Nachweis der
Spannungsbegrenzungen nach
DIN 1045-1:2001-07
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 2.6
Seite: 184
Zuletzt aktualisiert: 11.12.2002
Bearbeiter: Ralf Avak, Peter Grätz
Nachweis der Spannungsbegrenzungen nach DIN 1045-1:2001-7
Eingangswerte der Berechnung
C30/37
Festigkeitsklasse Beton:
Festlegung der Trockenrohdichte
bei Anwendung von Leichtbeton:
ρ := 0
kg
m
3
Definitionen
Definition gebräuchlicher Einheiten:
kN := 1000 ⋅ N
Definition von [kN]
MN := 1000 ⋅ kN
Definition von [MN]
° :=
π
Definition von [°]
180
Werkstoffkennwerte für Betonstahl:
fyk := 500 ⋅
N
mm
ftk := 550 ⋅
charakteristischer Wert
der
Streckgrenze
charakteristischer Wert
der
Zugfestigkeit
2
N
mm
2
N
Es := 200000
mm
Elastizitätsmodul
2
Werkstoffkennwerte für Normalbeton:
Spalte 0: fck
Spalte 4: n = nExp
Spalte 1: fctm
Spalte 5: ec2
Spalte 2: fctk_0.05
Spalte 6: ec2
Spalte 3: Ecm
B :=
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12
16
20
25
30
35
40
45
50
55
60
70
80
90
100
1
2
1.6
1.9
2.2
2.6
2.9
3.2
3.5
3.8
4.1
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
1.1
1.3
1.5
1.8
2
2.2
2.5
2.7
2.9
3
3.1
3.2
3.4
3.5
3.7
3
25800
27400
28800
30500
31900
33300
34500
35700
36800
37800
38800
40600
42300
43800
45200
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.55
5
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2.03
-2.06
-2.1
-2.14
-2.17
-2.2
Seite 1
6
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.1
-2.7
-2.5
-2.4
-2.3
-2.2
Dateiname:
TV_2_06_Spannungsbegrenzung.mcd
Nachweis der
Spannungsbegrenzungen nach
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Faktorenberechnungen für die Ermittlung der Werkstoffkennwerte bei Anwendung von LC
ρ
 ρ 
 kg 


 m3 
η E := 

 2200 
kg
η 1 :=
m
0.4 + 0.6⋅
3
2200
if Beton > 14
1 otherwise
η 1 = 1.00
2
η E = 0.00
Charakteristischer Wert der Zylinderdruckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen

fck := wenn Beton > 14 , B
⋅
( Beton−15) , 0

N
mm
,B
2
Beton , 0
N
⋅
mm

2

N
fck = 30
mm
2
Mittelwert der zentrischen Zugfestigkeit des Betons

fctm := wenn Beton > 14 , B
⋅
( Beton−15) , 1

fctm = 2.9
N
mm
2
⋅η 1 , B
Beton , 1
N
⋅
mm

2

N
mm
2
Charakteristischer Wert des 5%-Quantils der Betonzugfestigkeit

fctk_0.05 := wenn Beton > 14 , B
⋅
( Beton−15) , 2

N
mm
2
⋅η 1 , B
Beton , 2
⋅
N
mm

2

N
fctk_0.05 = 2
mm
2
Mittlerer Elastizitätsmodul für Beton

Ecm := wenn Beton > 14 , B

( Beton−15) , 3
⋅
N
mm
2
⋅η E , B
Beton , 3
N
⋅
mm

2

N
Ecm = 31900
mm
2
Teilsicherheitsbeiwert für Beton
γ c :=
1.5 if ( Beton < 9) + [ ( Beton > 14) ⋅ ( Beton < 24) ]
1
1.5⋅
1.1 −
fck
500
(
)
otherwise
2 −1
⋅ mm ⋅ N
γ c = 1.5
Teilsicherheitsbeiwert für Betonstahl
γ s := 1.15
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Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
α :=
0.75 if Beton > 14
0.85 otherwise
fcd := α ⋅
fck
α = 0.85
N
fcd = 17.00
γc
mm
2
Bemessungswert der Betonstahlfestigkeit
fyd :=
fyk
N
fyd = 434.78
γs
mm
2
Kennwerte der Betonarbeitslinie für die Bemessung (Parabel-Rechteck)
(
)
nExp := wenn Beton > 14 , B
,B
Beton−15 , 4 Beton , 4
nExp = 2.00
Exponent der Parabel
(
εcv := wenn Beton > 14 , B
εcv = −0.00200
εcu :=
Beton−15 , 5
⋅ 0.001 , B
εcu = −0.00350
zs ← −0.0035 ⋅ η 1
zs if zs > B
B
Beton−15 , 6
Beton , 6
εc0 := −0.0022
)
⋅ 0.001
Scheitelwert
if Beton > 14
B
Beton , 5
Bruchdehnung bei Biegung
Beton−15 , 6
⋅ 0.001
⋅ 0.001 otherwise
⋅ 0.001 otherwise
Bruchdehnung bei zentrischem Druck
Kennwerte der Betonstahlarbeitslinie für die Bemessung (bilinear)
εsu := 0.025
εuk := 0.05
εyd :=
fyd
Es
εyd = 0.00217
Definitionen
Eingabewerte: Bauteilgeometrie, Ergebnisse aus der Schnittgrössenberechnung und der
Biegebemessung
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Plattenbalken
h
d
x
Querschnittstyp:
As1
b
d
h0
hf
x
beff
bw
Rechteck:
b := 0 ⋅ cm
A s1
Plattenbalken:
h := 0 ⋅ cm
beff := 268 ⋅ cm
bw := 40 ⋅ cm
h0 := 70 ⋅ cm
hf := 20 ⋅ cm
d1 := 6 ⋅ cm
Randabstand As1
Achtung, nachfolgende Momente immer positiv eingeben !
für seltene Lastfallkombination
MEd.s := 310 ⋅ kN ⋅ m
für quasi-ständige Lastfallkombination
MEd.q_s := 280 ⋅ kN ⋅ m
gewählter Bewehrungsquerschnitt
As1 := 16.1⋅ cm
gewählter Bewehrungsdurchmesser
ds := 25 ⋅ mm
2
Berechnungen:
Statische Höhe
d :=
h − d1 if QTyp = 1
d = 0.64 m
h0 − d1 if QTyp = 2
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Ac :=
Betonfläche
b ⋅ h if QTyp = 1
(beff − bw) ⋅ hf + bw⋅ h0
Ac = 0.74 m
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2
if QTyp = 2
Abstand Schwerpunkt vom oberen Rand
(beff − bw) ⋅
z 2 :=
hf
2
2
+ bw ⋅
2
h0
2
z 2 = 19.51 cm
if QTyp = 2
Ac
0.5⋅ h if QTyp = 1
vom unteren Rand
z 1 :=
h − z 2 if QTyp = 1
z 1 = 50.49 cm
h0 − z 2 if QTyp = 2
Trägheitsmoment Betonquerschnitt um die Schwerachse
3
b⋅h
Iys :=
1
3
Iys = 0.0238 m
if QTyp = 1
12
4
3
3
2
⋅  beff − bw ⋅ hf + bw ⋅ h0  − Ac ⋅ z 2 if QTyp = 2
(
)
Betonzugspannung
N
fctm = 2.90
mittlere Festigkeit
mm
σcu.selten :=
vorhandene Spannung
Ergebnis :=
2
MEd.s ⋅ z 1
Iys
σcu.selten = 6.6
N
mm
"Spannungsnachweis muss nach Zustand II erfolgen"
"Spannungsnachweis darf nach Zustand I erfolgen"
2
if σcu.selten > fctm
otherwise
Ergebnis = "Spannungsnachweis muss nach Zustand II erfolgen"
Achtung, nachfolgendes Arbeitsblatt gilt nur für Zustand II.
α e := 15
x :=
α e ⋅ As1
b

⋅  −1 +

1+
2⋅b⋅d

 if QTyp = 1
α e ⋅ As1 
2
0.5⋅ beff ⋅ hf + α e ⋅ As1 ⋅ d
beff ⋅ hf + α e ⋅ As1
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if QTyp = 2
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x = 12.3cm
z :=
d−
d−
x
(x ≤ hf) ∨ ( QTyp = 1)
if
3
hf
+
2
(
hf
2
6 ⋅ 2 ⋅ x − hf
)
if
(x > hf) ∧ ( QTyp = 2)
z = 59.9cm
Spannungsnachweise für die quasi-ständige Kombination
σs1.q_s :=
MEd.q_s
z ⋅ As1
σs1.q_s = 290.38
N
mm
2
Betrag der Betondruckspannung
0.45 ⋅ fck = 13.50
zulässiger Wert
N
mm
2
vorhandener Wert
σc.q_s :=
2 ⋅ MEd.q_s
b⋅x ⋅z
σs1.q_s ⋅ x
α e ⋅ ( d − x)
if QTyp = 1
if QTyp = 2
N
σc.q_s = 4.6
mm
Ergebnis :=
2
"Nachweis nicht erfüllt"
if σc.q_s > 0.45 ⋅ fck
"Nachweis der Begrenzung der Betondruckspannung erbracht" otherwise
Ergebnis = "Nachweis der Begrenzung der Betondruckspannung erbracht"
Spannungsachweise für die seltene Kombination
Stahlspannung
0.8⋅ fyk = 400.00
zulässiger Wert
N
mm
σs1.s :=
vorhandener Wert
σs1.s = 321.5
2
MEd.s
z ⋅ As1
N
mm
2
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Ergebnis :=
"Nachweis nicht erfüllt"
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if σs1.s > 0.8⋅ fyk
"Nachweis der Stahlspannungsbegrenzung erbracht" otherwise
Ergebnis = "Nachweis der Stahlspannungsbegrenzung erbracht"
Betrag der Betondruckspannung
Der Nachweis der Betondruckspannung muss nur in den Expositionsklassen XD, XF, und
XS erbracht werden, falls keine anderen Massnahmen vorgesehen sind. Bei diesem
Beispiel wird von XC 4 und XF 4 ausgegangen, d.h. der Nachweis ist zu führen.
0.6⋅ fck = 18.00
zulässiger Wert
N
mm
σc.s :=
vorhandener Wert
2 ⋅ MEd.s
b⋅x ⋅z
σs1.s ⋅ x
α e ⋅ ( d − x)
2
if QTyp = 1
if QTyp = 2
N
σc.s = 5.1
mm
Ergebnis :=
2
"Nachweis nicht erfüllt"
if σc.s > 0.6⋅ fck
"Nachweis der Begrenzung der Betondruckspannungen erbracht" otherwise
Ergebnis = "Nachweis der Begrenzung der Betondruckspannungen erbracht"
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