振り子の構造を理論的に理解すると共に、その後に数
値計算法、プログラミング、シミュレーションを学習する上でも、必要な知識であるからである。
この中で前期では、単振り子の運動方程式を指導教員を講師とした勉強会を複数回開くことで学習
した。運動方程式を我々が一から導くことによって理解を深めることが出来た。
勉強会の内容は、単振子の運動方程式を学習するためにまず、ニュートンの運動方程式を学習し
た。
ニュートンの運動方程式とは質量 m、加速度 a、力 F で表される方程式で
ma = F
質量と加速度を掛けたもの ma は力 F に等しいことを表している。この運動方程式は力学の原理
の根幹である。
続いて、運動エネルギー K 、位置エネルギー U について学習した。運動エネルギーとは、運動し
ている物体が持つエネルギーのことである。運動エネルギー K は、質量 m と速さ v の 2 乗に比例
するので以下のように表せる。
K=
1
mv 2
2
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(5.1)
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位置エネルギー U とは、ある位置ごとで物体が持つエネルギーのことである。位置エネルギー U
は、質量 m と重力加速度 g 、高さ h を掛けたものであるので以下のように表せる。
U = mgh
(5.2)
(5.3)
続いて、二重振り子の運動方程式の基礎となる単振り子の運動方程式を学習した。質点を長い糸で
つるし、糸の上端を固定して振動させた時、単振り子は張力 T と重力加速度 g 、糸の長さ l で図
5.1 のように表される。
√
l
T = 2π
g
(5.4)
図 5.1
単振り子モデル
図 (5.1) はモデル化した単振り子に座標をとってみた状態を表している。このとき、単振り子の
質点の座標は
mẍ = mg − T cosθ
mÿ = −T sinθ
これを整理すると以下の様な x,y 座標で表せるように変形できる。
x = lcosθ
(1)
y = lsinθ
(2) この式（1）(2) を 1 階微分すると、以下の形になり、角速度を表す。角速度とは、物体や質点
の回転の速さを表す量である。
ẋ = −lsinθ · θ̇
ẏ = −lcosθ · θ̇
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さらに、式（1）(2) を 2 階微分すると、加速度を表す。
ẍ = −lsinθ · θ̈ − lcosθ · θ̈
ÿ = lcosθ · θ̈ − lsinθ · θ̈
単振り子の質点の座標、角速度、加速度を方程式に表せた。なので後期に、二重振り子での質点の
座標、角速度、加速度を表すことができる基盤を前期で学べることができた。
5.2.2
計測分野
ストロボを使っての撮影
二重振り子シミュレーションでは１本目の長さ、２本目の長さ、振り子の重さ、スタート位置な
どを設定できるため複雑な動きが再現できる。我々は、このシミュレーション結果と実際の二重振
り子の動きを比較し、２つの結果が対応していれば、データに基づく設計が可能であると考えた。
そのために、二重振り子の実測が必要になると考え、ストロボスコープを用いて二重振り子の運動
の様子を撮影することを実験計画に組み込んだ。本来の実験計画では先に、二重振り子の先端に
LED（発光ダイオード）を設置し、短時間の露光撮影により、二重振り子の運動の軌跡を撮影する
予定だった。しかし、我々のプロジェクトで購入した中で、一番重視していた機材であるストロボ
スコープを早く使いこなせるようになるために実験計画を変更し、ストロボスコープを使った試
し撮りを前倒しした。撮影場所として暗い場所が鮮明に軌跡を撮るために必要だと考えたため、本
学の 3 階暗室を使用を候補場所として選んだ。しかし、実際に撮影機材を持ち込んでみたところ、
広さが十分ではないことがわかったため、代わりに広さが十分で同等の暗さが得られる 3 階映像
音響スタジオに撮影場所を変更した。背景が白いと光の反射が大きく、うまく撮影できないため青
いスクリーンを置くことで撮影の精度を上げた。撮影に使用したストロボスコープ DT-2239A は
任意のサイクルで点灯する光を対象に同期することができ、フラッシュレートは 1 分あたり 100
∼10000 回である。このストロボスコープの照射時間を毎分 3000 回で固定し、撮影機材のデジタ
ル一眼レフの露光時間を鮮明な写真が撮影できるまで調整した結果、0.5 秒が今回の撮影で一番い
い条件である事が分かった。二重振り子の平均的な速度の予想から設定した結果、照射時間を毎分
3000 回に固定した。しかし、撮影した写真を見てみると振り子部分がうっすらと写っていて、と
ても見づらい状態にあった。これは振り子部分の木材が光を反射しにくい素材であるためぼやけて
写ってしまっているのではないかと考えた。しかし、素材が光を反射しやすい金属などに変えるの
は、１から制作すると時間や労力がかかりすぎてしまうため現実的に不可能であった。そのため、
振り子部分に銀色の塗装を施した。これらの実験環境のもとで撮影した結果、1/50 秒ごとの運動
の様子を連続画像として重ね撮りすることに成功した。後期ではさらに撮影の精度を上げて、画像
から速度やその他の情報を解析をすることを予定とした。
ビデオ撮影
5.2.3 の撮影で使った二重振り子の長さは 1 本目が 30cm、2 本目が 15cm のものである。これ
は制作した試作機 4 種類の二重振り子の運動の様子をビデオカメラで撮影し、パソコンで動画を
再生し、プロジェクトメンバー全員と担当教員で撮影動画を見比べて決めたものである。1 本目が
30cm で 2 本目が 15cm のものが 1 番動作時間が長かった。しかも、我々の直感として動きの複雑
さの尺度と思われた 2 本目の回転数が他のよりも多かった。以上により、他の二重振り子よりも複
雑な動きをしていると判断した。よって、この二重振り子を用いて撮影することとした。上記の選
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図 5.2
ストロボスコープ
図 5.3 カメラ
別が終わったあと、同型の二重振り子をさらに 2 機制作し、計 3 機を用いて初期値鋭敏性につい
ても調べた。調査方法は至って簡単なもので、一本の鉄棒に 3 機の二重振り子を通し同じ位置から
スタートさせるだけである。これによって、ほんの少しの初期値の違いだけで結果が大きく変わる
というカオス理論特有の初期値鋭敏性について素朴な測定のレベルで確認できた。つまり、今回の
調査で二重振り子がカオティックな運動をしている可能性を発見できた。
（※文責: 山本泰毅）
5.2.3
製作分野
5.2.4
製作技術の習得
我々は、木材を切断加工するのをアドバイザーの朝倉さんへ委託し、様々な大きさの穴を正確に
開けることができるボール盤と呼ばれる工作機械の使用方法を学習した。ボール盤は開けたい穴の
大きさのドリルを回転部分に取り付け、加工したい材料を台に乗せ万力などでしっかり固定し、回
転させたドリルを下げることで穴を空けることのできる工作機械である。我々は、ボール盤を使用
し様々な大きさの穴を正確に空ける技術を新たに習得した。二重振り子の動作時間をより長くする
ためには回転部分の摩擦を軽減する必要がある。二重振り子の回転部分の構造上、2 枚もしくは 3
枚の板に正確に穴を空ける必要があり、この穴の角度や位置がずれてしまうと横ぶれや摩擦の増大
の原因となる。製作した二重振り子の回転部分は板に開けた穴にスペーサーを通しそこに軸となる
金属棒を通す構造とした。そのため、スペーサーの外径にあった大きさの穴を空ける必要があるた
め、ボール盤を使用し様々な大きさの穴を正確に空ける技術は必要不可欠なものであった。
5.2.5
回転部分の構造の決定
事前調査をしない状態で製作した二重振り子の回転部分は横ぶれや摩擦が大きく、動作時間が短
かった。二重振り子について調べると二重振り子の回転部分にはベアリングを使用することが一般
的であることがわかった。しかし、ベアリングを剛体に埋め込むには高い加工精度が要求されるた
め、現段階では不可能と判断せざるを得なかった。ベアリングの働きを代替するものとして、ワッ
シャー、スペーサー、冷間蝶ナット、ボルトを使用した。様々な部品を組み合わせて試行錯誤した
結果、一番動作時間の長いこの組み合わせを採用した。(図 5.6) ボルトを軸にして、下部振り子に
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空けた穴にスペーサーを埋め込んだものを組み合わせ、ワッシャーでスペースを埋め、冷間蝶ナッ
トで固定するという構造である。このジョイント部分は、冷間蝶ナットで締めすぎると、滑らかに
稼動しないため、微調整が必要である。そのため、一般的なナットよりも、人の手で容易に調整の
しやすい冷間蝶ナットを採用した。これにより、インターネットの動画サイトにあるベアリングを
用いたものほどではないが、横ぶれや摩擦を著しく軽減することに成功した。
図 5.4 組み合わせる前の木製二重振り子
図 5.6
図 5.5 ワッシャー、スペーサー、冷間蝶ナッ
ト、ボルトを組み合わせた木製二重振り子
ジョイント部
図 5.6 のような構造で回転部分の摩擦を軽減することができたため、この構造を二重振り子の１
本目と２本目のジョイント部分や 1 本目と主軸の回転部分に採用することとした。
主軸には長いボルトを使用し、そこに複数の二重振り子を取り付けて発表などに用いた。このと
き、ワッシャーはスペーサーや冷間蝶などとの隙間を埋め、かつ摩擦を軽減する目的で使用した
が、各二重振り子で使用したスペーサーの大きさに若干の違いがあったため、使用したワッシャー
の個数もそれぞれ異なるものとなった。
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また、二重振り子の材料を木材とし、そこにスペーサーやボルトを通して回転させると、動作さ
せるうちに穴が広がってしまい、横揺れが発生する原因となることがわかったが、この問題の解決
は後期に行うものとする。
5.2.6
材料の決定
二重振り子の材料については、摩擦が少なく剛体であり高い加工精度を維持できることを選定条
件とした結果、木材、アクリル、塩ビ、金属での製作を予定していた。しかし、アドバイザーの朝
倉俊雄さんから、金属は切断や穴を開けるなどの加工が現段階でのメンバーの加工技術では難しい
と指摘された。よって、金属での加工は、前期のおいては不可能と判断した。アクリルや塩ビは加
工の際の力加減や穴を開ける位置などを間違えると材料が割れる可能性が高く、アクリル、塩ビで
の製作も前期においては断念した。前期のプロトタイプ試作には、加工が比較的容易であり、基本
的な加工技術も学ぶことができる木材を利用することとした。また、同じ理由で前期発表会での展
示の際に使用する二重振り子を支える土台についても木材を使用し製作した。
5.2.7
寸法の決定
インターネット上の文献や動画を参考にしたところ１本目と２本目の長さにあまり差がないほう
が複雑な動きをし動作時間も長いのではないかという仮説を立て、実際に様々な寸法の二重振り
子を製作してビデオ撮影し、観察した。二重振り子の一本目と二本目の長さの比率により動作時間
や動きの複雑さに差があることがわかったため一本目の長さを 30cm で固定し、二本目の長さを
7.5cm、15cm、24cm、27.5cm となるよう異なる 4 種類の長さの二重振り子を製作した。実際に
動作時間や動きの複雑さを測定したところ、我々の最初の仮説とは異なり、一本目の長さが 30cm、
二本目の長さが 15cm のものが我々の理想とする動きに一番近い動きをすることがわかった。
図 5.7
5.2.8
寸法画像
土台の製作
パーティション 2 枚の上に被せる木製の枠組みを作り、そこに二重振り子を取り付ける形の土台
を製作した。「コ」の字型のパーツを木材で 2 つ製作し、それぞれのパーティションに上から被せ
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る形とした。また、パーティションは本学から貸与されたものであるため、ネジや釘を用いて固定
し、傷を付けてしまうような固定方法を取ることはできなかった。そこで、パーティションに被せ
る「コ」の字型のパーツをパーティションの幅に合わせ、しっかり固定できるよう工夫した。「コ」
の字型のパーツを取り付けた 2 枚のパーティションを角材で繋いだ。展示や発表会では、その角材
に二重振り子を取り付け動作させるものとした。また、前期で製作した木製の枠組みは後期に使用
することも考え、角材と「コ」の字型のパーツとの固定も、ネジや釘の使用を極力避け、鉄心を埋
め込み各パーツ同士を固定するなどの工夫を施した。
（※文責: 三澤良介）
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第 6 章 後期の活動
6.1
後期の目標
後期の目標についても前期と同様に理論分野、計測分野、製作分野の 3 つの分野に分け、それぞ
れで活動目標を立てた。理論分野の目標を不思議な動きが生まれる仕組みを理解することと、数理
モデルに基づくシミュレーションを行うこととした。計測分野の目標を、二重振り子の動きの実測
を行うことと、実測結果とシミュレーションの結果の比較を行うこととした。製作分野の目標を、
データに基づく完成版二重振り子の設計を行うことと、教育・展示用二重振り子を実作することと
した。
目標を達成する方法としてフローチャートを示す。(図 6.1) このフローチャートでは理論分野で
の二重振り子の動きのシミュレーション結果と、計測分野の実測データの結果を突き合せ、設計に
沿って製作班が振り子を製作し、出来上がった二重振り子を教育や展示へと活用するという流れに
なっている。
図 6.1
6.2
6.2.1
後期フローチャート
後期の活動
製作分野
レーザーカッターの使用方法
前期で製作した木製の二重振り子は、何度も動作させたり、分解・組立を繰り返すことで加工し
た穴の大きさが変わるなど劣化しやすく、その時々の湿度や気温などの影響により歪み、安定した
運動をしないため測定に悪影響が出てしまう等の問題があった。そこで後期からは、これらの点を
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考慮し、アクリル板を用いて二重振り子の製作を行うことにした。
アクリル板を加工するには工房に設置してあるレーザーカッターを用いる必要があった。レー
ザーカッターとは、レーザーで様々な素材を彫刻、切断などの加工ができる工作機械である。
図 6.2 本学に設置してあるレーザーカッター
図 6.3
レーザーカッターの内部
本学の工房に設置してあるレーザーカッターは範囲 300mm × 600mm で厚さ 5mm までのアク
リル板を切ることが出来る。しかし、それを自由に使用するためには、レーザーカッターの使い方
を熟知している方からのご教授が必要であった。そのために我々は、レーザーカッターを研究等で
使っておられる迎山和司先生と電子メールを用いて連絡し、プロジェクト活動の時間中に実際に
会ってご教授してもらった。それに加えて、その頃に迎山先生が開催したレーザーカッターの講習
会にも参加し、レーザーカッターに関しての知識を身につけた。その結果、我々は迎山先生より
レーザーカッター修了証を受け取った。これにより、自由にレーザーカッターを使用する資格を認
められた。
しかし、レーザーカッターで加工をするためには、加工したいデータを設計するため設計ソフト
の使い方も学ばなければならなかった。我々はキャノン IT ソリューションズ株式会社の TURBO
CAD STANDARD という設計ソフトを購入し、使い方を理解した上で、それを用い二重振り子の
設計を行った。
設計したデータは、レーザーカッターと常時接続されているノートパソコンに、USB フラッシュ
メモリを経由し移動させ、そのノートパソコンに内蔵されている CorelDRAW というソフトから、
設計したデータを開くことができるという環境で活用した。データファイルを開いた後、300mm
× 600mm の範囲に収まるようにデータの位置を調整し、またレーザーカッターはデータの線の設
定が「極細線」でないとカットを行わないので、カットしたい箇所にミスが無いかどうかの確認も
行う。付け加えると、「極細線」以外で設定された線はカットは行われずに彫刻される。ここまで
がパソコン上での作業だが、印刷を実行する前にレーザーカッターの準備も必要である。
アクリル板をレーザーで加工するときに煙が生じるから、室内の換気を十分にさせる必要があ
り、窓を開け、換気扇を回してから、レーザーカッターに被せてあるホコリ防止のためのカバーを
外し、レーザーカッター本体脇にある主電源スイッチを ON にし、起動させる。次に加工したいア
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クリル板をレーザーカッターの内部に入れ、左上に寄せるようにハニカム板の上に設置しておく。
またレーザーは、加工するアクリル板が置かれた高さの微々たる差によって照射を受ける出力が異
なってしまうため、ここでフォーカスを合わせる。オートフォーカスという機能もあるが、ここで
は基本的にマニュアルでフォーカスを合わせる。図 6.4 を参照とすると、レーザーカッターの液晶
画面の右横に「focus」ボタンがあるので一度押し、レーザーが出力されるヘッドと呼ばれる部分
と、カットする材料の位置を、上下ボタンで高さ調節し、焦点を合わせる。
図 6.4
レーザーカッターの液晶画面周り
ここまでは、上記のノートパソコンでの作業と並行して行うと効率が良い。それらを終えたら、
データファイル上にある加工したい対象をドラッグし、カットの設定を行う。具体的には照準、
ジョブの種類、彫刻設定とカット設定という 4 つの項目を指定しなければならない。
照準は、切り始めの位置合わせのことである。我々は基本的に、「レフトセンター」という加工
をしたい対象の左端中心をマニュアルで照準に合わせる方法を用いてきた。この方法だと、左上に
詰めるように照準を合わせれば、あまり無駄なスペースが生まれることはない。レーザーカッター
液晶画面の右横にある「X/Y Off」と書かれたボタンを押すと、液晶に「X/Y Off? GO/STOP」
と表示されるので、今度は液晶画面の左横にある「GO」と書かれたボタンを押す。すると、レー
ザーを出力するヘッドと呼ばれるものを縦横方向自由に動かすことができるから、照準を合わせる
ことができる。この時、液晶画面の右横にある「Pointer」ボタンを押すと、ヘッドから赤い光の
ポインターが出てくるから、照準を合わせやすい。照準を合わせたら、レーザーカッター液晶画面
右横にある「Set Home」と書かれたボタンを押す。そうすると、照準が固定されてヘッドが動か
なくなる。この時、ヘッドが動かないことをちゃんと確かめた方が良い。
ジョブの種類としては、「彫刻」、「カット」、「彫刻＋カット」の 3 種類があり、その時々によっ
て使い分ける。尚、彫刻かカットのどちらかしか行わない場合は、後に説明するそれぞれの不必要
な方の設定は行わなくて良い。
彫刻設定だが、「スピード」と「パワー」の 2 つの設定を行う。どちらも出力 0 ％から 100 ％ま
での設定を行うことができるが、基本的にどちらも 100 ％で行う。
カット設定には「スピード」と「パワー」と「周波数」の 3 つの設定を行う。スピードとパワー
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図 6.5
印刷設定画面
は出力 0 ％から 100 ％、周波数は出力 0Hz から 5000Hz までの設定を行うことができる。周波数
は 5000Hz で行うが、カット設定のスピードとパワーは、用いるアクリル板によって設定が変わ
る。だから我々は、パラメータ調整に試行錯誤しながらアクリル板のカットを行った。例として、
我々が調査した結果、厚さが 5mm のアクリル板をカットするにはスピード 7 ％、パワー 100 ％に
設定したものが、最も綺麗にカットを行うことが出来た。
これで印刷の設定が完了するが、ここで問題点があれば警告をされる。主な理由としては、照準
がずれていることからのエラー等が挙げられる。問題解決すれば警告はされなくなるから、印刷範
囲を「選択範囲」にチェックし、選択した対象が合っているか、印刷設定をもう一度確認して、ミ
スがなかったら「印刷」ボタンを押す。その時、コンプレッサーと呼ばれる吸煙器の電源スイッチ
を必ず入れてから、レーザーカッターの液晶画面左横の「GO」ボタンを押すと、レーザー加工が
スタートする。レーザー加工が終了したら、コンプレッサーの電源スイッチを切り、アクリルを取
り出す。これがレーザー加工の工程である。尚、続けて同じアクリル板でレーザー加工するのなら
ば、フォーカスは合っているので、改めて設定し直すことはない。
レーザーカッターでの作業を終えたら、その片付けも重要である。ヘッドに取り付けてあるレン
ズを専用の洗浄液を綿棒に付けて磨かなければならない。レーザー加工中に煙が生じているため、
レンズが汚れてしまい、その汚れを放置してしまうと、レーザー加工に支障が出てしまうためであ
る。またハニカム板やその下にある引き出しに加工中に生じた不要物が溜まっているから、それも
捨てなければならない。ノートパソコンをシャットダウンさせ、レーザーカッターの電源スイッチ
を切って、カバーを被せて、換気扇を止めて、戸締りを確認したら片付けは終了する。
ベアリングの埋め込み
我々は当初から、二重振り子のジョイント部分にはベアリングを使うべきだと考えていた。理由
としては、ベアリングは摩擦によるエネルギーを損失させることで有名である上、動画サイト等に
挙げられていた二重振り子を見ても、そのほとんどがベアリングを使用していたからである。しか
し、ベアリングをを使用するためには、ベアリングの外径と全く同じサイズの穴を正確に材料に開
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けなければいけないという高い加工技術が必要であったこと、前期では加工技術を身につけるため
の準備期間であったということからも、採用しなかった。しかし、後期からは 0.01mm 単位で精巧
にアクリル板を加工を行うことが出来るレーザーカッターがあれば、ベアリングをジョイント部分
とした二重振り子の製作もできるのではないかと我々は考え、実行することにした。
ベアリングの外径と全く同じ穴をレーザーカッターでカットしてみたところ、ベアリングはすん
なり穴に入ったが、少し緩いようにも感じられた。原因としては、加工をする上でレーザーでアク
リル板を焼き切っているので、熱でアクリル板が余計に融けてしまっているからだと考えられる。
そのことも踏まえて、今度はきつめで、ベアリングが穴に向かって金槌で軽く叩いて入る程度の穴
を目指して、少しずつ小さくしてレーザーカッターで空けるベアリングの穴の大きさを確立するこ
とが出来た。しかし、後日同じ大きさの穴を空けたつもりでも、うまくはまらなかったことがあっ
た。それは、その日々の環境によってもレーザーの出力に影響が出てしまうからである。だからパ
ワーやスピードもうまく調整する必要があった。この毎回毎回の細かな調整にはとても苦労した。
穴にベアリングを金槌で入れる際は、少しのずれで動きに大きな悪影響を及ぼすのでとても注意
深く行わなければならなかった。
次にベアリングの軸となる部分を考えたが、ボルトとナットとワッシャーを用いる案と、シャフ
トとゴム製のスペーサを用いる案の 2 つがあったが前者に決定した。理由としては、一時期前者
は軸がボルトであるため、シャフトと比べて抵抗が大きいと判断したが、土台に軸を固定するとな
ると、シャフトには安定して固定する術がなかったのである。それに比べてボルトとナットとワッ
シャーを組み合わせた軸はとても強固に土台に固定したので動きが安定した。
図 6.6 レーザーカッターを用いて空けた穴とその穴にベアリングをはめたもの
発光ダイオード取り付け
インターネット上にある二重振り子の動画の中には下部振り子の先端に発光ダイオードを埋め込
んで、その軌跡を撮影するという趣旨の動画があったから我々も実際にやってみることにした。
まず、我々が苦労したのは LED を埋め込んだ二重振り子の設計である。下部振り子の横幅が
36mm、厚さが 5mm のアクリル板に、発光ダイオードとボタン電地と配線を埋め込んだものの設
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計を行うことは難しく、これの設計を確立するまでには時間がかかった。また我々は、展示用の二
重振り子の製作を行うにあたって、見栄えも機能性も良い物に仕上げたかった。そのため、極力無
理やりテープでの固定は極力行わないこと、空気抵抗を極力抑えるためにも二重振り子を側面から
見たときに埋め込んだものがはみ出さない構造に設計を行うこと、発光ダイオードや電池に不具
合があるときのために部品交換しやすい構造に設計することを意識した。そのため当初は、下部振
り子の表面に、レーザーカッターを用いることにより何度も彫刻を行い、裏側まで貫通しない程度
の穴を開け、それで出来たスペースに発光ダイオード等を埋め込もうと考えた。しかし、レーザー
カッターでアクリル板を何度も彫刻してしまうと表面が縮んでしまって歪み、動きに悪影響が出る
ことが判明した。そのため、下部振り子に彫刻をするのではなく、下部振り子とは別の部品の製作
を行い、それに発光ダイオード等の埋め込みを施し、それと下部振り子を合体させれば良いと考え
た。こうして出来たものが以下の図のものである。
図 6.7
発光ダイオードを組み込んだ二重振り子の組み立て図
図 6.8
発光ダイオードを組み込んだ二重振り子 (実物)
コの字型のアルミ製のカバーは、下部振り子により強固に固定するために用いた。このアルミ製
のカバーの設計を確立させるのには時間がかかった。当初我々は、このアルミ製のカバーを製作す
るのに、厚さ 0.3mm の 1 枚のアルミ板から必要な分を、定規と棒やすりを用いてカットを行なっ
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た。しかし、とてもそれを時間がかかったため、朝倉さんに相談したところ、工房にある金属板を
加工する工具を 2 つ使わせてもらった。1 つは、
「切り出し」と呼ばれるもので、金属板を垂直に切
断することが出来る。（図 6.9）もう一つは、
「折り曲げ機」と呼ばれるもので、金属板を押さえつけ
て、折り曲げることが出来る。（図 6.10）これらにより、加工時間を短縮することが出来た。尚、ア
ルミ製のカバーと配線したところが接触しないよう、間に絶縁テープを挟むことにより、ショート
の危険性を無くした。また、このままではボタン電池がむき出しになってしまうため、厚さ 1mm
のアクリル製の蓋を製作し、塞いだ。
図 6.9
図 6.10
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切り出し
折り曲げ機
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図 6.11 完成版二重振り子
（※文責: 飛田有輝）
材料の決定
前期では加工が容易なことや安価であること、メンバーの加工技術の習熟度を考慮し、木材を用
いて二重振り子の製作を行ったが、後期に行った二重振り子の製作では材料にアクリルを用いた。
前期までではアクリルの加工は難しいとされていたが、メンバーの加工技術が向上したことやレー
ザーカッターの使用方法を学んだことによりアクリルの加工が比較的容易となり、後期ではアクリ
ルを用いることができると判断した。
アクリルの良い点はレーザーカッターによる精巧な加工が行えることや、木材に比べて湿度や気
温による歪みの影響が少なく正確な計測が行えること、耐久性に優れることが挙げられる。精巧な
加工を行えることにより前期で使用できないと判断したベアリングを二重振り子の軸部分に使用す
ることも可能となった。また当初は透明なアクリルを使用していたが、ストロボスコープを用いて
挙動の撮影を予定していたため透明では写真に写りにくいと判断し、途中から黒色のアクリルを使
用して製作を行った。
二重振り子の材料として、塩ビも使用する予定だったがアクリルと特徴が似ていることや、レー
ザーカッターで塩ビを切ってしまうとレンズが汚れてしまうデメリットがあったため、塩ビは使用
しないものとした。
二重振り子の回転の中心となる軸について、後期の初めの段階では、最終的に二重振り子の軸
部分にボルトを使用するか鉄棒を使用するか決定することができなかった。軸部分に鉄棒を使用す
る場合、鉄棒の外径より少し小さめに穴を開け、金槌で上から叩いて入れることで支柱に取り付け
なければならない。逆にボルトを使用する場合はボルトの外径より多少穴が大きくても支柱の裏側
からナットを用いて固定すればしっかりと支柱と軸を固定することができる。何度か鉄棒を用いた
場合支柱に開けた穴がだんだん広がってくることが予測されるため、始めに鉄棒を軸として使用し
二重振り子の動作実験を行い、穴が広がってきたらボルトを使用して実験を行った。その結果、鉄
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図 6.12
図 6.13 黒色のアクリル
透明なアクリル
棒用いてもボルトを用いても動作時間に明確な差は生じなかったため、取り付けや固定が容易であ
るボルトを二重振り子の軸として採用した。
何度も動作実験を行ううちに、支柱と振り子の距離が遠いほど土台の揺れが大きくなり、逆に支
柱と振り子の距離を縮めれば、さほど土台が揺れていないことに気が付いた。よって 1 本目と 2 本
目を繋ぐ回転部分に使用したボルトは、できるだけ支柱と振り子の距離が短く、かつ振り子が振れ
ても支柱と二重振り子が衝突しない長さのものを採用した。(図 6.14)
図 6.14 二本目軸画像
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寸法の決定
アクリルは厚さ 3mm と 5mm のものを用意し、それぞれの厚さで二重振り子を試作した。軌跡
の測定のため二重振り子の先端に LED を取り付ける予定であり、発光ダイオードを点灯させるた
めにボタン電池を振り子に埋め込むことを考慮すると、3mm では厚さが不充分と判断した。よっ
て厚さ 5mm のアクリルを使用し最終発表などに使用するための二重振り子を製作した。
振り子の長さについては前期に様々な長さの振り子を用意して動作時間の比較実験を行い一本目
30cm、二本目 15cm のものを採用したが、後期は材料が木材からアクリルとなり、軸部分につい
てもワッシャーやスペーサー、ボルトなどを組み合わせたものからベアリングに改良された。その
ため、動作時間に違いが出ることや理想的な動きをする寸法が前期とは異なるにではないかという
仮説を立てた。一本目を 40cm、30cm の 2 種類、二本目 15cm、20cm のものを用意し動作の比較
を行った結果、仮説とは異なり、前期同様 30cm と 15cm の組み合わせが理想的な動きをすること
が確認されたため、この寸法を採用した。
図 6.15 寸法画像
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前期土台の改良
前期で製作した土台では完全に横揺れを抑えることはできず改良が必要であった。そのため、後
期では前期の形を変更し 2 本の同じ長さの角材を並べて土台の脚として、その間に支柱となる角材
をはさんで固定し「T」の字を上下逆にしたような形の土台を木材で製作した。(図 6.16)
図 6.16 後期土台
脚の長さ、支柱の長さは共に 140cm とした。この長さの設定は発表などに土台を使用する際、
観客が座っていても立っていても観やすいよう考慮したためである。形を変えることにより前期に
比べ横揺れを抑えることができたが、揺れを完全に抑えることはできなかった。原因を探ったとこ
ろ、振り子の運動により土台全体ではなく支柱が振動してしまっていることや地面の起伏により、
土台が不安定になる場合があることがわかった。そこで支柱の振動を抑えるため、支柱の真ん中か
ら下の脚に斜めに金属の支えを追加することで横揺れの改善を行った。このとき、脚と金属の支え
を固定するため L 字の金具を使用した。(図 6.17) また、土台の安定を図るため脚の部分にさらに
交差するように角材を 2 本取り付けた。これらの工夫により土台の横揺れはほぼ完全に抑えること
ができ、二重振り子の挙動の正確な測定を行うことができるようになった。
後期に製作した土台は展示物として持ち出すことも考慮にいれ、支柱と脚をボルト、ナット、スプ
リングワッシャー、角ワッシャーと添え木のみで固定することで分解や組み立てが容易になるよう
工夫した。(図 6.18)
（※文責: 三澤良介）
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図 6.17 斜めの支え固定部分
図 6.18
支柱と脚の固定部分
設計技術の習得
レーザーカッターを用いたアクリルの切り出しを行うため、設計を TurboCAD（CAD：Computer
Aided Design）と呼ばれる設計ソフトを用いて行った。ベアリングを埋め込む穴の位置やサイズ
は厳密に行わなければならず、レーザーの熱がアクリルを溶かし、指定した値よりも 0.02mm ほど
物体を小さくしてしまうため、それも考慮した設計を行う必要があり、幾度と無くパラメータ調整
を行い、設計図通りに切り出しを行うまでに膨大な時間を要した。
ベアリングは、最初は上部および下部振り子の先端から 3mm の位置に設定していたが、これだ
とアクリルが薄くなりすぎてしまい、回している際に遠心力に耐えることができず頻繁に割れてし
まったため、運動に影響が出ないように、振り子の先端から 5mm の位置に修正した。
また、ベアリングの埋め込みは、アクリル板に水平に埋め込む必要があり、隙間が開いていると
水平に埋め込むことができず、運動時にベアリングが外れてしまう可能性があった。そのため、ベ
アリングを埋め込む穴の大きさは、ベアリングの直径が 15mm に対して 14.9mm で設計し、多少
きつくてもそこに押し込む形で埋め込ませるようにした。この結果として、ベアリングを水平に入
れやすくなり、かつ運動時に外れることもなく、円滑な運動を行わせることができた。
今回は、前期に行わなかった LED の搭載も行った。これにより、LED とボタン電池の重量の
分だけ振り子の重心がずれてしまい、測定に影響が出てしまう可能性があったため、重心が振り子
の中心に来るようにした。LED の重さはとても軽いため無視し、ボタン電池の重さが約 2.1 ｇで
あったため、LED を点灯させるために使うボタン電池の埋め込み位置と反対側に、同じボタン電
池を質量分布をそろえる形で埋め込めるような穴を設計した。なお、LED の埋め込みに関しては
5mm と 4mm と 1mm のアクリル板を組み合わせて作る設計をし、それを振り子にはめ込むこと
にした。これにより、LED の球切れの際の交換と、電池切れによる電池交換が容易になる設計と
なった。
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図 6.19
TurboCAD 上での設計図
図 6.20 LED 搭載部分の設計詳細図
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（※文責: 川村元太郎）
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6.2.2
理論分野
ラグランジュ方程式の学習
前期で学習した単振子の運動方程式を基礎として、後期では二重振り子の運動方程式を学習し
た。我々は、二重振り子をモデル化し、ラグランジュ運動方程式を立てることで、二重振り子の運
動方程式を導出し、運動状態の時間的変化を求めた。モデル化は、質量が各剛体棒の中心軸に均等
分布する剛体の二重振り子のモデルを考えることで実際の現象に近づけた。
図 6.21
二重振り子モデル
なぜ、運動方程式を立てるのにラグランジュ方程式を選択したのかを説明するために、ラグラン
ジュ方程式について解説する。ラグランジュ方程式ではラグラジアンと呼ばれる運動エネルギーと
位置エネルギーの差で表現される関数をもとに運動変化を記述する。運動方程式であり、質点の運
動を記述するニュートンの運動方程式と同等である。しかし、ニュートンの運動方程式は質点の座
標をパラメータとして記述するための形状のやや複雑な剛体運動に対しては方程式が非常に複雑
になってしまうのに対し、ラグランジュ方程式は角度や角速度などの一般化座標で記述できるた
め、方程式がずっとシンプルになる。また、ラグランジュ方程式は回転、座標変換に対する不変性
が優れている。そのため、二重振り子のような回転する物体の方程式を立てるのに適している。な
ので、ラグランジュ方程式から二重振り子の運動方程式を導出する方法を選択した。
ここまでは、ラグランジュ方程式の特性について解説した。続いて、ラグランジュ方程式の詳細
を解説していく。先に述べたように、ラグラジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差であ
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る。ラグランジュ関数を L、運動エネルギーを K 、位置エネルギーを U とすると、
L=K −U
となる。このラグラジアンを運動方程式にすると
d ∂L
∂L
(
)−
=0
dt ∂θi
∂θi
(i = 1, 2)
(6.1)
この方程式をモデル化した二重振り子から導くことで運動状態の時間的変化を求めた。
ルンゲ・クッタ法の学習
数値計算法の一つで、次数が４の 1 段階法である。 常微分方程式の近似解を高い精度で求め る
ことのできる方法である。微分方程式は簡単な場合を除き、解析的に解を求めるのは難しい。その
ため、、コンピュータを使って数値的に解を求める手法が一般的である。なので、我々も同じ手法
をとることにした。f (x, y) は a ≤ x ≤ b、y ∈ R で定義された 2 変数関数とする。1 階の常微分方
程式
y ′ = f (x, y)
を考える。この時、任意の x ∈ [a, b] に対して y ′ = f (x, y(x)) を常微分方程式 (6.1) の一般解また
は解という。また、y0 が与えられた時 y(a) = y0 を満たすような (6.1) の解を求める問題を常微分
方程式の初期値問題といい、これを
y ′ = f (x, y)
y(a) = y0
(6.2)
(6.3)
で表す。常微分方程式の数値計算法には 1 段階法と多段階法がある。今回使用したルンゲ・クッタ
法は１段階法である。 １段階法とは区間 [a,b] を等間隔の h =
b−a
n
に分割し Φ(x, y) はあらかじ
め決まっている関数、関数値 y(xi ) の数値解を Yi とする。このとき、1 段階法というのは、
Yi+1 = Yi + hΦ(xi , Yi ),
Y0 = y0
i = 0, 1, 2,・・・, n − 1
(6.4)
(6.5)
より順次 Yi+1 を決定する方法である。Yi+1 を (xi , Yi ) からのみ求めるのが特徴である。また、
(6.2) と (6.3) の解を y = y(x) とし、yi = y(xi ) とするとき、1 段階法 (6.4) の Yi に yi を代入
する。
Yi+1 = Yi + hΦ(xi , Yi ) + O(hp+1 )
(6.6)
O(hp+1 ) とは次の微小量である。上のような式となるとき、(6.4) は p 次のの精度を持つという。
この 1 段階法にはオイラー法とよばれる 1 次の精度を持つ数値計算法がある。後に説明するル
ンゲ・クッタ法の公式の説明で必要になる数値計算法なので解説する。[a, b] を n 等分し、各分点
xi を
h=
b−a
, x0 = a, xi = a + ih(i = 1, 2,・・・, n)
n
(6.7)
とする。この h を刻み幅という。yi = y(xi ) とすると、テイラーの定理および (6.1) より
yi+1 = yi + hf (xi , yi) + O(h2 )
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(6.8)
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が成り立つ。ここで、h が十分小さいとし O(h2 ) の項を省き、yi の近似を Yi とすると
Y0 = y0
(6.9)
Yi+1 = Yi + hf (xi , Yi ) i = 0, 1, 2,・・・, n − 1
(6.10)
が得られる、これをオイラー法という。ルンゲ・クッタ法は次の公式で計算する。
Y0 = y0
(6.11)
Yi+1 = Yi + hΦ(xi , Yi )
1
Φ(xi , Yi ) = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
(6.12)
(6.13)
ただし、
k1 = f (xi , Yi )
h
h
k2 = f (xi + , Yi + k1 )
2
2
h
h
k3 = f (xi + , Yi + k2 )
2
2
k4 = f (xi + h, Yi + hk3 )
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
である。k1 は初期値における勾配である。k2 はは区間の中央における勾配であり、勾配 k1 を用い
て、xi + f rach2 における y の値をオイラー法により決定したものである。 k3 は区間の中央にお
ける勾配を再計算したものであり、k2 の値から決められた y の値を用いる。k4 は区間の最後にお
ける勾配であり、k3 の値から決められたの値を用いる。 ここで扱うルンゲ・クッタ法は、次数 4
の 1 段階法なので、(6.5) より
Yi+1 = Yi + hΦ(xi , Yi ) + O(h5 )
(6.18)
となるように P hi(x, y) が定められる。
（※文責: 山本泰毅）
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シミュレータの製作
シミュレータの結果と二重振り子を動かした際の動きと比較するために、シミュレータを製作し
た。シミュレータに、二重振り子を動かす秒数、シミュレータを動かす回数、上部振り子と下部振
り子の長さと重さ、上部振り子と下部振り子の初期角度を入力することで、各時刻における角度や
角速度、上部振り子や下部振り子の端点の座標、運動エネルギー、位置エネルギーを出力させると
いう機能を実装させた。
プログラミング言語は C 言語で、プログラムの流れとしては、各時刻における角度と角速度を
計算する関数を作って計算させる。近似解を求めるために、ルンゲ・クッタ法を使い、各時刻にお
ける角度や角速度を求める。二重振り子を動かす秒数をシミュレータを動かす回数で割って 1 秒
の刻み幅を決めるのようにプログラムしたので、計測のときにかなり役に立った。例としては、シ
ミュレータを動かす秒数を 100 秒、プログラムを動かす回数を 100000 回とすると 1 秒の刻み幅
は 100/100000 なので 0.001 秒刻みとなるのでプログラムを動かすと、0.001 秒から 100.000 秒ま
での座標を出力することになる。
また、摩擦や空気抵抗は勉強する時間が足りなかったため、プログラムの機能として実装させる
ことはできなかった。
図 6.22 支点を原点とした下部振り子の端点の軌跡
上図（図 6.22）は、動かす秒数を 100 秒、シミュレータを動かす回数を 100000 回、上部振り子
の長さを 2m、下部振り子の長さを 1m、上部振り子の重さを 2kg、下部振り子の重さを 1kg、上部
振り子の初期角度を 1/π、下部振り子の初期角度を 1/πと条件を設定したときの、下部振り子の
端点の座標を gnuplot と呼ばれるグラフ描画ソフトで表したグラフである。プログラムで計算し
たのは、座標の位置だが、gnuplot でグラフ化するときに二重振り子の運動の軌跡のように見せる
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ために座標を点で繋いだグラフである。
（※文責: 田場盛大）
6.2.3
計測分野
計測方法
理論分野で得られた結果と、制作した二重振り子の運動が一致するかを調べるために、二重振り
子の運動を計測した。
まず、我々は CANON EOS Kiss X4 というデジタル一眼レフカメラを用いてビデオ撮影を行い、
運動の様子を計測した。前期に撮影したデジタルカメラやデジタルビデオカメラでは、画素数も低
く、細かい撮影の設定ができないため、今回はプロジェクトメンバーのデジタル一眼レフカメラを
用いて、高画質な映像を記録できる環境を整えた。計測に利用する二重振り子は、前期のビデオ撮
影を用いた計測で一番長い時間下部振り子が運動をした、上部振り子 30cm、下部振り子 15cm の
二重振り子を用いて、上端点から振り子を落下させたときの運動の様子を計測した。これにより、
二重振り子の運動を測定することができた。次に、暗室に二重振り子を設置し、ストロボスコープ
の光を照射して軌跡を撮影することにした。今回の二重振り子は黒色のアクリル板を用いて製作
しているため、ストロボスコープの光を反射しやすいように、銀色の塗装をしてから撮影を行っ
た。ストロボスコープのストロボの速さは、600 回/分とした。撮影を行うと、ビデオ撮影では各
フレームごとの軌跡がはっきりと残らないため、計測が行えないことがわかった。そのため、ビデ
オ撮影ではなく、一眼レフを用いた露光撮影を行うことにした。
二重振り子には初期値鋭敏性があるため、初期値鋭敏性になるべく影響されないような初期条件
をいくつか設定して撮影を行うことにした。上を 180°、下を 0°として、一本目の振り子 180°、
2 本目の 180°のときの条件と、1 本目 180°、2 本目 90°のときの条件と、1 本目 90°、2 本目 0
°のときの条件の 3 パターンの初期条件から二重振り子を運動させることに決め、それぞれに関し
て撮影を行った。露光撮影にあたって、カメラの設定やストロボスコープのスピード調整がかなり
難航した。測定する上で、各時間における各速度が正確に計測できるような軌跡が撮影できるもの
を試した結果、カメラの設定は、F 値を 5.6、ISO 感度を 6400、シャッタースピードを１秒とし、
ストロボスコープのストロボの速さは変えずに撮影を行った。
すると、それぞれの初期条件における結果は、以下の画像のようになった。
上述した通り、カメラとストロボスコープの設定から、この画像には 10 個の運動の軌跡が表示
されているのがわかる。誤差を考えると、もう少し軌跡を多く表示させたほうが良かったのだが、
ストロボの明るさの問題と、技術的な問題から、これ以上軌跡を多く映るように撮影してしまう
と、後述する計測の際に軌跡と軌跡が重なってしまい角速度を割り出すことができなくなってしま
うため、今回は 10 個の軌跡しか表示させることができなかった。
3 つの初期条件から運動させたわけだが、図１の初期条件から運動を始めた場合、振り子が運動
をはじめるまでに静止に近い状態があるため、軌跡を正確に撮影することは難しく、計測には適さ
ないことがわかったため、残りの 2 つの初期値からの運動の軌跡画像を用いて計測を行うことと
なった。
また、科学館での展示などでの見せ方を工夫するため目的もあるため、ストロボスコープの光は
照射せずに、振り子に取り付けた LED だけを点灯させた状態で軌跡を撮影し、どのような運動を
しているのかを確認した。
LED の光はそこまで強くないため、カメラの設定は、ISO 感度を 1600、F 値を 4.5 とし、光
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図 6.23 初期値 1 本目の振り子 180° 2 本目 0°のとき
図 6.24
初期値 1 本目の振り子 180° 2 本目 90°のとき
がきちんと撮影されるような設定とし、シャッターを開いたままのバルブ撮影を行った。撮影時間
は各 1 分 30 秒である。
図 6.26 は、下部振り子のみに LED を取り付け、二重振り子を初期位置から静かに落下させて撮
影した例である。下部振り子が１回転未満の運動をするまでの様子を撮影すると、左右が対象では
ない複雑な動きを計測することができた。
図 6.27 は、上部振り子にも LED を取り付け、二重振り子を自由落下させたものを撮影した例で
ある。下部振り子の動きは１枚目同様複雑な動きをしており、上部振り子は単振り子に似たような
軌跡を描いていることがわかる。この撮影が成功したことにより、LED を点灯させた状態で二重
振り子を運動させる時の展示方法をここから探ることができ、大きな成果を得ることができた。
（※文責: 川村元太郎）
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図 6.25 初期値 1 本目の振り子 90° 2 本目 0°のとき
図 6.26
下部振り子に LED を搭載し、自由落下させたときの軌跡画像
後期に、様々な初期状態からの二重振り子の動きを調査するためにビデオ撮影を行った。撮影に
は Panasonic の 2.7 型ワイド液晶のビデオカメラ SDR-H80 を使用した。
撮影場所の条件として、二重振り子を設置できる場所の広さと適度な明るさが条件として必要だ
と考えた。この条件に当てはまる撮影場所を調査した結果、本校 5 階の 525 教員室前のスタジオで
撮影した。撮影の対象となる二重振り子とビデオカメラの間の距離は 3m とした。この距離は、二
重振り子全体の挙動が漏れ無く撮影できる距離を調査した結果である。
初期条件として、ストロボスコープを使用した撮影と同様に、二重振り子には初期値鋭敏性があ
るため、初期値鋭敏性になるべく影響されないような初期条件を設定した。撮影した初期条件は、
状態 1 を上部振り子 90◦ 下部振り子 90◦ 、状態 2 を上部振り子 180◦ 下部振り子 180◦ 、状態 3 を
上部振り子 270◦ 下部振り子 270◦ 、状態 4 を上部振り子 90◦ 下部振り子 0◦ 、状態 5 を上部振り子
180◦ 下部振り子 0◦ 、状態 6 を上部振り子 270◦ 下部振り子 0◦ とした以上である。撮影した動画を
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図 6.27 上部・下部振り子に LED を搭載し、自由落下させたときの軌跡画像
図 6.28
カメラ画像
PC を使用して解析しようとしたが、二重振り子の挙動が早すぎて残像が残ってしまうため、解析
が難しかったため、ストロボスコープを用いた撮影と LED を利用した撮影を計画した。
（※文責: 山本泰毅）
6.3
6.3.1
発表及び評価
シミュレータとの比較
理論の分野で、シミュレータを製作することができた。計測の分野では、実際の二重振り子の運
動の様子を撮影することができた。シミュレータの製作と二重振り子の運動の実測の二つが行えた
ので、比較することにした。
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図 6.29 撮影風景
軌跡の撮影が成功したので軌跡の比較を行おうとした。しかし、実際の二重振り子の運動の軌跡
と、シミュレータから出力された軌跡では時間変化がわかりづらかったのと、初期値鋭敏性がある
ので比較を行うことができなかった。ただ、単振り子はほぼ単振動に近くで時間変化がわかりやす
いために、比較することができた。以下は、振り子の長さ 0.3 メートルで初期角度を 60 度とした
ときの、単振り子の軌跡（図 6.30, 図 6.32）と同条件をシミュレータに入力したときの振り子の端
点の座標（図 6.31, 図 6.33）である。単振り子のプログラムは作ってないので、二重振り子の下部
振り子の長さと重さをできるだけ小さくすることで、単振り子と同じような動きをさせることに成
功した。
図 6.30 単振り子の軌跡
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図 6.31
シミュレータに入力したときの振り子の端点の座標
図 6.32
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単振り子の軌跡
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図 6.33
シミュレータに入力したときの振り子の端点の座標
上の画像（図 6.30, 図 6.32）は 2 枚とも 1 秒間に 10 回ストロボスコープを当てたので 0.1 秒ご
との動きを撮影したもので、プログラムで出した端っこの点とかなり類似することがわかった。単
振り子ではできても二重振り子では、軌跡の比較はできないので別の方法にすることにした。別の
方法とは、ストロボ撮影で撮影した写真から二重振り子の上部振り子と下部振り子の各時刻におけ
る角速度を求めて、シミュレータと比較するやりかたである。
ストロボ撮影で撮影した写真をプリントアウトして、手作業で各時刻における、角度を求めて角速
度を求めた。以下が角度を求める際に使った写真の一例（図 6.34）である。
図のように振り子 1 個 1 個に線を引いて、各時刻における角度を分度器を使用して計ることにし
た。とても地味な作業で大変だったが、グループ全員で分担しながら作業を効率よく行った。その
作業から割り出した各時刻における下部振り子の角度、下部振り子の角速度、上部振り子の角速度
を dat ファイルに直したものをプログラムで出力させた、下部振り子の角度、下部振り子の角速
度、上部振り子の角速度と比較した。
以下は、上部振り子の初期角度を 180 度、下部振り子の初期角度を 0 度と条件を設定したときの、
比較したグラフ（図 6.35）である。上のほうがプログラムで出力された結果で、下のジグザグして
いるほうが、実測した数値をグラフ化したものである。
以上の結果となった。図 6.35 の結果では、下部振り子の角度が最初からずれているため、これ
では比較したとはいえない。これでは解析もできないので、比較する対象を、あまりずれることの
ない時刻、上部振り子の角度と下部振り子の角度の三要素を用いて三次元グラフを作った。それ
が、以下のグラフ（図 6.36）である。
ｔは時間で、θ 1 が上部振り子の角度、θ 2 は下部振り子の角度である。
ここでいう、0 度は二重振り子がともに真上を用いているときの角度を 0 度としている。また左周
りに角度が大きくなるようになっている。
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図 6.34
角度を求める際に使った写真の一例
図 6.35
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比較したグラフ
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図 6.36 三要素を用いた三次元グラフ
このグラフは上のジグザグしたのが実測したデータをグラフにしたもので、下のなめらかなグラフ
がプログラムで出力したデータをグラフ化したものである。0.0 秒から、0.15 秒くらいまでは、ほ
ぼ一致しているのがグラフから読み取れることができたが、その後の動きが全く別物になってい
ることがわかる。これはプログラムに不具合があるのか、計測方法に不具合があるのかがわからな
かったので解析を行ったが、プロジェクトの時間内に解析を終えることができなかった。
角度の問題としては、計測結果と比較するために、条件を一緒にしてシミュレータを動かさなけれ
ばならないのだが、上部振り子と下部振り子の初期角度を 0 度や、180 度と設定すると不安定平衡
点となっているので、初期状態のままで止まってしまう比較できない。また、計測は人の手で行う
ので、どうしてもプログラムがと誤差がでてしまうのが問題なので、計測の方法も見直さなければ
ならない。
以下のグラフは、初期角度を上部振り子の角度を 180 度、下部振り子の角度を 0 度として、動か
す時間を 1 秒間に設定して、0.1 秒ごとの軌跡を表したグラフ（図 6.37）である。
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図 6.37
単振り子の軌跡
このように、この位置で振り子が止まっているため点が一個しか打たれない。もう少し時間長く
すると以下のような軌跡（図 6.38）が確認できる。
図 6.38
時間を進ませた軌跡
計測の際にはこの角度以外で計測するのが好ましいということがわかった。
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6.3.2
アカデミックリンク
我々のプロジェクトは 2012 年 11 月 10 日に北海道の函館市で開催された HAKODATE アカデ
ミックリンク 2012 と呼ばれるはこだて高等教育機関合同研究発表会に参加した。アカデミックリ
ンクには、アクリルで製作した二重振り子や土台、中間発表で用いたポスター、新しく作ったポス
ターを展示させてもらった。
アカデミックリンクでは、公立はこだて未来大学、函館大谷短期大学、函館工業高等専門学校、函
館大学、函館短期大学、北海道教育大学函館校、北海道大学大学院水産科学院・水産学部、ロシア
極東連邦総合大学函館校とたくさんの学校からいろいろな物が展示されていて、とてもいい刺激に
なった。また、幅広い年代の人たちが見学に来ていたので、二重振り子をいろいろな人に知っても
らういい機会となった。
二重振り子を知ってもらうだけではなく、見てくれたお客さんからいろいろなアドバイスをもらう
こともできた。函館工業高等専門学校の先生からはレーザーカッターの使い方についてアドバイス
を頂いたり、一般の方からは、発表方法についてアドバイスを頂くこともできた。頂いたアドバイ
スは、アカデミックリンク以降の活動で活用した。
アカデミックリンクで展示するにあたって、アンケートをとって見に来てくれた人たちの意見を
もらうことにした。アンケートをとると二重振り子を知っている人はほとんどおらず、この展示で
知ったという人がたくさんいたので、このアカデミックリンクでの展示の意味があったのだという
ことがわかった。
アカデミックリンクで展示することで、展示の仕方や、展示するものについて深く考えるきっかけ
となった。われわれのプロジェクトの目的には、教育や展示に活用するとあるのでアカデミックリ
ンクで展示をすることは我々のプロジェクトにとって大きなプラスとなった。
（※文責: 田場盛大）
6.3.3
アカデミックリンクアンケート結果
アカデミックリンクで二重振り子を見てくれた人にアンケートを取った。質問項目として、「二
重振り子というものを知っていましたか」、「二重振り子が面白いと思った」、「二重振り子の仕組み
に興味を持った」、
「ポスターの内容が分かり易かった」の 4 つの質問項目を用意し、それぞれの項
目に yes か no で答えてもらった。また、発表内容や発表技術について自由にコメントをもらった。
合計 37 名にアンケートを取り、二重振り子の認知度や発表により二重振り子に興味を持ってもら
えるかなどを調査したところ、37 人中 9 人が二重振り子を発表前から知っていたと答えた。また、
二重振り子が面白いと思ったと解答した人は 37 名中 37 名で 100 ％という結果になった。このこ
とから、二重振り子についての発表や展示を行うことで多くの人に二重振り子に興味を持ってもら
い、認知度を向上させることができるといえる。
コメント (一部抜粋)
以下にアンケートに記入してもらったコメントの一部を抜粋して掲載する。
・展示だけでなく教育の場にあると良いと思いました。
・工夫したら意外と色々なところに応用できそうで面白いと感じました
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・ゲームなどに使ったら子どもに喜ばれるのではないでしょうか。
・学生向けの演習として面白いかな。
・何かに実用化できたらすばらしいと思います。
・二重振り子を初めてみたので面白かった。
・レーザー加工機で大量生産可能な点が教材として良いと思いました。
（※文責: 山本泰毅）
6.3.4
発表方法
中間発表会では、二重振り子の高さを人の目線に近づけるために高さのあるついたてを二枚平行
に設置し、そこに上から二重振り子を固定するための木製の枠を被せるように設置した。このとき
ついたてと枠の間に隙間があると土台自体が横揺れを起こしてしまうため、ついたての幅に隙間な
く枠がはまるよう工夫した。また、二重振り子は正面から見て、回転面が重なるよう縦に長い金属
の棒に 2 つ取り付け棒を使用し二つの振り子を同じ高さ、同じ速さで動かし始めた。その後にそれ
ぞれの動きの違いが生じることで、初期値鋭敏性を観客に見せることができた。上記のような工夫
を凝らしたが、完成した土台に二重振り子を設置して回転させると、土台単体では大きく揺れてい
るのが視認できた。そのため、展示の際にはおもりを使用して土台の揺れを軽減した。この前期の
土台製作で、我々が体感的にとらえて想定してた二重振り子の運動エネルギーと実際の二重振り子
の持つエネルギーの大きさに差があることを理解した。
最終成果発表では、後期に新たに製作した土台を使用した。計測分野で LED を用いて暗室で軌跡
の撮影を行っていた際、暗闇で発光ダイオードの光が二重振り子の軌道を描いて動く様子が綺麗で
面白いと感じた。また、暗闇で LED の光が動くと目に残像が残り二重振り子の軌跡を見ることも
できる。そのため、最終発表会では完全に暗室にすることができる部屋を発表会場に選び、発表途
中で部屋の照明を消し、二重振り子の先端に取り付けられた LED の光だけが暗闇に浮かび上がっ
て見えるよう工夫した。この発表方法は発表直後に取ったアンケートでも好評であり、見ている人
に興味を持ってもらうことができた。
（※文責: 三澤良介）
6.3.5
最終発表アンケート結果
最終発表会で観客に、発表の理解度に関するアンケートを取った。発表技術と発表内容を 10 段
階評価で評価してもらい、技術や内容に関するコメントを自由にもらった。アンケート結果を掲載
する
評価
発表技術 8.2
発表内容 7.7
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発表技術コメント (一部抜粋)
・声の大きさはほどよく、聞き取りやすかった
・3 番目の発表者の発言内容が運動の減衰が少ないほうが良いのか悪いのかわかりづらかった。
・はじめに実物の動きが見たかった。
・色を上手く使えてました。
・発表姿勢は良かったと思います（言葉を丁寧に発している、聴衆のほうを見ている）
・教育・展示用という目的は達成できたのか？
・二重振り子の実演がとてもよかった。
・照明を消したのがキレイで、興味を持つことができた
・スライドも見やすく、わかり易い説明でした。
・場所の活用（明かりを消す）も有効
・声がハキハキしててよかった
・発声の明瞭でわかり易い
・自分たちのやったことをよく理解していてよく発表できていて照明を消したのはよかったと思う。
・アカデミックリンクでも二重振り子を見て、面白いなと思った。
・第 1 回目を見ました。全員紙を見ないで明快に話していて、非常に良いと思います。
・スライドがちょっとみにくかったです。
・実装と理論の部分を分けるので、あれば発表者を分けたほうが切り替えやすいと思います。
・LED の動きを実際に見せながらの説明だったので、わかりやすかったです。
発表技術コメントから言えることは、全体的にわかりやすいという意見が多かった。それは、
我々が発表するときにはっきりと丁寧に声を発したこと、原稿を見ないで聴衆の方を見ていたこと
から、そのように考察することができる。また、二重振り子の軌跡の説明をするときに、実際に暗
室で、発光ダイオードを下部振り子の先端に埋め込んだ二重振り子の動きの様子を見せたことも評
価されている。ただ、スライドに関しては、見やすいという意見もあれば、少し見にくいという意
見もあった。
発表内容コメント（一部抜粋）
・製作過程はよく理解できました。
・理論のところが、少し難しい話になってしまって理解することが難しかった。（仕方ないと思いま
すが・・・）
・教育への活用が具体的にどのようになされ、どのような効果がでるのかよくわかりませんでした。
・動画がわかりやすい、もう少し何のために製作するのかの利用について説明しても良いかもしれ
ません
・内容が興味深い内容であった。
・技術習得から二重振り子の思索など自分たちが行ったことを細かく発表しているので分かりやす
い。
・一般では知らない知識、技術をもっと解説したほうが、わかりやすいくわしく説明されていて面
白かった。
・前回の発表は見ることはできなかったが、それでも内容は十分伝わった。
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・
「二重振り子」という理論やそれに関してのプログラムはとても興味深くプロジェクトの努力が伝
わった。最後の結果が研究中なのか非常に残念に思えた。
・試行錯誤したことが書かれていて良い！
・次はより強いものを作って頑張ってほしい
・わかりやすい発表でした。
発表内容コメントから言えることは、発表がわかりやすいという意見とわかりにくいという意見が
二極化したように考えられる。その理由として、製作分野に関してはコメントからもよく理解して
もらえたと考えられるが、理論分野に関しては、説明に一般的にあまり認知されていない専門用語
を用いたせか、聴衆の全員に納得してもらうことが出来なかったからだと考えられる。
（※文責: 飛田有輝）
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第 7 章 まとめ
7.1
今年度の成果
一年間を通して、3 分野に関しては以下のことを達成した。
まず、製作分野では前期には木を材料とした二重振り子を製作することができた。後期にはアク
リルを素材とした二重振り子を製作することができた。一年間を通して、基礎的な加工技術も習得
することができたので、実際に自分たちで作った二重振り子に適する土台を製作することもでき、
細部にいろいろな、工夫を凝らすことで横揺れや縦揺れを軽減させることにも成功した。
次に、理論分野に関しては、単振り子の運動方程式から始まり、二重振り子の運動方程式、ラグ
ランジュ方程式やルンゲ・クッタ法を学習した。またシミュレータを作るためにプログラミングの
学習をすることで、二重振り子の運動をシミュレートするシミュレータを製作することができた。
最後に、計測分野については、前期には、ビデオ撮影を行いどの長さが一番よく回るのかを調べ
た。後期にはシミュレータと比較するために、二重振り子を銀色に塗装したりと工夫を凝らした計
測方法を確立した。実際に計測した結果との比較も行えた。
3 分野以外での成果は、11 月にあったアカデミックリンクに展示することができた。アカデ
ミックリンクのようなチャンスをもらうことで、たくさんの学生や一般の人たちに、二重振り子を
見て触ってもらうことで興味をもってもらうことができた。アンケートもとったのでいろいろな意
見を参考にさせてもらうこともできた。
図 7.2
図 7.1 アカデミックリンクの様子 1
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アカデミックリンクの様子 2
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7.2
今後の展望
二重振り子は予測できない複雑な動きをするカオスという特性を持っているといわれている。今
後の展望として、これを証明するための方法としてポアンカレ写像などをプロットすることが考え
られる。テント写像と同じ構造が確認できるとカオスと言える。この証明を行い、カオスと判定す
ることは我々が二重振り子の理解を深めるたという証明になる。
2013 年 2 月 15 日に東京の秋葉原開催されるプロジェクト学習の課外発表会に本プロジェクト
も参加することが決定した。我々のプロジェクトは 2012 年 11 月 10 日に北海道の函館市で開催さ
れた HAKODATE アカデミックリンク 2012 と呼ばれるはこだて高等教育機関合同研究発表会に
参加した。その際、ブースを観覧した人に対してアンケートを行った。このアンケートを集計し、
観覧した人の評価、感想をまとめた。今回はアカデミックリンクでのアンケート評価をもとに、秋
葉原で効果的な展示を目指す予定である。
我々のプロジェクトは教育・展示用の二重振り子を製作することである。教育用の二重振り子の
展望としては実際に教育機関へ出向き、授業を行うことで物理教育への興味への発展につなげるこ
とができれば幸いである。しかし、学習難易度としては高校生でも二重振り子の特徴・性質を理解
することは難しいという複雑系の大学教授からの意見もある。物理への学習が始まる高校生の頃に
難しい二重振り子の学習をどのようにわかりやすく伝えるかの工夫が必要である。
プロジェクト学習を通して我々は木材、ポリ塩化ビニル、アクリル板などの素材を加工して二重
振り子を制作してきた。木材は加工が容易だが柔らかく、木材の二重振り子を回転させるとしなり
支柱部分への接触が目立った。アクリルは加工に時間を要するが、色は透明なものや光沢があるも
のなど綺麗なものができる。しかし、指紋がつきやすく丁寧に扱わねければその綺麗さは失われし
てまう。二重振り子の素材が変わると、外見や機能に様々な影響を及ぼす。そのため、我々はいろ
いろな素材で二重振り子を制作し、その特徴を把握することでプロジェクトの目的に適した素材を
発見しなければならない。そこで、今後は腐食しにくく強度が高く、尚且つ見た目に美しい金属を
使用した二重振り子を製作したいと考えている。強度が高いためその分加工時間を要すると我々は
予想している。だが、どの素材が我々が必要としている二重振り子に適しているかを調査するため
にも金属は通らなければいけない道の 1 つである。
シミュレータとストロボ撮影した二重振り子の写真との比較はした。今後は比較したデータを元
に解析を行いたい。
二重振り子は有限時間だけ回転する。その有限性の原因となるのは支柱との接続部分の摩擦や
空気抵抗など様々な要因が考えられる。なので、摩擦や空気抵抗など二重振り子の回転を止める要
因を排除した理想状態の二重振り子は無限に回転し続ける。つまり、二重振り子の動作時間の延長
はそのような理想状態に近づくことを意味する。理想状態の二重振り子はモデル化した二重振り
子の数値解析の結果と一致する可能性が高くなるはずである。以上のような理由から、動作時間の
延長は今後も必要なことである。今期では、土台、二重振り子と土台の接続部分を通しボルトなど
を駆使して抑えた。しかし、持ち運び出来るよう軽量化、簡略化した設計のため二重振り子回転時
にまだ摩擦と揺れが残り耐振動設計に改良の余地がある。したがって、今後は土台の大型・重量化
などで揺れを抑えられる設計も考えられる。もしくは、山本製作所が製作した High Performance
Double Pendulum ver.2 のようにとても頑丈なテーブルに万力で固定する方法も考えられる。こ
のようにすると、二重振り子から余計な揺れが生まれない。二重振り子自体が精密な設計によって
余計な揺れを減らしているとも考えられるが、土台の重要性も無視できない。どちらの方法にも共
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通するのは、土台が重いということである。そのようなことも頭に入れて、様々な展示会場への持
ち運びも考えた設計を考えたい。
（※文責: 田場盛大）
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付録 A
シミュレータのソースコード
/* 理論分野で製作したシミュレータのソースコードを添付する。
ソースコード A.1
dp2.c
#i n c l u d e <s t d i o . h>
#i n c l u d e <s t d l i b . h>
#i n c l u d e <math . h>
double g = 9 . 8 0 6 6 5 ;
d o u b l e f 1 ( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
r e t u r n v1 ;
}
d o u b l e f 2 ( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
r e t u r n v2 ;
}
d o u b l e f 3 ( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
d o u b l e s 1 = ( ( ( − 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗m2∗ l 2 ∗ v2 ∗ v2 ∗ s i n ( r1−r 2 ) − ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ m1+m2)
∗ g∗ s i n ( r 1 ) ) − ( ( 1 . 0 / 4 . 0 ) ∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗m2∗ l 1 ∗ v1 ∗ v1 ∗ s i n ( r1−r 2 ) ) + ( 1 . 0 / 4 . 0 ) ∗ c o s ( r1−r 2 )
∗m2∗ g ∗ s i n ( r 2 ) ) / ( ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ m1+m2) − ( 1 . 0 / 4 . 0 ) ∗m2∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗
c o s ( r1−r 2 ) ) ∗ l 1 ) ) ;
return s1 ;
}
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d o u b l e f 4 ( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
d o u b l e s 2 = ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ m1+m2) ∗ l 1 ∗ v1 ∗ v1 ∗ s i n ( r1−r 2 ) − ( 1 . 0 / 2 . 0 )
∗ ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ m1+m2) ∗ g ∗ s i n ( r 2 ) + ( ( 1 . 0 / 4 . 0 ) ∗m2∗ l 2 ∗ v2 ∗ v2 ∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗ s i n ( r1−r 2 ) )
+ ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗ ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ m1+m2) ∗ g ∗ s i n ( r 1 ) ) / ( ( ( 1 . 0 / 3 . 0 ) ∗ ( ( 1 . 0 / 3 . 0 )
∗m1+m2) ) − ( 1 . 0 / 4 . 0 ) ∗m2∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗ c o s ( r1−r 2 ) ∗ l 2 ) ) ;
return s2 ;
}
d o u b l e K1( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
d o u b l e k = ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗m1∗ l 1 ∗ l 1 ∗ v1 ∗ v1 ;
return k ;
}
d o u b l e K2( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
d o u b l e k = ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗m2∗ l 2 ∗ l 2 ∗ v2 ∗ v2 + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗m2∗ ( l 1 ∗ l 1 ∗ v1 ∗ v1 + ( 1 . 0 / 4 . 0 )
∗ l 2 ∗ l 2 ∗ v2 ∗ v2+l 1 ∗ l 2 ∗ v1 ∗ v2 ∗ c o s ( r1−r 2 ) ) ;
return k ;
}
d o u b l e U1( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
d o u b l e u =( −1.0/2.0)∗m1∗g ∗ l 1 ∗ c o s ( r 1 ) ;
return u ;
}
d o u b l e U2( d o u b l e t , d o u b l e l 1 , d o u b l e l 2 , d o u b l e m1, d o u b l e m2, d o u b l e r1 ,
d o u b l e r2 , d o u b l e v1 , d o u b l e v2 ) {
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d o u b l e u = m2∗ g∗(− l 1 ∗ c o s ( r 1 ) − ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ l 2 ∗ c o s ( r 2 ) ) ;
return u ;
}
i n t main ( ) {
int i ;
d o u b l e l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , r3 , r4 , rv1 , rv2 , v1 , v2 , v3 , v4 ;
d o u b l e w1 , w2 , w3 , w4 , x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4 , z1 , z2 , z3 , z4 , u1 , u2 , k1 , k2 ;
double t =0.0;
double a =0.0;
double b=1000.0;
double n=20000.0;
d o u b l e h=(b−a ) / n ;
l1 =0.30;
l2 =0.15;
m1= 0 . 0 7 0 ;
m2= 0 . 0 5 5 ;
// 使 用 し た パ ラ メ ー タ の 例
// r 1 = 1 . 0 ;
// r 2 = 1 . 0 ;
// r 1 = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 ;
// r 1 = 3 . 2 6 3 7 6 5 7 0 1 1 ; / / 1 8 7 do
// r 1 = 1 . 0 4 7 1 9 7 5 5 1 1 6 ; / / 1/3 p a i
// r 2 = 0 . 0 ;
// r 2 = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 ; / / p a i
// r 1 = 1 . 6 7 0 7 9 6 3 2 6 7 5 ;
r1 =1.57079632675;//1/2 pai
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r2 =0.0;
v1 = 0 . 0 ;
v2 = 0 . 0 ;
f o r ( i =0; i <n ; i ++){
u1=U1( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
u2=U2( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
k1=K1( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
k2=K2( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
w1=f 1 ( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
x1=f 2 ( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
y1=f 3 ( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
z1=f 4 ( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
w2=f 1 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w1 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x1 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y1 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z1 ) ;
x2=f 2 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w1 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x1 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y1 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z1 ) ;
y2=f 3 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w1 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x1 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y1 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z1 ) ;
z2=f 4 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w1 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x1 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y1 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z1 ) ;
w3=f 1 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w2 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x2 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y2 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z2 ) ;
x3=f 2 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w2 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x2 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y2 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z2 ) ;
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y3=f 3 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w2 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x2 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y2 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z2 ) ;
z3=f 4 ( t + ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗w2 , r 2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h )
∗x2 , v1 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ y2 , v2 + ( ( 1 . 0 / 2 . 0 ) ∗ h ) ∗ z2 ) ;
w4=f 1 ( t+h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1+h∗w3 , r 2+h∗x3 , v1+h∗y3 , v2+h∗ z3 ) ;
x4=f 2 ( t+h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1+h∗w3 , r 2+h∗x3 , v1+h∗y3 , v2+h∗ z3 ) ;
y4=f 3 ( t+h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1+h∗w3 , r 2+h∗x3 , v1+h∗y3 , v2+h∗ z3 ) ;
z4=f 4 ( t+h , l 1 , l 2 , m1, m2, r 1+h∗w3 , r 2+h∗x3 , v1+h∗y3 , v2+h∗ z3 ) ;
r 1 = r 1 + ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗ h ∗ (w1+2.0∗w2+2.0∗w3+w4 ) ;
r 2 = r 2 + ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗ h ∗ ( x1 +2.0∗ x2 +2.0∗ x3+x4 ) ;
v1 = v1 + ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗ h ∗ ( y1 +2.0∗ y2 +2.0∗ y3+y4 ) ;
v2 = v2 + ( 1 . 0 / 6 . 0 ) ∗ h ∗ ( z1 +2.0∗ z2 +2.0∗ z3+z4 ) ;
// 運 動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ー
/∗ u1=U1( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
u2=U2( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
k1=K1( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
k2=K2( t , l 1 , l 2 , m1, m2, r1 , r2 , v1 , v2 ) ;
∗/
t = t + h;
// p r i n t f (”% f \n ” , u1+u2+k1+k2 ) ;
// i f (93.0 <= i && i <=100.0){
// i f (40< i <60 && i %10==0){
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// p r i n t f (”% f %f %f \n ” , t , l 1 ∗ s i n ( r 1 )+ l 2 ∗ s i n ( r 2 ) , −l 1 ∗ c o s ( r 1 )− l 2 ∗ c o s ( r 2 ) ) ;
// p r i n t f (”% f %f %f \n ” , r2 , v2 , v1 ) ;
// p r i n t f (”% f , %f %f \n ” , r1 , r 2 ) ;
p r i n t f (”% f %f \n ” , l 1 ∗ s i n ( r 1 )+ l 2 ∗ s i n ( r 2 ) , −l 1 ∗ c o s ( r 1 )− l 2 ∗ c o s ( r 2 ) ) ;
// p r i n t f (”% l f ” , c o s ( 9 0 ) ) ;
//}
}
return 0 . 0 ;
}
*/
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付録 B CAD で作図した二重振り子の設計図
CAD で作図した二重振り子の設計図を付録として添付する。
図 B.1 二重振り子の設計図
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参考文献
[1] 飛島佑野, 二重振り子運動におけるカオスの評価, 論文, 2011.
[2] 増田健二, 二重振り子におけるカオス, 技術報告, 1998.
[3] 小出昭一郎, 解析力学（物理入門コース 2）, 岩波書店, 1983.
[4] 後藤憲一, 小早川恵三, 国友正和, 基礎 物理学演習, 共立出版, 1986.
[5] 石川健三, 解析力学入門, 培風館, 2008.
[6] Weekend Project: Double Pendulum”, [HTML](最終アクセス 2013 年 1 月).
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=d2E5oojoXjk
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