Nachweis für
Druckglieder
gemäß DIN 1045-1:2001-07
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 2.5
Seite: 177
Zuletzt aktualisiert: 09.12.2002
Bearbeiter: Ralf Avak, Günther Allgöwer
Nachweis für Stützen nach dem Modellstützenverfahren gemäß DIN 1045-1:2001-07, Kap. 8.6
Eingangswerte der Berechnung:
C30/37
Festigkeitsklasse Beton:
Festlegung der Trockenrohdichte
bei Anwendung von Leichtbeton
(wird hier nicht verwendet)
ρ := 0
kg
3
m
Definitionen
c
d
e
f
g
Einzeldruckglied in einem verschieblichen Tragwerk?
Rechteckquerschnitt
Breite
b := 30⋅ cm
Höhe
h := 30⋅ cm
Stützenlänge
lcol := 6⋅ m
Ersatzlänge (Knicklänge)
l0 := 6⋅ m
Randabstand von As1 unten
d 1 := 6⋅ cm
gleich Randabstand von As2 oben
Bemessungsschnittgrößen nach Th. I. O.
NEd := −847.5⋅ kN
Die Längskraft muss negativ, d.h. als Druckkraft
eingegeben werden
Biegemomente an den Stützenenden können positiv
oder negativ eingegeben werden
Biegemoment am Stützenkopf
M Ed02 := 0⋅ kN⋅ m
Biegemoment am Stützenfuß
M Ed01 := 0⋅ kN⋅ m
Berechnungen:
Fläche Betonquerschnitt
Schlankheit
λ = l0 / i
Statische Höhe
© Vieweg Verlag und Bearbeiter
2
A c = 900 cm
A c := b ⋅ h
λ :=
l0
λ = 69.2
0.289⋅ h
d := h − d 1
d = 24 cm
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Lastausmitten an den Stützenenden |e01| ≤ |e02|
M Ed01
e01 :=
NEd
M Ed02
NEd
M Ed02
e02 :=
NEd
M Ed01
NEd
M Ed01 < M Ed02
if
e01 = 0 cm
otherwise
M Ed01 < M Ed02
if
e02 = 0 cm
otherwise
Planmäßige Lastausmitte nach Th. I. O. für den kritischen Querschnitt
e0 :=
0.4⋅ e02
0.6⋅ e02 + 0.4⋅ e01 < 0.4⋅ e02
if
0.6⋅ e02 + 0.4⋅ e01
e0 = 0 cm
otherwise
Die zusätzliche Kriechausmitte ec darf vernachlässigt werden, wenn beide Stützenenden
monolithisch mit lastabtragenden Bauteilen verbunden sind oder die folgenden
Bedingungen bei verschieblichen Tragwerken eingehalten werden:
ec :=
 e0 
> 2  ⋅ ( Verschieblich = 1)
h

"erforderlich" if ( λ < 50) ⋅ 
ec = "nicht erforderlich"
"nicht erforderlich" otherwise
ec := 0⋅ cm
ec evtl. nach Heft 220 berechnen
Grenzschlankheit für unverschiebliche und verschiebliche Einzeldruckglieder
λmax :=
ν Ed ←
16
ν Ed
NEd
λmax = 25
A c⋅ fcd
if ν Ed < 0.41
25 otherwise
Grenzschlankheit für Einzeldruckglieder in unverschieblichen Tragwerken
λcrit :=

e01 

e02 
25⋅  2 −
 if e02 ≠ 0
λcrit = 25
0 if Verschieblich = 1
25 otherwise
Schlankheit zu Null setzen, falls Auswirkungen nach Th. II. O. vernachlässigbar sind
λcal :=
0 if λ ≤ λmax
λcal = 69.204
0 if λ ≤ λcrit
λ otherwise
Überprüfung des Mindestmomentes, falls Grenzschlankheit λcrit unterschritten wird
e0 :=
if λ ≤ λcrit
h
20
if e0 <
e0 = 0 cm
h
20
e0 otherwise
e0 otherwise
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Schiefstellung im Bogenmaß zur Berücksichtigung der Imperfektion
α a1 := wenn α a1 >
1
α a1 :=

lcol
100⋅
1
1
,
, α a1
200 200

α a1 = 0.004
m
Zusätzliche ungewollte Ausmitte
ea :=
0⋅ cm if λcal = 0
α a1⋅
l0
2
ea = 1.22 cm
otherwise
Maßgebende Krümmung
K2 := 1
κ = (1/r) im kritischen Querschnitt zur Berechnung von e2
K2 dient zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme
bei ansteigenden Längsdruckkräften.
Die Annahme K2 = 1 liegt stets auf der sicheren Seite.
Der Wert wird nach erfolgter Bemessung (s.u.)
genauer ermittelt und kann danach hier
- quasi iterativ - erneut eingegeben werden.
κ := K2⋅
2⋅ εyd
κ = 0.0201
0.9⋅ d
1
m
Zusätzliche Ausmitte nach Th.II.O.
K1 :=
λcal
10
(
)(
)
− 2.5 if 25 < λcal ⋅ λcal ≤ 35
K1 = 1
1 if λcal > 35
0 otherwise
e2 := K1⋅ κ ⋅
2
l0
e2 = 7.25 cm
10
Gesamte Ausmitte
etot := e0 + ec + ea + e2
etot = 8.47 cm
Gesamtes Bemessungsmoment
M Ed.tot := NEd⋅ etot
M Ed.tot = 71.8 kN⋅ m
Tafeleingangswerte für Interaktionsdiagramme in
Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 14. Auflage 2001, ab Seite 5.130
d1
Bezogener Randabstand der Bewehrung
h
Bezogene Längskraft
ν Ed :=
Bezogenes Biegemoment
µ Ed :=
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NEd
= 0.2
ν Ed = −0.5539
b ⋅ h ⋅ fcd
M Ed.tot
µ Ed = 0.1564
2
b ⋅ h ⋅ fcd
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Auswahl der entsprechenden Datendatei für das Interaktionsdiagramm
Datei :=
"0_10.txt" if
"0_15.txt" if
"0_20.txt" if
"0_25.txt" if
"0_00.txt" if
d1
h
d1
h
d1
h
d1
h
d1
h
> 0.05
Datei = "0_20.txt"
> 0.10
> 0.15
> 0.20
> 0.25
"0_05.txt" otherwise
Einlesen der Daten (µEd/νEd-Werte) aus der Datendatei
Dat := PRNLESEN( Datei)
Überprüfen ob Datendatei vorhanden
ωtot :=
"d1/h > 0.25 -> keine Datendatei für Interaktionsdiagramm" if Datei = "0_00.txt"
"abzulesen im Interaktionsdiagramm" otherwise
Interaktionsdiagramm zum Ablesen des
totalen mechanischen Bewehrungsgrades ωtot
Die ω-Linien reichen hierbei von ωtot = 0 bis ωtot = 2,0 in Schritten von ∆ = 0,1
3
µ Ed
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
-ν Ed
1.6
1.4
1.2
1
0.8
− ν Ed
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
µEd
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Totaler mechanischer Bewehrungsgrad:
ωtot = "abzulesen im Interaktionsdiagramm"
ωtot := 0.13
(im Interaktionsdiagramm abgelesenen Wert hier eingeben)
Erforderlicher Bewehrungsquerschnitt
A s.tot :=
ωtot ⋅ b ⋅ h ⋅ fcd
fyd
2
A s.tot = 4.6 cm
Minimale Längsbewehrung
A s.min := 0.15⋅
NEd
fyd
2
A s.tot = 4.6 cm
?
≥
2
A s.min = 2.9 cm
Maximale Längsbewehrung
2
A s.tot = 4.6 cm
?
≤
As,tot ≤ 9% · Ac
2
9%⋅ A c = 81 cm
Genauere Ermittlung des Abminderungsfaktors K2 zur Berücksichtigung der
Krümmungsabnahme bei ansteigender Längsdruckkraft.
Nud := fcd⋅ A c + fyd ⋅ A s.tot
Nud = 1728.9 kN
Nbal := 0.4⋅ fcd⋅ A c
Nbal = 612 kN
K2-Wert vor der Bemessung:
K2 = 1
Verbesserter K2-Wert unter Berücksichtigung des Bemessungsergebnisses:
K2 :=
zs ←
Nud − NEd
Nud − Nbal
K2 = 1
zs if zs < 1
1 otherwise
Die Bemessung kann mit dem verbesserten K2 -Wert wiederholt werden (s. Eingabe K2 ).
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