Zusammengesetzter Druckstab
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 4
Seite 224
Zuletzt aktualisiert: 08.12.2002
Bearbeiter: Jürgen Priebe
Beispiel 2: Zusammengesetzter Druckstab
Annahme:
Der Druckstab besteht aus einem zusammengenagelten Querschnitt aus einzelnen Nadelholzteilen und steht unter einer Last aus
ständiger und nicht ständiger Einwirkung mit ungünstiger Auswirkung. Der Feuchtegehalt in dem Baustoff, der einer Temperatur von
20 +/- 2° C und einer relativen Luftfeuchte der umgebenden Luft entspricht, übersteigt nur einige Wochen pro Jahr einen Wert von
65 %. Daraus folgt [nach ENV1995, 3.1.5] die Nutzungsklasse 1. Die Festigkeitsklasse ist NH S10 und entspricht der
Festigkeitsklasse von NH II [nach DIN 1052].
F := 33 ⋅ kN
Gk := F
= Charakteristischer Wert für ständige Einwirkungen
S := 60 ⋅ kN
Qk := S
= Charakteristischer Wert für nicht ständige Einwirkungen
γG , γQ
= Teilsicherheitsbeiwert [ENV1995, Tab. 2.3.3.1]
abhängig von der Art der Einwirkung und Auswirkung
hier: ständige Einwirkung + ungünstige Auswirkung
=>
γ G := 1.35
hier: nicht ständige Einwirkung + ungünstige Auswirkung
=>
γ Q := 1.50
Gd := γ G ⋅ Gk
= Bemessungswert der ständigen Einwirkung [ENV1995, 2.2.2.4]
Qd := γ Q ⋅ Qk
= Bemessungswert der nicht ständigen Einwirkung
Gd = 44.55 kN
Qd = 90 kN
s ky := 2.50 ⋅ m
s kz := 2.50 ⋅ m
h := 4 ⋅ cm
1
b := 12 ⋅ cm
1
b1
z
A := h ⋅ b
1
1 1
A = 48 cm
1
=>
h := 18 ⋅ cm
2
b := 4 ⋅ cm
2
A := h ⋅ b
2
2 2
=>
A = 72 cm
2
h := 18 ⋅ cm
3
b := 4 ⋅ cm
3
A := h ⋅ b
3
3 3
=>
A = 72 cm
3
i := 1 .. 3
für
Ages :=
∑ Ai
h1
2
y
h2= h 3
2
Ages = 192 cm
=>
2
b2
i
E0.mean := 11000 ⋅
N
mm
E := E0.mean
1
y
2
z
b3
= E-Modul, parallel, 50% Fraktile [NAD, Tab. 3.2-1]
2
E := E0.mean
2
E := E0.mean
3
F+S
Knicken um Achse y-y:
s := 10 ⋅ cm
= geschätzter Nagelabstand, zweireihig =>
d := 3.1⋅ mm
= Nageldurchmesser
ρ K := 380 ⋅
kg
m
3
s
s :=
1 2
=>
s = 5 cm
1
sk
= Rohdichte für NH S10 [NAD, Tab.3.2-1]
Kser = Anfangsverschiebungsmodul einer Verbindung mit stiftförmigen Verbindungsmittel

Kser :=  ρ K

0.8 
1.5 d

⋅
25 
hier: Nägel ohne Vorbohrung
F+S
Ki :=
2
3
⋅ Kser
Ki = 488.35
N
mm
Verschiebungsmodul für Nachweis der Tragfähigkeit [ENV1995, 6.1b]
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γ
i
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= Abminderungfaktor [ENV1995, B 2e]
1
γ :=
1
1+
Ki ⋅ s ky
γ = 0.1
1
=>
2
π ⋅E ⋅A ⋅s
1 1 1
γ := 1
2
γ := 1
3
2
az = Abstand der Schwerachse des Gesamtquerschnitts zu denen der Einzelquerschnitte
i
 h1 h2 
 h1 h3 
 + A ⋅ + 
id_S y := A ⋅ 
+
2 2
3 2
2 
2 
az :=
1
id_S y
az :=
2
id_A ges
az = 10.63 cm
1
Iy :=
i
(h1 + h2)
2
( )3
(h1 + h2)
az :=
3
1
2
− az
1
az = 0.37 cm
3
ef_EIy :=
12
ef_Iy :=
− az
az = 0.37 cm
2
b⋅ h
i i
id_A ges := γ ⋅ A + A + A
1 1
2
3
∑  Ei ⋅Iyi + Ei ⋅γi ⋅Ai ⋅(azi) 
2
[ENV1995, B2]
i
ef_EIy
3
4
ef_Iy = 4.54 × 10 cm
=>
E0.mean
Ages
ef_λy := s ky ⋅
ef_λy = 51.41
ef_Iy
[ENV1995, C2.2a]
Knicken um Achse z-z:
ay
i
= Abstand der Schwerachse des Gesamtquerschnitts zu denen der Einzelquerschnitte
ay := 0 ⋅ cm
1
ay := −4 ⋅ cm
2
1
γ :=
1
1+
2
π ⋅E ⋅A ⋅s
1 1 1
Ki ⋅ s kz
Iz :=
i
ay := 4 ⋅ cm
3
=>
γ := 1
2
γ := γ
3
1
2
( )3
h⋅ b
i i
ef_Iz :=
γ = 0.1
1
ef_EIz :=
12
∑  Ei ⋅Izi + Ei ⋅γi ⋅Ai ⋅(ayi) 
2
[ENV19955, B2]
i
ef_EIz
=>
E0.mean
3
4
ef_Iz = 2.04 × 10 cm
Ages
ef_λz := s kz ⋅
ef_λz = 76.68
ef_Iz
[ENV1995, C2.2a]
da ef_λz > ef_λy ist Knicken um Achse z-z maßgebend
Nachweis:
N
E0.05 := 7400 ⋅
mm
fc.0.k := 21 ⋅
N
mm
2
2
= E-Modul, parallel, 5% Fraktile [NAD Tab. 3.2-1]
= charakteristische Druckfestigkeit, parallel [NAD Tab. 3.2-1]
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π ⋅ E0.05
σc.crit.z :=
ef_λz
fc.0.k
λrel.z :=
σc.crit.z = 12.42
= kritische Druckspannung [ENV1995, 5.2.1 c+d]
2
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N
mm
2
= bezogener Schlankheitsgrad [ENV1995, 5.2.1 a+b]
σc.crit.z
>
0.5
=> Knicknachweis erforderlich [ENV1995, 5.2.1, P(3)]
λrel.z = 1.3
hier Berechnung von λrely, da später für Berechnung der Verbundmittel nötig:
2
π ⋅ E0.05
σc.crit.y :=
ef_λy
N
mm
fc.0.k
λrel.y :=
σc.crit.y = 27.63
= kritische Druckspannung [ENV1995, 5.2.1 c+d]
2
2
= bezogener Schlankheitsgrad [ENV1995, 5.2.1 a+b]
σc.crit.y
λrel.y = 0.87
Knicknachweis: [nach ENV1995, 5.2.1]
Gd + Qd
σc.o.d :=
βc
=>
Ages
N
σc.o.d = 7.01
mm
2
= Faktor, der von der spannungslosen Vorkrümmung der Stütze abhängt, [ENV1995, 5.2.1 (5)]
hier: Vollholz, mit einer größten spannungslosen Vorkrümmung von l/300.
β c := 0.2
k z := 0.5⋅ 1 + β c ⋅ λrel.z − 0.5 + λrel.z
(
)
1
k c.z :=
2
k c.z = 0.5
=>
2
2
k z − λrel.z
kz +
k z = 1.43
=>

[ENV1995, 5.2.1 h]
= Knickzahl [ENV1995, 5.2.1.g]
hier Berechnung von λ c.y, da später für Berechnung der Verbundmittel nötig
k y := 0.5⋅ 1 + β c ⋅ λrel.y − 0.5 + λrel.y
(
)
1
k c.y :=
2
ky +
=>
k y − λrel.y
2
2
k y = 0.92
=>

k c.y = 0.83
= Knickzahl [ENV1995, 5.2.1.g]
= Modifikationsfaktor für Vollholz [ENV1995, Tab. 3.1.7]
k mod
abhängig von der Nutzungsklasse, hier: 1
der Lasteinwirkungsdauer,
hier: ständig + kurz
(bei unterschiedlichen Lasteinwirkungsdauern ist die
k mod := 0.90
γM
kürzeste maßgebend)
und dem Material,
hier: Holz
= Teilsicherheitsfaktor für die Baustoffeigenschaften [ENV1995, Tab. 2.3.3.2]
abhängig vom Material,
hier: Holz
γ M := 1.3
fc.0.d :=
k mod
γM
σc.o.d
k c.z ⋅ fc.0.d
⋅ fc.0.k
= 0.97
=>
fc.0.d = 14.54
N
mm
2
[ENV1995, 6.2.1 l]
< 1 => Knicknachweis erfüllt ENV1995, 5.2.1 e
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4
4
4
Berechnung der Verbindungsmittel
gewählt: Nä 31 x 80
d := 3.1⋅ mm
= Nageldurchmesser
lN := 80 ⋅ mm
= Nagellänge
10
10
Nä 31 × 80
t
1
bei einschnittigen Verbindungen: Holzdicke auf der dem Nagelkopf zugewandten Seite [ENV1995, 6.3.1 (1)]
t := 4 ⋅ cm
1
t
2
bei einschnittigen Verbindungen: Einschlagtiefe des Nagels abzüglich Nagelspitze [ENV1995, 6.3.1 (1)]
lNa := 2 ⋅ d
lNa = 0.62 cm
=>
t := lN − t − lNa
2
1
= Länge der Nagelspitze [BK92, T2, 5.2.2.1]
t = 3.38 cm
2
=>
[ENV1995,6.3.1.2 (11)]
= Lochleibungsfestigkeit t1
fh.1.k
z
[ENV1995, 6.3.1.2a]
hier: Holz- Holz/Nagel- verbindungen mit Nägeln d < 8mm, nicht vorgebohrt.
− 0.3
fh.1.k := 0.082 ⋅ ρ K ⋅ d
mit ρ K in [kg/m3 ] und d in [mm]
mm
2
= Bemessungswert der Lochleibungsfestigkeit in t
fh.1.d
k mod
γM
y
z
N
fh.1.k = 22.19
fh.1.d :=
[N/mm2 ]
y
h1 = t 1
t2
⋅ fh.1.k
=>
fh.1.d = 15.36
1
N
mm
2
[ENV1995, 6.2.1 l]
= charakteristisches Fließmoment des Nagels [ENV1995, 6.3.1.2c]
Myk
hier:
γ M.St.
runde Nägel
= Teilsicherheitsfaktor für die Baustoffeigenschaften [ENV1995, Tab. 2.3.3.2]
abhängig vom Material,
hier: Stahl
γ M.St. := 1.1
2.6
Myk := 180 ⋅ d
=>
fh.2.d := fh.1.d
β :=
fh.2.d
fh.1.d
3
Myk = 3.41 × 10 N ⋅ mm
Myd :=
Myk
γ M.St.
=>
3
Myd = 3.1 × 10 N ⋅ mm
, da die Stege und der Flansch aus dem selben Material sind
=>
β=1
Der Bemessungswert der Tragfähigkeit eines Verbindungsmittels einer einschnittigen
Verbindung berechnet sich nach [ENV1995, 6.2.1 a-f] zu:
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Rd.a := fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
=>
3
Rd.a = 1.91 × 10 N
Rd.b := fh.2.d⋅ t2 ⋅ d ⋅ β
=>
3
Rd.b = 1.61 × 10 N
=>
Rd.c = 732.33 N
=>
Rd.d = 781.33 N
=>
Rd.e = 687.18 N
=>
Rd.f = 597.78 N
Rd.c :=
Rd.d :=
Rd.e :=
fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
1+β


t2

2
⋅ β + 2⋅β ⋅1 +
+
t1


1.1⋅ fh.1.d⋅ t1 ⋅ d
2+β
1.1⋅ fh.1.d⋅ t2 ⋅ d
1 + 2⋅β
Rd.f := 1.1⋅ 2 ⋅
β
1+β
 t2 
 
 t1 

2
t2  


3  t2 
+
β
⋅
−
β
⋅
1
+






t1  

 t1 

2

4 ⋅ β ⋅ ( 2 + β ) ⋅ Myd


2
fh.1.d⋅ d ⋅ t1
⋅ 2⋅β ⋅(1 + β) +

− β




4 ⋅ β ⋅ ( 1 + 2 ⋅ β ) ⋅ Myd
2
⋅ 2⋅β ⋅(1 + β) +
− β
2


fh.1.d⋅ d ⋅ t2


⋅ 2 ⋅ Myd ⋅ fh.1.d⋅ d
((
Rd.min := min Rd.a Rd.b Rd.c Rd.d Rd.e Rd.f
damit ergibt sich:
))
=>
Rd.min = 597.78 N
= Stabquerkraft auf die Verbindungsmittel [ENV1995, C 2.3]
Vd.y
Fc.d := Gd + Qd
Vd.y :=
Fc.d
if ef_λy ≤ 30
120 ⋅ k c.y
Fc.d
60 ⋅ k c.y
Fc.d = 134.55 kN
=>
if ef_λy > 60
Fc.d ⋅ ef_λy
3600 ⋅ k c.y
otherwise
Vd.y = 2.31 kN
Fy
i
Fy :=
i
= größte Kraft auf einen Nagel in der Anschlußfuge [ENV1995, B 5]
γ ⋅ E ⋅ A ⋅ az ⋅ s ⋅ Vd.y
i i i i 1
Nachweis :
Fy
1
= 0.23
Rd.min
Vd.z
<
1
=>
Fy = 136.07 N
1
Nachweis erbracht
= Stabquerkraft auf die Verbindungsmittel [ENV1995, C2.3]
Fc.d := Gd + Qd
Vd.z :=
=>
ef_EIy
=>
Fc.d
if ef_λz ≤ 30
120 ⋅ k c.z
Fc.d
60 ⋅ k c.z
Fc.d = 134.55 kN
if ef_λz > 60
Fc.d ⋅ ef_λz
3600 ⋅ k c.z
otherwise
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Vd.z = 4.51 kN
Fz
= größte Kraft auf einen Nagel in der Anschlußfuge [ENV1995, B 5]
i
Fz :=
i
γ ⋅ E ⋅ A ⋅ ay ⋅ s ⋅ Vd.z
i i i i 1
=>
ef_EIz
Fz = 333.39 N
3
Nachweis :
Fz
3
Rd.min
= 0.56
<
1
=>
Nachweis erbracht
Prüfung der Mindestdicke t: [ENV1995, 6.3.1.2 (11)]
t = max.
7⋅d


ρK 

( 13 ⋅ d − 30) ⋅ 400 


ta := 7 ⋅ d
ta = 2.17 cm
tb := ( 13 ⋅ d − 30) ⋅
ρK
tb = 9.79
400
< h1 = 4.0 cm
=> Nachweis erbracht
mm
mit ρ K in [kg/m3 ] und d in [mm]
Mindesteinschlagtiefe: [ENV1995, 6.3.1.2 (4)]
bei glattschaftigen Nägeln: Mindesteinschlagtiefe mindestens 8d:
minLs := 8 ⋅ d
Ls := lN − t1
=>
minLs = 2.48 cm
=vorhandene Einschlagtiefe
=> minLs < Ls
Ls = 4 cm
=> Einschlagtiefe eingehalten
Mindestnagelabstände:
hier: nicht vorgebohrte Nagellöcher, ρ K <= 420 kg/m3 , d< 5mm und α = 0:
Nagelabstand untereinander in Faserrichtung:
a1 := ( 5 + cos ( α ) ) ⋅ d
a1 = 1.86 cm
< s = 10 cm => Nachweis erbracht
Nagelabstand untereinander quer zur Faserrichtung:
a2 := 5 ⋅ d
a2 = 1.55 cm
< 8 cm
=> Nachweis erbracht
Nagelabstand zum beanspruchten Holzrand:
a4.c := 5 ⋅ d
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a4.c = 1.55 cm
< 2 cm
Seite 6
=> Nachweis erbracht
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