11 July 2017
Metode Numerik II
1
Mata kuliah : K0624 - Metode Numerik II
Tahun
: 2010
Pertemuan 4
Integral
11 July 2017
Metode Numerik II
Jumlah Rieman
Misalkan f(x) kontinu dalam
suatu interval [ a , b ] yang
dibagi atas beberapa bagian
sehingga a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b , maka :
b
n
 f(x) dx =  f(t )x
i
a
11 July 2017
i
dimana
ti  [ xi-1 ,xi ]
i=0
Metode Numerik II
3
•
Midpoint
=
Untuk midpoint
xi - xi-1
ti =
2
Luas satu strip
f(ti )x
Luas = f(t1)(x1-x0) + f(t2)(x2-x1)
+f(t3)(x3-x2) + f(t4)(x4-x3)
4
Contoh :
Hitung
1
1 x dx
dengan menggunakan midpoint ( k = 10 )
11 July 2017
Metode Numerik II
4
5
10
 f(t
1
11 July 2017
k
)x  1.382835001
1
0 x dx =
10
 f(t
Metode Numerik II
k
) x = 1.382835001
1
5
Leftpoint
tk = xi-1 Luas satu strip =
4
1
1 x dx =
10
 f(t
k
f(ti )x
) x = 1.50576103
1
Midpoint
11 July 2017
Leftpoint
Metode Numerik II
6
f(tk ) x  0.3  0.230769  0.1875  0.157894  0.136363  0.12  0.107142  0.096774  0.088235  0.081081
11 July 2017
Metode Numerik II
7
Rightpoint
tk = xi Luas satu strip = f(ti )x
4
1
1 x dx =
10
 f(t
k
) x = 1.28076103
1
k
1
2
3
4
5
tk
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
f(tk)
0.769230 0.625
f(tk)x 0.230769 0.1875
11 July 2017
0.526315 0.454545 0.4
6
7
8
9
10
2.8
3.1
3.4
3.7
4
0.27027
0.25
0.081081
0.075
0.357142 0.322580 0.294117
0.157894 0.136363 0.12 0.107142 0.096774 0.088235
Metode Numerik II
8
4
1
1 x dx =
10
 f(t
k
) x  0.3  0.230769  0.1875  0.157894  0.136363
1
 0.12  0.107142  0.096774  0.088235  0.081081
= 1.50576103
Double Integral :
b d
n
m
  f ( x, y)dydx =  f(x , y
i
a c
11 July 2017
j
)dy dx
j = 1i = 1
Metode Numerik II
9
Contoh :
Hitung :
5 5
   4  2x
2

 5 y dydx
2
-5 -5
2
f(x,y) = 4 + 2x + 5y
 
10
2
10
4 + 2(-5 + i )2 + 5( -5 + j)2

j = 1i = 1
11 July 2017
Metode Numerik II
10
  4+2(-5+i )
 = 1010 ,
10
untuk j =1,
2
+ 5(-5+1)
2
  4+2(-5+i )
untuk j =2,
i=1
  4+2(-5+i )
2
+5(-5+3)
2
=
410, untuk j =4,
  4+2(-5+i )
2

+5(-5+4) 2 = 260,
i=1
  4+2(-5+i ) +5(-5+5)  =
10
2
2
  4+2(-5+i ) +5(-5+6)  = 260 ,
10
210, untuk j =6,
i=1
11 July 2017
+ 5(-5+2) 2 = 660,
10
i=1
untuk j =5,
2
i=1
10
untuk j =3,

10
2
2
i=1
Metode Numerik II
11
  4+2(-5+i )
10
untuk j =7,
2
+5(-5+7)
2
=
410, untuk j =8,
i=1
  4+2(-5+i )
  4 + 2(-5 + i )

+5(-5+8) 2 = 660,
 = 1010, untuk j =10,   4+2(-5+i ) +5(-5+10)  =
10
2
+5(-5+9)
2
2
i=1
10
2
i=1
10
untuk j =9,
  4+2(-5+i )
10
2
146
i=1
10
2
+ 5( -5 + j) 2
 = 1010+660+410+260+210+260+410+660+1010+1460
j = 1i = 1
= 6350
5 5
Secara analisis :
 

4  2 x 2  5 y 2 dydx= 623.33333
-5 -5
11 July 2017
Metode Numerik II
12
Contoh :
Hitung :
1 1
  8e
 x2  y 2
dydx
0 0
1 1
  8e
0 0
11 July 2017
x y
2
2
10
10
1
1
dxdy =
8e


10 j = 1 10 i = 1
1 2
1 2

i 
j 

100 
 100
Metode Numerik II
13
10
8
e

100 i = 1

1 2
1


i 
( j 1)2 

100
 100

1
8 10   100 i 2
e

100 i = 1
10
8
e

100 i = 1
10
8
e

100 i = 1

1

( j 3) 2 
100

1 2
1


i 
( j 5) 2 

100
 100

1 2
1


i 
( j  7) 2 

100
 100

1
8 10   100 i 2
e
100 i = 1
11 July 2017


1

( j 9) 2 
100

= 0.565995466
= 0.522479666
= 0.445227802
= 0.350228594

1
,
8 10   100 i 2
e

100 i = 1
,
8 10   100 i 2
e

100 i = 1
,
8 10   100 i 2
e

100 i = 1
,
8 10   100 i 2
e

100 i = 1

1

1

1

= 0.254318156
,
1
1

( j  4) 2 
100



1

( j  6) 2 
100


8 10   100 i 2
e
100 i = 1
Metode Numerik II
1

( j  2) 2 
100


= 0.487156812
= 0.398850263
1

( j 8) 2 
100


= 0.549267772
= 0.301444544
1

( j 10) 2 
100

= 0.210310722
14
Lanjutan
10
1
10

contoh
1 10
 1 2
i
100

8e
1 2
- 100
j 

= 4.085279798
j = 1 10 i = 1
1 1
Secara analisis :
  8e
 x2  y 2
dydx = 4.4619703
0 0
11 July 2017
Metode Numerik II
15
Metode Kuadrat Gauss
1 1
I =
  f ( x, y) dx dy
-1 -1
Dihitung sebagai berikut :
 n

I =   f ( x, y) dx dy =   wi f (xi , y )  dy

-1 -1
-1  i=1
1 1
1
n
n
 n

=  w j  wi f (xi , y j )  =  wi w j f (xi , y j )
j=1
 i=1

i=1 j 1
n
dimana w, x dan y dapat dilihat dalam tabel
11 July 2017
Metode Numerik II
16
Dengan cara yang sama untuk triple integral
diperoleh :
1 1 1
I=
   f ( x, y, z ) dx dy dz
-1 -1 1
n
n
n
=  wi w j wk f (xi , y j ,zk )
i=1 j 1 k 1
11 July 2017
Metode Numerik II
17
Contoh
Hitung integral berikut dengan menggunakan Kuadrat Gauss untuk 2 titik.
2
I=
4
3
 
5 xy 3 z 2 dx dy dz
z=0 y=1 x 1
Selanjutnya dilakukan transformasi variabel :
x=
(b - a )x + a + b
(3+1)x -1+3
=
=2x +1
2
2
(b - a)y + a + b
(4-1)y +1+4
y=
=
= 1.5 y + 2.5
2
2
(b - a )z + a + b
(2-0)z +0+2
z=
=
=z +1
2
2
11 July 2017
Metode Numerik II
18
Dari persamaan di atas diperoleh :
dx = 2dx , dy = 1.5 dy
,
dz = dz
sehingga integral menjadi :
1 1 1
I=
3
2
5(2
x

1)(1.5y+2.5)
(
z
+
1)
dx dy dz
 
-1 -1 1
Dengan Kuadrat Gauss untuk 2 titik :
2
2
2
I =  wi w j wk f (xi , y j , zk )
i=1 j 1 k 1
11 July 2017
Metode Numerik II
19
f (xi , y j , zk )
dimana nilai-nilai nya sebagai berikut :
i
1
1
1
1
2
2
2
2
Hasil Integrasi menjadi
Hasil exact = 3400.
11 July 2017
j
1
1
2
2
1
1
2
2
k
1
2
1
2
1
2
1
2
f (xi , y j , zk )
3066.80835
220.186966
350.808624
25.1869297
-220.186905
-15.8087111
-25.186924
-1.80833995
3400.00000
Metode Numerik II
20
11 July 2017
x
y
z
f(x,y,z)
0.5773503
0.5773503
0.5773503
3066.808674
0.5773503
0.5773503
-0.5773503
220.1869155
0.5773503
-0.5773503
0.5773503
350.8087044
0.5773503
-0.5773503
-0.5773503
25.18692711
-0.5773503
0.5773503
0.5773503
-220.1870376
-0.5773503
0.5773503
-0.5773503
-15.80871511
-0.5773503
-0.5773503
0.5773503
-25.18694108
-0.5773503
-0.5773503
-0.5773503
-1.808340675
Metode Numerik II
21
Tabel Kuadrat Gauss
n
Nilai xi
wi
1
0
0.5773503
2
0
0.77459667
0.88888889
0.33998104
0.65214515
0.86113631
0.34785485
0
0.53846931
0.56888889
0.90617985
0.23692689
0.23861918
0.46791393
2
3
4
5
6
11 July 2017
Metode Numerik II
1
0.55555555
0.47862867
22
TERIMA KASIH
23