Lite historia om t-testet
t-Testet
• ”Students t-test”
• "Student," pseudonym som används av William
Gosset (bild)
• Jobbade på Guinness bryggeriet i Dublin i
början av 1900-talet
• allmänt betecknas alla test som använder tfördelningen som t-test
[email protected]
Students t-fördelning
Definition för t-fördelningen
T för olika frihetsgrader; Jämförelse med N(0,1)
Z  N (0, 1)
W  F 2 Q Q frihetsgrader
0.3
Z och W oberoende
Om Z och W har ovanstående fördelningar, så
har följande kvotient en t-fördelning:
Z
 t (Q )
W
Density
Förutsättningarna:
df
1
2
5
10
N(0,1)
0.4
0.2
0.1
X
t-distribution med Q frihetsgrader
0.0
-5.0
-2.5
0.0
2.5
5.0
Q
täthetsfunktion
Användning av t-testet
1.
2.
3.
Har en normalfördelning det hypotetiska medelvärdet µ0 ?
.... om ı inte är känd
[ One-Sample t-test ]
Två oberoende stickprov: µ1 = µ2 ?
[ Two- Sample t-test ]
Två parade stickprov: µ1 = µ2 ?
[ Paired t-test ]
före/efter behandling
med/utan medikament
rökare/icke-rökare
genvariant 1 eller 2
vikt art 1 art 2
skörd med/utan gödsel
osv.
Ett stickprov: Hur räknar man?
det hypotetiska
medelvärdet för hela
populationen
stickprovets medelvärde
t
stickprovets
standardavvikelse
x P0
s
n
Testvariabel t,
ett stickprov
stickprovets storlek
t-test, ett stickprov, tvåsidigt
Ett stickprov: Hur räknar man?
T, df=9
• µ0=2, var hypotes för fördelningens medelvärde
• Vi tog ett stickprov med 9 värden som gav
medelvärdet 1.1 och s = 2.7
0.4
Density
0.3
n=10
x P0
s
n
t
0.2
0.1
t
x P0
s
n
1.1 2
2.7
9
0.9
0.9
0.0
1
-2.26
0
2.26
Det är osannolikt att ett sådant
extremt värde för t kommer till
stånd, givet att H0 gäller
T
t :krit ĺ förkasta H0
Om stickprovets medelvärde skiljer sig signifikant från µ0 så
förkastas nollhypotesen H0 (fördelningen har alltså troligtvis
inte P0 som väntevärde).
Kritiska områden för olika
signifikansnivåer (tvåsidigt test)
mera benägen att
hålla fast vid H0
0.025
0.025
Testvariabel, ett stickprov:
Į=0.05
Į=0.01
One-sample t-test
1.
2.
3.
Hypotes H0: µ = µ0 Ha: µ  µ0 (tvåsidigt)
Välj signifikansnivå: D = 0.05 ĺ :krit
Stickprov ĺ medelvärde och
standardavvikelse
4.
5.
Testvariabelns värde
Förkasta H0 om t ligger i det kritiska
området (”rejection region”)
x
s
1
¦ xi
n
1
¦ xi x n 1
x P0
s
n
t
Į=0.001
^t : | t | ! t f `
: krit
värdena för det kritiska området beror också på antalet ”frihetsgrader”
D 2
med
f
n 1
Slutledning
Hur kommer man på detta?
(Tillägsinformation)
Om H0 är sann, då vet vi att:
Z
X P0
V
 N 0, 1
Om X~N(µ,ı) gäller allmänt:
W
se föreläsning normalfördelning
n
(n 1) S 2
(S är stickprovs-standardavvikelsen)
 F 2 n 1
V2
Testvariabeln är en speciell funktion av Z och W:
X P ˜
Z
W
n 1
0
n
V
X P ˜
0
2
(n 1) S
V 2 ˜ n 1
n
S
t(n-1) - fördelad
X P Om H0 är
sann ...
0
S
n
X P0
S
n
T  t ( n 1)
Slutledning:
t
T  t n 1
H0 är sann
Kvantiler för t-fördelningen
x P0
s
n
Distribution Plot
T, df=6
Vi behöver
kvantilerna för att
veta vilket värde
på x-axeln tillhör
vilken area under
täthetsfunktionen
(som är ju D)
0.4
Om t-värdet hamnar i den röda
regionen, så förkastar vi
nollhypotesen (H0). Sannolikheten
att ett sådant värde kommer till
stånd ”under H0” (av ren slump) är
nämligen liten (” 5%).
T, df=6
0.4
0.3
Density
Density
0.3
Distribution Plot
0.2
0.2
0.1
0.025
0.025
0.0
0
T
0.1
0.025
0.025
0.0
0
t0.975(6) = -t0.025(6)
OBS!: Kvantilerna
beror också på f=n-1
(antalet ”frihetsgrader”)
t0.025(6)
(symmetriskt runt 0)
T
t-test.MPJ
Kvantiler för tfördelningen
Kvantiler för tfördelningen
Graph / Probability Distribution Plot /
View Probability / Distribution: t /
Degrees of freedom: 6 / Shaded area
/ Probability = 0.05 / Right tail
df
2
6
N(0,1)
T
T, df=6
0.4
0.3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.2
f stor ĺ liten skillnad till N(0,1)
0.1
0.05
Större spridning (tails) för T pga.
större osäkerhet – vi vet ju inte ı
och måste skatta det (med s).
Förutsättningar: 1-Sample t-test
• Populationen är normalfördelad (eller n • 30)
• Slumpmässigt stickprov
man får t. ex. inte:
• bara välja barn från en sportgymnasieskola
•
•
bara välja barn från en storstadsregion
subjektivt välja ut på något sätt
Stickprovet måste vara representativt.
0.0
0
1.94
Exempel: astronauter (igen)
• känd fördelning: antalet vita blodceller per ml blod hos
friska vuxna: µ=7500; ı=1250 (mätt hos miljontals människor,
kan därför anses som sanna populationsparametrar)
... men den här gången
antar vi inte att
standardavvikelsen är
densamma som för
”jordnära” människor ...
Stickprov: 7130, 6845, 7055, 7235, 7200, 7450, 7750, 7950, 7340, 7150
Ny ”population”: astronauter! samma µ?
: krit
Nollhypotes:
Ha: µ07500 (tvåsidigt)
4.
5.
D
2
9 ;
t ! tD 9 2
`
Rejection Region (RR)
^ t t0.025 9 ; t ! t0.025 9 `
^ t 2.26 ; t ! 2.26 `
H0: µ0=7500 (ingen förändring)
2.
3.
^t t
tvåsidigt test !
Distribution Plot
T, df=9
Signifikansnivå: D = 0.05
Stickprovets medelvärde
och standardavvikelse
x
Testvariabel t
t H :krit (kritiska området)
ĺ förkasta H0
0.4
1
¦ xi
n
7310.5
1
¦ xi x 2
n 1
s
t
x P0
s
n
D
0.3
330.1
7310.5 7500
330.1
10
Density
1.
t-test.MPJ
: krit
0.05
t tD 9 ; t ! tD 9 0.2
0.025
0.0
0.025
-2.26
0
2
2
`
^ t t0.025 9 ; t ! t0.025 9 `
^ t 2.26 ; t ! 2.26 `
0.1
1.815
^
2.26
-1.815
2.26
-2.26
gäller bara för n=10:
-2.26
+2.26
t-test.MPJ
Exempel - Minitab
•
•
Testvariabel (Statistika)
Nollhypotes: µ0=7500
Stickprov: 7130, 6845, 7055, 7235, 7200, 7450, 7750, 7950, 7340, 7150
x P0
s
n
t
Distribution Plot
T, df=9
0.4
Stat / Basic Statistics
1-Sample t
Sample in column C1
Perform hypothesis test
Hypothesized mean: 7500
Density
0.3
0.2
0.1
0.0515
0.0
0.0515
-1.815
0
One-Sample T: blod
Test of mu = 7500 vs not = 7500
Variable N Mean StDev SE Mean
blod
10 7311 330
104
95% CI
T
(7074, 7547) -1.82
P
0.103
1.815
• Beräkning av en testvariabel dess fördelning är helt känd
t.ex. T ~ t(n-1)
• Testvariabeln var noll(1) om stickprovet stämde exakt
överens med nollhypotesen.
• Ju starkare testvariabeln avviker från noll, desto mindre
trovärdigt blir det att nollhypotesen stämmer.
• Om testvariabeln överskrider ett kritiskt värde, så förkastas
nollhypotesen.
• Olika test utnyttjar bara olika testvariabler, se nästa sida ...
(1)Värdet
för testvariabeln kan också vara något annat än noll, t.ex ett för F-testet
Wackerly, p. 492
Two-Sample t-test, samma varianser
X i  N (P x , V )
H0: 'µ=µ1-µ2 (inte noll)
Yi  N ( P y , V ) samma, okänd V
H0 : Px
S p2
T
f
Py
nx 1 ˜ S x2 n y 1˜ S y2
nx 1 n y 1
X Y
1 1
Sp ˜
nx n y
nx n y 2
pooled variance
statistika ; t ( f ) fördelad (om H 0 sann)
lower tail: Ha: Px < Py
antalet frihetsgrader
Värdet av t säger oss om T kan vara t(f)-fördelad ...
och därmed om H0 är trovärdig ...
http://www.adryver.com/mybook/
Two-Sample t-test, olika varianser
När är musklerna i fara?
(Welch test, Smith-Satterthwaite test))
Grupp 1 (Pkat L-1)
2
X i  N (P x , V x )
Yi  N ( P y , V y )
Vx zVy
H0 : Px
Py
t
xy
2
2
s
sx
y
nx n y
under H0
 t f f
ª sx 2 s y 2 º
»
«
¬« n x n y »¼
2
2
2
·
§ s x 2 · §¨ s y
¨ n ¸ ¨ n ¸¸
y
x¹
©
¹
©
nx 1
ny 1
rounded down if not integer
Värdet av t säger oss om T kan vara t(f)-fördelad ...
och därmed om H0 är trovärdig.
2,09
3,80
3,83
1,66
2,90
3,63
4,24
3,81
2,09
4,64
2,37
3,07
2,88
3,05
3,18
2,02
2,69
3,15
3,43
3,00
2,06
3,73
3,81
2,45
1,58
5,53
4,15
2,49
3,03
2,94
2,92
3,18
3,39
3,35
3,38
1,73
1,91
5,10
2,58
3,27
3,33
2,85
1,65
1,89
2,40
3,37
3,24
2,40
2,90
4,47
µ1 = µ2 ?
Minitab - resultat
Two-Sample t-test, Minitab
Stat / Basic Statistics / 2-Sample t ...
Grupp 2 (Pkat L-1)
4,02
Two-sample T for G1 vs G2
Musklerna.MPJ
Om man redan har
medelvärdet och s
för båda stickprov
N
G1 28
G2 23
Mean
2.624
3.616
StDev
0.658
0.827
SE Mean
0.12
0.17
Assume equal variances
Difference = mu (G1) - mu (G2)
Estimate for difference: -0.992
95% CI for difference: (-1.409, -0.574)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -4.77
Both use Pooled StDev = 0.7384
(fel kan uppstå om det inte stämmer!
- man får inte anta det utan skäl)
P-Value = 0.000
DF = 49
Two-sample T for G1 vs G2
V 1 V 2 eller V 1 z V 2
Bestäm:
ensidigt, tvåsidigt,
'P0 (kan vara œ0)
Förutsättningar för 2-S t-test
• Båda stickprov från normalfördelning
• Stickprov är oberoende
• Är man inte säker att båda populationer har
samma varians måste man köra Welch-testet
(Minitab: man får inte välja ”Assume equal
variances”)
N
G1 28
G2 23
Mean StDev SE Mean
2.624 0.658
0.12
3.616 0.827
0.17
Unequal variances
(CI blir lite bredare)
Difference = mu (G1) - mu (G2)
Estimate for difference: -0.992
95% CI for difference: (-1.421, -0.563)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -4.67
P-Value = 0.000
DF = 41
Oberoende och parade observationer
Kroppsvikten före och efter juldagarna:
Oberoende stickprov:
Grupp 1, före
70.4 80.1 65.8 66.7 74.3 72.1 70.9 85.4 89.3 90.4 78.9 77.0
Grupp 2, efter
70.9 65.8 66.7 74.3 87.2 89.3 93.4 82.1 74.1 70.9
Parade stickprov:
person
A
B
C
D
E
F
G
H
före
78.1
66.9
74.3
72.5
90.9
78.3
68.4
72.5
efter
79.2
67.0
77.1
73.3
92.0
78.1
68.4
72.9
t-test, paired samples
t-test, paired samples
A
B
C
D
E
F
G
H
före
78.1
66.9
74.3
72.5
90.9
78.3
68.4
72.5
efter
79.2
67.0
77.1
73.3
92.0
78.1
68.4
72.9
zi
1.1
0.1
2.8
0.8
1.1
-0.2
0
0.4
A
B
C
D
E
F
G
H
före
78.1
66.9
74.3
72.5
90.9
78.3
68.4
72.5
efter
79.2
67.0
77.1
73.3
92.0
78.1
68.4
72.9
zi
1.1
0.1
2.8
0.8
1.1
-0.2
0
0.4
X i  N ( Pi , V x ) och Yi  N ( Pi ', V y )
H0 : z
0 ingen skillnad mellan väntevärden
xi yi
zi
z
t
... testa om
medelvärdet för
z är noll
(som 1-S t-test)
statistika ; t ( f ) fördelad (om H 0 sann )
sz
n
n 1
f
antalet frihetsgrader
differens z är normalfördelad
Paired t-test
zi
xi yi
z
¦z
n
i
i 1
t
0.7625
0.9606
z
sz
n
f
: krit
Stat / Basic Statistics / Paired t ...
1
>1.1 0.1 2.8 0.8 1.1 - 0.2 0 0.4@ 0.7625
8
1
zi z 2
n 1
sz
musklerna.MPJ
Minitab: t-test för parade
observationer
0.9606
8
0.7625
0.3396
2.245
Om man redan
har medelvärdet
för z och sz
n 1 7
ª t t f ; t ! t f º
D
D
«¬
»¼
2
2
> t t0.025 7 ;
t ! t0.025 7 @
> t 2.365 ;
t ! 2.365 @
Parvis!
Konfidensgrad = D
ensidigt el. tvåsidigt
hypotes för '
2.365
-2.365
Minitab: t-test för parade
observationer
Paired T for före - efter
N Mean
före
8 75,24
efter
8 76,00
Difference 8 -0,762
StDev
7,51
7,82
0,961
SE Mean
2,66
2,76
0,340
95% CI for mean difference: (-1,566; 0,041)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0):
T-test
Förtecknet beror på vad
som subtraheras av vad –
oviktigt för 2-sidigt test
1 stickprov
H0 : P P0
t
T-Value = -2,25
P-Value = 0,060
x P0
s
n
Oberoende stickprov
Vx Vy
Student’s t
Inte signifikant på
5% signifikansnivå
t
xy
1
1
Sp ˜
nx n y
Se text för:
s, sz, sx, sy, sp och f
2 stickprov
H0: Px=Py
Parade stickprov
t
VxœVy
Welch
t
z
sz
n
xy
2
2
s
sx
y
nx n y
[email protected]