Notes_03_01
1 of 12
Geometric Kinematics for Four Bar
C
3

r1 = AD = 90 cm
2 = 65
B
r2 = AB = 30 cm
2

r3 = BC = 60 cm
r4 = CD = 45 cm
 2 = 10 rad/s CW
 = 2 rad/s2 CCW
4
2
 = 0.5 rad/s3 CW
2
1
A
B
D
e
r2


2
A
1
D
r1
POSITION ANALYSIS

e  r  r  2r1r2 cos  2
2
2
1
2
2
C 
e  r12  r22  2r1 r2 cos  2
r3
sin  2 / e  sin  / r2
sin   r2 sin 2 / e
B




r4
e
e 2  r32  r42  2r3r4 cos 




cos   r32  r42  e 2 / 2r3 r4

D
sin  / e  sin  / r3
sin   r3 sin  / e
     4  180
 4  180    
4  3  
3  4  
VELOCITY ANALYSIS

d / dt e 2  r12  r22  2r1r2 cos  2
2ee  2r1r2 2 sin 2
e  r1r2 2 sin 2 / e

d / dtr2 sin 2  e sin 
r2 2 cos 2  e sin   e cos 
  r2 2 cos 2  e sin  / e cos 
Notes_03_01

d / dt e 2  r32  r42  2r3r4 cos 
2ee  2r3r4  sin 
2 of 12

  ee / r3r4 sin 
d / dt r3 sin   e sin 
r  cos   e sin   e cos 
3
  r3  cos   e sin  / e cos 
d / dt4  180    
 4    
d / dt 3  4   
    
3
4
ACCELERATION ANALYSIS


d / dt ee  r1r2 2 sin 2
e 2  ee  r1r22 sin 2  r1r2 22 cos 2
e  r r  sin   r r  2 cos   e 2 / e

1 2 2
2
1 2 2

2
r2 2 cos 2  e sin   e cos 
 cos   e 2 sin 
r22 cos 2  r2 22 sin 2  esin   2e  cos   e
  r22 cos 2  r2 22 sin 2  esin   2e  cos   e 2 sin  / e cos 



d / dt ee  r3r4  sin  
e 2  ee  r3r4 sin   r3r4  2 cos 


  e 2  ee  r3r4  2 cos  / r3r4 sin 

d / dt r3  cos   e sin   e cos 

 cos   e 2 sin 
r3 cos   r3  sin   esin   2e  cos   e
  r  cos   r  2 sin   esin   2e  cos   e 2 sin  / e cos 

2

3

3




d / dt  4    
  

  
4
d / dt  3   4  
    
3
4
Notes_03_01
3 of 12
JERK ANALYSIS


d / dt e 2  ee  r1r22 sin 2  r1r2 22 cos 2
3ee  ee  r1r22 sin 2  3r1r2 22 cos 2  r1r2 32 sin 2
e  r r  sin   3r r   cos   r r  3 sin   3ee / e

1 2 2
2
1 2 2 2
2
1 2 2
2



 cos   e 2 sin 
d / dt r22 cos 2  r2 22 sin 2  esin   2e  cos   e
 cos 
r  cos   3r   sin   r  3 cos   esin   3e cos   3e 
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
 sin   e 3 cos 
 3e  sin   e cos   3e 
 r  cos 2  3r2 22 sin 2  r2 32 cos 2  3e 

 sin 
 / e cos 
   2 2
2
  e 3 cos   3e cos   3e 







cos


3
e

sin


e
sin



2

d / dt e 2  ee  r3r4 sin   r3r4  2 cos 

3ee  ee  r3r4sin   3r3r4  cos   r3r4  3 sin 


  3ee  ee  3r3r4  cos   r3r4  3 sin  / r3r4 sin 

 cos   e 2 sin 
d / dt r3 cos   r3  2 sin   esin   2e  cos   e
 cos 
r cos   3r  sin   r  3 cos   esin   3e cos   3e 
3
3

3
 sin   e 3 cos 
 3e  sin   ecos   3e 
 


3

 
   r3  cos   3r3  sin   r3  cos   e sin   3e cos   / e cos 
  3e 

 cos   3e  2 sin   3e 
 sin   e 3 cos 


2





  
d / dt 4  
    
4
d / dt 3  4  
    
3
4
SNAP ANALYSIS

d / dt 3ee  ee  r1r22 sin 2  3r1r2 22 cos 2  r1r2 32 sin 2


3e2  4ee  ee  r1r22 sin 2  4r1r22 2 cos 2  3r1r222 cos 2  6r1r2 222 sin 2  r1r2 42 cos 2


e  r1r22 sin 2  4r1r22 2 cos 2  3r1r222 cos 2  6r1r2 222 sin 2  r1r2 42 cos 2  3e2  4ee / e
Notes_03_01
4 of 12
 r  cos 2  3r2 22 sin 2  r2 32 cos 2  esin   3e cos   3e 
 cos  

d / dt  2 2
2
3












3
e

sin


e

cos


3
e


sin


e

cos




r22 cos 2  r22 2 sin 2  3r222 sin 2  3r2 22 sin 2  3r2 222 cos 2  3r2 222 cos 2  r2 42 sin 2
 cos   3e 2 sin   3e
 cos   3e cos   3e  
 sin 
 esin   e cos   3e cos   3e
 sin   3e  3 cos   e cos   e cos   e sin 
 3e 2 sin   6e  
 sin   3e
 2 sin   3e sin   3e 2
 cos   e  3 cos   3e 2
 cos   e 4 sin 
 3e  
r22 cos 2  4r2 22 sin 2  3r222 sin 2  6r2 222 cos 2  r2 42 sin 2
 cos   6e 2 sin   4e cos   12e  
 sin   4e  3 cos 
 esin   4e cos   6e
 2 sin   6e 2
 cos   e 4 sin 
 e cos   4e  sin   3e
 r  cos   4r   sin   3r 2 sin   6r  2 cos   r  4 sin 

2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2

2
2
4

 / e cos 


   4e sin   3e
 sin   6e 
 cos   e sin   esin 


 cos   6e 2 sin   4e cos   12e  
 sin   4e  3 cos  
  4e cos   6e



d / dt 3ee  ee  r3r4sin   3r3r4  cos   r3r4  3 sin 

3e2  3ee  ee  ee  r3r4sin   r3r4 cos 
 3r3r42 cos   3r3r4 cos   3r3r4  2 sin   3r3r4  2 sin   r3r4  4 cos 
3e2  4ee  ee  r3r4sin   4r3r4  cos   3r3r42 cos   6r3r4  2 sin   r3r4  4 cos 


  3e2  4ee  ee  4r3r4  cos   3r3r42 cos   6r3r4  2 sin   r3r4  4 cos  / r3r4 sin 
 cos  
 r cos   3r3  sin   r3  3 cos   esin   3e cos   3e 

d / dt  3


 2 sin   ecos   3e 
 sin   e 3 cos 


3
e



r3 cos   r3  sin   3r32 sin   3r3  sin   3r3  2  cos   3r3  2 cos   r3  4 sin 
 cos   3e 2 sin   3e
 cos   3e cos   3e  
 sin 
 esin   e cos   3e cos   3e
 sin   3e  3 cos   e cos   e cos   e sin 
 3e 2 sin   6e  
 sin   3e
2 sin   3e sin   3e 2
 cos   e  3 cos   3e 2
 cos   e 4 sin 
 3e  
Notes_03_01
5 of 12
r3cos   4r3  sin   3r32 sin   6r3  2  cos   r3  4 sin 
 cos   6e 2 sin   4ecos   12e  
 sin   4e  3 cos 
 esin   4e cos   6e
2 sin   6e 2
 cos   e 4 sin 
 ecos   4e sin   3e
 r3cos   4r3  sin   3r32 sin   6r3  2  cos   r3  4 sin 



    4e sin   3e
2 sin   6e 2
 cos   e 4 sin   esin 
 / e cos 


 cos   6e 2 sin   4ecos   12e  
 sin   4e  3 cos  
  4e cos   6e




d / dt 4    
    
4


d / dt 3  4  
    
3
4
SAMPLE VALUES FOR FOUR BAR
2 = 65
e = 81.9626 cm
= 19.3737
 = 101.6763
 = 45.7986
4 = 114.8278
3 = 13.1515
 2 = -10 rad/s
e = -298.5547 cps
 = -0.3588 rad/s
 = -9.2546 rad/s
 = +5.7122 rad/s
 4 = -5.3533 rad/s
 3 = +3.9013 rad/s
MATLAB code available in Notes_03_02
 = +2 rad/s2
2
e = +364.3867 cps2
 = -38.9682 rad/s2

 = +62.7055 rad/s2
 = -30.8000 rad/s2

 = +69.7682 rad/s2
4
 = +7.0627 rad/s2
3
 = -0.5 rad/s3
2
e = +32987 cm/s3
 = -363.3719 rad/s3
 = -253.3073 rad/s3
 = +125.9668 rad/s3
 = +237.4051 rad/s3
4
 = +490.7125 rad/s3
3
Notes_03_01
6 of 12
Geometric Kinematics for Slider Crank
B
R = AB
L = BC
3
2

A

C
4
1
1
s
POSITION ANALYSIS
R sin   L sin 
sin   R sin  / L 
s  R cos   L cos 
VELOCITY ANALYSIS
d / dtR sin   L sin 
R cos   L cos 
  R cos  / L cos 
d / dts  R cos   L cos 
 sin    

s  R sin   L sin   R 
 cos  
ACCELERATION ANALYSIS


d / dt R cos   L cos 
R cos   R 2 sin   L cos   L 2 sin 
  R cos   R 2 sin   L 2 sin  / L cos 




d / dt s  R sin   L sin 
s  R sin   R 2 cos   L sin   L 2 cos 
JERK ANALYSIS


d / dt R cos   R 2 sin   L cos   L 2 sin 
Rcos   3R  sin   R 3 cos   Lcos   3L  sin   L 3 cos 
  Rcos   3R  sin   R 3 cos   3L  sin   L 3 cos  / L cos 


Notes_03_01

7 of 12

d / dt s  R sin   R 2 cos   L sin   L 2 cos 
s  Rsin   3R  cos   R 3 sin   Lsin   3L  cos   L 3 sin 
SNAP ANALYSIS


d / dt Rcos   3R  sin   R 3 cos   Lcos   3L  sin   L 3 cos 
Rcos   4Rsin   3R2 sin   6R 2 cos   R 4 sin 

 Lcos   4Lsin   3L2 sin   6L 2 cos   L 4 sin 
 


2
 2
4
   R  cos   4R  sin   3R sin   6R  cos   R sin   / L cos 
  4Lsin   3L2 sin   6L 2 cos   L 4 sin 




d / dt s  Rsin   3R  cos   R 3 sin   Lsin   3L  cos   L 3 sin 
s  Rsin   4Rcos   3R2 cos   6R 2 sin   R 4 cos 

 Lsin   4Lcos   3L2 cos   6L 2 sin   L 4 cos 

Notes_03_01
8 of 12
APPROXIMATE EXPLICIT SOLUTION
cos 2   1  sin 2   1 
cos   1 
R2
sin 2  
L2
sin 2  
1  B2
1  B2  1 
binomial series
cos   1 
R2
sin 2 
L2
for
sin  
for
B
R
sin 
L
R
sin 
L
1 2
1 4
1 3
1 3  5
B 
B 
B6 
B8  
2
24
246
2  4  6 8
R2
sin 2 
2L2
1
1  cos 2
2


R2
R2
1  cos 2
s  R cos   L1  2 1  cos 2  R cos   L 
4L
4L


s  R  sin  
R2 
R


 sin 2  R   sin  
sin 2 
2L
2L


R
s   R  2  cos   cos 2 
L


for   0
2R

s  R  3  sin  
sin 2 
L


for     0
4R

s  R  3  cos  
cos 2 
L


for       0
HIGHER ORDER APPROXIMATION (for     0 )

R 2 3R 4
5R 6
s  R cos    L 


4L 64L3 256L5

 R3
3R 5
 R 

3
256L5
 64L

 R
R3
15R 5
  R 


3
512L5

 4L 16L

 R5
 cos 4  R 
5

 512L

 cos 6


 cos 2

Notes_03_01

 R
R3
15R 5
s  R sin   2


3
512L5
 4L 16L


 R3
3R 5
 sin 2  4

3
256L5

 64L
9 of 12

 sin 4

 R5
 6
5
 512L


 sin 6



 R
R3
15R 5
s  R 2 cos   4


3
512L5
 4L 16L


 R3
3R 5
 cos 2  16

3
256L5

 64L

 R5
 cos 4  36
5

 512L

 R
R3
15R 5
s   R 3 sin   8


3
512L5
 4L 16L


 R3
3R 5
 sin 2  64

3
256L5

 64L

 R5
 sin 4  216
5

 512L

 R
R3
15R 5
s   R 4 cos   16


3
512L5
 4L 16L


 R3
3R 5
 cos 2  256

3
256L5

 64L


 cos 6




 sin 6



 R5
 cos 4  1296
5

 512L


 cos 6


Notes_03_01
10 of 12
Geometric Kinematics for Inverted Slider Crank
B
r
r

C
r
POSITION ANALYSIS
2    180
  180  2
r42  r12  r22  2r1r2 cos 
r4  r12  r22  2r1r2 cos 
r2 sin 2  r4 sin 4
sin 4  r2 sin 2 / r4
VELOCITY ANALYSIS
d / dt  180  2 
   2

d / dt r42  r12  r22  2r1r2 cos 
 sin 
2r4r4  2r1r2
r4  r1r2 sin  / r4

d / dtr2 sin 2  r4 sin 4 
r2 2 cos 2  r4 sin 4  r4 4 cos 4
 4  r2 2 cos 2  r4 sin 4 / r4 cos 4
ACCELERATION ANALYSIS

d / dt    2
  2


d / dtr4r4  r1r2 sin 
 sin   r1r2 2 cos 
r42  r4r4  r1r2
r4  r1r2
 sin   r1r2 2 cos   r42 / r4


A
Notes_03_01

11 of 12

d / dt r2 2 cos 2  r4 sin 4  r4 4 cos 4
r22 cos 2  r2 22 sin 2  r4 sin 4  2r4 4 cos 4  r44 cos 4  r4 24 sin 4
  r  cos   r  2 sin   r sin   2r  cos   r  2 sin  / r cos 
4
2 2
2
2 2
2
4
4
4 4
4
4 4
4
4
4


JERK ANALYSIS

  2
d / dt 
  2



 sin   r1r2 2 cos 
d / dt r42  r4r4  r1r2
 cos   r1r2 3 sin 
3r4r4  r4r4  r1r2sin   3r1r2 
r4  r1r2sin   3r1r2 
 cos   r1r2 3 sin   3r4r4 / r4

d / dt r22 cos 2  r2 22 sin 2  r4 sin 4  2r4 4 cos 4  r44 cos 4  r4 24 sin 4
r  cos   3r   sin   r  3 cos   r sin   3r  cos   3r  cos 
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
4
4
4 4
4
4 4

4
 3r4 24 sin 4  r44 cos 4  3r4 44 sin 4  r4 34 cos 4
 
3
 


 
   r2 2 cos  2  3r2  2  2 sin  2  r2  2 cos  2  r4 sin  4  3r4  4 cos  4  / r cos 
4
4
  3r  cos   3r  2 sin   3r   sin   r  3 cos 
 4
4 4
4
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4


SNAP ANALYSIS

d / dt   2
  

2

 cos   r1r2 3 sin 
d / dt 3r4r4  r4r4  r1r2sin   3r1r2 

3r42  3r4r4  r4r4  r4r4  r1r2sin   r1r2 cos 
 2 cos   3r1r2 cos   3r1r2 2
 sin   3r1r2 2
 sin   r1r2 4 cos 
 3r1r2
 2 cos   6r1r2 2
 sin   r1r2 4 cos 
3r42  4r4r4  r4r4  r1r2sin   4r1r2  cos   3r1r2


r4  r1r2sin   4r1r2  cos   3r1r2
 2 cos   6r1r2 2
 sin   r1r2 4 cos   3r42  4r4r4 / r4
 r22 cos 2  3r2 22 sin 2  r2 32 cos 2  r4 sin 4  3r4 4 cos 4  3r44 cos 4 

d / dt 


 2 sin   r  cos   3r   sin   r  3 cos 


3
r

4 4
4
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4


Notes_03_01
12 of 12
r22 cos 2  3r2 22 sin 2  r2 32 cos 2  r4 sin 4  3r4 4 cos 4  3r44 cos 4
 3r4 24 sin 4  r44 cos 4  3r4 44 sin 4  r4 34 cos 4

r22 cos 2  r2 22 sin 2  3r222 sin 2  3r2 22 sin 2  3r2 222 cos 2
 3r2 222 cos 2  r2 42 sin 2  r4 sin 4  r4 4 cos 4  3r4 4 cos 4  3r44 cos 4  3r4 24 sin 4
 3r  cos   3r  cos   3r   sin   3r  2 sin   6r   sin   3r  3 cos 
4 4
4
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4

 r44 cos 4  r44 cos 4  r4 44 sin 4  3r4 44 sin 4  3r424 sin 4  3r4 44 sin 4  3r4 244 cos 4
 r  3 cos   3r  2 cos   r  4 sin 
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4
r22 cos 2  4r2 22 sin 2  3r222 sin 2  6r2 222 cos 2  r2 42 sin 2
 r4 sin 4  4r4 4 cos 4  6r44 cos 4  6r4 24 sin 4  4r44 cos 4  12r4 44 sin 4  4r4 34 cos 4
 r  cos   4r   sin   3r 2 sin   6r  2 cos   r  4 sin 
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4
 r  cos   4r   sin   3r 2 sin   6r  2 cos   r  4 sin  
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
4










    4r44 4 sin 4  3r44 sin 4  6r444 cos 4  r44 sin 4
 / r4 cos 4
4
  r4 sin 4  4r4 4 cos 4  6r44 cos 4  6r4 24 sin 4



3
 cos   12r   sin   4r  cos 


4
r
4 4
4
4 4 4
4
4 4
4

