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(0, n) = n
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1
7
3.2.3 Basic practice
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5
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1
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(a, b)
a
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n: 2
n: 2
n: 2
n: 2
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n * fac(n-1)
n * fac(2)
n * (n * fac(n-1))
n * (n * fac(1))
n * (n * 1)
n * (2 * 1)
n * 2
3 * 2
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(a, b) =
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C9
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5
67
C9
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@
G := :
28
C
C9
@
Table 5:
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
n: 3
←→
// POST : return value is the greatest common divisor of a and b
unsigned int gcd ( unsigned int a , unsigned int b)
{
if ( b == 0) return a ;
return gcd (b , a % b ); // b != 0
}
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b
b<b
b>0
b =
return gcd (b , a % b );
(a, b)
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if ( n == 0) return 1;
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67
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67
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F
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3
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61
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7
8 8
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2 8 ? @8 79
5 ;8
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1 21
:
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5 8 2 57
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1 291 5
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7 E7
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< 4< 8
: D
@
> 51
3.2.4 Recursion versus iteration
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H
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97 8
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5 4<
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6
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47
2 @7 A G>
85 2 67
2= 8
<
n
H
// POST : return value is the greatest common divisor of a and b
unsigned int gcd2 ( unsigned int a , unsigned int b)
{
while ( b != 0) {
unsigned int a_prev = a;
a = b;
b = a_prev % b ;
(a, b) → (b, a
@
91
1@
21 [
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5
3:
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2= 5 8
1
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5
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5 :8 2>= 8
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2 57 ; ?C= :
H
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2
291 >9 8
7
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:
M
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1 <:
F 7
@ B 4 >
:7
7 21 9
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39 :
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B @
F
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57 47
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>9 8 > ;
=
5
F4 ?1 67
: 4
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3
5 8 2= [
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21
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67
5 <
5
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n = 50
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67
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21
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5
91
57
:1
@ 4
? 56 1
= ?>
57
n = 30
1
5=
>@
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F7>
5
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::
58 >
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G
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G 5 61
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7
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5 F?
F 67 =
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> ? 67
>79 B 7
2= 5 8 < E
H
5
>
5=
G 6=
G7
21
G
// POST : return value is the n - th Fibonacci number F_n
unsigned int fib ( unsigned int n)
{
if ( n == 0) return 0;
if ( n == 1) return 1;
return fib (n -1) + fib (n -2); // n > 1
}
:: >1
57
68
5 47
67
@1 <2 ; 21 T
57
> 67
> 9 5 2< ;
5 2= 5 8 61
67
5 9
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?1 : H > 8
1 T 2= 8
>
C< D :8
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427
2
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?
3
5 7 @ 7 71
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9 3
5 8 > <? G 5=
: 2= 8
> ?
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67 9 M7 8 8
2
1
91 57
? 57
B
: ? 57 8
E7
42 8 ? 21 : 1
1 F7
M 58
2= 5 8 :1 @ 7
97 5 B 3 :
29= @ 5 61 2>
2= 8
@8 31 E 7 79
2= 5 8
8
> 8 FF1 5 8
>
F
> 8 4 ?71 >1 :7
5
> "
> 8 F= := 1 7A
5 5 2 P@ 5 61 67 M
5
5 ? 57 8 ?7 67
3
91 1 27 H
5
>7 M7 8 @ T
= : = 68
; 3 ; >
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B
F0 := 0,
F1 := 1,
Fn := Fn−1 + Fn−2 ,
=;
G ::=
H>
}
return a ;
}
// POST : return value is the n - th Fibonacci number F_n
unsigned int fib2 ( unsigned int n )
{
if ( n == 0) return 0;
if ( n <= 2) return 1;
unsigned int a = 1; // F_1
unsigned int b = 1; // F_2
for ( unsigned int i = 3; i <= n ; ++ i ) {
unsigned int a_prev = a ; // F_ {i -2}
a = b;
// F_ {i -1}
b += a_prev ;
// F_ {i -1} += F_ {i -2} - > F_i
}
return b ;
}
b
n
fib2
fib2(50)
F50
fib
fib2
3.2.5 Primitive recursion
]
]
]
d
e
d
cb
a
?=
\
3.2.6 Sorting
8
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21
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[first, last)
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// POST : return value is the Ackermann function value A (m , n)
unsigned int A ( unsigned int m , unsigned int n ) {
if ( m == 0) return n +1;
if ( n == 0) return A (m -1 ,1);
return A (m -1 , A(m , n -1));
}
41
A
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m > 0, n = 0
m > 0, n > 0
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n
n+1
n+2
2n + 3
2n+3 − 3
2
.
// PRE : [ first , last ) is a valid range
// POST : the elements *p , p in [ first , last ) are in ascending order
void minimum_sort ( int * first , int * last )
{
for ( int * p = first ; p != last ; ++ p ) {
// find minimum in nonempty range described by [p , last )
int * p_min = p ; // pointer to current minimum
int * q = p ;
// pointer to current element
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while (++ q != last )
if (* q < * p_min ) p_min = q;
// interchange * p with * p_min
std :: iter_swap ( p , p_min );
Ttotal
main
0, n−1, 1, n−2, ...
minimum_sort
0, 1, . . . , n − 1
int main ()
{
int n = 100000; // number of values to be sorted
int * a = new int [n ];
std :: cout < < " Sorting " < < n < < " integers ...\ n";
// create sequence : 0 , n -1 , 1 , n -2 ,...
for ( int i =0; i < n ; ++ i)
if ( i % 2 == 0) a[ i ] = i /2; else a[i ] = n -1 - i /2;
// sort into ascending order
minimum_sort ( a , a+n );
// is it really sorted ?
for ( int i =0; i <n -1;++ i )
if ( a[ i ] != i ) std :: cout < < " Sorting error !\ n";
delete [] a;
}
return 0;
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merge
// PRE : [ first , last ) is a valid range
// POST : the elements *p , p in [ first , last ) are in ascending order
void merge_sort ( int * first , int * last )
{
int n = last - first ;
if ( n <= 1) return ;
// nothing to do
int * middle = first + n /2;
5G
61
7
n/2
// copy new deck back into [ first , last )
[middle, last)
x x
x
x
merge
n/2
[first, last)
n/2
x x
q
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B
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B ^
B
B
n
Gcomp
Time (min)
sec/Gcomp
4
3
2
1
5
merge_sort ( first , middle ); // sort first half
merge_sort ( middle , last );
// sort second half
merge ( first , middle , last ); // merge both halfs
}
n/2
x
merge
// PRE : [ first , middle ) , [ middle , last ) are valid ranges ; in
//
both of them , the elements are in ascending order
void merge ( int * first , int * middle , int * last )
{
int n = last - first ;
// total number of cards
int * deck = new int [ n ]; // new deck to be built
int * left = first ;
// top card of left deck
int * right = middle ; // top card of right deck
for ( int * d = deck ; d != deck + n ; ++ d )
// put next card onto new deck
if
( left == middle ) * d = * right ++; // left deck is empty
else if ( right == last ) *d = * left ++; // right deck is empty
else if (* left < * right ) * d = * left ++; // smaller top card left
else
*d = * right ++; // smaller top card right
]`
]
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d
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n
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2 n − 1) + n − 1
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2 n − 1) + n − 1
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f(n );
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w_ {i -1}^ F
+
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# include < iostream >
# include < IFM / turtle >
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// Prog : lindenmayer.C
// Draw turtle graphics for the Lindenmayer system with
// production F - > F +F + and initial word F .
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// POST : the word w_i ^F
void f ( unsigned int i )
if ( i == 0)
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else {
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//
ifm :: left (90);
//
f(i -1);
//
ifm :: left (90);
//
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Y → −FX − Y
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// draw w_n = w_n ^ F ++ w_n ^F ++ w_n ^F
f(n );
// w_n ^ F
ifm :: left (120);
// ++
f(n );
// w_n ^ F
ifm :: left (120);
// ++
f(n );
// w_n ^ F
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w_ {i -1}^ F
w_ {i -1}^ F
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std :: cout < < " Number of iterations =? ";
unsigned int n;
std :: cin > > n;
Σ = {F, +, −, X, Y}
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{
// POST : the word w_i ^F
void f ( unsigned int i )
if ( i == 0)
ifm :: forward (); //
else {
f(i -1);
//
ifm :: right (60); //
f(i -1);
//
ifm :: left (120); //
f(i -1);
//
ifm :: right (60); //
f(i -1);
//
}
}
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B
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u
]
// Prog : snowflake.C
// Draw turtle graphics for the Lindenmayer system with
// production F - > F -F ++F -F , initial word F ++ F ++ F and
// rotation angle 60 degrees .
# include < iostream >
# include < IFM / turtle >
// Prog : dragon .C
// Draw turtle graphics for the Lindenmayer system with
// productions X - > X+ YF + , Y - > - FX -Y , initial word X
// and rotation angle 90 degrees
# include < iostream >
# include < IFM / turtle >
void y ( unsigned int i );
// necessary: x and y call each other
// POST : w_i ^ X is drawn
void x ( unsigned int i ) {
if ( i > 0) {
x(i -1);
// w_ {i -1}^ X
ifm :: left (90);
// +
y(i -1);
// w_ {i -1}^ Y
ifm :: forward ();
// F
ifm :: left (90);
// +
}
}
// POST : w_i ^ Y is drawn
void y ( unsigned int i ) {
if ( i > 0) {
ifm :: right (90);
// ifm :: forward ();
// F
x(i -1);
// w_ {i -1}^ X
ifm :: right (90);
// y(i -1);
// w_ {i -1}^ Y
}
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if ( n == 0) return 1;
return f( f(n -1));
}
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x(n );
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int main () {
std :: cout < < " Number of iterations =? ";
unsigned int n;
std :: cin > > n;
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[
Lindenmayer systems.
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[
[
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? ^_
G7
?
57 8
1
MC27 8
?
7
<?9
}
3.2.10 Exercises
}
bool f ( int n)
{
if ( n == 0) return false ;
return ! f (n -1);
}
F
void g ( unsigned int n )
{
if ( n == 0) {
std :: cout < < " *";
return ;
}
g(n -1);
g(n -1);
}
3.2.9 Goals
unsigned int h ( unsigned int n , unsigned int b ) {
if ( n == 1) return 0;
return 1 + h ( n / b , b );
}
unsigned int
`]
]
d
e
d
cb
a
,
$
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(
#
#
'
'
&
#
'
&
x
// PRE : [ first , last ) is a valid range , and the elements *p ,
//
p in [ first , last ) are in ascending order
// POST : return value is a pointer p in [ first , last ) such
//
that * p = x , or the pointer last , if no such pointer
100
n
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Exercise 88
Exercise 87
#
n!
n
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,
k!(n − k)!
k
# /
'
n<k
n k, k = 0
n k, k > 0
n<k
n=k
k=0 ,
n > k, k > 0
Exercise 86
1
1
,
$
# #
/
'
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[
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# ( #
!
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!
!
&
#'
#
/
'
!
9
unsigned int f ( unsigned int n , unsigned int m)
{
if ( n == 0) return 0;
return 1 + f (( n + m ) / 2 , 2 * m );
}
&
!
, n, k
&
_
[
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/
#'
[
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(
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# +
#' -
Exercise 84
"
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#
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#
n
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#
n−1
k−1
#
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n−1
k−1
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*
+
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# .
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(-
k
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 0,
n
1,
:=
 n
k
&
k

 0,
n
1,
:=
 n−1
k
$
'
'
'
!
( , #
Exercise 85
(, q
q - _
(20), (10, 10), (10, 5, 5), (5, 5, 5, 5)
#
$ -
#
( !(
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#
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/ $
, '
'
(
)
/
#
&
-
,
/
!
&
(
&
#'
+
E_
// POST : return value is the Ackermann function value A (m ,n )
unsigned int A ( unsigned int m , unsigned int n ) {
if ( m == 0) return n +1;
if ( n == 0) return A (m -1 ,1);
return A(m -1 , A(m , n -1));
}
partition
// PRE : [ first , last ) is a valid nonempty range that describes
//
a sequence of denominations d_1 > d_2 > ... > d_n > 0
// POST : return value is the number of ways to partition amount
//
using denominations from d_1 , ... , d_n
unsigned int partitions ( unsigned int amount ,
unsigned int * first ,
unsigned int * last );
k
d
12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91
There were 16 possible codes .
unsigned int f ( unsigned int n)
{
if ( n <= 2) return 1;
return f (n -1) + 2 * f(n -3);
}
]]
]
d
e
d
cb
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Y → X − Y − X.
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Exercise 90
B
B
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2
1
Exercise 89
E_
//
exists
int * binary_search ( int * first , int * last , int x)
{
int n = last - first ;
if ( n == 0) return last ;
// empty range
if ( n == 1)
if (* first == x)
return first ;
else
return last ;
// n >= 2
int * middle = first + n /2;
if (* middle > x ) {
// x can ’t be in [ middle , last )
int * p = binary_search ( first , middle , x );
if ( p == middle )
return last ; // x not found
else
return p ;
} else
// * middle <= x ; we may skip [ first , middle )
return binary_search ( middle , last , x );
}
3
(1, 3)
(2, 3)
2
n = 2
3.2.11 Challenges
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