公立はこだて未来大学 2012 年度 システム情報科学実習
グループ報告書
Future University Hakodate 2012 System Information Science Practice
Group Report
プロジェクト名
地域に根ざした数理科学教育
Project Name
Supports for regional education in mathematical science
グループ名
グループ B
Group Name
Group B
プロジェクト番号/Project No.
8-B
プロジェクトリーダ/Project Leader
1010077
成澤美耶
Miya Narisawa
グループリーダ/Group Leader
1010062
湯川千聖
Chisato Yukawa
グループメンバ/Group Member
1010062
湯川千聖
1010016
西山あかり
1010050
今田敬之
Takayuki Konta
1010066
伊藤直輝
Naoki Ito
1010077
成澤美耶
Miya Narisawa
1010227
水無真理子
Chisato Yukawa
Akari Nishiyama
Mariko Mizunashi
指導教員
高村博之 上野嘉夫
田中健一郎
Advisor
Hiroyuki Takamura Yoshio Uwano Kenichiro Tanaka
提出日
2013 年 1 月 16 日
Date of Submission
July 16, 2013
概要
近年、日本の「理数離れ」が様々な調査機関によって明らかにされている。しかし、その根本
的な対策は提示されていないため、個々の具体的事例から解決策を模索することは重要であ
る。本グループでは、特に数学に焦点を当てる。現在の中高生は、
「ゆとり教育」による学習時
間の減少によって単元学習に特化された教育を受けてきている。従って、知識が分断されてお
り、そこに数学離れの一因がある。そこで、授業外の総合型学習の中で知識の体系的な獲得を
目的とした、自学自習プログラムの提案を行う。具体的には、中学 3 年生から大学初年までの
4 つの科目に分散されている二項展開に関する知識を集め、再構築した教育プログラムである。
キーワード
理数離れ ゆとり教育 二項展開
（※文責: 成澤美耶）
-i-
Abstract
In recent several years, ”Risuu-banare” (It means standing away from mathematical
sciences) has been observed by various research agencies. There is no definitive solution
of this matter. Therefore it is very meaningful to find it in actual situations. The
target of our group is mathmathics. Most of students in junior high school and high
school have been educated in ”Yutori-kyouiku”. (It means that class hours have been
decreasing.) So that they are concentrated to study mathematics unit-wisely. For this
reason, the knowledge of mathematics is broken into many small pieces. This is one
of the reasons of ”Suugaku-banare”. Hereby we propose a program for self-learning
to get the unified knowledge systematically without lecture style. More precisely, this
program reconstructs the education on binomial expansion from the final year in junior
high school to the first year in university in which the knowledge is splitted in 4 subjects.
Keyword
Risuu-banare Yutori-kyouiku binominal expression
（※文責: 成澤美耶）
- ii -
目次
背景
1
1.1
前年度の成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
現状における問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
課題の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
到達目標
6
第1章
第2章
2.1
本プロジェクトにおける目的
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
具体的な手順・課題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
前期の活動について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
後期の活動について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
課題の割り当て . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.1
前期の課題の割り当て . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.2
後期の課題の割り当て . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
第3章
課題解決のプロセスの概要
9
3.1
前期の活動について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
後期の活動について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
課題解決のプロセスの詳細
12
第4章
4.1
各人の課題の概要とプロジェクト内における位置づけ
. . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
担当課題解決過程の詳細 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2.1
湯川千聖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2.2
西山あかり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2.3
今田敬之 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2.4
伊藤直輝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2.5
成澤美耶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.6
水無真理子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
担当課題と他の課題の連携内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.1
湯川千聖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.2
西山あかり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3.3
今田敬之 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.3.4
伊藤直輝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3.5
成澤美耶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3.6
水無真理子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.3
第5章
結果
44
5.1
プロジェクトの結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.2
成果の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.3
担当分担課題の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
- iii -
第6章
5.3.1
湯川千聖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.3.2
西山あかり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.3.3
今田敬之 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.3.4
伊藤直輝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.3.5
成澤美耶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.3.6
水無真理子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
今後の課題と展望
54
参考文献
55
- iv -
Supports for regional education in mathematical science
第1章
背景
現在、「理数離れ」が日本の社会問題となっている。国際教育到達評価学会（IEA）による国際
数学・理科教育の動向調査 [1] によると「数学は得意な教科ではない」と回答した中学 2 年生が、
2003 年時では 61 ％であったが、2007 年時では 63 ％と、大きな変化がみられなかった。
図 1.1 IEA による動向調査
PISA（OECD 生徒の学習調査）[2] では、数学リテラシーと呼ばれる状況と数学的内容、生徒が
働かせる能力という評価の枠組みにおいて、日本は調査開始時の 2000 年では 1 位であったが、以
降の調査で順位は下降し 2006 年時に 10 位、2009 年時は 9 位であった。この 3 年間で大きな変化
が見られなかった。
図 1.2 PISA による調査
また 2012 年 11 月 27 日の北海道新聞朝刊の記事によると、同月 26 日の全国学力調査の結果で
北海道は国語を除いて全国平均を下回っていることがわかった。北海道の中でも、渡島・檜山両管
Group Report of 2012 SISP
-1-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
内の小学校 6 年生と中学校 3 年生の学力が全道平均を下回ったという結果が出ている。地域によ
る差が浮き彫りとなった。
図 1.3 2012 年 11 月 27 日付けの北海道新聞朝刊
こうしたことから「理数離れ」を解決するために、独立行政法人科学技術振興機構が「科学の甲
子園」という高等学校などの生徒を対象に、チームで理数系における複数分野の競技を行う取り組
み [4] や先進的な理数教育の実施、大学との共同研究といった取り組みを行う「スーパーサイエン
スハイスクール」を実施している [5]。しかし IEA や PISA、全国学力調査結果からわかるように、
こうした取り組みも理数離れを解決する決定的な解決策にはつながっていない。
文部科学省 [3] によると、「ゆとり教育」による学習時間減少から、単元毎の学習に生徒の学習
意欲が集中している状況が見受けられる。その結果として、知識が分断され、各知識が孤立してい
る。本学においてもこのことは起こっており、高校数学の内容で二項定理や組み合わせ、微分・積
分といった学年を横断した問題に、新入生のほとんどが対応できず、正答率が非常に悪いというこ
とが確認されている [6]。そこで本プロジェクトは地域を限定することにより、具体的な事例から
徐々に解決することにした。
本グループではつながりをキーワードとして、学年間や単元間で分断された知識を束ねる力を養
Group Report of 2012 SISP
-2-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
成することで学習意欲の向上につなげるための授業から離れた学習プログラムの提案を行うことに
した。
（※文責: 西山あかり）
1.1
前年度の成果
前年度の同テーマのプロジェクトにおいて、分断された知識を束ねて使う力の養成を目的とし、
中学生を対象とした学習指導要領にとらわれずに知識を体系化できる学習プログラムの開発を行っ
たとされている。具体的な教材の題材として、高校 3 年生の数学 III で学習する「分数関数」が選
択された。教科書分析から、
「分数関数」の本質は「反比例」と「平行移動」であり、この 2 つは中
学 1 年生で学ぶことが判明した。しかし実際は「分数関数」の基礎となる「反比例」と「平行移動」
の学習から「分数関数」は学年を横断した学習形態となっている。そこで中学生が体系的に知識を
得るよう意識してもらうことを到達目標として、反比例のグラフを平行移動すると分数関数のグラ
フが得られると認識できる教材の開発を行ったとされている。開発した教材は ActionScript を用
いて e-learning 化も行った。開発した教材の成果を確かめるために、前期・後期のべ 46 名の中学
生に実験授業が行われた。その結果、中学の知識と本来は高校で学習する内容とのつながりを生徒
が見出したため、目標を達成することができたと評価できる教材が作成された。このように前年度
は高校で学ぶ内容を題材にして教材を開発している。
図 1.4 昨年の学習プログラムのテーマ
（※文責: 西山あかり）
1.2
現状における問題点
背景でも述べたように、
「理数離れ」に対して文部科学省を始め、国をあげて「科学の甲子園」や
「スーパーサイエンスハイスクール」といった様々な対策を行なっているが、決定的な解決策には
Group Report of 2012 SISP
-3-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
至っていない。
現在の学校教育の問題点の一つとして、単元毎の学習に生徒の学習意欲が集中している状況が見
受けられる。その結果、知識が分断され、各知識が孤立し、体系的な知識の獲得が難しくなってい
ることが挙げられる。本学においてもこのような現象が起こっており、二項展開や組み合わせ等の
高校数学の内容で学年を横断した問題に対し、新入生のほとんどが対応できず、正答率が 2 割以下
であることが確認されている [6]。
もう一つの問題点は地域差である。地域による学習や教育の差が浮き彫りになっている。ひとり
ひとりの学習に違いがあり、個人差が存在するように、地域による学習や教育への取り組みが異な
る。学習指導要領等日本全国で統一された教育方針であっても取り組む体制やそれぞれが置かれて
いる環境によって効果は異なる。また、背景でも述べた通り、北海道は全国的に見ても平均を下回
る結果となっており、同じ北海道の中でも渡島・檜山では結果が芳しくない。こうしたより小さな
規模の地域でも学習に対する地域差があることが判明している。
図 1.5
「理数離れ」の現状についてのインタビュー調査
（※文責: 成澤美耶）
1.3
課題の概要
1.2 節で示した問題の原因は、大学入学以前に問題があると考えられる。そこで中学、高校の数
学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C の教科書、本学で使用される数学の教科書と学習指
導要領 [7][8] を分析した。分析から中学、高校、大学と学年を横断し、単元毎の学習に集中し、知
識が分断されているということが判明した。その中でも二項展開は横断している学年の幅が広い。
二項展開の最初にあたる n = 2 の時の n = 2 の時の 2 乗の展開式を中学 3 年生で、n = 3 の時
の 3 乗の展開式を高校 1 年生の数学 I で、組み合わせと二項定理を高校 1 年生の数学 A で、高校
2 年生の数学 B でシグマ記号を学習する。しかしシグマ記号を学習後に再度二項定理を学習する
ことはなく、大学で二項展開を学習する。こうした二項定理はシグマを用いない表記であるのに対
し、二項展開はシグマを用いるという表記の違い、中学 3 年生から大学 1 年という関連学習学年が
広いという学年間や単元間のつながりが薄いということが判明した。
本グループではつながりをキーワードに、学年間や単元間で分断された知識を束ねる力を養成す
ることで学習意欲の向上につなげる学習プログラムの提案を行うことにした。背景でも述べたよ
Group Report of 2012 SISP
-4-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
うに、学習や教育に対する地域差がある。抽象的な問題に挑むのではなく、地域を限定することに
よって、具体的な事例から解決策を導くということから、対象は高校生と未来大生とした。また、
現在の学校教育とは異なる学習プログラムの構成となるため、学習プログラムを学校の授業から離
れた高大連携教育や学内還元、自学自習の場で実現可能な形を提案する。
（※文責: 西山あかり）
Group Report of 2012 SISP
-5-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
第 2 章 到達目標
本プロジェクトにおける目的
2.1
背景でも述べたように、「理数離れ」は深刻な問題となっているが、決定的な解決策に至ってい
ない。原因の一つとして、単元毎の学習に生徒の学習意欲が集中しているために、知識が分断し、
体系的な知識の獲得がなされていないことが挙げられる。また学習に対する地域差も大きな要因と
して存在する。
そこで本グループではつながりをキーワードに、学年間や単元間で分断された知識を束ねる力を
養成することで、学習意欲の向上につなげる。そのために学習者が自ら分断された知識を束ねる力
を養成する学習プログラムの提案を行う。その際学習プログラムは、学習者が自ら分断された知
識を束ねることで知識を体系的に使えることに気づいてもらえるようになっていることが重要で
ある。
本グループの目的は、高校生や未来大生に対し、授業から離れた学習プログラムの提案をであ
る。授業から離れたとは学校の授業という枠にはまらない高大連携教育や学内還元、自学自習の場
を示す。今回、高校生や未来大生に二項展開を介した総合型数学学習を提案する。
二項展開を介した総合型数学学習の学習プログラムは「可視化による助け」、「一般化へのステッ
プアップ」
、
「類似性と規則性の発見」で構成され、授業とは異なる内容構成となっている。到達目
標は、この学習プログラムを通じ、生徒または学生が分断された知識を再構成し、束ねて使うこと
で学習意欲が向上するである。
（※文責: 今田敬之）
2.2
具体的な手順・課題設定
2.2.1
前期の活動について
1. 現状分析
課題：中学校から大学までで使用する教科書や旧学習指導要領と新学習指導要領を比較する
ことで、学年間や単元間で分断された知識の例を発見することを課題とした。
2. 題材の決定
課題：本グループでは、生徒または学生が知識を束ねて体系的に使うことができる学習プロ
グラムを作成する。学習指導要領にとらわれず、知識を束ねて体系的に使え、学習意欲の向
上につながる効果的な題材をあげることを課題とした。
3. 対象学年の決定
課題：題材の内容から考えられる対象が中学 3 年生から大学生であるため、より本プログラ
ムが適切である学年の設定を課題とした。
Group Report of 2012 SISP
-6-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
4. 方法の決定
課題：各対象毎に本プログラムにおいて柱となる方法を挙げることを課題とした。
5. 中間発表
課題：傍聴者に対して、学習プログラムが理解されやすいように発表することを課題とした。
（※文責: 今田敬之）
2.2.2
後期の活動について
1. 対象学年の決定
課題：題材の内容から考えられる対象が中学 3 年生から大学生であるため、より本プログラ
ムが目的に適切する学年の設定を課題とした。
2. 方法の決定
課題：各対象毎に本プログラムにおいて柱となる方法を挙げることを課題とした。
3. 教材の作成・教材のデザイン
課題：本プログラムにおける知識を束ねて体系的に使えるという目的に適した方法を用いて
教材をデザインし、表現方法に工夫をこらした教材を作成することを課題とした。
4. 高大連携の実施
課題：学習プログラムの「可視化による助け」を市立函館高校 1 年生に実施し、学習プログ
ラムの有用性が期待できるかを検証することを課題とした。
5. 最終発表
課題：中間発表と同様に理解されやすいように発表する他に、本プロジェクト全体の目的、
グループの目的を見失わずに質問の回答をすることを課題とした。
（※文責: 今田敬之）
2.3
課題の割り当て
各人の得意分野及び関連性を基準に以下のように割り当てた。
2.3.1
前期の課題の割り当て
• 湯川千聖 教科書分析、題材提案、全体の取りまとめ役
• 西山あかり 教科書分析、題材提案、報告書取りまとめ
• 今田敬之 教科書分析、題材提案、中間発表
Group Report of 2012 SISP
-7-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
• 伊藤直輝 教科書分析、題材提案、中間発表
• 成澤美耶 教科書分析、題材提案、ポスター・ロゴ制作
• 水無真理子 教科書分析、題材提案、文献調査
（※文責: 今田敬之）
2.3.2
後期の課題の割り当て
• 湯川千聖 模型とワークシート作成、最終発表、全体の取りまとめ役
• 西山あかり ディジタル教材作成、最終発表、報告書取りまとめ
• 今田敬之 模型とワークシート作成、文献調査
• 伊藤直輝 模型とワークシート作成、最終発表
• 成澤美耶 ディジタル教材作成、最終発表、ポスター制作
• 水無真理子 ディジタル教材作成、最終発表
（※文責: 今田敬之）
Group Report of 2012 SISP
-8-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
第3章
課題解決のプロセスの概要
今期のプロジェクト学習において本グループは、分断された知識を束ねる力を養成するために、
授業から離れた学習プログラムの提案を課題とした。
3.1
前期の活動について
• 現状の分析
題材を選定するため、中学と高校、大学の教科書分析を行った。使用した教科書は中学 1
年、中学 2 年、中学 3 年、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学
で使用する微分の教科書であった。新旧指導要領の比較では、変更点を重点において比較し
た。当初は身近に存在する数学から学習意欲の向上を図ることを目的としていたが、内容が
とても薄くなってしまった。その結果、昨年のプロジェクトと同様に、知識を分断して学習
している単元をまとめることにより、学習意欲の向上を図ることになった。分析した結果、
知識を分断して学習している例をいくつか見つけることができた。
• 題材の決定
身近に存在する数学の例として、メンバーと意見を出し合った結果、曲線をテーマに本プロ
ジェクトを遂行することに決定した。身近には様々な曲線が存在しており、高校３年生でも
習うことから決定したのだが、本プロジェクトの目的とずれており、尚且つ教材などの作成
は困難と判断し、もう一度分析からやり直してテーマの選定を行った。もう一度分析した際
に、知識が分断されて学習されている単元を発見した。知識を分断して学習している例を幾
つか発見したが、その中でも高校 1 年生と大学初年で二項展開に表記の違いがあることに
着目した。高校 1 年生の数 A で二項定理は中略を用いた表記、大学初年の解析学での二項
展開ではシグマ記号を用いた表記である。また、(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 は中学 3 年生、
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 は高校 1 年生の数学 I で扱う。このことから、二項展開に
関連した範囲が学年を横断して教育されていることを発見した。従って、二項展開を選定し
た。
• 対象学年の決定
学習プログラムの内容に適した対象を中学生から大学生の中から決めることとした。
• 方法の決定
二項展開を理解する学習プログラムとして、
「可視化による助け」
、
「一般化へのステップアッ
プ」
、
「類似性と規則性の発見」の 3 項目から構成することとした。「可視化による助け」は、
(a + b)2 、(a + b)3 を面積、体積を用いて可視化し、係数のつき方の理解を促す内容とした。
「一般化へのステップアップ」では、図形から式を導くことにより、4 乗以降の展開式を導け
るようになるための内容とした。「類似性と規則性の発見」では、類似性や規則性を発見し、
組み合わせや階乗を理解することで高次元の展開式や n 乗の展開式を導くことができるよ
うになるための内容とした。
Group Report of 2012 SISP
-9-
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
• 中間発表
学習プログラムの内容が傍聴者に伝わるよう、スライドの作成、発表練習を徹底した。
（※文責: 水無真理子）
3.2
後期の活動について
• 対象学年の決定
二項展開は、高校 1 年生の数 A で二項定理と組み合わせ、高校 2 年生の数 B でシグマ記号、
大学初年の解析学ではシグマ記号を用いた二項展開を学習している。さらに、(a + b)n の
n = 2 の展開は中学 3 年生、n = 3 は高校 1 年生で扱われている。このことから対象ユーザ
を、二項展開の理解に必要な単元を分断して学習している高校生と未来大生とした。
• 方法の決定
学習プログラムを実施する方法として、2 種類用意した。1 つ目は模型とワークシートを用
いた教材である。(a + b)2 、(a + b)3 を模型として可視化し、ワークシートと並行して用い
ることで理解を促した。2 つ目はブラウザを用いたディジタル教材である。ブラウザを用い
ることで、場所や時間を選ばず学習できる。また、色の変化や図形の動き、アニメーション
などによって理解を深める事ができる。
• 教材の作成・教材のデザイン
模型とワークシートを用いた教材では、模型は面積、体積が同じ図形は同じ色にすることで
分かりやすくした。ワークシートは TeX と Illustrater を用いた。ブラウザを用いたディジ
タル教材では、授業から離れた高大連携教育や学内還元、自学自習の場での学習プログラム
の教材の提案を目的としている。そのため、時間や場所などの学習環境を選ばず使用する
ことができ、JavaScript や Processing などを組み込むことで表現が多様であることから、
HTML をベースとして作成した。
• 高大連携の実施
市立函館高校 1 年生が本グループのプロジェクト活動を見学に来た際、模型とワークシート
を用いた教材の一部である「可視化による助け」を実施した。高校 1 年生に対して、既習事
項にも関わらず興味や驚きを引き出すことができた。また、数式で考えるよりも分かりやす
いというコメントから可視化による有用性が期待できる。その結果を基に、教材やプログラ
ム内容の改良に務めた。
• 最終発表
プロジェクトでの活動を振り返り、目的や意義をグループ内で再確認しながら、スライドの
作成、発表練習、質疑応答対策を行い、傍聴者に目的から提案の具体的な内容までを理解し
て貰えるような発表を心掛けた。
Group Report of 2012 SISP
- 10 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 3.1
体験した市立函館高校 1 年生 10 名
（※文責: 水無真理子）
Group Report of 2012 SISP
- 11 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
第 4 章 課題解決のプロセスの詳細
学習指導要領に囚われない学校の授業から離れた学習プログラムを提案するという本グループの
課題を達成するため、各人は詳細にどのような課題を担当し、どう解決したのかをいかに記す。
4.1
各人の課題の概要とプロジェクト内における位置づけ
湯川千聖の担当課題は以下のとおりである。
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成
10 月 模型作成、高大連携、教材の選定
11 月 模型作成、ワークシート作成
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成
西山あかりの担当課題は以下のとおりである。
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成
10 月 高大連携、教材の選定
11 月 プログラミング
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成
今田敬之の担当課題は以下のとおりである。
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成
10 月 模型作成、高大連携、教材の選定
11 月 模型作成、ワークシート作成
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成
伊藤直輝の担当課題は以下のとおりである。
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成
10 月 模型作成、高大連携、教材の選定
11 月 模型作成、ワークシート作成
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成
成澤美耶の担当課題は以下のとおりである。
Group Report of 2012 SISP
- 12 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め、プロジェクトのロゴ作成
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成、ポスター作成
10 月 高大連携、教材の選定
11 月 プログラミング
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成、ポスター作成
水無真理子の担当課題は以下のとおりである。
5月
教材作成のための題材探し、中・高・大の教科書分析、新旧指導要領の比較
6月
テーマの選定、プログラムの構成決め
7月
中間発表の準備、中間報告書の作成
10 月 高大連携、教材の選定
11 月 プログラミング
12 月 最終発表の準備、最終報告書の作成
（※文責: 伊藤直輝）
担当課題解決過程の詳細
4.2
4.2.1
5月
湯川千聖
まずプロジェクトのテーマ探しをするため、高校生のときにつまずいた分野を取り上げた。
報告者は逆関数と数列をテーマとして取り上げた。グループ内で各自取り上げた分野につい
て話し合いをした。話し合いの中で各自嫌いな分野などまとめ上げ、数個にテーマを絞った
がほかにも考えられるテーマがあるのではないかとこの作業を繰り返した。このプロジェク
トを遂行していき、学習プログラムを作成していく上で、テーマは対象者が興味を惹かれる
ものを選定する必要があると考えたため慎重にテーマ選定を行った。2 回目のテーマ探しで
は報告者は相似、微積、複素数 (オイラーの定理)、等差数列、確率とテーマとして挙げた。
その理由として相似は地図の拡大縮小、微積は燃費の距離の計測、複素数 (オイラーの定理)
は波を記述するのに利用また振動現象、流体や天気に関係している。また等差数列は魔法
陣、確率は正多面体のぬりかけなどそれぞれ上げられた。
図 4.1
Group Report of 2012 SISP
学習プログラムのテーマ選定
- 13 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
また数学教育とは何か、現実問題とのつながり、教科書の悪いところ、数学だけではなく物
理や歴史など関わっているものを調べ上げるなどグループ内で話し合った。この話し合いで
多数のテーマが挙げられたため、そこから数個に絞り、絞ったテーマを教科書のカリキュラ
ムと比較した。このとき使用した教科書は中学 1 年生、中学 2 年生、中学 3 年生の数学の教
科書、数学 I、数学 II、数学 III の教科書、本学で使用する教科書を用いた。そしてどこにど
のような知識が使われているか、どの知識を持っていればどこまでのことが理解できるか、
といった点に注意しながら分析を行った。そしてこの作業を何回か行った結果、テーマを曲
線に決定した。グループ内で曲線の知識をどの程度知っているか、理解しているかを問題を
実際に解き、話し合い知識を共有した。問題に対して小学生、中学生、高校生、大学生それ
ぞれ持っている知識が違う生徒の目線になって考えてみた。数学の問題は解法が 1 つしかな
い訳ではないため解法を複数考えた。
図 4.2
6月
グループメンバーと共同分析
5 月に引き続き曲線の問題を解いた。その問題に対してどの知識が必要とされているか、ま
たどのように解けばいいのかなどを考えた。そしてそれと並行して、どのような形で対象者
に教えるか等を話し合った。この話し合いでグループワーク型、誘導型の二つが決まった。
次に対象者を決めることとした。プロジェクトのテーマが「地域に根ざした数理科学教育」
であるので対象者を未来大一年生とした。そこで未来大生と曲線の接点を探した。講義との
関わりを細かく分析した。多人数ならではの教育、グループワーク型となった。個人作業と
グループワークの利点、欠点を考えた。双方とも利点、欠点をたくさん挙げられたが後者の
ほうが集中力、コミュニケーション等がこのプロジェクト以外でも役に立つと考え、グルー
プワークで行う総合授業型の授業形態と結論を出した。
その後、教材を作るための目的、提案、今後の展開、活動計画、教材の内容、教材の媒体等
を話し合った。だが話し合った内容があいまいなところが多々あり、いままで考えてきた内
容を白紙に戻した。プロジェクトの基本的なことをもう一度考え直した。そしてテーマを変
えて再び活動した。5 月に行ったテーマ探しから取り組み、テーマを複数個用意して教科書
分析を同時進行で行った。そしてグループのテーマを二項展開とした。二項展開は中学 3 年
生から高校生、大学生まで関わっている分野であるのでこれに決めた。二項展開の知識をつ
けるために何を学習すればよいか教科書分析した。教材の内容、流れなど具体的に考えた。
Group Report of 2012 SISP
- 14 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.3
7月
問題を解きながらのグループディスカッション
対象を中学生とした。テーマは決定したが構成やストーリー展開が決定していなかったため
具体的な構成についての議論を行った。まずは数学で現れる数字や記号が苦手な人に 2 乗や
3 乗を図形に表し可視化して数学に興味を持ってもらうこととした。4 乗以降は図形という
形にできないため後に考えることとした。次に二項展開で用いられるシグマ記号をこのまま
使用するか、別の形でシグマ記号を表すか議論した。シグマ記号を用いる前の段階の理解が
重要となるため、今回はシグマ記号を用いる前までを扱うこととした。ひとまず、これまで
話し合った経緯をまとめた。なぜ二項展開をテーマとして選んだのか。これは 2 乗は中学 3
年生、3 乗は高校 1 年生で学習するため、学年間のつながりが希薄だと感じたからである。
そして分配法則は中学 1 年生で学習しているのでまとめて教育出ると判断したからである。
このことから対象者を中学 3 年生とした。プログラムの内容として 2 乗、3 乗を図形を用い
て展開を根本的に学習してもらこととした。4 乗以降は現実で可視化不可能であるので、パ
スカルの三角形を利用し係数の決め方や 4 乗以降の図示化することとした。
目標を学年間のつながりを意識し、知識を束ねて使う学習プログラムとした。そして双方向
のつながりの強化、数学に対する苦手意識を減らすとした。この双方向とは小学校から大学
までの学習を一方通行ではなく大学で学んだことを分解していき、高校や中学校、小学校ま
での知識とつながっているこいうことである。背景や目的は昨年のプロジェクト学習とあま
り変化がなかったため、昨年度と同様にした。中間発表の前にプロジェクト内全体で内部発
表を行った。そこで指摘されたことがいくつかあった。分散型とは何か、つながりを意識し
てもらう理由、二項展開の教材を毛提案するまでのプロセス、数学が苦手な人と割と好きな
人にどうなってほしいかなどいくつか挙げられた。数学が苦手だということは数字や文字の
多さで苦手になる原因と考え図形という形で可視化することにより隔たりをなくし減らすこ
ととした。そして数学が割と好きである人に対して、可視化することで新しい発見や知識の
深まりを増やしてもらうこととした。以上のことをふまえて新たにスライド作成を行った。
また、中間発表の後は TeX を用いて中間報告書の作成も行った。
10 月 10 月の初頭に行われる高大連携に参加することとなり、急いで教材内容を考えた。内容
を 3 つに分け、それぞれ役目を持たせた。「可視化による助け」、「一般化へのステップアッ
プ」、
「類似性と規則性の発見」の 3 つである。作成にあたって、教材方法を 2 種類用意し、
グループ内も方法 1 をアナログ班、方法 2 をディジタル班として分けた。方法 1 は模型と
ワークシートを用いた教材である。方法 2 はブラウザを用いたディジタル教材である。これ
Group Report of 2012 SISP
- 15 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
は学習プログラムがより効果を上げる方法を探るためである。「可視化による助け」は視覚
的にもわかりやすいように模型を作ることとした。この模型とは 2 乗を平面の面積、1 乗を
立体の体積と仮定している。高大連携ではこの作成した模型を使い 2 乗、3 乗の係数のつき
方について説明した。「一般化へのステップアップ」は「可視化による助け」で考えたこと
をワークシートに穴埋めという形で記載し対象者が自ら理解し式にできるような形にするこ
ととした。「類似性と規則性の発見」は組み合わせ、並びかえ、階乗の知識を取り入れ係数
のつき方の概念を学習できるような形にすることとした。そしてどんな大きな乗数の値が来
ても計算可能になるようなプログラムの提案をした。
ここで決まっていなかった対象者を中学 3 年生とした。これは高校 1 年生で学習する二項
定理の導入部分につながっていることから、対象者を決めた。10 月は主に「可視化による助
け」の模型と「可視化による助け」、「一般化へのステップアップ」のワークシート作りをし
た。報告者は「可視化による助け」の模型作成と文章作りを担当した。模型の素材を貼りパ
ネとしてミリ単位で綺麗に作成した。文章を考えるのは個人作業であったのでとても苦労し
た。2 乗は対象者には既習事項となるが同じ面積の置き方に注目した書き方に工夫を凝らし
た。同様に 3 乗の文章も同じ体積の置き形着目した書き方を工夫した。ワークシートを作成
し、担当教員に提出した。その後担当教員のアドバイスを参考にメンバー で再度話し合っ
て修正した。
図 4.4 模型の作成
11 月 10 月に引き続きワークシートを作成した。11 月は主に「類似性と規則性の発見」のワーク
シート作りをした。これは 3 乗や 4 乗、それ以上の乗数を対象にした内容である。できた
ワークシートを担当教員に提出しては訂正する箇所を指導してくださり、それに基づいて改
良をするといった繰り返しが何度か続いた。二項展開の公式をいきなり入れ、対象者に使わ
せる形にしていたが、これを指摘され、組み合わせの知識を学ばせることとした。これには
長さと色が違う辺を使い、組み合わせの知識のない対象者が学習できるよう工夫した。また
違う視点から見て、もっと楽に求めれる方法を学習させるようにした。これには区切られた
箱に先ほど使った辺を入れて階乗の考え方を編み出すといった方法である。そして二項展開
の公式へと導けるよう努力した。そして対象者が 1 人でも二項展開を理解できるよう、穴埋
めの形にして二項展開の公式を埋めれるようにした。
これまでは 3 乗、4 乗の話であったがこれを応用して 50 乗や 100 乗といった大きな乗数の
値になっても計算できるように工夫した。これも同様に穴埋め形式にして対象者が自分で学
Group Report of 2012 SISP
- 16 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
習できるようにした。
最終発表に向けて一番初めのスライド作り、改良した後のスライドの修正、練習を報告者が
担当した。すぐにスライド作りの作業に取り掛かったが、不慣れのためとても不完成なスラ
イドを作り上げた。アナログ班のほかのメンバーが各自分担された課題を早めに終わらせ、
添削してもらい改良した。最終発表前に中間発表と同様にプロジェクト全体で内部発表をし
た。このとき、対象者を「高校生に幅を広げてみては」という意見をいただき、そして本プ
ロジェクトのテーマである「地域に根ざした」を組み合わせ、未来大学を志望している高校
生と本学の学生に変更した。本学 1 年次必修「解析学」の冒頭で学ぶ二項展開の定期試験
の正答率が悪く習熟度が悪いことがわかっている。対象者を変えたのもこれが明らかになっ
たからである。そして二項展開で必要な知識を中学 3 年生から高校 2 年生にまでまたがっ
ており、単元間、学年間を分断して学習しているため、本プロジェクトの目標と合致してい
る。以上を、対象者を変更した理由である。
12 月 11 月に引き続き最終発表のスライド作りを担当した。内部発表のときに最終発表用の発表
練習も行った。そして先生やメンバーからアドバイスをもらった。発表スライドを作成する
ためメンバー全員で意義や目的、目標などの再度確認をした。発表スライド内容は成るべく
文字を減らし、かつ見ている人にもわかりやすいように工夫した。またどのように発表した
ら伝わりやすい発表になるか考え実践した。重要なことは色を変えて表現した。また、最終
発表の後は TeX を用いて最終報告書の作成も行った。
図 4.5
最終発表
（※文責: 湯川千聖）
4.2.2
5月
西山あかり
今年度の本グループにおけるテーマを決定するために、各自小学校から、中学、高校、大学
と幅広くテーマを探した。その中で報告者は、自分自身が苦手だったことやこれまでの経験
からテーマとなり得そうな単元や分野を調査した。その際、数学教育とは何か、なぜ苦手と
していたのか、現象との関連、物理や歴史等幅広く題材を挙げること心がけた。
また、提案する学習プログラムの題材を選ぶため、中学数学、数学 I、数学 II、数学 III、数
Group Report of 2012 SISP
- 17 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
学 A、数学 B、数学 C、本学で使用する数学の教科書分析と新旧学習指導要領の比較を行っ
た。教科書分析を行ったことで各単元の関係性が明らかになった。このことを踏まえなが
ら、各々が苦手としているところや興味のあることに注目し題材を挙げた。挙げた題材につ
いて本グループ内で吟味した。こうした調査や議論からテーマを曲線とした。グループ内で
曲線に関する知識を確認したり、各々の経験から問題点を類推したり、実際に問題を解き、
曲線と理数離れの関係性を深く追った。教科書を分析する技術、文献を調べる技術を身につ
けた。
6月
5 月に引き続き、曲線に関する問題を解いた。別解を考える、学習プログラムにグループ
ワークを取り入れるといったことが話し合いの中で挙げられ、それらの必要性やプロジェク
トの位置づけとの整合性について話し合った。プロジェクトやグループの目的や存在意義、
今後の方針、具体的な内容についてをより考えるにあたり、曲線というテーマとプロジェク
トやグループでの目的との関係性にゆらぎが生じた。そこでプロジェクトやグループの活動
意義、目的を 1 つずつ確認し、曖昧となっていた部分を話し合った結果、整合性がとれてい
ないという見解に至った。そのため、テーマを変更して取り組むこととなった。
新たにテーマを決定するにあたり、これまでに挙げた題材の中から話し合いを重ねた結果、
「二項展開」を取り上げることに決定した。「二項展開」に関連する単元や項目を重点に置
き、更に分析を行い、先生へのヒアリングも行った。そこから中学 3 年から数 I、数 A、数
B、大学と関連する単元が学年を横断して学習しているだけでなく、シグマ記号を用いての
表記の違いがあるということもわかった。また、未来大においては入学初年に二項展開を学
習するが、定期試験における関連問題の正答率が 2 割以下、満点での回答者がいないという
習熟度が悪い結果が出ている。こうしたことから分断された知識を束ねる力の養成を行う必
要性を感じ、テーマとして決定した。
図 4.6
Group Report of 2012 SISP
プログラムの内容の話し合い
- 18 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
分析から既存の題材の構成での欠点が明らかにし、その点の改善を含めた採光性の必要性を
発見した。そこで学習プログラムは「可視化による助け」、「一般化へのステップアップ」、
「類似性と規則性の発見」という構成で提案することとした。「可視化による助け」では式を
図形で表すことで、係数のつき方の理解を促す内容とした。「一般化へのステップアップ」
では、図形から式を導くことにより、4 乗以降の図形で表すことができないものでも四季を
導くことができるような内容とした。「類似性と規則性の発見」では前項を踏まえ、n 次で
表される二項展開の公式までを導けるような内容とした。
7月
再決定したテーマである二項展開を介した総合型数学学習の提案を行うにあたり対象者を決
定することとした。二項展開に関する内容として中学 3 年で 2 乗の展開式を扱うことが更
なる調査で判明した。そこで二項展開学習の礎となる中学生を本グループが提案する学習プ
ログラムの対象に選定した。
中間発表の練習では、A グループと合同行った。聞き手にまわり、質問や意見を出し、発表
に向けて準備を進めた。また合同練習での意見や質問を真摯に受け止め、発表で傍聴者に対
して筋の通ったプレゼンが行えるよう話し合いに参加した。
グループ内での中間発表の準備と報告書の作成も行った。中間発表では前期の活動を振り返
り、本プロジェクトの意義と本グループの目的、今後の展望を話しあいながら再確認し、グ
ループ内で共有した。報告書の作成では取りまとめ役を担い、提出までの作業を円滑に行う
ためにスケジュール管理やデータの管理を行った。その際、TeX の使い方を身につけた。
図 4.7 TeX による報告書の取りまとめ
10 月 今までの話し合いを踏まえて、教材について話し合った。その結果、模型とワークシート
を用いた教材とブラウザを用いたディジタル教材となった。提案する学習プログラムの効果
をより上げる方法を探るために 2 種類用意した。教材の作成にあたり、グループを 2 つに
分けた。模型とワークシートを用いた教材の作成は伊藤、今田、湯川で、ブラウザを用いた
ディジタル教材の作成は、成澤、水無、西山となった。班内で学習プログラムの表現方法な
どを話し合い、模型とワークシートを用いた教材作成班と内容を共有し、整合性を確認し
た。高大連携教育や自学自習といった授業から離れた学習プログラムのため、場所や時間を
選ばない媒体ということは重要である。そこで HTML5 を基礎として、CSS や JavaScript、
Processing 等を用いて開発することを決定した。
Group Report of 2012 SISP
- 19 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
開発にあたり、学習プログラムを構成する 3 項目をそれぞれ担当した。報告者は「可視化
による助け」を担当した。「可視化による助け」では 2 乗や 3 乗の展開式を式ではなく、図
形で表すことができるという発見と図形を用いることによる式の理解を促すことが重要であ
る。そこで教材を使う学習者が図形で表すことができるという発見につながるよう教材での
説明の言い回しやストーリー展開を工夫し、目的を意識した教材開発を行った。学習プログ
ラムが一貫した内容となるために、各担当の内容がわかるような画面遷移図を作成し、確認
を行った。確認した後、画面遷移図を基に実装へと移った。
また高大連携では市立函館高校 1 年生 10 名に対して学習プログラムの「可視化による助け」
の実演をし、2 乗と 3 乗が図形として表現する事が出来るということを紹介した。生徒たち
は既に 3 乗の展開式は学習していたが、式を図形で表すことができることや図形の置き方
と係数のつき方の関係を説明すると興味を示しており、「数式よりも図形の方がわかりやす
い」という評価をいただいた。式を図形で表すという可視化による学習意欲の向上が期待で
きた。
11 月 担当する「可視化による助け」は図形の描画や回転といった動きや複雑なが必要となるた
め、実装を行う前に教材作成に必要な開発言語の学習を行った。画面遷移図をもとに、「可
視化による助け」の実装を行った。2 乗の展開式は table タグと背景色の切り替えにより構
造を理解できるよう作成した。3 乗は図形で表すことができる発見や興味をひく場面、内容
を確認する場面等によってドラッグアンドドロップで図形を回転出来るような組み込み方や
一定時間毎に回転するような組み込み方にするといった工夫をした。また学習プログラムの
一貫性や整合性を保つために実装中も成澤、水無と確認や議論を重ね、その内容が反映でき
るよう心掛けた。報告者は HTML を始め、Processing や JavaScript の知識を身につけた。
10 月に行った高大連携後、対象が適切であるかグループ内で議論した。高大連携での実施、
未来大生への習熟度の悪さ、単元間・学年間を分断して学習していることから、高校生と未
来大生が対象として適切であるという結果となった。
12 月 最終発表の準備と報告書の作成を行った。メンバー全員で意義や目的を再確認し、発表で
は要点をおさえながら練習を行い、発表練習を重ねスライドに修正を加えながら発表の質を
高めた。
報告書では限られた時間を有効活用し、滞り無く作業を進められるようにスケジュール管理
を行った。各自で添削を行うだけでは文章の隅々まで確認することができず、内容も整合性
がとれていない報告書となってしまう。そこで質の高い報告書とするためにグループ内でペ
アを組んで添削を行い、細かな指摘まで行えるような体制を整えた。添削も発表と同様にグ
ループ内で活動を振り返りながら作業を行えた。
（※文責: 西山あかり）
4.2.3
5月
今田敬之
まずプロジェクトのテーマ探しをするため、高校生のときにつまずいた分野を取り上げた。
報告者は逆関数と数列をテーマとして取り上げた。グループ内で各自取り上げた分野につい
Group Report of 2012 SISP
- 20 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.8
担当した「可視化による助け」のスクリーンショット
図 4.9
最終発表
て話し合いをした。話し合いの中で各自嫌いな分野などまとめ上げ、数個にテーマを絞った
がほかにも考えられるテーマがあるのではないかとこの作業を繰り返した。このプロジェク
トを遂行していき、学習プログラムを作成していく上で、テーマは対象者が興味を惹かれる
ものを選定する必要があると考えたため慎重にテーマ選定を行った。2 回目のテーマ探しで
は報告者は相似、微積、複素数 (オイラーの定理)、等差数列、確率とテーマとして挙げた。
その理由として相似は地図の拡大縮小、微積は燃費の距離の計測、複素数 (オイラーの定理)
は波を記述するのに利用また振動現象、流体や天気に関係している。また等差数列は魔法
陣、確率は正多面体のぬりかけなどそれぞれ上げられた。また数学教育とは何か、現実問題
とのつながり、教科書の悪いところ、数学だけではなく物理や歴史など関わっているものを
調べ上げるなどグループ内で話し合った。この話し合いで多数のテーマが挙げられたため、
そこから数個に絞り、絞ったテーマを教科書のカリキュラムと比較した。このとき使用した
教科書は中学 1 年生、中学 2 年生、中学 3 年生の数学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数
学 A、数学 B、数学 C、本学で使用する教科書を用いた。そしてどこにどのような知識が使
Group Report of 2012 SISP
- 21 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
われているか、どの知識を持っていればどこまでのことが理解できるか、といった点に注意
しながら分析を行った。
そしてこの作業を何回か行った結果、テーマを曲線に決定した。グループ内で曲線の知識を
どの程度知っているか、理解しているかを問題を実際に解き、話し合い知識を共有した。問
題に対して小学生、中学生、高校生、大学生それぞれ持っている知識が違う生徒の目線に
なって考えてみた。数学の問題は解法が 1 つしかない訳ではないため解法を複数考えた。
図 4.10
6月
分析に使用した教科書
5 月に引き続き曲線の問題を解いた。その問題に対してどの知識が必要とされているか、ま
たどのように解けばいいのかなどを考えた。そしてそれと並行して、どのような形で対象者
に教えるか等を話し合った。この話し合いでグループワーク型、誘導型の二つが決まった。
次に対象者を決めることとした。プロジェクトのテーマが「地域に根ざした数理科学教育」
であるので対象者を未来大一年生とした。そこで未来大生と曲線の接点を探した。講義との
関わりを細かく分析した。多人数ならではの教育、グループワーク型となった。個人作業と
グループワークの利点、欠点を考えた。双方とも利点、欠点をたくさん挙げられたが後者の
ほうが集中力、コミュニケーション等がこのプロジェクト以外でも役に立つと考え、グルー
プワークで行う総合授業型の授業形態と結論を出した。
その後、教材を作るための目的、提案、今後の展開、活動計画、教材の内容、教材の媒体等
を話し合った。だが話し合った内容があいまいなところが多々あり、いままで考えてきた内
容を白紙に戻した。プロジェクトの基本的なことをもう一度考え直した。そしてテーマを変
えて再び活動した。5 月に行ったテーマ探しから取り組み、テーマを複数個用意して教科書
分析を同時進行で行った。そしてグループのテーマを二項展開とした。二項展開は中学 3 年
生から高校生、大学生まで関わっている分野であるのでこれに決めた。二項展開の知識をつ
けるために何を学習すればよいか教科書分析した。教材の内容、流れなど具体的に考えた。
7月
対象を中学生とした。テーマは決定したが構成やストーリー展開が決定していなかったため
具体的な構成についての議論を行った。まずは数学で現れる数字や記号が苦手な人に 2 乗や
3 乗を図形に表し可視化して数学に興味を持ってもらうこととした。4 乗以降は図形という
形にできないため後に考えることとした。次に二項展開で用いられるシグマ記号をこのまま
使用するか、別の形でシグマ記号を表すか議論した。シグマ記号を用いる前の段階の理解が
重要となるため、今回はシグマ記号を用いる前までを扱うこととした。ひとまず、これまで
Group Report of 2012 SISP
- 22 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
話し合った経緯をまとめた。なぜ二項展開をテーマとして選んだのか。これは 2 乗は中学 3
年生、3 乗は高校 1 年生で学習するため、学年間のつながりが希薄だと感じたからである。
そして分配法則は中学 1 年生で学習しているのでまとめて教育出ると判断したからである。
このことから対象者を中学 3 年生とした。プログラムの内容として 2 乗、3 乗を図形を用い
て展開を根本的に学習してもらこととした。4 乗以降は現実で可視化不可能であるので、パ
スカルの三角形を利用し係数の決め方や 4 乗以降の図示化することとした。
目標を学年間のつながりを意識し、知識を束ねて使う学習プログラムとした。そして双方向
のつながりの強化、数学に対する苦手意識を減らすとした。この双方向とは小学校から大学
までの学習を一方通行ではなく大学で学んだことを分解していき、高校や中学校、小学校ま
での知識とつながっているこいうことである。背景や目的は昨年のプロジェクト学習とあま
り変化がなかったため、昨年度と同様にした。
中間発表の前にプロジェクト内全体で内部発表を行った。そこで指摘されたことがいくつか
あった。分散型とは何か、つながりを意識してもらう理由、二項展開の教材を毛提案するま
でのプロセス、数学が苦手な人と割と好きな人にどうなってほしいかなどいくつか挙げられ
た。数学が苦手だということは数字や文字の多さで苦手になる原因と考え図形という形で可
視化することにより隔たりをなくし減らすこととした。そして数学が割と好きである人に対
して、可視化することで新しい発見や知識の深まりを増やしてもらうこととした。以上のこ
とをふまえて新たにスライド作成を行った。また、中間発表の後は TeX を用いて中間報告
書の作成も行った。
図 4.11 中間発表前の練習による確認
図 4.12 中間発表
Group Report of 2012 SISP
- 23 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
10 月 10 月の初頭に行われる高大連携に参加することとなり、急いで教材内容を考えた。内容
を 3 つに分け、それぞれ役目を持たせた。「可視化による助け」、「一般化へのステップアッ
プ」、
「類似性と規則性の発見」の 3 つである。作成にあたって、教材方法を 2 種類用意し、
グループ内も方法 1 をアナログ班、方法 2 をディジタル班として分けた。方法 1 は模型と
ワークシートを用いた教材である。方法 2 はブラウザを用いたディジタル教材である。これ
は学習プログラムがより効果を上げる方法を探るためである。
「可視化による助け」は視覚的にもわかりやすいように模型を作ることとした。この模型と
は 2 乗を平面の面積、1 乗を立体の体積と仮定している。高大連携ではこの作成した模型を
使い 2 乗、3 乗の係数のつき方について説明した。「一般化へのステップアップ」は「可視
化による助け」で考えたことをワークシートに穴埋めという形で記載し対象者が自ら理解し
式にできるような形にすることとした。「類似性と規則性の発見」は組み合わせ、並びかえ、
階乗の知識を取り入れ係数のつき方の概念を学習できるような形にすることとした。そして
どんな大きな乗数の値が来ても計算可能になるようなプログラムの提案をした。
ここで決まっていなかった対象者を中学 3 年生とした。これは高校 1 年生で学習する二項
定理の導入部分につながっていることから、対象者を決めた。10 月は主に「可視化による助
け」の模型と「可視化による助け」、「一般化へのステップアップ」のワークシート作りをし
た。報告者は「可視化による助け」の模型作成と文章作りを担当した。模型の素材を貼りパ
ネとしてミリ単位で綺麗に作成した。文章を考えるのは個人作業であったのでとても苦労し
た。2 乗は対象者には既習事項となるが同じ面積の置き方に注目した書き方に工夫を凝らし
た。同様に 3 乗の文章も同じ体積の置き形着目した書き方を工夫した。ワークシートを作成
し、担当教員に提出した。その後担当教員のアドバイスを参考にメンバーで再度話し合って
修正した。
図 4.13 高大連携でのプレゼンテータ
11 月 10 月に引き続きワークシートを作成した。11 月は主に「類似性と規則性の発見」のワーク
シート作りをした。これは 3 乗や 4 乗、それ以上の乗数を対象にした内容である。できた
ワークシートを担当教員に提出しては訂正する箇所を指導してくださり、それに基づいて改
良をするといった繰り返しが何度か続いた。二項展開の公式をいきなり入れ、対象者に使わ
せる形にしていたが、これを指摘され、組み合わせの知識を学ばせることとした。これには
長さと色が違う辺を使い、組み合わせの知識のない対象者が学習できるよう工夫した。また
違う視点から見て、もっと楽に求めれる方法を学習させるようにした。これには区切られた
Group Report of 2012 SISP
- 24 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
箱に先ほど使った辺を入れて階乗の考え方を編み出すといった方法である。そして二項展開
の公式へと導けるよう努力した。そして対象者が 1 人でも二項展開を理解できるよう、穴埋
めの形にして二項展開の公式を埋めれるようにした。これまでは 3 乗、4 乗の話であったが
これを応用して 50 乗や 100 乗といった大きな乗数の値になっても計算できるように工夫し
た。これも同様に穴埋め形式にして対象者が自分で学習できるようにした。
最終発表に向けて一番初めのスライド作り、改良した後のスライドの修正、練習を報告者が
担当した。すぐにスライド作りの作業に取り掛かったが、不慣れのためとても不完成なスラ
イドを作り上げた。アナログ班のほかのメンバーが各自分担された課題を早めに終わらせ、
添削してもらい改良した。最終発表前に中間発表と同様にプロジェクト全体で内部発表をし
た。このとき、対象者を「高校生に幅を広げてみては」という意見をいただき、そして本プ
ロジェクトのテーマである「地域に根ざした」を組み合わせ、未来大学を志望している高校
生と本学の学生に変更した。本学 1 年次必修「解析学」の冒頭で学ぶ二項展開の定期試験
の正答率が悪く習熟度が悪いことがわかっている。対象者を変えたのもこれが明らかになっ
たからである。そして二項展開で必要な知識を中学 3 年生から高校 2 年生にまでまたがっ
ており、単元間、学年間を分断して学習しているため、本プロジェクトの目標と合致してい
る。以上を、対象者を変更した理由である。
図 4.14 制作した模型とワークシートを用いた教材
12 月 11 月に引き続き最終発表のスライド作りを担当した。内部発表のときに最終発表用の発表
練習も行った。そして先生やメンバーからアドバイスをもらった。発表スライドを作成する
ためメンバー全員で意義や目的、目標などの再度確認をした。発表スライド内容は成るべく
文字を減らし、かつ見ている人にもわかりやすいように工夫した。またどのように発表した
ら伝わりやすい発表になるか考え実践した。重要なことは色を変えて表現した。また、最終
発表の後は TeX を用いて最終報告書の作成も行った。
（※文責: 今田敬之）
Group Report of 2012 SISP
- 25 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.15
4.2.4
5月
最終発表の聴講者
伊藤直輝
教育プログラムの作成にあたり題材を選定するために、中学 1 年、中学 2 年、中学 3 年、高
校の数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学で使用する微分の教科書分析と、新旧
指導要領の比較を行った。題材を選定するために、最初はメンバー各自が苦手としていると
ころや疑問に思っていることなどをいくつか挙げ、題材に適しているか話し合った。次に、
メンバー各自で面白いと思ったものや身近で使われている数学などをいくつか挙げた。その
中で報告者は、対数や確率、平方根と複素数などを挙げた。対数は株価の変動グラフに用い
られており、確率はじゃんけんなどに用いられている。話し合いの結果、題材を曲線にする
ことに決定した。メンバー全員で知識を共有するため、曲線について再度教科書分析を行っ
たり、実際に曲線の問題を解いたりした。問題を解く際には知識に制限をかけることによ
り、複数の解法で答えを導いた。その際、教科書を分析する技術や複数の解法で答えを導く
技術を身につけた。
図 4.16 ホワイトボードを用いた分析
Group Report of 2012 SISP
- 26 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
6月
5 月に引き続き、曲線についての問題を解いたり分析を行った。その中で、式を解いてグラ
フを描くという問題が多く、グラフを描けたときには達成感を得られるということがわかっ
た。そこで、複数の曲線を組み合わせて一つの絵になるという内容にすることにした。この
内容にすることにより、達成感を得られ学習意欲が向上するのではないかと考えた。さら
に、本プロジェクトのテーマが「地域に根ざした数理科学教育」であるため、未来大生を対
象にグループワーク形式で問題を解いてもらうことに決定した。グループワーク形式にする
ことは、学習意欲の向上の他に個人作業では身につくことのできないコミュニケーション能
力も養われると考えた。しかし、話し合いを進めていっても内容が固まらなかったため、題
材を再度選定することにした。その結果、題材を二項展開にすることに決定した。そこで、
二項展開についてさらに分析を行った。その際、二項展開の n = 2 のときの 2 乗の展開式を
中学 3 年で、n = 3 のときの 3 乗の展開式を高校 1 年の数学 I で、組み合わせと二項定理を
高校 1 年の数学 A で、シグマ記号を高校 2 年の数学 B で習っていることがわかった。さら
に、公立はこだて未来大学 1 年次の必修である解析学 I の冒頭で二項展開を習っているが、
定期試験の二項展開関連問題の正答率が 20 ％以下と習熟度が悪いこともわかった。これら
のことから、二項展開において学年間や単元間のつながりが薄く、本グループの目的である
分断された知識を束ねる力を養成プログラムとして最適であることを再認識した。
次に、プログラムを提案する際に 3 つの項目から構成することにした。1 つ目は「可視化に
よる助け」
、2 つ目は「一般化へのステップアップ」
、3 つ目は「類似性や規則性の発見」であ
る。「可視化による助け」では、二項展開の n = 2、n = 3 のときの 2 乗や 3 乗の展開式の
係数を面積や体積という図形を用いて目に見える形にする内容とした。「一般化へのステッ
プアップ」では、図形から式に戻すことにより、図形で表すことのできない 4 乗の展開式を
導けるようにする内容とした。「類似性や規則性の発見」では、上記の 2 項目から類似性や
規則性を見つけ出し、さらに組み合わせや階乗を教えることにより、高次元の展開式や n 乗
の展開式も導くことができる内容とした。
7月
中間発表の準備と中間報告書の作成を行った。中間発表の準備では、スライドに書く内容と
口頭で説明する内容をメンバー全員で話し合い決定した。また、報告者は発表者として発表
練習も行い、言葉遣いや発言する内容に気をつけた。中間報告書では、報告書内の言い回し
などをメンバー全員で統一し作成した。その際、発表時の言葉遣いや TeX の使い方を身に
つけた。
10 月 提案する学習プログラムの教材として、模型とワークシートを用いた教材とブラウザを用
いたディジタル教材の 2 種類を用意することにした。2 種類用意した理由は、提案する学習
プログラムがより効果を上げる方法を探るためである。報告者は模型とワークシートを用い
た教材を担当し、その中でも模型作りと「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則性の
発見」のワークシート作成を担当した。模型作りでは、2 乗と 3 乗の展開式をそれぞれ平面
体と立方体で作成した。立方体において、係数のつき方は模型の置き方によって決まるた
め、形が同じ模型は同じ色を用いて作成した。
高大連携として市立函館高校の 1 年生が本校を訪れた際に、10 名程度を対象に作成した模
型を用いて「可視化による助け」のみを実演した。この時、生徒たちはすでに 2 乗と 3 乗の
展開式を既習済みであったが、今まで式としてしか見ていなかったものを図形で表し、係数
について説明したところ驚き、興味を持ってもらえた。さらには、「数式だけで考えるより
Group Report of 2012 SISP
- 27 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.17 プロジェクト内合同の発表練習で指摘について確認する
図 4.18 要点をおさえること意識した発表
もわかりやすい」というコメントもいただき、式を図形という目に見える形にすることで、
可視化による学習意欲の向上が期待できた。
11 月 「一般化へのステップアップ」と「類似性と規則性の発見」のワークシートの作成を行った。
ワークシートの作成は Illustrater を用いて行った。「一般化へのステップアップ」では、平
面体や立方体をワークシートにも描くことにより模型がなくても学習できるようにした。ま
た、ワークシートに描いた図形は作成した模型と同じ配色にした。さらに、ワークシートを
穴埋め形式にし、空欄の大きさを記入する文字の個数に対応させるという工夫をこらした。
「類似性と規則性の発見」では、辺という概念を用いて順列や組み合わせ、階乗を学習でき
る内容にした。対象ユーザは高校生だが、中学生でも理解できるように噛み砕いた説明にし
た。要所要所に問題を設けることで理解を深める工夫をした。この際、Illustrater の技術を
身につけた。
出来上がった教材を見直してみて、最終的な対象ユーザを高校生に変更することにした。な
ぜなら、提案する教育プログラムで取り扱う単元を分断して学習しているからである。ま
た、10 月に行った高大連携からも中学生を対象にするよりも高校生を対象にした方がより
効果的だと感じたからである。
Group Report of 2012 SISP
- 28 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.19 制作した模型とワークシート
図 4.20 ワークシートの作成画面
12 月 最終発表の準備と最終報告書の作成を行った。最終発表の準備では、スライドを作成して
いく上で意義や目標をメンバー全員で再確認しながら発表練習を行った。また、報告者は発
表者として発表練習も行い、言葉遣いや発言する内容に気をつけた。最終報告書では、報告
書内の言い回しなどをメンバー全員で統一し作成した。その際、発表時の言葉遣いや TeX
の使い方を身につけた。
（※文責: 伊藤直輝）
Group Report of 2012 SISP
- 29 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.21 最終発表
4.2.5
5月
成澤美耶
教育プログラムのテーマを提案するため、各自の数学での苦手な部分や興味のある部分を発
表し合った。報告者は苦手な部分として、ベクトルと数列をテーマとして提案した。グルー
プ内で各自の苦手な部分からからテーマの候補を絞ってた。他にも報告者は、平方根、円周
率、確立などのテーマを提案した。このようにテーマ選定を様々な視点から数回行い、プロ
ジェクトのテーマや対象者に沿ったテーマを厳密かつ慎重に議論した。いくつかテーマを出
し、グループ内で絞った後、それらに対する教科書分析や指導要領の比較を行った。教科書
は中学校３学年分の教科書、高校の数学 I、II、III 及び数学 A、B、C の教科書並びに、本
学で使用する教科書を用いた。指導要領は小学校から高校までの新旧指導要領を用いた。分
析は、各単元間や学年間の関係性に着目し行った。その際、新たに発見したテーマも候補に
加えた。教科書分析や指導要領の結果から、どのテーマが最適かグループのメンバーと話し
合った。その際、教科書や指導要領の分析を行うための技術を習得した。
教科書や指導要領の分析の結果、曲線をテーマとすることにした。まず、各々の曲線に対す
る知識を共有した。そして、グループ内で曲線に対する知識を深めるために、実際にどのよ
うに問題を解いているか、そのときにどのような知識を使っているかどうかなどグループ内
で話し合った。また、この学習プログラムの対象者により曲線に興味を持ってもらうため、
日常で曲線を使っている場面や事例を調査し共有した。
6月
5 月同様、曲線に関する問題を時、どのような知識を使っているのか検証した。その際、数
学の解法の数に着目し、小学生、中学生、高校生、大学生というそれぞれの立場で問題を解
くことで、様々な解法を考えた。しかし、テーマの内容や教材の媒体、対象者などが曖昧に
なった。そのため、本グループの目的に沿った学習プログラムを考えるのが難しくなった。
一度曲線というテーマをやめ、新たなテーマを選定し直すことにした。
再度テーマを選定するのあたって、今までの分析を基にグループのメンバーと話し合いを重
ねた。その結果、教科書分析の際に発見した二項展開に着目した。着目するにあたって、二
項展開に関するより深い分析を教科書や先生へヒアリングで行った結果、まず学年間・単元
間のつながりが薄いことが判明した。二項展開を理解するにあたって、3 乗・3 乗の展開式
や分配法則、更には組み合わせや階乗、二項定理、シグマ記号の知識が必要となる。しかし、
Group Report of 2012 SISP
- 30 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.22
曲線と日常の関わりについての分析
それらは展開を習い始める中学 3 年から二項展開を習う大学初年までという幅広い学年に
跨って学習されている。また、先述した知識は中学数学や高校の数学 I、数学 B のように知
識の分断が起こっている。他にも、未来大生は二項展開を入学初年に学習するが、定期試験
での二項展開に関連する問題の正答率が、二割以下と習熟度が悪い結果が出ている。これら
の理由により、分断された知識を束ねる力の養成を行うのに適切だと考え、二項展開を教育
プログラムのテーマとして決定した。提案する教育プログラムのテーマが決まったため、内
容の検討に入った。教科書分析の結果も踏まえ、大まかな構成として「可視化による助け」、
「一般化へのステップアップ」
、
「類似性と規則性の発見」の 3 つの項目に分けた。「可視化に
よる助け」では式を図形で可視化することによって、係数のつき方を理解する内容となって
いる。
「一般化へのステップアップ」では図形から式を導くことによって、4 乗以降の式を図
形なくても式を導けるようになるための内容となっている。「類似性と規則性の発見」では
「可視化による助け」「一般化へのステップアップ」を踏まえ、類似性や規則性を発見し理解
することで、5 乗以上の乗数から n 次で表される二項展開の公式までを導けるようになるた
めの内容である。以上のように、3 つの大まかな構成を軸に教育プログラムを作成すること
にした。
Group Report of 2012 SISP
- 31 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
7月
中間発表の練習では、A グループと合同行った。各グループが聞き手にまわり、質問や意見
を出し合った。それを踏まえスライドの修正などを行った。また、A グループと B グルー
プの本番用スライドは別々で作成していたため、報告者がそれらをまとめ、共通のレイアウ
トにしたり不具合を修正した。他に、中間発表用のポスターやスライドのテンプレート、ロ
ゴマークを作成した。ポスター作成はイラストレーターを使用し，昨年のポスターを参考に
した。また，文字だけではなく図を多用することを心がけた。スライドのテンプレートはイ
ラストレーターで素材を作り、パワーポイントで制作した。ポスターとスライドのテンプ
レート作るにあたって、プロジェクトのロゴマークが必要と考えたので、樹木をモチーフに
したロゴをイラストレータで制作した。また教員からアドバイスを受け修正した。その際、
わかりやすいポスターや見やすいスライドを作るための技術とイラストレータの技術を習得
した。中間発表時では、主に発表者のサポートや質問などを記録する役割を担った。また、
他の教員の方々や先輩方からポスターのアドバイスを頂いた。後期は指摘された点に注意し
てポスター制作をしようと思う。
また、報告書の作成を行った。自分の担当箇所に概要の部分があったため、日本語だけでは
なく英語でも文章作成をした。また、担当教員に日本語と英語の文章も添削してもらい、そ
れを基に手直しした。ここで、TeX による文章作成の技術を身につけた。
図 4.23
Group Report of 2012 SISP
中間発表時のポスター
- 32 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.24
制作したロゴマーク
10 月 今までの話し合いを基に、どのような媒体の教材が良いか話し合った。その結果、模型と
ワークシートを用いた教材とブラウザを用いたディジタル教材に決定した。この 2 種類を
用意した理由は、提案する学習プログラムの効果をより上げる方法を探るためである。教材
を 2 種類作成するにあたり、グループのメンバーを 2 つに分けた。模型とワークシートを
用いた教材班は、伊藤、今田、湯川であり、ブラウザを用いたディジタル教材作成班は、西
山、水無、成澤がメンバーであった。まず班の中で、教育プログラムの内容の流れや表現方
法について話し合った。話し合った結果をワークシートと模型教材作成班と整合性を確認し
たところで、開発言語について議論した。班の中で話し合った表現方法を踏まえ、HTML5
をベースとした CSS や JavaScript、Processing などが適切だと判断し、それらで開発を行
うことを決定した。開発にあたり、学習プログラムの 3 項目でそれぞれ担当を割り振った。
その中でも報告者は、「一般化へのステップアップ」を担当した。「一般化へのステップアッ
プ」では、「可視化による助け」で行う式を図形で表して係数の仕組みを理解するという内
容を踏まえ、逆に図形から式を導き、図形がなくとも式を導くことのできるようなコンテン
ツを制作した。なぜ図形がなくとも式を導くことが必要かというと、4 乗以降の展開式は図
形に表すことができないためである。よって、図形から式を導くことにより、展開式の構造
を理解し、実際に式を導けるようにするコンテンツが必要となる。また「一般化へのステッ
プアップ」で 2 乗から 4 乗の展開式を導くことにより、次の「類似性と規則性の発見」で類
似性や規則性を発見しやすくすることもねらいである。表現方法としては「可視化による助
け」と「類似性と規則性の発見」のとの整合性を図りながら、式に対応した図を盛り込むこ
とによって理解しやすくした。また、より一貫した教育プログラムの内容にするため各担当
の内容を画面遷移図におとし、班の中で相互確認を行った。確認した後、画面遷移図を基に
Group Report of 2012 SISP
- 33 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
実装へと移った。
また、高大連携の一環として市立函館高校 1 年生 10 名がプロジェクト見学に訪れた際、グ
ループ B の活動概要や司会進行を務めた。事前にプロジェクト全体やグループ A、グルー
プ B のポスターを印刷し配布することによって、少しでも高校生に本プロジェクトの理解
を深めてもらおうと工夫した。
図 4.25
高校生に説明している様子
11 月 画面遷移図を基に、担当である「一般化へのステップアップ」の実装を行なった。それと
同時に、レイアウトの作成やトップ画面の作成、アイコンやボタンの作成も行った。レイア
ウトとトップ画面の内容は班のメンバーと話し合い、それを基に作成した。プロジェクトの
カラーである緑色をベースに、整然としたレイアウトを CSS で作成した。また、トップ画
面の見やすさやボタンのロールオーバ効果など、ヒューマンインターフェースの面も考えな
がら作成した。実装していく過程で、確認したい箇所や気になったことはその都度班のメン
バーと議論し、意思の統一を図り、実装に反映するよう心がけた。また、最終発表のための
練習を重ねていくうちに、ユーザが適切かどうかグループ内で議論した。その結果、単元を
分断して学習した高校生と未来大生がユーザとして適切であるという結果になった。そのた
め、最終的にユーザは高校生と未来大生になった。
最終発表の練習では、A グループと合同で本番を想定した質問や意見を出しあった。プロ
ジェクト内で統一した受け答えができるようメンバー内で確認し、本場に備えた。また、A
グループと B グループの本番用スライドは別々で作成していたため、報告者がそれらをま
とめ、共通のレイアウトにしたり不具合を修正した。
Group Report of 2012 SISP
- 34 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.26
実装した教材のスクリーンショット
12 月 各項目のプログラムを１つにまとめた。それによって起こる不具合を適宜修正した。また
他の項目でアニメーションが必要となったため、簡単なアニメーションをフラッシュで作成
した。
最終発表の準備にあたり、スライドやポスター、卓上看板の作成を行った。ポスター作成は
イラストレーターを使用し，前期のポスターに後期の内容を追加したりなど前期のポスター
をベースに作成した。また，文字だけではなく図を多用することを心がけた。中間発表時と
は違い成果物があるため、展示する際に置く卓上看板も作成した。最終発表の練習を本グ
ループだけでも行い、グループ全員の意思統一を図りながらスライドの修正や発表練習を
行った。報告者は発表者として最終発表を行った。
図 4.27 最終発表時の様子
（※文責: 成澤美耶）
Group Report of 2012 SISP
- 35 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.28
4.2.6
5月
制作した卓上看板
水無真理子
学習プログラムの題材探しのため、教科書の分析と新旧指導要領の比較を行った。教科書は
中学 1 年、中学 2 年、中学 3 年、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、
本学で使用する微分の教科書を用いた。新指導要領は小学校から高校までの新旧指導要領を
用いた。各単元間や学年間の関係性に着目し、どの題材が適切かをメンバー全員で話し合っ
た。その際、教科書の分析を行う技術を習得した。
6月
二項展開を題材として決定した。そこで、さらに二項展開について教科書の分析を行った。
その結果、二項展開は 2 乗の展開式を中学 3 年生、3 乗の展開式を高校 1 年の数学 I で学習
することが分かった。また、組み合わせと二項定理を高校 1 年生の数学 A、シグマ記号を高
校 2 年生の数学 B で学習している。さらに、公立はこだて未来大学 1 年次の必修である解
析学の冒頭で二項展開を学習するが、定期試験での二項展開に関連する問題の正答率が 2 割
以下と、習熟度が悪いという結果が出ている。このことから、学年間、単元間のつながりが
薄く、分断された知識を束ねる力の養成を行う教育プログラムのテーマとして最適であると
考えた。
次に、提案する学習プログラムの内容を検討した。「可視化による助け」
、
「一般化へのステッ
プアップ」、「類似性と規則性の発見」の 3 項目から構成することとした。「可視化による助
け」では、2 乗、3 乗の展開式を図形で可視化することによって、係数のつき方を理解する
内容とした。「一般化へのステップアップ」では、図形から式を導くことにより、4 乗以降の
展開式を導けるようになるための内容とした。「類似性と規則性の発見」では、類似性や規
則性を発見し、組み合わせや階乗を理解することで高次元の展開式や n 乗の展開式を導くこ
とができるようになるための内容とした。
7月
中間発表へ向けて準備と中間報告書の作成を行った。スライドの内容について目的や意義と
いった本プロジェクトの核となる部分を中心に、グループで話し合いながら確認をした。ま
た、中間報告書では、中間発表のスライド作成時に確認したことを踏まえ、メンバー全員で
分担し、作成した。その際、TeX の技術を習得した。
Group Report of 2012 SISP
- 36 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
10 月 提案する学習プログラムの教材として、模型とワークシートを用いた教材、ブラウザを用
いたディジタル教材の 2 種類作成することとした。2 種類作成する理由は、提案する学習プ
ログラムがより効果を上げる方法を探るためである。教材作成にあたって、模型とワーク
シートを用いた教材作成班とブラウザを持ちディジタル教材作成班の 2 つに分かれた。ディ
ジタル教材作成班のメンバーは、成澤、西山、水無である。まず、学習プログラムの内容
と表現方法について話し合った。さらに、その内容にあった開発言語を調べた。その結果、
HTML5 をベースとして、Processing や JavaScript、CSS を用いて開発を行うことを決定
した。開発にあたり、学習プログラムの 3 項目をそれぞれ割り振り担当することとした。そ
の中で報告者は、「類似性と規則性の発見」を担当した。組み合わせを知らなくても学習で
きるように、学習プログラムの流れを考えた。担当した「類似性と規則性の発見」は計算が
多い。そのため手書きによる計算ではできない表現方法や工夫を意識し、JavaScript による
正誤判定やアニメーションといった視覚に訴えるようなプログラムを要点をおさえて教材に
加えた。
図 4.29 プログラム作成の様子
また、高大連携として市立函館高校の 1 年生が訪れた際に、10 名程度の生徒を対象に、実
際に模型を用いて「可視化による助け」のみを行った。2 乗、3 乗の展開式を公式として暗
記している生徒に、図形を用いて係数のつき方の説明することで、興味を持ってもらえた。
また、「数式だけで考えるよりも分かりやすい」というコメントをいただき、可視化による
学習意欲の向上が期待できるとわかった。
11 月 画面遷移図を作成し、「類似性と規則性の発見」の教材の開発を行った。組み合わせの計算
を練習するために入力ホームを作成し、JavaScript を用いて計算式に対する解答の正誤判
定をできるようにした。画面遷移図を作成したため、「可視化による助け」、「一般化へのス
テップアップ」を担当した西山や成澤とプログラムについての協議が円滑に進められた。ま
た、樹形図のアニメーションを入れ、動的な仕掛けを用いることでより理解しやすくするよ
う心がけた。内容の整合性や一貫性を保つため、成澤、西山との議論を重ね、反映できるよ
Group Report of 2012 SISP
- 37 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
う工夫した。さらに、より二項係数の規則性を理解するために、道順とパスカルの三角形の
関係性を画像を使って説明した。10 月に行われた高大連携、単元を分断して学習している
こと、中学生から大学生と幅広く学年を横断して学習していること、未来大生の二項展開関
連問題の正答率がわずか 2 割と習熟度が低いことから、今回提案する学習プログラムの対象
を高校生と未来大生とした。
図 4.30 実装を担当した「類似性と規則性の発見」の一部
12 月 最終発表の準備と最終報告書の作成を行った。最終発表では、プロジェクトの意義や目標
を再度確認しながら、発表の練習とスライドの作成を行った。報告者は発表者として最終発
表を行った。限られた時間の中で傍聴者が本グループの目的から実際の活動、今後の展望ま
でを理解しやすい発表をするため、言葉遣いや内容に気をつけた。最終報告書では、報告書
の内容をメンバー全員で確認しながら作成した。その際、TeX の技術を習得した。
（※文責: 水無真理子）
Group Report of 2012 SISP
- 38 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
図 4.31 最終発表時の様子
担当課題と他の課題の連携内容
4.3
本節では、各人が担当した課題と他メンバーの課題が、どのような点で連携されているかを記す。
4.3.1
前期
湯川千聖
テーマ探しのとき、中学 1 年生、中学 2 年生、中学 3 年生の数学の教科書、数学 I、数学 I
I、数学 III の教科書、そして本学で使用されている教科書を用いた。これは指導要領、知識
が分断されているような箇所をピックアップするためである。またピックアップした分野が
現在の何と関わっているのかなども同時進行で探した。そしてメンバー内で対象者となる人
にどのように教えるとわかりやすく理解しやすくなるかなども考えた。そもそもなぜ日本の
社会問題ともいえる理数離れや学習意欲の低下、学力の低下が起きているかを考えた。これ
は実生活へのひろがり、学習するときの学年間、単元間のつながりが希薄であることを調べ
上げた。テーマが二項展開に決まり、プログラムの内容を大まかに決めた。このテーマに決
めた理由を以下で記す。教科書分析より、高校 2 年生の数 A で二項定理、大学初年で二項
展開、高校 2 年生の数 B でシグマ記号を学習する。この二項定理と二項展開には表記の違
いがあることがわかった。そもそも二項展開は中学 3 年生で n = 2、高校 1 年生の数 I で
n = 3、高校 1 年生の数 A でコンビネーションを学習する。これらから学年間や単元間のつ
ながりが薄いことがわかったため、テーマを二項展開にした。これによりプログラムの内容
を「可視化による助け」、「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則性の発見」の 3 つ
の軸に決めた。中間発表の際、スライドの内容を考えた。中間発表のとき、質疑応答で指摘
されたところ、改善点などをノートに示した。そして中間発表が終わり、グループ内で集ま
り、このノートとアンケートを基に反省を行った。この作業は、後期のプロジェクトで反省
点をふまえて活動することができるのでとても役に立った。報告書を作成する際、西山がグ
ループ報告書の分担をあらかじめ決めていてくれたおかげで、スムーズに行えた。各自の箇
所が出来上がり次第、グループ内で添削し、改良を重ねて完成に至った。
後期
10 月に行われた高大連携で模型と内容を作成した。報告者は 3 つ軸のうち「可視化による
助け」を担当した。これは 2 乗や 3 乗をただ式として考えるのではなく、面積や体積を目
に見える形にして理解しやすくした。これらを図形というものを模型の形にした。そして理
Group Report of 2012 SISP
- 39 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
解や驚き、発見を促す形にするべく、両者とも同じ図形は同じ色にした。この色付けを報告
者が担当した。また報告者は 2 乗の分野を担当した。2 乗の係数のつき方について何気なく
ab の係数が 2 であることを知っているが、2 乗を面積にした模型を使い本学に訪問した高
校生にもわかりやすいような説明を試行錯誤して考えた。高大連携が終わり、グループ内で
班分けをして湯川、伊藤、今田の 2 人でアナログ班として紙媒体の教材を作成した。紙媒体
の教材を作成するとき、報告者は高大連携時に「可視化による助け」に関わっていたことに
より 2 乗、3 乗の説明部分を担当した。各自分担された役割を遂行した後、他のメンバーが
考えてきた箇所を添削し改良を施した。ディジタル班と別々に作業していたのでしばしば作
成している教材の内容である 3 つの軸の内容の整合性を測った。最終発表の際、報告者が主
なスライド担当であったが他のメンバーが各自添削をして改良のアドバイスをくれた。これ
をもとにスライド修正を行い、本プロジェクト全体の内部発表と最終発表を行った。報告者
は、最終発表で発表することになったため、何度も何度も練習を行った。グループ内で発表
練習の時間を取り、言葉使いや言葉の言い回しなどをお互いアドバイスし合った。これらは
完成度の高い発表にするべく、グループで力を合わせた。最終発表はグループ内で何度も練
習を重ねたため、円滑に発表を行うことができた。報告者が発表していないときは、中間発
表の時と同様、質疑応答で指摘されたところ、改善点などをノートに示した。そして最終発
表が終わり、グループ内で集まり、このノートとアンケートを基に反省を行った。報告書を
作成する際、中間報告書の時と同様、西山がグループ報告書の分担をあらかじめ決めていて
くれたおかげで、スムーズに行えた。各自の箇所が出来上がり次第、グループ内で添削し、
改良を重ねた。
（※文責: 湯川千聖）
4.3.2
西山あかり
前期 中学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学で使用される教科書と
新旧指導要領の分析を行い、そこから苦手な単元や分野、興味のあることなど幅広い視点か
らテーマとなり得そうな項目を抽出した。テーマは教科書にある単元だけではなく、日常生
活に関わる現象、歴史といったことからもテーマを提案することで新たなテーマ選出を促し
た。理数離れの原因や理数科目が苦手な生徒及び学生が興味を持つにはどうすればいいか、
実生活と数学の関わりといった観点も意識してテーマ選出を行った。不明な点や知識が曖昧
になっている点についてはメンバーに聞く等して不明瞭な点がないよう心掛けた。
中間発表では事前のスライド作成の準備もメンバーと議論し、グループで臨む体制整え、発
表の際は発表者が円滑に発表を行えるようタイムキーパーとして発表者を手助けした。
報告書の作成にあたっては、円滑に進めるためスケジュール管理を行い、グループ内で共通
認識を持って作成できるよう活動時間を利用して活動の振り返りや目的、意義などの共有を
行った。
後期 ブラウザを用いたディジタル教材の開発と最終発表の発表者、報告書の取りまとめを行っ
た。教材の開発では模型とワークシートを用いた教材の開発班と内容の整合性を確認しなが
ら作業を行った。担当したブラウザを用いたディジタル教材の「可視化による助け」では、
表現方法やプログラムの表記を「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則性の発見」を
Group Report of 2012 SISP
- 40 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
担当した成澤、水無と議論しながら開発を進めた。共有には画面遷移図を使用したことで成
澤、水無が担当する教材との整合性を確認した。
報告者は最終発表で発表者を務めた。発表時は限られた時間の中で傍聴者に伝わるように話
すことを心掛けた。報告書では提出までの時間を有効活用できるようスケジュール管理を行
い、グループ内で互いに添削をしあうことで活動を振り返り、共有した。成澤、湯川とリー
ダーによる最終確認の日程を調整した。
（※文責: 西山あかり）
4.3.3
前期
今田敬之
中学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C の教科書分析と新旧指導要
領の分析を行った。その中で分断されて学習している単元に注目して分析をしたのだが、主
に伊藤と数学的視点からの分析役を担った。メンバーとの議論の際にも同様であるのだが、
他の視点からの意見も尊重することを大事とした。
テーマを選定するにあたっては、選定に大幅な時間を費やしてしまったが、メンバー全員で
色々な案を出し合い、教科書分析や新旧指導要領で分析した結果をもとに話し合って選定し
たので、最適なテーマを選定できた。学習プログラムを作成するにあたっては、主に数学的
観点から意見を出した。教科書分析や新旧指導要領の分析を行った時と同様に、他の視点か
らの意見を尊重することを大事にして、メンバー全員でよりよい学習プログラムを作成して
いった。
中間発表の際には、発表役を担った。限られた時間の中で、傍聴者に対していかに重要な部
分をわかりやすく伝えるかを工夫した。さらに、伊藤も同様に発表役を担っていたので、お
互いに確認し合って修正していった。
後期
模型とワークシートを用いた教材を作成した。その中でも主に「可視化による助け」の部分
を担当した。担当は割り振られてはいたが、ワークシートの内容などについては、伊藤、湯
川と議論しながら決めていった。その際に、理解しやすい内容にするために細かく相談しな
がら慎重に決定していった。
高大連携では、市立函館高校の 1 年生約 10 名を対象に、学習プログラムの「可視化による
助け」のみを説明した。その際に、特に対象者には興味をもってもらうことに重点をおい
た。発表の準備はメンバー全員で行い、簡単な模型を作成し、内容を決定した。
最終発表では、質問に対する回答役を担った。質問に対しては、あらかじめメンバー全員で
常にプロジェクト、グループの目標を頭の中におくことが大事ということを確認した。それ
に基づいて、目的を見失わずに回答した。
（※文責: 今田敬之）
Group Report of 2012 SISP
- 41 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
4.3.4
伊藤直輝
前期 中学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、解析学 I の教科書分析と
新旧指導要領の比較を行った。テーマを選定する際には、身近な例や分断して学習している
単元、苦手な単元、興味のある単元など幅広い視点からテーマとなり得る項目を挙げた。そ
の中でも分断して学習している単元に着目し、グループ内で分析や話し合うを行う際には今
田と共に数学的観点から物事を述べた。他のメンバーの意見も尊重して多視点から物事を考
えるように心がけた。
教育プログラムを作成するにあたって、教育プログラムの構成をどのようにするかメンバー
で話し合いをする際にも、主に数学的観点から物事を述べた。その際、グループ内の数学が
苦手な人にもわかるように言い回しを工夫したり、ホワイトボードに書きながら説明した。
中間発表では発表役を担当した。発表する際には言葉遣いや目線などに気を配り、また重要
な部分をいかにわかりやすく説明するかを工夫した。今田も発表役を担当していたので、2
人で指摘しあって改善した。
後期 模型とワークシートを用いた教材を作成した。その中でも「一般化へのステップアップ」と
「類似性と規則性の発見」のワークシート作成を担当した。内容については、今田と相談し
ながら決定し、空欄の大きさを文字の個数によって変化させたり、模型がなくてもわかるよ
うにワークシート上に図形を書いたり、ワークシート上の図形の配色を模型と統一したり、
所々に問題を作ったりなど、よりわかりやすく作成した。作成したものを今田と湯川に添削
してもらい、改良を繰り返し完成させた。
高大連携では、市立函館高校の 1 年生を対象に「可視化による助け」のみを実施した。その
際、簡単な模型を作成し模型を用いて説明を行ったところ興味をもってもらえた。最終発表
では発表役を担当した。発表する際には、限られた時間の中で重要な部分をいかに傍聴者に
わかりやすく説明するかを工夫した。また、グループのメンバーの前で何度も発表練習し、
発表をスムーズに行えるようにした。
（※文責: 伊藤直輝）
4.3.5
成澤美耶
前期 中学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学で使用されている教科
書と新旧指導要領の分析を行い、学習プログラムのテーマを選定した。選定する際、ディス
カッションの指揮をとり、メンバーがディスカッションしやすい環境を作るよう心がけた。
また、分析の作業を分担し、グループ内で確認しながら進めた。学習プログラムの内容を決
定する際も、同様にメンバーに気を配った。また、中間発表のポスターやスライドのテンプ
レート、プロジェクトのロゴマークの作成を行った。ポスターは文字を多用せす、図や写真
を多く取り入れた。制作物の色やロゴマークを揃えることによって、統一感やまとまりが出
た。スライドのテンプレートを作成することで、A グループ B グループのスライドに統一
感が現れ、別々に作ったものを一つに合わせても違和感のないスライドに仕上がった。
Group Report of 2012 SISP
- 42 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
後期
前期同様、ディスカッションの際は自ら指揮をとり、ディスカッションしやすい環境づくり
に気を配った。ブラウザを用いたディジタル教材の開発とプログラム全体のまとめ、レイア
ウト、アイコン、ホーム画面を作成した。ディジタル教材の開発は「一般化へのステップ」
を担当したため、「可視化による助け」や「類似性と規則性の発見」との整合性を取るため、
担当者である西山、水無と話し合いながら進めた。プログラムを一つにまとめる際も、動作
が正しく行われているかどうか、不備はないかなどメンバーに確認をとった。また、模型と
ワークシートを用いた教材との整合性をとるため、伊藤、今田とも確認し合った。学習プロ
グラムの全体を制作していく過程で、ヒューマンインターフェースの観点も取り入れた。ボ
タンのロールオーバ効果や文字の大きさなど、ユーザにとって他にも、最終発表のポスター
や卓上看板の作成を行った。前期のポスターをベースにグラフィカルにした。発表者とし
て、発表練習もグループ内で行い、本番ではわかりやすく聴きやすい発表をするよう心がけ
た。聴講者からの質問にも適切に答えることができた。報告書では一年間活動写真を撮って
いたため、その中から報告書に利用する写真をグループ内で検討した。利用する写真を選定
した後、Photoshop による明暗の調整や TeX に埋め込めるよう拡張子の変更を行った。ま
た、報告書の担当箇所やプロジェクト報告書も作成し、教員の添削のあとグループ内で共有
した。
（※文責: 成澤美耶）
4.3.6
前期
水無真理子
中学、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学で使用されている教
科書と新旧指導要領の分析を行い、学習プログラムのテーマを選定した。テーマを選定する
際、自分の経験や印象深い内容に重点を置き、提案した。実際にグループ内で話し合いをし
ているときは、議論している問題について調べ、迅速に解決するよう努めた。また中間発表
ではスライドの作成にあたって意見を出し、当日は発表時の様子の記録を撮ったり、質疑応
答の様子を記録したり、発表者の補助した。
後期
ブラウザを用いたディジタル教材の開発を担当し、その中でも報告者は、「類似性と規則性
の発見」の開発を担った。「類似性と規則性の発見」で扱う内容は、計算が多く、機能や表現
方法に工夫を凝らす必要がある項目であったため、JavaScript を駆使し、要点をおさえなが
らも、動的な仕掛けを含めたディジタルの特徴を生かしたプログラムを意識し、作成した。
教材の内容は画面遷移図を基本に、実装中に気づいた点や修正すべき点などを含め、成澤、
西山と話し合いながら作成した。また、最終発表では発表役を担当した。活動日を有効活用
し、積極的に発表練習を行った。発表時は時間内で目的から今後の展望までが傍聴者に分か
りやすく伝えられるよう心掛けた。
（※文責: 水無真理子）
Group Report of 2012 SISP
- 43 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
第 5 章 結果
課題解決のプロセスの詳細学習指導要領に囚われない教育プログラムを高大連携教育の中で実
現できる形で提案するという本グループの課題を達成するため、各人は詳細にどのような課題を担
当し、どう解決したのかを以下に記す。
5.1
プロジェクトの結果
「可視化による助け」
、
「一般化へのステップアップ」
、
「類似性と規則性の発見」という 3 つの軸を
用いて二項展開という題材で学習プログラムを作成した。作成にあたって、教材方法を ２ 種類用
意し、グループ内も方法 1 をアナログ班、方法 2 をディジタル班として分けた。アナログ班は、模
型とワークシートを用いた教材、ディジタル班は、ブラウザを用いたディジタル教材を開発した。
方法を 2 つ用意したのは学習プログラムがより効果を上げる方法を探るためである。
前期 以上の 3 つの学習プログラムを作成するための内容を考えた。それを以下に示す。
「可視化による助け」では 3 乗を平面の面積、3 乗を立体の体積の模型を作成した。またこ
れを言葉に表現した形のワークシートを作成した。これは構造を理解しないまま暗記してい
るであろう公式の 2 乗や 3 乗をただ式として考えるのではなく、面積や体積を使い係数のつ
き方を目に見える形にして理解しやすくするためである。そして理解や驚き、発見を促す形
にするべく、両者とも同じ図形は同じ色にすることとした。
「一般化へのステップアップ」では 「可視化による助け」で学習する内容をよりかみ砕い
た形にした。これは模型と同じ色の図形をワークシートにも描き、図形をみながら式にする
ことである。そして仕組みを理解し、図形がなくても式にできることを想定している。この
「一般化へのステップアップ」は「可視化による助け」と次に説明する「類似性と規則性の
発見」をつなぐ重要なステップである。
「類似性と規則性の発見」ではストローと組み合わせの知識を使い係数のつき方の概念を学
習することとした。これは係数の付き方の仕組みを知るためである。そして 50 乗や 100 乗
などの大きな乗数の値でも計算可能になることを想定している。
後期 前期で決定したプログラム内容や構成に沿って教材を作成した。作成した教材の特徴をそれ
ぞれ以下に示す。
方法 1 では模型ではとりあえず綺麗で理解しやすいような教材を作ることをテーマとした。
模型作成の時はミリ単位まで気を使い綺麗に上手に、色もパッと見てわかりやすいように工
夫した。ワークシートでは模型に使われた色を忠実に再現した。誰が見ても組み合わせがよ
く理解できるように表現にも工夫を凝らした。
方法 2 では単純な操作による色の変化や図形の動きができる、場所や時間を選ばない教材の
媒体、単純作業の簡略化の 3 つの特徴があげられ、これを実現するために使用言語を厳選し
た。使用言語 HTML、CSS、Processing、JavaScript、jQuery 等を使用した。
Group Report of 2012 SISP
- 44 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
10 月に行われた高大連携で市立函館高校の 1 年生が「可視化による助け」で作成した平面
と立体の模型を使用し、学習プログラムの有用性が期待できるかを検証した。その結果、こ
の模型に市立函館高校の 1 年生は驚きや興味を持った。既習事項でありながらも数式を図形
で表すことができることと数式だけで考えるよりも理解しやすいという結果が得られた。こ
れは模型という可視化による学習意欲の向上が期待できる。
図 5.1
模型とワークシートを用いた教材
（※文責: 伊藤直輝）
5.2
前期
成果の評価
テーマの本質をとらえた題材選定をしっかり行い、題材を決定することができた。しかしそ
れに伴い、教材の方法や内容を決定する日程がずれてしまった。前期の目標は学習プログラ
ムの教材とその内容を決めることとした。中学から高校までの教科書分析により、テーマを
二項展開と決めた。教科書分析をした結果、学年間、単元間のつながりが希薄であることに
気づくことが出来た。これらの題材選定により、「可視化による助け」、「一般化へのステッ
プアップ」
、
「類似性と規則性の発見」の 3 つの軸に決めた。この内容をもとにして後期の活
動内容を決めることが出来た。この結果から、グループの背景や目的などグループ全体でひ
とつひとつ細かく詳細に内容の話し合いが出来た。結果として、本グループの目標が達成さ
れたことから、課題は解決されたと評価した。
Group Report of 2012 SISP
- 45 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
後期 後期の目標を学習プログラムの教材の作成とした。教材は「模型とワークシートを用いた教
材」と「ブラウザを用いたディジタル教材」の２つを作成することにした。これは学習プロ
グラムがより効果を上げる方法を探るためである。教材を２つ作成するため本グループのメ
ンバーを 2 つに分けた。前期で考案した 3 つの軸の内容を細かく決めていたため、すぐに学
習プログラムの教材制作に取り掛かれた。また、高大連携で本学に学習プログラムの一部を
体験してもらい、既習事項でありながらも高校生に驚きや興味を持ってもらえた。他にも、
数式だけで考えるよりも分かりやすいとコメントをもらった。これらの結果により模型とい
う可視化による学習意欲の向上が期待される。高大連携実施の結果を踏まえ改良し、授業か
ら離れた場面での展開可能な学習プログラムの作成が出来た。結果として、本グループの目
標か達成されたことから、課題は解決されたと評価した。
図 5.2
ブラウザを用いたディジタル教材
（※文責: 湯川千聖）
担当分担課題の評価
5.3
4.2 節で挙げた各人が担当した課題についての自己評価を行った。その内容を以下に記す。
5.3.1
湯川千聖
• 題材の決定
メンバー内で各自苦手な分野、数学と現実問題とのつながり、数学だけではなく物理や歴史
など関わっているものを調べ上げて意見や情報を共有することができた。学年間や単元間の
つながりが薄いことに注目し、教科書分析や指導要領の比較をした。このことにより二項展
開という単元の様々な知識が分断されていたことを実感することができたためよかった。
Group Report of 2012 SISP
- 46 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
• 学習プログラムの作成
2 乗、3 乗の展開式を面積や体積という形で表し係数の正しさを理解することは、わかりや
すいと体感できた。また高校生と本学の生徒を対象としているが、内容自体は中学生でも理
解できるような言葉、表現を使いプログラムの作成を行った。
• 高大連携の実施
10 月に行われた高大連携で、提案した学習プログラムの可視化による助けのみを実施した。
そして模型を用いて係数のつき方の理解を促したところ、驚きや興味を促すことができた。
このことから、模型を用いて説明することは適していると判断することができた。
• 教材の作成
提案する学習プログラムがより効果を上げる方法を探るため、模型とワークシートを用いた
教材と、ブラウザを用いたディジタル教材の 2 種類を用意できた。教材の達成目標を達成
し、そして教材開発を行うことができた。
（※文責: 湯川千聖）
5.3.2
西山あかり
• 題材の決定
各々の苦手な分野や興味のある分野などの観点から、意見を出し合い、情報共有できた。ま
た、中学、高校、本学で使用されている教科書の分析や学習指導要領の比較から、二項展開
の表記の違いや関連する内容が学年を幅広く横断していることが実感できた。
• ストーリーの展開
2 乗や 3 乗の展開式を面積や体積という形で可視化して係数の正しさを理解することはわか
りやすいということを体感した。また面積や体積といった幾何学的な可視化だけではなく、
パスカルの三角形のように規則性を可視化出来る方法を発見できたことは、学習プログラ
ムの開発において重要な素材になると考える。「可視化による助け」、「一般化へのステップ
アップ」、「類似性と規則性の発見」という学ぶ上で一貫して整合性のとれた要点を学習プロ
グラムを構成する項目としておさえることができた。
• 方法の決定
学習プログラムを表現する方法がいくつか想定できたが、対象者が知識を束ねて使う力を養
うことができる方法を意識して意見を出し合い、高大連携教育や自学自習の場といった授業
から離れた場面で、対象者が知識を束ねて使う力を養成し、体系的に知識を獲得することで
学習意欲向上につなげるという目的に適した方法を決定することができた。
• 高大連携の実施
市立函館高校 1 年生 10 名を対象に学習プログラムのうち「可視化による助け」を実施した。
模型を用いたところ驚きや興味を示してもらうことができ、このことから模型を用いた学習
Group Report of 2012 SISP
- 47 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
プログラムによる効果が期待できた。しかし「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則
性の発見」については実施できなかった。これらについても実施する機会を設ける必要があ
る。
• 教材の作成
高大連携を踏まえた学習プログラムの開発を行えた。開発言語を学ぶことで提案する学習プ
ログラムにあった表現を提示することができた。本グループの目的である、分断された知識
を束ねて使う力の養成を念頭に置きつつ、特徴的な教材を二つの方法で開発を行えた。しか
しどちらの方法もシグマ記号については取り入られておらず、教材による効果も検証できて
いない。これは今後の重要な課題である。
• 発表
中間発表では発表者のサポートを行った。練習ではより発表をよりよいものとするために互
いに不明瞭な点、発表時に注意すべき点などを共有し、結果として良い発表が行えた。また
最終発表では報告者は発表者として練習を行い、要点が傍聴者に伝わるよう意識した。最終
発表では要点が傍聴者に伝わるよう意識して発表を行い、傍聴者に本グループの活動を理解
し、本グループが行った提案に興味を持ってもらえた。また教員を支援するようなテーマの
提案といった今後のプロジェクトにつながる重要な意見をもらえた。
（※文責: 西山あかり）
5.3.3
今田敬之
• 教科書分析から題材の決定
学年間や単元間のつながりが薄い二項展開に注目して学習プログラムを作成したことは、適
切な選択であったと言える。また、テーマがなかなか選定できず、教科書分析を 1 ヶ月行っ
たが、そのことにより自分自身、様々な知識が分断されていたことを実感することができた
ためよかった。教科書の他にも、新旧指導要領の分析も行ったが、この分析からも、様々な
知識が分断されていると実感できた。
• 学習プログラムの作成
2 乗、3 乗の展開式を図形で表して係数の正しさを理解することは、自分自身わかりやすい
と体感でき、驚きもあった。二項係数を決定する際に必要とされる組み合わせに関しては、
図形の辺の組み合わせにすることにより、関連性を高めることができた。また、高校生を対
象とはしているが、内容は中学生でも理解できるような言葉などを使用して作成を行った。
• 中間発表
中間発表では、多くの人に、可視化による助けにおいて、式を図形にして係数の理解を促す
ことができることに興味を持ってもらえた。また、報告者は発表者であったため、スライド
を棒読みしないように心がけた。その結果、発表に関してもいいコメントをもらえた。
• 高大連携の実施
Group Report of 2012 SISP
- 48 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
10 月に行われた高大連携では、学習プログラムの可視化による助けのみを実施した。その
際に、模型を用いて係数のつき方の理解を促したところ、驚きや興味を促すことができた。
そのため、模型を用いて説明することは適していると判断できた。
• 教材の作成
提案する学習プログラムがより効果を上げる方法を探るため、模型とワークシートを用いた
教材と、ブラウザを用いたディジタル教材の 2 種類を用意したが、どちらもシグマ記号につ
いては取り入られていない。さらに評価実験も行っていないので、改善すべき点が上げられ
なかったところは反省点であり、今後の課題であると判断した。
• 最終発表
最終発表では、報告者は主に質問の回答を担当した。質問の回答に関しては、プロジェクト
全体の目的、またグループの目的を見失わないことを心がけようと、あらかじめメンバー全
員で話し合った。そのことにより、しっかりと回答することができた。また、このような二
項展開の学習プログラムがあればわかりやすいと、傍聴者からのコメントがあったことか
ら、学習プログラムの完成度が高いと判断した。
（※文責: 今田敬之）
5.3.4
伊藤直輝
• 現状の分析
題材を選定するため、中学 1 年、中学 2 年、中学 3 年、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数
学 A、数学 B、数学 C、本学で使用する微分の教科書分析を行ったまた、。新旧指導要領の
比較では、変更点を重点において比較した。
• 題材の決定
中学から大学初年までの教科書分析をし選定した題材は、中学 3 年生から大学初年までと幅
広く取り扱われているものであった。これは、学年を横断している題材である。さらに高校
1 年生時で習う公式と大学初年で習う公式とでは表記の仕方が異なる。これらの事から二項
展開は学年間・単元間のつながりが希薄であると体感できた。
• ストーリーの展開
提案する教育プログラムを「可視化の助け」
「抽象化へのステップアップ」
「類似性と規則性 の
発見」の 3 項目から構成することにした。そこで、
「可視化の助け」では (a+b)2 = a2 +2ab+b2
のときと (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 のときの係数の理解を面積と体積を用い、
「類似
性と規則性の発見」では、「可視化の助け」と「抽象化へのステップアップ」から二項係数
の規則性を導き、パスカルの三角形や道順を選択する図を用いることで可視化できることを
発見できたのは良かった。
• 教育プログラムの作成
2 乗、3 乗の展開式を面積や体積といった図形で表すことで、係数の理解を促すというのは、
Group Report of 2012 SISP
- 49 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
自分自身もわかりやすいと実感できた。そこで、提案する教育プログラムを「可視化による
助け」、
「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則性の発見」の 3 項目から構成するこ
とにした。また、ワークシートを作成する際は、中学生でも理解できるように表現を工夫し
た。
• 中間発表
中間発表では、報告者は発表者であったため、発表の際の言葉遣いや発言する内容に気をつ
け、スライドだけでなく傍聴者を見るように心がけた。傍聴者からは、「可視化による助け」
において、式を図形にすることで係数の理解を促すことが出来るということについて好評価
を得た。
• 高大連携の実施
10 月に行われた高大連携では、市立函館高校の 1 年生を対象に教育プログラムの「可視化
による助け」のみを実施した。面積や体積といった図形によって係数を理解できることに高
校生は驚き、興味を示していた。このことから、「可視化による助け」は効果的だと判断で
きた。
• 教材の作成
模型とワークシートを用いた教材と、ブラウザを用いたディジタル教材の 2 種類を用意し
た。その理由は、提案する教育プログラムがより効果を上げる方法を探るためである。し
かし、2 種類用意したものの、どちらにもシグマ記号を入れていない。さらに、評価実験も
行っていないため、より適切な教材を作ることができなかったといえ、今後の課題であると
判断した。
• 最終発表
最終発表でも、報告者は発表者であったため、発表の際の言葉遣いや発言する内容に気をつ
け、スムーズに発表できるように心がけた。また、質問に回答をする際はプロジェクト全体
の目的やグループの目的を見失わないことをグループ全員で統一して心がけた。そのことに
より、傍聴者からの質問にはしっかりと回答することが出来た。
（※文責: 伊藤直輝）
5.3.5
成澤美耶
• 題材の決定
グループ内での数学の苦手な分野や興味のある部分で、積極的に意見を出し合い、情報共有
できた。また、教科書分析や指導要領の比較から、二項展開と二項定理の表記の違いや幅広
い学年にまたがっていることを実感できた。また、ディスカッションの指揮をとり、メン
バーがディスカッションしやすい環境を作るよう心がけた。そのため、メンバー全員がディ
スカッションの場において積極的に発言してくれた。
• ストーリーの展開
Group Report of 2012 SISP
- 50 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
2 乗や 3 乗の展開を、面積や体積で考えるという考え方で係数の正しさを理解することは、
分かりやすいということを体感した。また平面図や立方体、パスカルの三角形など、数式や
規則性を可視化できる方法を発見できたことは、教育プログラムを作成する際に重要な素材
になると考える。しかし、数学的な思考で発言できないことも度々あり、グループ内のディ
スカッションが滞ってしまったこともあり、反省する点である。
• 高大連携
本グループ活動の説明役や全体の進行役であった。グループ活動の説明は、ポスターセッ
ションで行いできるだけ高校生にわかってもらえるような発表を心がけた。短い時間であっ
たが、学習プログラムの一部を体験してもらったり、それに関する感想も聞くことができ、
今後の活動において重要な経験ができたと思う。また、中間発表で使用したメインポスター
やグループポスターを印刷し高校生に配布した。配布することによって、本プロジェクトの
活動をより理解してもらうための工夫であった。その結果、高校生は配布した資料を読んで
いたため、より理解をしてくてたと思う。
• 教材作成
高大連携を踏まえ、そこで得られた結果を学習プログラムに反映することができたと思う。
また、本ググループの目的である、分断された知識を束ねて使えうことも考えながら、学習
プログラムの開発を行うことができた。また、開発だけではなくレイアウトやアイコンなど
もヒューマンインターフェースを考慮しながら作成することができたと考える。教材制作に
おいては、項目毎に分担したため多項目との整合性が大切となったが、進捗をこまめに確認
したため、最終成果物は一貫した学習プログラムになったと思う。しかし、不具合や表現方
法が適切ではない部分もまだあるため、修正を行うべきであると考える。
• 発表資料
前期・後期共にポスターの作成を行った。文字を多用せず図や写真がメインとなるポスター
を作成できたと考える。またプロジェクトのロゴマークや卓上看板、スライドのテンプレー
トなど発表に効果的な制作物を作れたと考える。特にプロジェクトのロゴマークは、本プロ
ジェクト内だけではなく、他の教員の方や先輩方から高評価をいただくことができた。また
ロゴマークを用いたスライドや卓上看板なども良い評価をいただくことができた。発表資料
全般に携わったため、全体的に統一感やまとまりが感じられるようになった。
• 発表
中間発表は発表者のサポートであった。発表練習では、お互い発表の流れを確認し合ったた
め、本番では良い発表ができたと思う。また、最終発表は発表者としてグループ内でも練習
を行った。他にも質問対策も行い本番に向けて準備を進めた。その結果もあって、本番では
練習以上の発表をすることができ、聴講者からの質問に対してもしっかりと答えることが出
来た。
（※文責: 成澤美耶）
Group Report of 2012 SISP
- 51 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
5.3.6
水無真理子
• 題材の決定
苦手な分野や興味のある分野、学校教育で学ぶ単元にとらわれず数学とかかわりのある歴史
といった幅広い視野を持って積極的に意見を出し合い、グループ内で情報共有が行えた。中
学から、高校の数学 I、数学 II、数学 III、数学 A、数学 B、数学 C、本学で使用される教科書
の分析や学習指導要領の比較を行い、積極的に意見を出すことができた。2 乗、3 乗の展開
を可視化することで、展開をより理解できた。二項展開は幅広い学年で扱われており、知識
が分断されていることを体感できた。二項展開の表記の違いを発見することができたので、
良い題材を選ぶことができた。
• ストーリーの展開
二項展開を理解する学習プログラムとして、
「可視化の助け」
、
「抽象化へのステップアップ」
、
「類似性や規則性の発見」の 3 項目から構成することとした。学習プログラムを構成する 3
項目は学ぶ上で要点をおさえることができた。パスカルの三角形と二項展開を関連させ、可
視化することでより理解しやすくなった。
• 教育プログラム
2 乗、3 乗の展開式を図形で可視化することによって、係数のつき方を理解することは分か
りやすいと体感できた。また、組み合わせや階乗を用いて二項係数の規則性やパスカルの三
角形との関連性を発見することができた。対象は高校生であるが、中学生でも理解できるよ
うなプログラムの作成を行った。
• 高大連携の実施
10 月に行った高大連携で、市立函館高校の 1 年生の 10 名「可視化による助け」を実施した。
短い時間ではあったものの、模型を用いて係数のつき方の理解を促したことで驚きや興味を
促すことができた。また実施内容が「可視化による助け」と学習プログラムの一部であった
が、学習プログラムに対する興味を促すコメントをいただけたことから、可視化による学習
意欲の向上が期待できると判断できた。「一般化へのステップアップ」と「類似性と規則性
の発見」は実施できなかったが、高大連携での実施がこの学習プログラムの可能性を高める
ことに繋げられたと感じた。またポスターを資料して配布したことで、参加した市立函館高
校 1 年の生徒 10 名にプロジェクトの活動を伝えられた。
• 教材作成
模型とワークシートを用いた教材と、ブラウザを用いたディジタル教材の 2 種類を作成し
た。その中で報告者はブラウザを用いたディジタル教材作成を行い、「規則性と類似性の発
見」を担当した。一貫した学習プログラムを項目毎に分担したため、成澤、西山と細かく進
捗報告を行い、項目間の整合性を保つよう心掛けた。しかし、シグマ記号については取り入
れられておらず、評価実験も行っていない。また、教材も不備が残るため、今後は教材のプ
ログラムの修正、シグマ記号に関する項目を追加し、この教材を用いた学習プログラムの実
施、評価を行うことが課題である。
Group Report of 2012 SISP
- 52 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
• 最終発表
最終発表では発表を担当した。スライドの作成では、活動内容が傍聴者に対して明確に正し
く伝わるよう考えた。発表練習でもその点を意識して練習を繰り返し行なった。練習ではメ
ンバーから発表での注意すべき点等を指摘してもらい、発表時はそれを生かした発表が行え
た。
（※文責: 水無真理子）
Group Report of 2012 SISP
- 53 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
第 6 章 今後の課題と展望
前期 本グループでは学年間や単元間で分断された知識を束ねる力を養成することで学習意欲の向
上につなげるための授業から離れた学習プログラムを提案する。そこで教科書分析や学習指
導要領の比較を行い、各々学校教育の枠にとらわれず、幅広く題材集めに取り掛かった。目
的や方針と題材が本質を捉えた学習プログラムとなるために、題材の選定に十分な時間を割
いた。その結果、題材を二項展開に決定した。題材を決定した主な理由として、関連する学
習が中学から大学と幅広く学年を横断していることとシグマを用いるかどうかによる表記の
違いが挙げられる。そこで二項展開を介した総合型数学学習の学習プログラムの提案を行う
こととし、これは「可視化による助け」、「一般化へのステップアップ」、「類似性と規則性の
発見」という 3 つの項目で構成される。ここまでが前期の活動の中で行われた。
後期の課題は、今回提案する学習プログラムの対象と「可視化による助け」、「一般化へのス
テップアップ」
、
「類似性と規則性の発見」の 3 項目の具体的な内容の決定、三つ目は学年間
や単元間で分断された知識を束ねる力を養成する学習プログラムを組み込んだ教材を作成、
10 月に行われる高大連携に向けた準備である。実践フィールドは中大連携教育、高大連携
教育、学内還元や入学前通信教育、自学自習の場を想定している。
後期 後期は前期終了時に想定した対象と学習プログラムの詳細内容の決定、教材の作成、高大連
携の実施準備を行った。対象は高校生と未来大生とした。学習プログラムは「可視化によ
る助け」では 2 乗や 3 乗の展開式を面積や体積という図形に表すことで驚きや興味をひき、
「一般化へのステップアップ」では図形から式に戻すことにより、図形で表すことのできな
い 4 乗の展開式を導けるように促し、「類似性と規則性の発見」では前記 2 項目から類似性
や規則性を見つけ出し、さらに組み合わせや階乗を教えることにより、高次元の展開式や n
乗の展開式も導くことができる内容とした。教材の作成では模型とワークシートを用いた教
材とブラウザを用いたディジタル教材という 2 種類の方法で作成することができた。高大連
携の実施については、
「可視化による助け」を実施し、学習意欲の向上への期待を高めた。し
かし、作成した教材についての評価実験環境を整えられなかった。また、作成した教材には
シグマ記号を用いる内容までまかなわれていない。そのため二項展開を介した総合型数学学
習の学習プログラムの教材が完成したとは言えない。教材を一定段階まで開発できたことは
評価できるが、十分ではない。今後はシグマ記号を用いる内容を加え、評価実験を行い、実
験結果を分析し、細部の改良を重ね、学習プログラムをパッケージ化することが課題として
ある。しかし今回考案した学習プログラムの教材は、高大連携での実施から手応えを得た。
今後の改善により、高大連決教育や本学の新入生へ実施が可能となり、教材の使用が学習意
欲の向上に貢献できると考える。
（※文責: 湯川千聖）
Group Report of 2012 SISP
- 54 -
Group Number 8-B
Supports for regional education in mathematical science
参考文献
[1] IEA 国際数学・理科教育動向調査の 2007 年調査.
http://www.nier.go.jp/timss/2007/gaiyou2007.pdf
[2] OECD 生徒の学習到達度調査
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/detail/__icsFiles/
afieldfile/2010/12/07/1284443_01.pdf
[3] 中央教育審議会 初等中等教育分科会 教育課程部会（第 4 期第 3 回）議事録・配付資料 ［資料
7］小・中学校の授業時数に関する基礎資料‐文部科学
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/ chukyo3/siryo/07061432/005/
001.htm
[4] 科学の甲子園
http://rikai.jst.go.jp/koushien/
[5] スーパーサイエンスハイスクール（SSH）
https://ssh.jst.go.jp/
[6] 必修科目『解析学 I』の I∼L クラスの実施状況，公立はこだて未来大学，2012 年
[7] 中学校学習指導要領 新旧対応表
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/
afieldfile/2011/03/30/1304424_002.pdf
[8] 高等学校学習指導要領 新旧対応表
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/
afieldfile/2011/03/30/1304427_003.pdf
Group Report of 2012 SISP
- 55 -
Group Number 8-B