Genagelter
Hohlkastenbiegeträger
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 4
Seite 232
Zuletzt aktualisiert: 08.12.2002
Bearbeiter: Jürgen Priebe
Beispiel 3: Genagelter Hohlkastenbiegeträger
Annahme:
Der zusammengenagelte Biegeträger aus Nadelholz steht unter einer Last aus ständiger und nicht ständiger Einwirkung mit
ungünstiger Auswirkung. Der Feuchtegehalt in dem Baustoff, der einer Temperatur von 20 +/- 2° C und einer relativen Luftfeuchte
der umgebenden Luft entspricht, übersteigt nur einige Wochen pro Jahr einen Wert von 65 %. Daraus folgt [nach ENV1995, 3.1.5]
die Nutzungsklasse 1. Die Festigkeitsklasse ist NH S10 und entspricht der Festigkeitsklasse von NH II [nach DIN 1052].
g := 1.40 ⋅
s := 1.60 ⋅
γG , γQ
kN
m
kN
m
gk := g
= Charakteristischer Wert für ständige Einwirkungen
qk := s
= Charakteristischer Wert für nicht ständige Einwirkungen
= Teilsicherheitsbeiwerte [ENV1995, Tab. 2.3.3.1]
abhängig von der Art der Einwirkung und Auswirkung
hier: ständige Einwirkung + ungünstige Auswirkung
=>
γ G := 1.35
hier: nicht ständige Einwirkung + ungünstige Auswirkung
=>
γ Q := 1.50
gd := γ G ⋅ gk
qd := γ Q ⋅ qk
gd = 1.89
= Bemessungswert der ständigen Einwirkung [ENV1995, 2.2.2.4]
= Bemessungswert der nicht ständigen Einwirkung
kN
qd = 2.4
m
g+s
kN
m
L := 4.50 ⋅ m
N
Gmean := 690 ⋅
mm
L
A
2
B
Nachweis der Tragfähigkeit
Q
Lagerreaktionen und Schnittgrößen:
A = B := gd ⋅
L
+ qd ⋅
2
Vd := B
(
)
Md := gd + qd ⋅
L
M
=> A = B = 9.65 kN
2
Vd = 9.65 kN
=>
2
L
Md = 10.86 kN ⋅ m
=>
8
A1
gewählt:
b := 13 ⋅ cm
1
A := h ⋅ b
1
1 1
=>
A = 52 cm
1
h := 24 ⋅ cm
2
b := 2.6⋅ cm
2
A := h ⋅ b
2
2 2
=>
h := 4 ⋅ cm
3
b := 13 ⋅ cm
3
A := h ⋅ b
3
3 3
=>
A = 62.4cm
2
2
A = 52 cm
3
h := 24 ⋅ cm
4
b := 2.6⋅ cm
4
A := h ⋅ b
4
4 4
=>
b := b + b + b
1
2
4
für
2
Ages :=
∑ Ai
h1
y
Ages = 228.8cm
a
h2 = h4
h3
b2
=>
y
A3
2
b = 18.2cm
=>
i := 1 .. 4
A = 62.4cm
4
A4
A2
2
h := 4 ⋅ cm
1
z
z
b1 = b 3
b4
2
i
E0.05 := 7400 ⋅
N
mm
= E-Modul, parallel, 5% Fraktile des Holzes [NAD, Tab. 3.2-1]
2
E0.mean := 11000 ⋅
N
mm
2
= E-Modul, parallel, 50% Fraktile des Holzes [NAD, Tab. 3.2-1]
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E := E0.mean
1
E := E0.mean
2
E := E0.mean
3
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E := E0.mean
4
Biegeachse y-y:
s := 6 ⋅ cm
s
s :=
1 2
= geschätzter Nagelabstand, zweireihig =>
d := 3.8⋅ mm
s = 3 cm
1
= Nageldurchmesser
kg
ρ K := 380 ⋅
=>
m
= Rohdichte für NH S10 [NAD, Tab.3.2-1]
3
Kser = Anfangsverschiebungsmodul einer Verbindung mit stiftförmigen Verbindungsmittel

Kser :=  ρ K

Ki :=
γ
2
3
0.8 
1.5 d

⋅
25 
⋅ Kser
hier: Nägel ohne Vorbohrung
Ki = 574.74
=>
N
mm
1
γ :=
1
= Abminderungszahl
i
Verschiebungsmodul für Nachweis der Tragfähigkeit[ENV1995, 5.3.3a]
2
π ⋅E ⋅A ⋅s
1 1 1
1+
=>
γ = 0.41
1
γ := 1
2
γ := γ
3
1
γ := 1
4
2
Ki ⋅ L
az = Abstand der Schwerachse des Gesamtquerschnitts zu denen der Einzelquerschnitte
i
az := −10 ⋅ cm
1
Iy :=
i
az := 0 ⋅ cm
2
( )3
b⋅ h
i i
k mod
ef_EIy :=
12
ef_Iy :=
az := 10 ⋅ cm
3
az := 0 ⋅ cm
4
∑  Ei ⋅Iyi + Ei ⋅γi ⋅Ai ⋅(azi) 
2
[ENV19955, B2]
i
ef_EIy
=>
E0.mean
4
4
ef_Iy = 1.04 × 10 cm
= Modifikationsfaktor für Vollholz [ENV1995, Tab. 3.1.7]
abhängig von der Nutzungsklasse,
der Lasteinwirkungsdauer,
hier: 1
hier: ständig + kurz
(bei unterschiedlichen
Lasteinwirkungsdauern ist die kürzeste maßgebend)
und dem Material,
hier: Vollholz
k mod := 0.90
γM
= Teilsicherheitsfaktor für die Baustoffeigenschaften [ENV1995, Tab. 2.3.3.2]
abhängig vom Material,
hier: Holz =>
γ M := 1.3
Spannungsnachweise:
Festigkeiten:
N
f1.t.k := 14 ⋅
mm
2
N
f1.c.k := 21 ⋅
mm
N
fm.k := 24 ⋅
mm
f1.t.d :=
f1.c.d :=
2
k mod
γM
=charakteristische Druckfestigkeit [NAD, Tab. 3.2-1]
=charakteristische Biegefestigkeit [NAD, Tab. 3.2-1]
⋅ f1.t.k
k mod
γM
2
=charakteristische Zugfestigkeit [NAD, Tab. 3.2-1]
=>
N
f1.t.d = 9.69
mm
⋅ f1.c.k
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=>
f1.c.d = 14.54
= Bemessungswert der Zugfestigkeit
2
N
mm
2
= Bemessungswert der Druckfestigkeit
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fm.d :=
k mod
γM
⋅ fm.k
=>
N
fm.d = 16.62
mm
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= Bemessungswert der Biegefestigkeit
2
f2.c.d := f1.c.d
f2.t.d := f1.t.d
in den Gurten:
Beanspruchungen
γ ⋅ E ⋅ az ⋅ Md
1 1 1
σ1.d :=
ef_EIy
0.5⋅ E ⋅ h ⋅ Md
1 1
σm.1.d :=
ef_EIy
N
=>
σ1.d = 4.27
=>
σm.1.d = 2.1
mm
= Normalspannung im Schwerpunkt [ENV1995, B3a]
2
N
mm
= maximale Randspannung [ENV1995, B3b]
2
σ1.m.d := σ1.d + σm.1.d
Nachweise:
σ1.d
f1.c.d
= 0.29
σ1.m.d
fm.d
< 1
= 0.38
< 1
in den Stegen:
Beanspruchungen
γ ⋅ E ⋅ az ⋅ Md
2 2 2
σ2.d :=
σ2.d = 0
=>
ef_EIy
mm
0.5⋅ E ⋅ h ⋅ Md
2 2
σm.2.d :=
N
N
σm.2.d = 12.57
=>
ef_EIy
2
mm
2
σ2.m.d := σ2.d + σm.2.d
Nachweise:
σ2.d
f2.c.d
=0
σ2.m.d
fm.d
< 1
= 0.76
< 1
Nachweis der Schubspannungen
N
f2.v.k := 2.5⋅
mm
f2.v.d :=
k mod
γM
2
= charakteristische Schubfestigkeit [NAD, Tab. 3.2.-1]
⋅ f2.v.k
f2.v.d = 1.73
=>
N
mm
= Bemessungswert der Schubfestigkeit
2
2

 h2  

Vd
 ⋅
τ2.max.d :=  γ ⋅ E ⋅ A ⋅ az + 0.5⋅ E ⋅ b + b ⋅ 
3
3
3
2
2
4
3

 2   b2 + b4 ⋅ ef_EIy
(
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)
(
)
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=>
τ2.max.d = 1.05
N
mm
2
[ENV1995, B4]
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Nachweis:
τ2.max.d
= 0.61
f2.v.d
< 1
Berechnung der Verbindungsmittel: Nä 38 x 100
d := 3.8⋅ mm
= Nageldurchmesser
lN := 100 ⋅ mm
t
1
= Nagellänge
bei einschnittigen Verbindungen: Holzdicke auf der dem Nagelkopf zugewandten Seite [ENV1995, 6.3.1 (1)]
t := 2.6⋅ cm
1
t
2
bei einschnittigen Verbindungen: Einschlagtiefe des Nagels abzüglich Nagelspitze [ENV1995, 6.3.1 (1)]
lNa := 2 ⋅ d
lNa = 0.76 cm
=>
t := lN − t − lNa
2
1
= Länge der Nagelspitze [BK92, T2, 5.2.2.1]
t = 6.64 cm
2
=>
= Lochleibungsfestigkeit in t1
fh.1.k
z
[ENV1995,6.3.1.2 (11)]
[ENV1995, 6.3.1.2a]
hier: Holz- Holz/Nagel- verbindungen mit Nägeln d < 8mm, nicht vorgebohrt.
− 0.3
fh.1.k := 0.082 ⋅ ρ K ⋅ d
fh.1.k = 22.19
=>
ρK
in
[kg/m3 ]
k mod
γM
y
d in [mm]
2
= Bemessungswert der Lochleibungsfestigkeit in
fh.1.d
y
N
mm
fh.1.d :=
[N/mm2 ]
⋅ fh.1.k
=>
fh.1.d = 15.36
N
mm
t
t1
t2
z
1
t2
t
1
[ENV1995, 6.2.1 l]
2
= charakteristisches Fließmoment des Nagels [ENV1995, 6.3.1.2c]
Myk
hier:
γ M.St.
runde Nägel
= Teilsicherheitsfaktor für die Baustoffeigenschaften [ENV1995, Tab. 2.3.3.2]
abhängig vom Material,
hier: Stahl
γ M.St. := 1.1
2.6
Myk := 180 ⋅ d
=>
fh.2.d := fh.1.d
β :=
fh.2.d
Myd :=
Myk
=>
γ M.St.
3
Myd = 5.26 × 10 N ⋅ mm
, da die Stege und die Gurte aus dem selben Material sind
=>
fh.1.d
3
Myk = 5.79 × 10 N ⋅ mm
β=1
Der Bemessungswert der Tragfähigkeit eines Verbindungsmittels einer einschnittigen
Verbindung berechnet sich nach [ENV1995, 6.2.1 a-f] zu:
Rd.a := fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
=>
3
Rd.a = 1.52 × 10 N
Rd.b := fh.2.d⋅ t2 ⋅ d ⋅ β
=>
3
Rd.b = 3.88 × 10 N
=>
3
Rd.c = 1.3 × 10 N
Rd.c :=
fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
1+β


2
2

t2  t2  
t2  


2
3  t2 
⋅ β + 2⋅β ⋅1 +
+   + β ⋅  − β ⋅ 1 +

t1  t1  
t1  


 t1 

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Rd.d :=
Rd.e :=
1.1⋅ fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
2+β
1.1⋅ fh.1.d⋅ t2 ⋅ d
1 + 2⋅β
Rd.f := 1.1⋅ 2 ⋅
β
1+β

4 ⋅ β ⋅ ( 2 + β ) ⋅ Myd


2
fh.1.d⋅ d ⋅ t1
⋅ 2⋅β ⋅(1 + β) +

− β




4 ⋅ β ⋅ ( 1 + 2 ⋅ β ) ⋅ Myd
2
⋅ 2⋅β ⋅(1 + β) +
− β
2


fh.1.d⋅ d ⋅ t2


⋅ 2 ⋅ Myd ⋅ fh.1.d⋅ d
=>
Rd.d = 760.58 N
=>
3
Rd.e = 1.51 × 10 N
=>
((
Rd.min := min Rd.a Rd.b Rd.c Rd.d Rd.e Rd.f
damit ergibt sich:
Fy
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))
Rd.f = 862.39 N
=>
Rd.min = 760.58 N
= größte Kraft auf einen Nagel in der Anschlußfuge [ENV1995, B 5]
i
Fy :=
i
γ ⋅ E ⋅ A ⋅ az ⋅ s ⋅ Vd
i i i 1 1
Fy = 591.71 N
1
=>
ef_EIy
Nachweis :
Fy
1
Rd.min
= 0.78
<
1
=>
Nachweis erbracht
Nachweis der Gebrauchsfähigkeit
g := 1.40 ⋅
s := 1.60 ⋅
kN
m
kN
m
gk := g
= Charakteristischer Wert für ständige Einwirkungen
qk := s
= Charakteristischer Wert für nicht ständige Einwirkungen
uinst :
elastische Anfangverformungen
ufin :
Endverformungen, wobei
ufin = uinst (1+kdef)
Bei Biegeträgern unterscheidet man die Durchbiegungsanteile
u1 :
Durchbiegung infolge ständiger Einwirkungen
u2 :
Durchbiegung infolge veränderlicher Einwirkungen
unet:
Gesamtdurchbiegung bezogen auf eine die Auflager verbindende Gerade
u0 :
Überhöhung (falls vorhanden) im lastfreien Zustand
hier: nur eine veränderliche Einwirkung, daher kein Kombinationsbeiwert
Bestimmung der Bauteildurchbiegung [ENV1995, 4]
k def
= Faktor zur Berücksichtigung des Kriechens und Schwindens [ENV1995, Tab. 4.1]
abhängig vom Material
hier: Vollholz
der Nutzungsklasse
hier: NK 1
und der Einwirkungsdauer
hier: ständig + kurz
k def.1 := 0.60
für ständige Lasteinwirkungsdauer
k def.2 := 0.0
für kurze Lasteinwirkungsdauer
Biegeverformung:
u1.m :=
u2.m :=
4
5 ⋅ gk ⋅ L
384 ⋅ E0.mean ⋅ ef_Iy
4
5 ⋅ qk ⋅ L
384 ⋅ E0.mean ⋅ ef_Iy
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=>
u1.m = 0.66 cm
infolge ständ.Last, Biegeanteil (t=0)
=>
u2.m = 0.75 cm
infolge nichtständ.Last, Biegeanteil (t=0)
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Schubverformung:
Av :=
A +A
2
4
gk ⋅
u1.v :=
für Rechteckquerschnitt
1.2
2
L
8
=>
u1.v = 0.05 cm
infolge ständ.Last, Schubanteil (t=0)
=>
u2.v = 0.06 cm
infolge nichtständ.Last, Schubanteil (t=0)
u1.inst := u1.m + u1.v
=>
u1.inst = 0.71 cm
u2.inst := u2.m + u2.v
=>
u2.inst = 0.81 cm
Gmean ⋅ Av
 L2 

 8 
qk ⋅ 
u2.v :=
Gmean ⋅ Av
(
)
=>
u1.fin = 1.13 cm
Enddurchbiegung infolge ständ. Last
u2.fin := u2.inst ⋅ 1 + k def.2
(
)
=>
u2.fin = 0.81 cm
Enddurchbiegung infolge nichtständ. Last
unet.fin := u1.fin + u2.fin
=>
unet.fin = 1.93 cm
Gesamtenddurchbiegung
u1.fin := u1.inst ⋅ 1 + k def.1
zulässige Durchbiegungen:
zul_u2.inst :=
zul_u2.fin :=
L
300
L
200
L
zul_unet.fin :=
200
=>
zul_u2.inst = 1.5 cm
[ENV1995, 4.3.1 (2)]
=>
zul_u2.fin = 2.25 cm
[ENV1995, 4.3.1 (3)]
=>
zul_unet.fin = 2.25 cm
[ENV1995, 4.3.1 (3)]
Nachweise:
u2.inst
zul_u2.inst
u2.fin
zul_u2.fin
= 0.54
= 0.36
unet.fin
zul_unet.fin
= 0.86
< 1 => Nachweis erbracht
< 1 => Nachweis erbracht
< 1 => Nachweis erbracht
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kN ≡ 1000 ⋅ N
MN ≡ 1000 ⋅ kN
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1
 N 

 mm 
1.5
ρ K := 380 ⋅ 
d := 3.8
b := 13 ⋅ cm
1
b := 2.6⋅ cm
2
b := 13 ⋅ cm
3
b := 2.6⋅ cm
4
h := 240
ρ K := 380 ⋅
N
mm
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2
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az := 10 ⋅ cm
1
h := 4 ⋅ cm
1
h := 4 ⋅ cm
3
h := 24 ⋅ cm
2
h := 24 ⋅ cm
4
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N
ρ K := 380 ⋅
mm
d := 3.1
2
1
d := 3.8⋅ ( N ⋅ mm)
2.6
d := 3.8⋅ mm
t1 := 2.6⋅ cm
t2 := 6.64 ⋅ cm
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az := 10 ⋅ cm
1
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